Lap phuong trinh duong thang lien quan den goc va khoang cach

LẬP PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH I Phương pháp giải Mặt phẳng đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ pháp tuyến   2 2 2; ; , 0   A B C A B C Có phương trình      0 0[.]

Trang 1

LẬP PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH I Phương pháp giải

- Mặt phẳng đi qua điểm M0x y z0;0;0 và có vectơ pháp tuyến

 222

; ;,0

 A B CA B C 

Có phương trình: A x x0B y y0C z z00Và biến đổi thành dạng phương trình tổng quát:

222

0,0

 

AxBy CzDABC

- Phương trình mặt cầu  S tâm I a b c ; ;  bán kính R:  2  2 2 2 xay bzcR hay: Phương trình mặt cầu: 2222220 xyzAxByCzD , 22220ABCD có tâm I  A; B; C và bán kính R A2B2C2D - Đường thẳng d đi qua M0x y z0;0;0 và có vectơ chỉ phương

 222; ;,0 ua b c abc Phương trình tham số: 000:,    xxatdyybt tzzctPhương trình chính tắc khi , ,0 :000 xx  yy  zza b cabc

II Ví dụ minh họa

Bài tốn 1 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

a) 2x y 4z 50 và 3x5y  z 1 0 b) x2y  z 1 0 và x2y  z 50

Giải

a) Điểm M x y z ; ;  cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

2453514 1 169 25 1   xyzxyz5 2453 351 x yz  x y z5 2453 351 x yz   x y z

Trang 2

2 5 3 3  x5 5 3  y4 53z5 530,

2 5 3 3  x5 5 3  y4 53z5 530 b) Điểm M x y z ; ;  cách đều hai mặt phẳng:

212521251 4 11 4 1         xyzxyzxyzxyz21252125             xyzxyzxyzxyz24240220 x y z   xy  z

Vậy tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình: x2y  z 20

Bài tốn 2 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 1; 2 ,   B 2; 0;1 a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 22

2



MAMB

b) Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai mặt phẳng OAB và Oxy

Giải a) Giả sử M x y z ; ;  Ta có 222MAMB 2  2  2 2 2 21 x 1 y 2 z 2 xy 1 z 2      2221 0 x y z 

Vậy quỹ tích các điểm M là mặt phẳng có phương trình trên b) Mặt phẳng OAB đi qua O, có vectơ pháp tuyến



,1;3; 2



  

nOA OB nên có phương trình:  x 3y2z0 Điểm M x y z ; ;  cách đều mpOAB và mpOxy khi và chỉ khi:

323214321401 9 4        xyzzxyzzxyz

Vậy quỹ tích là hai mặt phẳng có phương trình trên

Bài tốn 3 Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M5; 4;3 và cắt ba trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ

Giải

Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn: x  yz 1, a   bc 0

abc

Điểm M5; 4;3 thuộc mặt phẳng nên: 543  

1 1

  

Trang 3

Với   543, , 1112     ba caaaaa Với   543, , 116      ba caaaaa Với   543, , 114      ba caaaaa Với   543, , 112        ba caaaaa Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là: 112012 12 12x  y  z     xyz  1606x       6y 6zxyz 1404x       4y 4zxyz 1202        22xyzxyz

Bài tốn 4 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh 1; 2;1 ,  2;1;3

AB , C2; 1;1  và D0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến  P bằng khoảng cách từ D đến  P

Giải

Mặt phẳng  P thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1:  P đi qua A, B và song song song với CD

Vectơ pháp tuyến của  P : n AB CD, Ta có:

 3; 1; 2 ,  2; 4;0 8; 4; 14

       

ABCDn

Phương trình  P : 4x2y7z150Trường hợp 2:  P qua A, B và cắt CD Suy ra  P cắt CD tại trung điểm I của CD

