Sưu tầm và biên soạn NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp hcm trường phổ thông năng khiếu GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II khối 10 năm học 2009 2010 môn thi TOÁN ngày thi Bài 1 Giải các bất phương trình sau 1[.]
Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp.hcm GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II - khối 10 trường phổ thông khiếu năm học 2009-2010 mơn thi: TỐN ngày thi: Bài 1: Giải bất phương trình sau |𝑥 − 2| >0 𝑥 √ − 6𝑥 + 5𝑥2 + 10𝑥 + > − 𝑥2 − 2𝑥 Đáp số 𝑆 = (−∞, 1) ∪ (5, +∞) 𝑆 = (−∞, −3] ∪ [1, +∞) Bài 2: Cho hệ phương trình ⎧ ⎨(𝑥 + 5) (𝑥 − 4) > ⎩(𝑥 − 3𝑚) (𝑥 + 2) < Giải hệ 𝑚 = 2 Tìm m để hệ phương trình vơ nghiệm Đáp số 𝑆 = [4, 6) − 𝑚 3 Hướng dẫn: Ta có 𝑆1 = (−∞, −5] ∪ [4, +∞) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨(−2, 3𝑚), −2 < 3𝑚 𝑆2 = (3𝑚, −2), 3𝑚 < −2 ⎪ ⎪ ⎩ ∅, 3𝑚 = −2 ⎡ −5 3𝑚 Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ 𝑆1 ∩ 𝑆2 = ∅ ⇔ ⎣ ⇔− 6𝑚6 3 3𝑚 = −2 Bài 3: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 số khác Chứng minh 5𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑐2 > 𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 6𝑐𝑎 √︀ Tìm m để hàm số 𝑦 = (𝑚 + 1) 𝑥2 − (𝑚 − 1) 𝑥 + 3𝑚 − xác định với số thực x Đáp số Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số (𝑎2 , 𝑏2 ), (𝑏2 , 4𝑐2 ), (9𝑎2 , 4𝑐2 ), ta có: 𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 𝑏2 + 4𝑐2 > 4𝑏𝑐 9𝑎2 + 4𝑐2 > 12𝑎𝑐 ⇒ (𝑎2 + 𝑏2 ) + (𝑏2 + 4𝑐2 ) + (9𝑎2 + 4𝑐2 ) > 2𝑎𝑏 + 4𝑏𝑐 + 12𝑎𝑐 ⇒ 10𝑎2 + 2𝑏2 + 8𝑐2 > 2𝑎𝑏 + 4𝑏𝑐 + 12𝑐𝑎 ⇒ 5𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑐2 > 𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 6𝑐𝑎 Dấu ” = ” xảy ⎧ 2 ⎪ ⎪𝑎 = 𝑏 ⎨ ⎧ ⎪ ⎪𝑎 = 𝑏 ⎨ 𝑏2 = 4𝑐2 ⇔ 𝑏 = 2𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = Mâu thuẫn ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 9𝑎 = 4𝑐 3𝑎 = 2𝑐 Vậy 5𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑐2 > 𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 6𝑐𝑎 𝑚 > Hướng dẫn: Hàm số 𝑦 = √︀ (𝑚 + 1) 𝑥2 − (𝑚 − 1) 𝑥 + 3𝑚 − xác định với số thực x ⇔ (𝑚 + 1) 𝑥2 − (𝑚 − 1) 𝑥 + 3𝑚 − > ∀𝑥 ∈ R Bài 4: Lập phương trình tắc ellipse biết hình chữ nhật sở có chu vi 16 diện tích 12 Đáp số: (𝐸) : 𝑥2 𝑦 + =1 Bài 5: Cho đường thẳng 𝑑 : 3𝑥 + 4𝑦 − = 𝐼 (4; 5) Viết