30 UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THCS THỊNH ĐỨC ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán 8 Tác giả MA THỊ VIỆT Chức vụ G.
UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THCS THỊNH ĐỨC ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán Tác giả: MA THỊ VIỆT Chức vụ: GIÁO VIÊN Đơn vị công tác: TRƯỜNG THCS THỊNH ĐỨC, TPTN TP Thái Nguyên, tháng năm 2022 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc - ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến thành phố Thái Nguyên Tôi ghi tên đây: Số TT Họ tên Ngày tháng Nơi công tác Chức năm sinh MA THỊ VIỆT 28/01/1991 danh Trường THCS Thịnh Đức GV Trình độ Tỷ lệ (%) đóng chuyên góp vào việc tạo môn sáng kiến Đại học 100% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 06/10/2021 - Mô tả chất sáng kiến Trong hệ thống môn học đưa vào đào tạo trường THCS, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng Học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác Trong dạy học mơn tốn việc tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh yêu cầu quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt phương pháp giảng dạy Việc lựa chọn ví dụ điển hình mang chất lí thuyết, hệ thống tập minh họa, áp dụng khắc sâu kiến thức nâng cao quan trọng Thông qua dạy học mơn tốn, người học cung cấp kĩ tính tốn, thao tác tư duy, đặc biệt có điều kiện rèn luyện phát triển tư lơgíc Qua tìm hiểu thực tế thân tơi giảng dạy mơn Tốn lớp tơi nhận thấy học sinh nhiều vướng mắc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Đa số học sinh giải cịn thiếu lơgíc, chặt chẽ, chưa phân biệt cho dạng nào, vận dụng kiến thức để giải Với tiết lý thuyết luyện tập lớp phần học sinh hiểu nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhưng việc nắm hiểu sâu để sau vận dụng vào kiến thức có liên quan như: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, tìm x nâng cao dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh chia hết học sinh cịn gặp khó khăn Do lượng kiến thức mà em học chưa vận dụng hết dạng tốn Chính lí tơi mạnh dạn đưa kinh nghiệm hướng dẫn học sinh “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn 8” nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác + Nội dung sáng kiến Thực trạng Trong thực tế giảng dạy việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải tốn cơng việc quan trọng thiếu người dạy tốn Vì thơng qua rèn luyện khả tư logic, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh kiến thức bản, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp học sinh hiểu thực chất vấn đề để từ có kĩ giải tốn thành thạo, khỏi tâm lí sợ mơn tốn Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử, chưa biết sử dụng phương pháp để phân tích thành nhân tử Khi gặp dạng tốn khó e chưa có phương pháp giải Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử Kết đạt sau: Giỏi Lớp Tổng 8A 39 Số lượng Tỉ lệ % 17,9% Khá Số lượng Tỉ lệ % 23,1 Trung bình Số lượng 18 Tỉ lệ % 46,2% Yếu Số lượng Tỉ lệ % 12,8% % 8B 35 25,7% 8C 36 16,7% 10 22,9 % 27,8 % 15 42,9% 8,5% 16 44,4% 11,1% Kết thấp học sinh cịn vướng mắc điều tơi nói phần lớn em chưa làm câu c, d Các giải pháp 2.1 Cung cấp kiến thức liên quan đến toán - Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức - Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Áp dụng bảy đẳng thức đáng nhớ 2.2 Các giải pháp cụ thể Để vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn, hướng dẫn học sinh phân chia dạng bài, phát triển từ dạng sang dạng khác Từ phương pháp giải học sinh tìm tịi phương pháp giải dạng khác dạng bài, loại Biện pháp cụ thể sau: 2.2.1 Một số dạng 2.2.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung * Kiến thức trọng tâm - Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức - Nếu tất hạng tử đa thức có nhân tử chung đặt nhân tử chung ngồi dấu ngoặc theo cơng thức A.B+A.C+A.D=A(B+C+D) * Phương pháp giải B1: Chọn nhân tử chung gồm: - Hệ số ƯCLN hệ số - Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử B2: Viết hạng tử lại số hạng vào dấu ngoặc * Ví dụ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Giải Chú ý câu c ta đặt làm nhân tử chung Tuy nhiên ta nên đặt làm nhân tử chung để hệ số x2 dấu ngoặc có dấu dương Ví dụ Phân tích thành nhân tử Giải: Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Ở ví dụ học sinh cần quan sát biểu thức, biểu thức đặt nhân tử chung ln, ví dụ câu b cần phải đổi dấu xuất nhân tử chung Chú ý cho HS: Nhiều để xuất nhân tử chung cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tính chất A= - (-A)) Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Giải Khi hướng dẫn HS làm câu b cần lưu ý cho HS: Bình phương hai đa thức đối A2 = (-A)2 nên ta phải biến đổi (5-x)2 = (x-5)2 để làm xuất nhân tử chung Ví dụ Tính giá trị biểu thức với với Giải: Ở ví dụ trước tiên phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung sau thay giá trị thực phép tính (1) Thay vào (1) ta có 2.