Ham so luy thua ham so mu ham so logarit

LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARIT Dạng toán 1 BIẾN ĐỔI LŨY THỪA VÀ MŨ Lũy thừa với số mũ nguyên dương na a a a,n thừa số a (với mọi a và n N ) Lũy thừa với số mũ 0 và nguyên âm 0a 1 và n n 1 a a   (với a[.]

LŨY THỪA, MŨ VÀ LƠGARIT Dạng tốn BIẾN ĐỔI LŨY THỪA VÀ MŨ - Lũy thừa với số mũ nguyên dương: a n  a.a a,n thừa số a (với a n  N  ) - Lũy thừa với số mũ nguyên âm: a0  a  n  (với a  n  N  ) n a - Lũy thừa với số mũ hữu tỉ; m n a  a  n a m a (với a  r  r m ,n  Z ,n  N  ) n - Lũy thừa với số mũ thực: a  lim a rn (với a  0,  R,rn  Q limrn   ) - Căn bậc n: Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với a) b  Khi n chẵn, b  n a   n b  a (với a  ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0,b  0,  tùy ý, ta có: a a   a   ;a : a   a  ;  a   a   a.b    a b ;  a : b   a : b  - Quan hệ so sánh: Nếu a  thì: a  a      Nếu  a  thì: a  a      Nếu  a  b thì: a  b    0;a  b    - Biến đổi bậc cao: Với hai số không âm a, b, hai số nguyên dương m, n hai số nguyên p, q tùy ý, ta có: n ab  n a n b; n Nếu p q  n m a na  n b   , n a p  b b n  a  a  0 ; n n a p  m a q  a   Đặc biệt Bài toán 1: Thực phép tính: n m n a  mn a a  mn a m   A  27     16  0 ,75 B   0,5   250 ,5 ; 4  1  6250 ,25     4 1  19  3  3 Giải A  3 3 4    2   B   2   5   5  4 1 4 2   32  23   12   2             19 27 3 19 19 3  24      11    10 27 27 27 2 Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức sau: C  312  D  42 :9 2; 3 1 4  2 Giải C  312  D  42 :9 4  312 1  2 : 32  312  24 22 3 2  22  31  3 2 2  22  Bài toán 3: Viết biểu thức sau dạng lũy thừa số với số mũ hữu tỉ: 23 2 K ; 3 L  a a a a :a 11 16 a  0 Giải 1 1 1 3 1         6 2 2 2             K                                11 15 11  21 41 81 161  16 16 16 L   a a a a  : a  a : a  a   Bài toán 4: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a b a  ab M4  a4b a4b N a3  a3 a a  a a Giải  M a4b  a4b a4b  a 4 a  ab a4b  a3  a3 a4b4a 4b  N a 1  a  a 1  a   a  a  1  a   1  a   1  a   2a  a  1 Bài toán 5: Rút gọn biểu thức: S a  a2  b a  a2  b , với a,b  0,a  b  2 Giải Đặt u  a  a2  b a  a2  b ,v  u  v   2 b u  v  a;u 2v  nên b  4u 2v2 nên a  a2  b a  a2  b a  b  u  v  2uv  u  v   2 2 Tương tự: a  b  u  v2  2uv  u  v  a  a2  b a  a2  b  2 Bài toán 6: Chứng minh a)     b)  80   80  Giải a) Vì     nên       42  42        16  12  : Cách khác: Ta có          1 2 b) Đặt x   80   80 Ta có: x3   80   80  3  80  80   80   80  18  3 81  80.x  18  3x Do có phương trình: x3  3x  18    x    x  3x    x  : đpcm    72  32 Cách khác:      80      Nên  80   80  3 3   2 Chú ý: Có thể dùng S  3,P  để tìm nghiệm X  3X   Bài tốn 7: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: b)    a) 15  6  15  6 Giải a) Ta có     18  12  12  30  12 nên 15  6  15  6  2 3 2  6 2 Cách khác: Đặt 15  6  15  6  x,x  Ta có x  30  225  216  36 nên chọn x  b) Ta có:      2  1   Tương tự:   1   3 Do       1    2 