phương trình đường thẳng m qua I m vng góc với d Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng m (C) Đáp số (𝑚) : −4𝑥 + 3𝑦 + = (𝐶) : (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 5)2 = 25 𝐶(7, 9), 𝐶(1, 1) Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp.hcm GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II - khối 10 trường phổ thơng khiếu năm học 2011-2012 mơn thi: TỐN thời gian: 90 phút Bài 1: Giải bất phương trình: (2 điểm) 𝑥2 − 5𝑥 − 14 60 (︁𝑥√ − 2𝑥 + )︁ (︀√ )︀ √ 𝑥2 − 5𝑥 + + 𝑥 − 25𝑥 − − 2𝑥 > Đáp số 𝑆 = [−2, 7]∖{1} 𝑆 = [4, 6] ∪ {1} Bài 2: (2 điểm) Cho hệ bất phương trình ⎧ ⎨ 4𝑥 + > + 3𝑥 ⎩(𝑥 − 1) (𝑥 − 5𝑚) Giải hệ 𝑚 = 2 Định m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm Đáp số 𝑆 = [5, 10] 𝑚 = 1, nghiệm 𝑥 = Hướng dẫn: Ta có⎡𝑆1 = (−∞, −2) ∪ [5, +∞) [1, 5m], < 5m 𝑆2 = ⎣ [5m, 1] 5m ⎧ ⎨5𝑚 = Hệ có nghiệm ⇔ 𝑆1 ∩ 𝑆2 = ∅ ⇔ ⇔ 𝑚 = ⎩1 < 5𝑚 Khi nghiệm hệ 𝑥 = Bài 3: (2 điểm) )︂ (︂ 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏 Cho a,b số thực khác Chứng minh + + > + 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑥 + Định m để hàm số 𝑦 = √︀ có tập xác định R (𝑚 + 1) 𝑥 − (2𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 + Đáp số √︃ ⃒ 𝑎 ⃒ ⃒⃒ 𝑏 ⃒⃒ ⃒ 𝑎 ⃒ ⃒⃒ 𝑏 ⃒⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Đặt 𝑡 = ⃒ ⃒ + ⃒ ⃒ ⇒ 𝑡 > ⃒ ⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ = ⇒ 𝑡 > 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG (︂⃒ ⃒ ⃒ ⃒)︂ 𝑎2 𝑏2 ⃒𝑎⃒ ⃒ 𝑏 ⃒ Ta có + + > ⃒ ⃒ + ⃒⃒ ⃒⃒ ⇔ 𝑡2 − + > 3𝑡 ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 2) > (luôn đúng) 𝑏 𝑎 (︂⃒ ⃒ 𝑏 ⃒ ⃒)︂𝑎 𝑎2 𝑏2 ⃒𝑎⃒ ⃒ 𝑏 ⃒ ⇒ + + > ⃒ ⃒ + ⃒⃒ ⃒⃒ ∀𝑎, 𝑏 ̸= 𝑏 𝑎 )︂𝑎 (︂ 𝑏 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏 ⇒ + +4>3 ∀𝑎, 𝑏 ̸= + 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 Dấu "=" xảy √ 𝑎, 𝑏 dấu −4 + 13 −1 < 𝑚 < )︂ (︂ 16 Bài 4: (1 điểm) Lập phương trình tắc elip (E), biết hai điểm 𝑀 3; (︂ )︂ 12 𝑁 4; thuộc (E) Đáp số: (𝐸) : 𝑥2 𝑦2 + = 25 16 Bài 5: (3 điểm) Cho hai điểm 𝐴 (−1; −1) , 𝐵 (5; 1) Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm B Đáp số Phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB: 3𝑥 + 𝑦 − = Phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục tung 𝑥2 +(𝑦−6)2 = 50 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm B: 𝑥 − 𝑦 = Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp.hcm GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II - khối 10 trường phổ thơng khiếu năm học 2012-2013 mơn thi: TỐN thời gian: 90 phút Bài 1: (2 điểm) 11 − 5𝑥 >1 𝑥 − 6𝑥 + )︀ (︀√ )︀ (︀√ 2𝑥 − − 𝑥 𝑥+1+𝑥 >0 Đáp số 𝑆 = [−2, 1) ∪ [3, 5) 𝑆 = {1} Bài 2: (2 điểm) Cho hệ bất phương trình ⎧ ⎨9 − 𝑥 > 𝑥+3 ⎩𝑚 (𝑚𝑥 − 2) > − 𝑥 Giải hệ 𝑚 = 2 Tìm m để hệ có nghiệm Đáp số 𝑆 = ∅ 𝑚 > ∨ 𝑚 −1 Hướng dẫn: 𝑆1 = [︂ (−3, 1] )︂ 2(𝑚 + 2) 𝑆2 = , +∞ 𝑚2 + Hệ có nghiệm ⇔ 𝑆1 ∩ 𝑆2 ̸= ∅ ⇔ 2(𝑚 + 2) ⇔ 𝑚 > ∨ 𝑚 −1 𝑚2 + Bài 3: (2 điểm) Tìm m để bất phương trình (𝑚 + 2) 𝑥2 − (3𝑚 + 1) 𝑥 + 𝑚 + vô nghiệm Cho 𝑎, 𝑏 số thực không âm thỏa mãn 𝑎2 + 𝑏2 = Chứng minh 𝑎3 + 𝑏3 > Đáp số √ √ − 11 + 11 với 𝑥 ∈ R Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số 𝑎3 , 𝑎3 , số 𝑏3 , 𝑏3 , 1, ta có √ 𝑎3 + 𝑎3 + > 𝑎3 𝑎3 = 3𝑎2 𝑏3 + 𝑏3 + > 3𝑏2 ⇒ (𝑎3 + 𝑎3 + 1) + (𝑏3 + 𝑏3 + 1) > 3(𝑎2 + 𝑏2 ) = ⇒ 2(𝑎3 + 𝑏3 ) + > ⇒ 𝑎3 + 𝑏3 > Dấu "=" xảy 𝑎 = 𝑏 = Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E):4𝑥2 + 9𝑦 = 36 Xác định tọa độ tiêu điểm tọa độ đỉnh (E) Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) cho 𝑀 𝐹12 = 𝑀 𝐹2 Đáp số √ √ Tiêu điểm 𝐹1 (− 5, 0), 𝐹2 ( 5, 0) Các đỉnh 𝐴1 (−3, 0), 𝐴2 (3, 0), 𝐵1 (0, −2), 𝐵2 (0, 2) 4 𝑀 (− √ , √ ), 𝑀 (− √ , − √ ) 5 5 Bài 5: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d :3𝑥 − 4𝑦 − 14 = Gọi A điểm thuộc đường thẳng d có hồnh độ 10 Viết phương trình đường thẳng d’ vng góc với đường thẳng d A Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc trục hồnh tiếp xúc với đường thẳng d A √ Cho điểm 𝐷 (7; 8) Tìm điểm B thuộc đường thẳng d cho 𝐷𝐵 = 5, biết B có tung độ âm Đáp số 𝐴(10, 4), (𝑑′ ) : 4𝑥 + 3𝑦 = 52 (𝐶) : (𝑥 − 13)2 + 𝑦 = 25 𝐵(2, −2) Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp.hcm GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II - khối 10 trường phổ thơng khiếu năm học 2013-2014 mơn thi: TỐN thời gian: 90 phút Bài 1: (3 điểm) Giải bất phương trình hệ phương trình 24 − 7𝑥 61 𝑥 √ − 8𝑥 + 12 ⎧𝑥2 − 4𝑥 + + 2𝑥 > ⎨𝑥2 − 2𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑦 − 𝑥 √ ⎩ 𝑥 + √𝑦 = Đáp số 𝑆 = [︂ (−∞, −3] )︂ ∪ (2, 4] ∪ (6, +∞) , +∞ 𝑆 = 3 (𝑥, 𝑦) = (4, 4) Hướng dẫn Điều kiện: 𝑥 > 0, 𝑦 > ⎧ ⎧ ⎧ ⎨(𝑥 − 𝑦) (𝑥 + 2𝑦 + 1) = ⎨(𝑥 − 𝑦) = ∨ (𝑥 + 2𝑦 + 1) = ⎨𝑥2 − 2𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑦 − 𝑥 ⇔ ⇔ ⎩√𝑥 + √𝑦 = ⎩√𝑥 + √𝑦 = ⎩√𝑥 + √𝑦 = ⎧ ⎧ ⎨𝑥 − 𝑦 = ⎨𝑥 = 𝑦 ⇔ √ ⇔ ⇔𝑥=𝑦=4 ⎩ 𝑥 + √𝑦 = ⎩2√𝑥 = Vậy hệ phương trình có nghiệm (𝑥, 𝑦) = (4, 4) Bài 2: (2 điểm) Cho hệ bất phương trình ⎧ ⎨𝑥2 − 3𝑥 − > ⎩(𝑥 − 𝑚) (𝑥 − 𝑚 − 1) Giải hệ 𝑚 = Tìm m để hệ có nghiệm Đáp số 𝑆 = ∅ 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = Hướng dẫn: 𝑆1 = (−∞, −1] ∪ [4, +∞) 𝑆2 = [𝑚, 𝑚 + 1] Hệ có nghiệm ⇔ 𝑆1 ∩ 𝑆2 có phần tử ⇔ 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 + = ⇔ 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG Bài 3: (2 điểm) Tìm m để bất phương trình (𝑚 − 1) 𝑥2 + (𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 − > vơ nghiệm √ √ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 𝑦 = − 𝑥 + 𝑥 + Đáp số 𝑚 Tập xác định: 𝐷 = [−3, 5] Tìm Max: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm 𝑎, 𝑏: (𝑎 + 𝑏)2 2(𝑎2 + 𝑏2 ), ta có: √ √ √ √ ( − 𝑥 + 𝑥 + 3)2 2[( − 𝑥)2 + ( 𝑥 + 3)2 ] √ √ ⇒ ( − 𝑥 + 𝑥 + 3)2 2.(5 − 𝑥 + 𝑥 + 3) = 16 √ √ ⇒ 5−𝑥+ 𝑥+364 ⇒𝑦64 Suy 𝑀 𝑎𝑥𝑦 = √ 5−𝑥= √ 𝑥 + ⇔ 𝑥 = Tìm Min: √︀ √ √ Ta có 𝑦 = ( − 𝑥 + 𝑥 + 3)2 = + (5 − 𝑥)(𝑥 + 3) > √ Hơn nữa, 𝑦 > 0, suy 𝑦 > 2 √︀ √ ⇒ Min 𝑦 = 2 (5 − 𝑥)(𝑥 + 3) = ⇔ 𝑥 = −5 ∨ 𝑥 = √ Bài 4: (1 điểm) Lập phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai 𝑒 = (︃ √ )︃ 35 qua điểm 𝑀 1; Đáp số: (𝐸) : 𝑥2 𝑦 + =1 36 Bài 5: (2 điểm) Cho điểm 𝐴 (8; 7) đường thẳng d:𝑥 − 2𝑦 − = Viết phương trình đường thẳng d’ biết d’ qua A d’ song song với d Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc đường thẳng 𝑥 = 2, có bán kính √ (C) tiếp xúc với đường thẳng d, biết I có tung độ dương Đáp số (𝑑′ ) : 𝑥 − 2𝑦 + = (𝐶) : (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 20 Page of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp.hcm GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II - khối 10 trường phổ thông khiếu năm học 2014-2015 môn thi: TOÁN thời gian: 90 phút Bài 1: (4 điểm) Giải bất phương trình hệ phương trình 13𝑥 − 1 +1>0 𝑥 √ − 3𝑥 − 10 √ 𝑥2 − 3𝑥 + > 𝑥 − ⃒ ⃒ ⃒⎧ 𝑥 + 3𝑥 + 1⃒ 𝑥 + ⎨𝑥𝑦 − 2𝑥 + 𝑦 = √ ⎩ 𝑥 + + √𝑦 + = Đáp số: 𝑆 = (−∞, −11] ∪ (−2, 1] ∪ (5, +∞) 𝑆 = [3, +∞) ∪ {1} √ 𝑆 = [ − 2, 0] Điều kiện xác định : 𝑥 > −2, 𝑦 > −7 ⎧ ⎧ ⎧ ⎨𝑥𝑦 − 2𝑥 + 𝑦 = ⎨𝑥(𝑦 − 2) + (𝑦 − 2) = ⎨(𝑥 + 1)(𝑦 − 2) = ⇔ ⇔ ⎩√𝑥 + + √𝑦 + = ⎩√𝑥 + + √𝑦 + = ⎩√𝑥 + + √𝑦 + = ⎧ ⎧ ⎧ ⎨𝑥 = −1 ⎨𝑦 = ⎨𝑥 = −1 ∨ 𝑦 = ⇔ ∨ ⇔ √ ⎩√𝑦 + = ⎩√𝑥 + = ⎩ 𝑥 + + √𝑦 + = ⎧ ⎧ ⎨𝑥 = −1 ⎨𝑦 = ⇔ ∨ ⎩𝑦 = 18 ⎩𝑥 = Vậy, hệ phương trình có nghiệm (𝑥, 𝑦) = (−1, 18), (𝑥, 𝑦) = (7, 2) ⎧ 𝑥+5 ⎪ ⎨ >3 Bài 2: (1 điểm) Giải hệ bất phương trình 𝑥 − 12 ⎪ ⎩ 61 + 2𝑥 − 𝑥2 Đáp số: 𝑆 = (1, + √ 2] ∪ (3, 4] Bài 3: (1 điểm) Định m để bất phương trình (𝑚 − với 𝑥 ∈ R Đáp số: 𝑚 > Page of 13 1) 𝑥2 > + (𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 − Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG Bài 4: (1 điểm) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > thỏa mãn: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐 Chứng minh )︂ (︂ 1 𝑎+𝑏+𝑐>3 + + 𝑎 𝑏 𝑐 Đáp số: Với ba số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐, ta có: )︂ (︂ 1 𝑎+𝑏+𝑐>3 + + 𝑎 𝑏 𝑐 ⇔ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑎𝑏𝑐 > 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) ⇔ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 > 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐) ⇔ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 > 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 (luôn đúng) (︂ )︂ 1 Vậy 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > + + 𝑎 𝑏 𝑐 √ Dấu "=" xảy 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = √ Bài 5: (1 điểm) Lập phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai 𝑒 = chu vi hình chữ nhật sở (E) 20 Đáp số: (𝐸) : 𝑥2 𝑦 + =1 Bài 6: (2 điểm) Cho hai điểm 𝐴 (6; 2) đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 − 5𝑦 + = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ∆ vng góc với d Gọi B điểm nằm d có hồnh độ Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với đường thẳng d B (C) qua A Đáp số: ∆ : 5𝑥 + 2𝑦 = 34 (𝐶) : (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 3)2 = 29 Page 10 of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp.hcm GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II - khối 10 trường phổ thơng khiếu năm học 2015-2016 mơn thi: TỐN thời gian: 90 phút Bài 1: (2 điểm) Giải bất phương trình hệ phương trình sau: √ ⎧𝑥2 + 𝑥 + 2𝑥 − ⎨𝑥2 + 𝑦 = 𝑥𝑦 + √ ⎩ 𝑥−𝑦 =5+𝑦 Đáp số 𝑆 = [2, +∞) Điều kiện xác định 𝑥 − 𝑦 > Với điều kiện trên, ta ⎧ có: ⎧ ⎧ ⎨(𝑥 − 1) (𝑥 − 𝑦 + 1) = ⎨(𝑥 − 1) = ∨ (𝑥 − 𝑦 + 1) = ⎨𝑥2 + 𝑦 = 𝑥𝑦 + ⇔ ⇔ ⎩√𝑥 − 𝑦 = + 𝑦 ⎩√𝑥 − 𝑦 = + 𝑦 ⎩√𝑥 − 𝑦 = + 