(-4).(-4+3.3-5) = Vậy giá trị biểu thức (2) Thay vào biểu thức (2) ta có (19,6+0,4)2 =400 Vậy giá trị biểu thức Ví dụ Tìm x 400 Giải Để giải tốn tìm x: - Chuyển tất số hạng vế trái, vế - Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức cho dạng A.B=0 sau suy A=0 B=0 từ tìm giá trị x Vậy x = 0; x = - Vậy Ví dụ Chứng minh a) chia hết cho 50 b) 85 – 211 chia hết cho 30 Giải: Đối với dạng tập chứng minh chia hết ta dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích biểu thức cho thành nhân tử A=k.B Khi A B Vì 50.29 50 nên chia hết cho 50 Vì 30.210 chia hết cho 30 nên 85 – 211 chia hết cho 30 2.2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức * Kiến thức trọng tâm Biết vận dụng bảy đẳng thức đáng nhớ theo chiều ngược lại để phân tích đa thức thành nhân tử Bảy đẳng thức Với A, B biểu thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Các đẳng thức dạng tổng quát (A + B)n = An + n An-1B + + n ABn-1 + Bn An – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + +ABn-2 + Bn-1) (A1 + A2 + +An)2 = A12 + A22 + + An2 + 2(A1A2 + A1A3+ +An-1An) * Phương pháp giải - Nếu đa thức có hai hạng tử vận dụng - Nếu đa thức có ba hạng tử vận dụng - Nếu đa thức có bốn hạng tử vận dụng * Ví dụ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Để phân tích đa thức thành nhân tử ta áp dụng đẳng thức, nhiên biểu thức chưa có dạng đẳng thức nên phải biến đổi để đưa dạng Ví dụ Phân tích thành nhân tử Giải: Ví dụ Tính giá trị biểu thức với với Giải: Ở ví dụ trước tiên phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung sau thay giá trị thực phép tính (1) Thay vào (1) ta có Vậy giá trị biểu thức 8000 (2) Thay vào biểu thức (2) ta có Vậy giá trị biểu thức 999999 Ví dụ Tìm x biết: Giải Để giải tốn tìm x - Chuyển tất số hạng vế trái, vế - Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức cho dạng A2=0 ; A3=0; A.B=0 sau suy A = B = từ tìm giá trị x Suy Vậy Ví dụ Chứng minh a) chia hết cho 17 b) 173n – 73n chia hết cho 100 Giải: Đối với dạng tập chứng minh chia hết ta dùng đẳng thức để phân tích biểu thức cho thành nhân tử A=k.B (k khác 0) Khi A B 17 Cách (tách số hạng, số hạng) Cách (nhẩm nghiệm) Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau: f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Hướng dẫn Ta thấy Từ ta cần thêm bớt = để xuất đẳng thức Lời giải Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải Cách 1: Cách 2: * Đối với đa thức bậc từ trở lên Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau: Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) 18 Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thấy f(–2) = (–2) + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau Cách 1: Cách 2: Cách 3: Cách 4: Từ định lí trên, ta có hệ sau: Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – Chẳng hạn, đa thức có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : 19 Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + Chẳng hạn, đa thức có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau : Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác số nguyên Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) Dễ thấy , , , không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng nghiệm f(x) Chỉ cịn –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau: = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu f(x) = số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = ( , p, q Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an Ví dụ Phân tích đa thức Hướng dẫn thành nhân tử ... Tự - Hạnh phúc - ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến thành phố Thái Nguyên Tôi ghi tên đây: Số TT Họ tên Ngày tháng Nơi công tác Chức năm sinh MA THỊ VIỆT 28/01/1991... chuyên góp vào việc tạo môn sáng kiến Đại học 100% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn... Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 06/10/2021 - Mô tả chất sáng kiến Trong hệ thống môn học đưa vào đào tạo trường THCS, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng Học tốt mơn tốn giúp học sinh