Đang tải... (xem toàn văn)
luanvan170308 BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC HAI Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 60 46 01 LUẬ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC HAI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Tp Hồ Chí Minh – 2008 Luan van LỜI CẢM ƠN ðầu tiên, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN – Khoa Toán – Tin học, Trường ðại học Sư Phạm ñã dành thời gian cơng sức tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn ñến quý Thầy Cô Hội ñồng chấm luận văn ñã dành thời gian ñọc, chỉnh sửa ñóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin học, Phịng KHCN – SðH q Thầy Cơ giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa học Và để có kết ngày hơm nay, tơi giúp đỡ tận tình Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, nhận ñược lời ñộng viên, ñóng góp ý kiến bạn ñồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường ðH Sư phạm Tp.HCM bạn bè người thân ðặc biệt, xin dành tặng kết cho ba mẹ gia đình thân u – người ln tạo điều kiện, hỗ trợ động viên tơi vượt qua khó khăn bước ñường nghiên cứu khoa học Cuối cùng, q trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Mọi ý kiến đóng góp, xin gửi theo ñịa chỉ: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM 280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM Email: nguyenvuthunhan@gmail.com Xin chân thành cảm ơn Luan van Mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục .3 Danh mục ký hiệu MỞ ðẦU .8 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN .10 Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT 12 2.1.1 ðịnh nghĩa 2.1.1 .12 2.1.2 ðịnh nghĩa 2.1.2 .12 2.1.3 Bổ ñề 2.1.1 (bổ ñề tính giải phương trình vi phân hàm khơng nhất) 13 2.1.4 Bổ ñề 2.1.2 .15 2 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN PHI TUYẾN17 2.2.1 ðịnh nghĩa 2.2.1 .17 2.2.2 ðịnh nghĩa 2.2.2 .17 2.2.3 Mệnh ñề 2.2.1 ([8]) 17 2.2.4 Mệnh ñề 2.2.2 ([8]) 18 2.2.5 Bổ ñề 2.2.1 .18 2.2.6 Mệnh ñề 2.2.3 19 2.2.7 Mệnh đề 2.2.4 (Tính chất tập V0 ((a; b); ℓ) 19 2.2.8 Bổ ñề 2.2.2 20 Luan van Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM .23 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) 23 3.1.1 ðịnh lý 3.1.1 23 3.1.2 Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 23 3.1.3 Hệ 3.1.1 .27 3.1.4 Hệ 3.1.2 .28 3.1.5 ðịnh lý 3.1.2 30 3.1.6 Bổ ñề 3.1.2 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 30 3.1.7 ðịnh lý 3.1.3 34 3.1.8 Bổ ñề 3.1.3 .35 ðịnh lý 3.1.3’ .39 3.1.9 Hệ 3.1.3 .39 3.1.10 Hệ 3.1.4 42 BÀI TỐN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI PHẦN CHÍNH KHƠNG TĂNG 45 3.2.1 ðịnh lý 3.2.1 45 3.2.2 Bổ ñề 3.2.1 .45 3.2.3 Bổ ñề 3.2.2 .47 3.2.4 Hệ 3.2.1 .51 3.2.5 Hệ 3.2.2 .55 3.2.6 Hệ 3.2.3 .56 3.2.7 Hệ 3.2.4 .58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Luan van Danh mục ký hiệu R: tâp hợp số thực R+ = [0, + ∞) N: tập hợp số tự nhiên C ([a ; b]; R) không gian ánh xạ liên tục u: [a, b] → R [a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b} C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0} C1([a ; b]; R) không gian ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R với chuẩn: u C1 = u C + u' C { } C01 ([ a ; b]; R) = u ∈ C1 ([a; b]; R) : u (a) = 0, u (b) = ' ([a ; b]; R) không gian hàm liên tục tuyệt ñối [a ; b], C với ñạo hàm cấp liên tục tuyệt ñối, hàm u: [a ; b] → R với b chuẩn: u ' C = u ( a ) + ∫ u '( s ) ds a ' C loc ( I ; D ) (với I ⊂ [a ; b] D ⊂ R) tập hợp ánh xạ u: I →D ' ( I0 ; D) với tập compact I0 ⊂ I liên tục tuyệt ñối I cho u ∈ C ' ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈ C ' ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b} C L ([ a; b ]; R ) không gian hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue b [a ; b] với chuẩn: f L = ∫ f ( s ) ds a L ( ( a; b ) ; R+ ) = { f ∈ L(( a; b); ℝ ) : f (t ) ≥ 0, ∀a < t < b} Luan van LP((a ; b); R), p> 1, không gian hàm f : (a ; b) → R, f P ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , với chuẩn f 1/ p Lp b p = ∫ f ( s ) ds a K ( ( a; b ) xR n ; D ) , n ∈ N , D ⊂ R , tập hợp ánh xạ f : ( a; b ) x R n → D thỏa mãn ñiều kiện Caratheodory ñịa phương, nghĩa là: f (., x ) : ( a; b ) → D ño ñược với x ∈ Rn sup { f (., x ) , x ∈ D } ∈ L ( ( a;b ) , R ) + với tập compact D0 ∈ R n f ( t ,.) : R n → D liên tục hầu khắp nơi với t ∈ (a ; b) M((a ; b); D), với D ⊂ R, tập hàm ño ñược f: (a ; b) → D L0([a;b]) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) tuyến tính, bị chặn thỏa mãn điều kiện: { sup ℓ ( v )(.) : v C } = ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) (*) L1((a ; b)) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) liên tục, dương thỏa mãn ñiều kiện (*) K((a ; b)) tập hợp toán tử F: C1 ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên tục thỏa mãn ñiều kiện: { sup F (v )(.) : v C1 } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , ∀r > ' ((a ; b)) tập hợp toán tử F: C K ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên tục thỏa mãn ñiều kiện: { sup F ( v )(.) : v ' C } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) , ∀r > Luan van σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) tốn tử xác định bởi: t σ ( p)(t ) = exp ∫ p( s) ds a +b t σ α ( p)(t ) = σ ( p )( s ) ds σ ( p )(t ) α∫ t b σ ab ( p)(t ) = σ ( p)( s) ds ∫ σ ( p )( s)ds σ ( p)(t ) ∫a t [ p ]+ = ½ ( p + p ) [ p ]− = ½ ( p − p ) Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không giảm nếu: Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không tăng nếu: Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b Nghiệm toán: u”( t) = F (u) (t) ' ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình với F∈K((a ; b)) hàm u ∈ C hầu khắp nơi (a ; b) - Luan van MỞ ðẦU Lý chọn ñề tài Lý thuyết tốn biên cho phương trình hàm hình thành phát triển từ kỷ XVIII ngày tìm ứng dụng rộng rãi lĩnh vực kinh tế khoa học kỹ thuật Song, từ năm 1997, việc nghiên cứu phát triển theo hướng thực phát triển mạnh thu ñược nhiều kết Các kết ñược nghiên cứu nhóm nhà tốn học Grudia Cộng hòa Czech dẫn dắt giáo sư viên sỹ Ivan Kiguradze - Viện trưởng viện toán học Tbilisi Trong năm gần ñây, vấn ñề đạt nhiều kết cơng trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, A.Lomtatidze Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng tác giả Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, tiếp tục học tập nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình: phương trình vi phân hàm cấp hai nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai không nhất, áp dụng kết đạt cho phương trình vi phân hàm cấp hai ñối số lệch ðối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, trọng việc nghiên cứu tính giải nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn sở ñể tiếp tục nghiên cứu lớp tốn biên hai điểm, nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Luan van phương trình vi phân hàm bậc cao áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch bậc cao Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Phần giới thiệu toán Chương Một số cơng cụ, kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày khái niệm, định nghĩa, bất đẳng thức liên quan đến q trình xây dựng kết tốn ðồng thời, chúng tơi xây dựng bổ đề tính giải tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Chương Các kết toán Dựa kết chương ñể xây dưng ñiều kiện ñủ cho tồn nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Luan van 10 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Trong luận văn này, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình: u’’ (t) = F (u)(t) (1.1) u(a) = 0, u(b) = (1.2) thỏa mãn ñiều kiện: đó: F ∈ K((a ; b)) Bài tốn (1.1), (1.2) ñã ñược nghiên cứu chi tiết trường hợp F toán tử Nemytski, nghĩa là: F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R) Khi đó, tốn (1.1) trở thành: u '' = f (t , u (t ), u '(t )) (1.3) Các kết toán biên (1.3), (1.2), trình bày cơng trình nhà toán học S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée Poussin, L Tonelli H Epheser Hiện nay, lý thuyết tốn biên dạng (1.3), (1.2) hình thành cách đầy đủ, hàm f hàm khơng khả tích Trong năm gần đây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết cơng trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, A.Lomatatidze Vì vậy, cơng việc luận văn tiếp tục học tập phát triển ñề tài theo hướng tác giả Trong năm gần đây, cơng trình nghiên cứu lý thuyết tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, - 8], ) Hơn nữa, tốn (1.3), (1.2), tiếp tục nghiên cứu tỉ mỉ trường hợp tổng quát Tuy nhiên, gặp khó khăn sử dụng kỹ thuật lý thuyết Luan van ... tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn sở ñể tiếp tục nghiên cứu lớp tốn biên hai điểm, nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. .. phân hàm cấp hai nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai không nhất, áp dụng kết ñạt ñược cho phương trình vi phân hàm cấp hai ñối số lệch ðối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, trọng vi? ??c... trình vi phân hàm bậc hai Luan van phương trình vi phân hàm bậc cao áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch bậc cao Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Phần giới