Cách khác: Đặt x     Ta có:  10    (7   5    5    10  3x x3      3  5 3 )(7  )  Ta có phương trình:   x x3  3x  10   x  2 Bài toán 8: Trục mẫu   2x    x  2 1 ;   13  48 Giải 3   3 2 2 Vì  13  48      33  23   2  1  42   2   nên  1  13  48     1 1    Bài toán 9: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: x y z Nếu ax n  by n  cz n ,    n axn1  by n1  cz n1  n a  n b  n c Giải VT  n  1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z x y z  1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm x y z 13  2  Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức P  x    x  x x  ,x    a) Tìm hệ số x13 b) Tìm số hạng khơng chứa x Giải 13   23  Số hạng tổng quát P  x    x  x x  là:   13  k   23  Tk 1  C  x    k 13 x x k C x a) Hệ số x13 ứng với k 13 13k  52 13k  52 10  286  13  k  10 là: T11  C13 b) Số hạng không chứa x ứng với 13k  52   k  T5  C134  715 DẠNG TỐN BIẾN ĐỔI LƠGARIT - Lơgarit số a:   loga b  a  b(  a  b  ) - Lôgarit số 10: log10 b  lg b hay log b - Lôgarit số e: loge b  lnb  e  2,7183  - Tính chất: loga  loga ab  b với a  0,a  aloga b  b với a  0,b  0,a  - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: loga  b.c   loga b  loga c log a b 1  log a b  log a c,log a     log a c c c loga b   loga b (với  ), log a n b  log a b  n  N *  n - Đổi số điều kiện xác định: logb x  log a x hay loga b.logb x  loga x log a b logb a  1 hay loga b.logb a  1;log a b  log a b  log a b - Quan hệ so sánh với a  0,a  1,b  0,c  Nếu a  thì: loga b  loga c  b  c Nếu  a  thì: loga b  loga c  b  c Nếu a  thì: loga b   b  Nếu  a  thì: loga b   b  loga b  loga c  b  c Bài tốn 1: Tính: a) log 125; log0 ,5 ; log b) log3 18 ;3 log3 1 ;   8 log ; log 36 64   ;    32  log0 ,5 Giải 3 1 a) log 125  log    3; log0 ,5  log0 ,5 0,5  5 5 2 log 1 1  log    3; log 36  log    2 64 4 6 6  b) 3log 18  18; 35 log  3log 1   8 log2      32    23  log0 ,5 log2  2   5           25  25  32 3  log2 3  2log2  3  125 log 25  25  32 Bài tốn 2: Tính: a) log5 36  log 12 log5 b) Giải 36 log6  101log  8log2 a) log5 36  log5 12 log5   log5 2log5 b) 36 log  101log  8log  log  10log  2log  52   33  6 10 Bài tốn 3: Tính gọn  a a a     a   b) log  log 0,375  2log 0,5625 a) log a  Giải 173  a a.5 a 2   a a.5 a 60 a)  a  a  log a 4  a a   173   60  b) log  log 0,375  2log 0,5625  log 23  log 0,53.3   2log 0,54.32  log 23  log 23  log  2log 2  2log  log 4  log  log 16 Bài toán 4: Tính gọn: A  log3 6.log8 9.log6 B  log3 2.log4 3.log5 4.log6 5.log7 6.log8 Giải 1 A  log3 6.log6 2.log8  log3 log  log  3 B  log3 2.log4 3.log5 4.log6 5.log7 6.log8  log log log log log log7 log 1   log8  log 2  log log log log log7 log log 3 Bài tốn 5: Tìm x biết: log5 x  2log5 a  3log5 b a) log x  log a  log b 2 Giải a2 a2 a) log5 x  log5 a  log5 b  log5  x  b b   b) log x  log a  log b  log  a b   x  a b Bài toán 6: 2   b) Tính log25 15 theo a  log15 a) Tính log4 1250 theo b  log2 Giải a) log25 15  log15 25  1   2log15  log15 