1;1;10; 1;0 

IAI , vectơ pháp tuyến của  P : nAB AI,2;0;3 Phương trình P : 2x3y 50

Vậy  P : 4x2y7z150 hoặc  P : 2x3y 50

Trang 4

Giải

Một mặt phẳng cách đều 2 điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN Vì vậy, để mặt phẳng  P cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của hình tứ diện thì: - Hoặc mặt phẳng  P đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một mặt

- Hoặc mặt phẳng  P chứa hai đường trung bình của tứ diện Có ba mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút

Từ đó tìm được bảy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đầu bài là:

60; 100; 280; 2140       xzxyxyzxyz20; 2160; 52280      xyzxyzxyz

Bài toán 6 Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M11; 0;1 , M22; 1; 0  và M30; 0;1 Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M3 mà khoảng cách từ M1 và M2 đến  P đều bằng 2

2

Giải

Mặt phẳng  P đi qua M30; 0;1 nên có phương trình   0  0  1 0A xB yC z hay  222 0 0 AxBy Cz CABC Khoảng cách từ M M1,2 đến  P bằng 22 nên 222222222  A C CA B CABCABC Do A 2A B C  hay  A 2A B C Suy ra C A B hoặc C3A BVới C A B thì từ 22222AABC ta suy ra 22222A A B C 2B BA 0

Trang 5

2 2223743020416    BAABBABDo đó 2 3 04AB và B0, tức là A0,B0 do đó C 0: loại

Bài tốn 7 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1

2:23     xtdytzt, 2121:215xyz

d Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng đó

Giải

Ta có VTCP của d1 và d2 lần lượt là u11;1; 1 ,   u22;1;5Nên VTPT của   là n1u u1,26; 7; 1  

Do đó:  : 6x7y  zD 0

Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2 điểm M2; 2;3 ,  N1; 2;1Ta có: d M ,  d N ,    5 D   9 D D7

Vậy mp  : 6x7y  z 70

Bài tốn 8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

114



 x yz Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M0;3; 2 , song song với đường thẳng  và cách đường thẳng  một đoạn bằng 3 Giải Gọi  222 ; ;0Pna b cabc là VTPT của  P

Vì  P đi qua điểm M0;3; 2  nên  P :ax b y   3 c z20Ta có: u1;1; 4 là VTCP của đường thẳng , A0; 0;1  Ta có hệ phương trình:   22240.0,3     Pa bcn nd A Pb cabc

Thay a  b 4c vào phương trình sau ta được:

 2 2 2 2 2 2 

410160280

 

b cbcbcbbccbc bc

Trang 6

 : 2280

 Px y  z

Với b8c  0 a 4c ta chọn b8,c    1 a 4

Vậy mặt phẳng  P : 4 x 8y z 260

Bài toán 9 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng  P đi qua các điểm 0; 0;1 , 3; 0; 0

MN và tạo với mặt phẳng Oxy góc

3



Giải

Gọi vectơ pháp tuyến của  P là n1; ;a b Ta có MN 3;0; 1 Vì n MN.3.1 0  b 0 nên b3 Do đó n1; ;3a 

Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k 0; 0;1

Ta có: 2. 1 3cos263 .  2 10   n kan kaPT mặt phẳng  P là: 1. x 026 y 03. z   10 x 26.y3z 30

Bài tốn 10 Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng   có phương trình: 2x y 5z0 một góc 60 Giải Mặt phẳng  P chứa trục Oz nên có dạng: 0; ;0 , 2;1;5  PAxBynA Bn

Theo giả thiết của bài toán

 2221cos,cos 602 4 1 5  PABn nAB22222 210.61660 A B A B  A  AB B Lấy B1, ta có: 21216166033    AAAA

Vậy có hai mặt phẳng  P phải tìm: 1 0; 30

3x y  x y

Bài tốn 11 Lập phương trình mặt phẳng  P chứa giao tuyến d của 2 mặt phẳng:

30

   