𝑦 ⎧ ⎧ ⎧ ⎪𝑥 = ⎪ ⎨𝑥 − = (𝑑𝑜 𝑥 − 𝑦 > ) ⎨𝑥 = ⎨ ⇔ √ ⇔ √ ⇔ 𝑦+5>0 ⎩ 𝑥−𝑦 =5+𝑦 ⎩ 1−𝑦 =𝑦+5 ⎪ ⎪ ⎩ − 𝑦 = (𝑦 + 5)2 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨𝑥 = ⎨𝑥 = ⇔ 𝑦+5>0 ⇔ ⎪ ⎩𝑦 = −3 ⎪ ⎩ 𝑦 = −3 ∨ 𝑦 = −8 Vậy hệ phương trình có nghiệm (𝑥, 𝑦) = (1, −3) √︀ Bài 2: (1 điểm) Tìm m để hàm số 𝑦 = (𝑚 − 1) 𝑥2 − (𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 + xác định R Đáp số 𝑚 > Bài 3: (1 điểm) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 số thực không âm thỏa 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = Chứng minh 𝑎+𝑏+𝑐6 √ (1 + 𝑎𝑏) Lời giải: Với 𝑥, 𝑦 > 0, ta có (𝑥 + 𝑦)2 2(𝑥2 + 𝑦 ) Page 11 of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG Do đó, với số thực khơng âm 𝑎, 𝑏, 𝑐, ta có: [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐]2 2[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝑐2 ] = 2(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏) = 2(1 + 2𝑎𝑏) √ √ ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 2𝑎𝑏 Mà √ + 2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 Điều có + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 + 𝑎2 𝑏2 Suy 𝑎+𝑏+𝑐6 √ (1 + 𝑎𝑏) (đpcm) Dấu "=" xảy 𝑎 = 𝑏 = Bài 4: (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm 𝐴 (−1; 3) , 𝐵 (1; −1) Viết phương trình đường trung trực đoạn AB Viết phương trình đường trịn (C) qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng 𝑑 : 𝑥 + 2𝑦 + = Tìm tọa độ điểm M giao điểm hai tiếp tuyến A B (C) Đáp số 𝑥 − 2𝑦 + = (𝐶) : (𝑥 + 2)2 + 𝑦 = 10 𝑀 (2, 2) Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm 𝐴 (0; 2) Viết phương trình tắc elip (E) qua A có tổng khoảng cách từ A tới hai tiêu điểm khoảng cách từ A tới đường thẳng ∆ : 3𝑥 + 4𝑦 + 22 = Đáp số (𝐸) : 𝑥2 𝑦 + =1 Bài 6: (2 điểm) Cho hệ bất phương trình sau (𝐼) : ⎧ ⎪ 𝑥>0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝑦 > ⎪ ⎪ 𝑥−𝑦+1>0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3𝑥 + 2𝑦 12 Xác định miền nghiệm hệ (I) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦 miền nghiệm hệ (I) Đáp số Page 12 of 13 Sưu tầm biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG Miền nghiệm tứ giác có đỉnh 𝑂(0, 0), 𝐴(0, 1), 𝐵(2, 3), 𝐶(4, 0) Ta có 𝑓 (0, 0) = 0, 𝑓 (0, 1) = 4, 𝑓 (2, 3) = 18, 𝑓 (4, 0) = 12 ⇒ Max 𝑓 = 18 đạt 𝐵, Min 𝑓 = đạt O Page 13 of 13