15  log15  1  a  b) log4 1250  log2  54   2log   2b  2 Bài tốn 7: a) Tính log 50 theo log3 15  a,log3 10  b b) Tính log25 24 theo log6 15  x,log12 18  y Giải a) log 50  log 50  2log3 50  2log3 10  2log3 32  2log3 10  2log3 15  2log3 10   log3 15  1  2b   a  1  2a  2b  b) Ta có x  log 2.32  2log log 3.5 log  log y  2   log 2  log log 2.3  log Suy log2  2y 1 x   y  xy ;log  2 y 2 y Do log25 24  log 23.3 5 y  log  x   y  xy  Bài tốn 8: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: alogc b  blogc a a) c) n  n  1 1 1      log a b log a2 b log a3 b log an b 2log a b Giải a) alog b  blog a c b) b logc b  blogc b.logb a  blogc a log a x log a x   log a ab  log a a  log a b   log a b log ab x log a x log a ab b) log a x   log a b log ab x b) c) VT  n     log a b log a b log a b log a b       n  n  n  1  log a b 2log a b Bài toán 9: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a2  b2  7ab log7 ab   log7 a  log7 b  b) Nếu a2  c2  b2 logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a Giải a) a  b2  7ab   a  b   9ab  ab  ab  đpcm b) Theo giả thiết: a   b  c  b  c  Xét a  : Xét a  loga  b  c   log a  b  c    1  2 logbc a logbc a nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a   lg x 1 12  Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức x  x  , biết số hạng thứ tư 200     Tìm x ? Giải ĐK: x  0,x  10 6 k 1  k    2 lg x 1 k 2 lg x 1 lg x 1 12 12 12   Ta có: x  x x  x    C6 x x  k 0       Số hạng thứ ứng với k = 3, theo giả thiết 200 nên: C x  2 lg x 1  200  x lgx 4lg x   10   lgx lg x  lg x   x  10 lg x   lg x  3lg x      (Chọn) 4 lg x  4  x  10 DẠNG TOÁN HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LÔGARIT Hàm số lũy thừa y  x : Hàm số y  x đồng biến 0;    ; nghịch biến 0;    Hàm số mũ: y  a x : Tập xác định R, nhận giá trị thuộc 0;   a  0 a  lim a x   ; lim a x   x  0  a  x   a  Đồng biến R a  , nghịch biến R  a  Đồ thị cắt trục tung điểm 0;1 , nằm phía trục hồnh nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Hàm số lôgarit y  loga x : Liên tục tập xác định 0;  , nhận giá trị thuộc R  a   a  lim loga x   ; lim log a x   x   khi0  a  x0  khi0  a  Hàm số y  loga x đồng biến 0;  a  , nghịch biến 0;   a  Đồ thị cắt trục hoành điểm 1;0  , nằm bên phải trục tung nhận trục tung làm tiệm cận đứng Các giới hạn: x  ln 1  x  ex  1  lim     e; lim  1; lim  x   x 0 x 0 x x x   x0  Đồ thị quan hệ đối xứng: y  4.2 x  x2  f  x   : Tịnh tiến đồ thị f  x  sang trái đơn vị y  2 x   f  x  : Lấy đối xứng đồ thị f  x  qua Ox x 1 y      x  f   x  : Lấy đối xứng đồ thị f  x  qua Oy 2 x y   f  x  hàm số chẵn, x  y  f  x  nên lấy phần lấy đối xứng qua Oy Bài tốn 10: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x   log2 x Suy đồ thị hàm số y  log2 2x, y  log2  x   , y  log2   x  , log x, y  log2 x ABC Giải y  f  x   log2 x,D  0;   lim y  , lim y    TCĐ: x  (khi x   ) x  y  x 0  0,x  nên hàm số đồng biến  0;   x ln BBT Cho x   y  1 x   y  0,x   y  Ta có: y  log2 2x  f  x   : Tịnh tiến đồ thị f  x  lên đơn vị y  log2  x    f  x   : Tịnh tiến đồ thị f  x  sang phải đơn vị y  log2   x   f   x  : Lấy đối xứng đồ thị f  x  qua Oy y  log x   f  x  : Lấy đối xứng đồ thị f  x  qua Ox y  log2 x  f  x  hàm số chẵn, x  y  f  x  nên lấy phần lấy đối xứng qua Oy Dạng toán ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đạo hàm  x    x 1 , u    u 1u;  x   n n  a   a x x n x  x   , n u    n 1 u' n n u n1 , với u  ln a;  e x   e x ;  a u   a uu ln a;  eu   eu u  loga x   1 ;  ln x   ;  ln x   x ln a x x  loga u   u u u ;  lnu   ;  ln u   uln a u u Khảo sát hàm số: xét tính đơn điệu, cực trị - Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a;b  , đó: Nếu f   x   với x   a;b  hàm số f đồng biến  a;b  Nếu f   x   với x   a;b  hàm số nghịch biến  a;b  Khi f   x   số hữu hạn điểm  a;b  kết - Cho y  f  x  liên tục khoảng  a;b  chứa x0 có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ;b  : Nếu f   x  đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f   x  đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y  f  x  có đạo hàm cấp hai khoảng  a;b  chứa x0 : Nếu f   x0   f   x0   f đạt cực tiểu x0 Nếu f   x0   f   x0   f đạt cực đại x0 Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y   x  1 e2 x b) y  2x x  2 x x  2 x c) y  x5  x  x x Giải a) y  e2 x   x  1 2e2 x   2x  1 e2 x b) 2 y  x 2  ln   x ln  x   x    x   x  x ln   x ln  2 x  2 x    x  2 x  2 x  2 x  x  2 x  2 ln2  2 ln2 x  2 x  c) Ta có y  x5  x  x x  x5  x  e xln x nên y  5x4  x ln  e xln x  ln x  1  5x4  x ln  x x ln x  1 Bài tốn 2: Tìm đạo hàm hàm số sau:  a) y   3x   ln x b) y  ln x  x  a 2  c) y  ln  x  1 x Giải a) y  3ln2 x  x 1 b) y   3x   ln x x x2  a2  x  x2  a2 x  a2 ln  x  1 c) y   x 1 x2 Bài tốn 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y   2x  1  tan e x  b) y  ln3 5x c) y  Giải a) y  2  2x  1  1 ln 5x  y   ln 5x   1  tan2 e x  e x b) c) Đặt u   3ln2 5x 5 ln12 5x  5 ln 5x x2 u  x3   y  u    x3 3 u2 1  x3  nên y  u u 2x  3u  x6  x3  x3 Bài toán 4: Chứng minh: a) Nếu y  ln xy   e y 1 x b) Nếu y  e4 x  2e x thì: y  13y  12y  Giải a) y   x suy xy   1  ey x 1 x 1 x 1 b) y  4e4 x  2e x , y  16e4 x  2e x , y  64e4 x  2e x nên: y  13y  12 y  64e4 x  2e x   13  4e4 x  2e x   12  e4 x  2e x    x3  x3 Bài tốn 5: Tìm đạo hàm cấp n hàm số c) y  ln 6 x2  x  1 b) y  ln  x   a) y  5kx Giải a) y   k ln  5kx , y   k ln  5kx Ta chứng minh quy nạp: y n   k ln  5kx n b) Với x  : y  1 1.2 ; y  ; y  x5  x  5  x  5 Ta chứng minh quy nạp: y  n  1  n  1 !  n  x  5 n 1 c) Với x   x  : y  ln   2x  1 3x  1   ln 2x   ln 3x  1 y  1  2x  3x  1  Ta chứng minh quy nạp    ax  b  Suy y  n  m  1 m! a m  m 1  ax  b  m 1  n  1 ! n 1  1  n  1 ! 