Trang 7

Giải

Giao tuyến d của mặt phẳng: x   yz 30, 2x   yz 40 đi qua M1;1;1 và có VTCP

1,20;1; 1 un n   222: 1 1 10,0PA xB yC zABC

Ta có VTPT nA B C; ;  vng góc với u nên: 0   B CCB Do đó  P :AxByBz A 2B0 Mặt phẳng Oxy có VTPT k 0; 0;1 Ta có:   221160cos,22   Bn kAB2222A  B   AB Từ đó tìm được 2 mặt phẳng  P : 2x  yz 2 20, 2x  yz 2 20

Bài toán 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 : 2x   yz 20,  :x2y2z 40 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong   , song song và cách   một đoạn bằng 1

Giải

Gọi  P là mặt phẳng song song với   và cách   một đoạn bằng 1 thì  P :x2y2z m 0 m 4    2 24 2 1,11437122   m        mdPmmVới m 1, ta có  P :x2y2z 10

Khi đó đường thẳng d cần tìm chính là giao tuyến của  P và  

Ta có VTPT nP1; 2;1, VTPT n 2; 1;1  thì đường thẳng d có VTCP là ,4;3; 5 dpun n

Chọn M1; 0; 0 thuộc giao tuyến của  P và  Ta có : 1435 xyzd

Với m 7 giải tương tự thì có : 1 4

435

   

xyz

Trang 8

Bài toán 13 Viết phương trình đường thẳng đi qua M1; 5;3  và tạo với hai đường thẳng , Ox Oy các góc bằng 60 Giải Gọi  222; ;,0 

ua b c abc là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm Các đường thẳng Ox Oy, có các vectơ chỉ phương là i1;0;0 ,  j0;1;0 Theo giả thiết của bài tốn thì:

2222221cos 602 ababcabc22122222222444a b  a  bc  a  b a  bc22222 a  b c Chọn C2 thì a 1, b 1 Vậy có 4 trường hợp xảy ra:

Với u1;1; 2 thì đường thẳng có phương trình: 1 5 3

112





xyz

Với u1; 1; 2  thì đường thẳng có phương trình: 1 5 3

112

    

xyz

Với u  1;1; 2 thì đường thẳng có phương trình: 1 5 3

11 2

    

xyz

Với u   1; 1; 2 thì đường thẳng có phương trình: 1 5 3

112







xyz

Bài tốn 14 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P :x   yz 10, cắt các đường thẳng 12311:, :212112         xyzxyzdd

Và tạo với đường thẳng d một góc 30

Giải

Trang 9

Vậy phương trình 5:15      xtyztVới t 4 AB0;5;5 chọn VTCP 0;1;1Vậy phương trình 5:15      xytzt

Bài tốn 15 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P :x   yz 60 và hai đường thẳng 1: 2 3 4, 2: 1 2 2111212xyzxyzdd

Viết phương trình đường thẳng d song song với mp P đồng thời d cắt hai đường thẳng

1, 2

dd lần lượt tại điểm A và B sao cho AB3 6

Giải Giả sử A2t1;3t1; 4t1 , B 1 2 ; 2 t2 t2; 2 2 t2Mặt phẳng  P có VTPT là nP 1; 1;1 Ta có: d// P  AB n. P 0 1 221  521  2 221 0212   t t    tt    t t    ttTừ đó suy ra AB3t1   3; 3; 3t16

Theo giả thiết: 2 2

113 63393654 ABtt121113300     ttttVới t1  3 A5; 0;1   P (loại) Với t1 0 A2;3; 4 ,  AB3; 3; 6  Vậy phương trình : 2 3 4112    xyzd

Bài tốn 16 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

233

:

421

    

xyz

d và mặt phẳng  P :  xy 2z 50 Viết phương trình đường thẳng nằm trong  P , song song với đường thẳng d và cách đường thẳng d một đoạn bằng 14