3n 1    n n  2x  1  3x  1 n 1 n 1 Bài toán 6: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y  ex x b) y  x2 e x Giải e x  x  1 a) D  R\ 0 , y  , y   x  x2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ;0  0;1 , đồng biến khoảng 1;  , đạt CT 1;e  b) D  R, y   2x  x  e x , y   x  x  Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2  , nghịch biến khoảng  ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e2  , CT 0;0  Bài tốn 7: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y  ln  x  1 b) y  x  ln 1  x  Giải a) D   ; 1  1;   , y  2x x 1 Khi x  1 y  nên hàm số nghịch biến  ; 1 Khi x  y  nên hàm số đồng biến 1;  Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y   x  , y   x  1 x 1 x y  0,x  0;   nên hàm số đồng biến  0;  y  0,x   1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y  1  x   nên đạt cực tiểu x  0, yCT  DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT -Tính đạo hàm hàm số để xét tính đơn điệu, lập bảng biến thiên hàm số để chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN - Sử dụng bất đẳng thức bản, đánh giá đạo hàm cấp hàm số, phối hợp biến đổi tương đương, so sánh, - So sánh số mũ: a  0,a  Nếu a  thì: a M  a N  M  N Nếu  a  thì: a M  a N  M  N - So sánh lũy thừa mũ:  a  b a x  b x  x  0;a x  b x  x  - So sánh số logarit: a  0,a  Nếu a  thì: loga E  loga F  E  F  Nếu  a  thì: loga E  loga F   E  F Bài toán 1: So sánh số: a) b)  15 10  28 Giải a) Ta có  2  23  8; Do  nên ta có b)  3  32       , suy 6 233  15      10  28 Bài toán 2: So sánh số:  a)   2 2.2   b)    3 14 33 Giải a)   2  7  ; 2.2   b) Ta có    3 14  2 1   3 14 2  14 1  Vậy   2 33    3   2.2 14 Ta có         18  20 : 1 Vì số   nên   3 2 1   3      3  33 Bài toán 3: So sánh số: a) log3 log b) 3log 1,1 log 0,99 6 Giải a) Ta có log3  log4  , suy log3  log4 b) Ta có log6 1,1  nên 3log 1,1  30  (vì  ) log6 0,99  nên log 0,99   (vì  ) Suy 3log 1,1  log 0,99 6 Bài toán 4: So sánh số: a) 3log  log với 2ln 3 b) log log Giải a) 3log  log  log  23.3   log 24  log 25  2log  2ln b) Vì   nên log  log  5 Vì 3   nên log  log  5 Từ suy log  log Bài toán 5: Chứng minh: a) log2  log3 b) am  bm  cm , m  1,a  b  c,a  0,b  Giải a) log2  log3  log3 2.log3   log3  log 2.log  : Đúng log3 1  log3  log3   log3  2.4   log3  2 m m a b b) Ta có a  b  c        c c m m m a c b c Mà a  b  c,a  0,b  nên   1,0   m a a Suy với m       c c m m b b ;     c c m a b a b Từ ta có:         c c c c Bài toán 6: Chứng minh bất đẳng thức sau với x  b) ln 1  x   x  a) e x  x  x2 Giải a) Xét hàm số f  x   e x  x  1,x  f   x   e x   0,  x  nên f đồng biến  0;  f liên tục 0;  nên f đồng biến 0;   : x   f  x   f 0   : đpcm ... đương, so sánh, - So sánh số mũ: a  0,a  Nếu a  thì: a M  a N  M  N Nếu  a  thì: a M  a N  M  N - So sánh lũy thừa mũ:  a  b a x  b x  x  0;a x  b x  x  - So sánh số logarit: ...   E  F Bài toán 1: So sánh số: a) b)  15 10  28 Giải a) Ta có  2  23  8; Do  nên ta có b)  3  32       , suy 6 233  15      10  28 Bài toán 2: So sánh số:  a)  ... b.logb x  loga x log a b logb a  1 hay loga b.logb a  1;log a b  log a b  log a b - Quan hệ so sánh với a  0,a  1,b  0,c  Nếu a  thì: loga b  loga c  b  c Nếu  a  thì: loga b 