Giải

Trang 10

Lấy A2;3; 3  d Gọi d là đường thẳng nằm trong  P Đi qua A và vng góc với đường thẳng d Ta có nP   1;1; 2 và ud 4; 2;1Đường thẳng d có VTCP   ;  3;9; 6 dPdun u hay 1;3; 2 Suy ra 2:3 33 2       xtdytzt M d M2t;3 3 ; 3 2 t   tTa có 2    221432141   AMttttVới  16511;6;5:421   x  y  ztMVới  3113;0; 1:421     x  yztM

Bài tốn 17 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x  yz 0, đường thẳng : 4113 xyz

d Viết phương trình đường thẳng  đi qua M1; 1;1 , vng góc với đường thẳng d và tạo với  P một góc bằng 30

Giải

Gọi VTCP của đường thẳng  là  222 

; ;, 0



ua b cabc Đường thẳng d có VTCP là ud 1;1; 3 

Mặt phẳng  P lần lượt có VTPT là nP2;1; 1  Từ các giả thiết ta có hệ phương trình:

  22230.02 1sin,sin 3026.         da bcu ua b cPabc

Thế b3c a và phương trình sau ta được:

Trang 11

Phương trình : 1 1 11152xyz

Bài tốn 18 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

  1225 9:260, :1 2 , :10 231                 xtxtPxyzytytzzt;

Viết phương trình đường thẳng  song song với  P , cắt hai đường thẳng  1, 2 và khoảng cách từ  đến  P bằng 3

6

Giải

Giả sử đường thẳng  cắt 1 tại A thì A2  a; 1 2 ; 3a  Ta có    3;;6dPd A P021 26 6333666    aa      a aaVới a0, ta có A2; 1; 3   Giả sử  cắt 2 tại B thì B5 9 ;10 b 2 ;1b bTa có AB n. P   0 3 9b 11 2 b 2 4b005;10;13;11; 4  bB  ABPhương trình : 2 1 33114 x  y  z Với a6, ta có A8;11; 3  Giả sử  cắt 2 tại B thì B5 9 ;10 b 2 ;1b bTa có: AB n. P    0  3 9b   1 2b 2 4b066917 26;;5555      bABVậy phương trình : 8 11 3691726xyz

Bài tốn 19 Lập phương trình mặt cầu  S có tâm I2;3; 1 , cắt đường thẳng

Trang 12

Giải

Gọi H là trung điểm dây AB thì IH vng góc với AB Mặt phẳng  P qua I, vng góc với

d có phương trình:

2x y 2z 90, suy ra giao điểm d và  P là:   3; 7; 11H Ta có 2222222015225RIAAHIH Vậy    2  2 2:23 1225Sxyz Cách khác:   0,, M I uIHd I du

Bài toán 20 Cho  P : 5x4y  z 60,  Q : 2x   yz 70 và d là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x y 2z 30, x3y z 0 Lập phương trình mặt cầu  S tâm I là giao điểm của d

với  P , cắt  Q theo đường trịn có chu vi 45

Giải

Tâm I x y z ; ;  có tọa độ là nghiệm của hệ:

546012300301             xyzxxyzyxyzz nên I1; 0;1Ta có   2.1 0 1 710,4 1 16   dd I Q

Đường trịn giao tuyến có chu vi 452r nên có bán kính r2 5, do đó 2221103Rdr Vậy phương trình   2 2 2110:113 Sxyz

Bài tốn 21 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z0 và đường thẳng : 1 2121xyzd

Viết phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc đường thẳng  d , cách mặt phẳng  P một đoạn bằng 3 và cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4

Giải

Gọi I là tâm của mặt cầu  S

Trang 13

Ta có   631,3323  t     td I PtNên I1;1;3 hay I2; 5; 0 

Vì mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo đường trịn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu  S có bán kính 22

345



R

Vậy phương trình mặt cầu  S cần tìm là:

 2  2 2  2 2 2

11325; 2525

 