Hướng dẫn học sinh giải các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau I Lời giới thiệu Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật Nó ngày càng th[.]
Hướng dẫn học sinh giải tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số I Lời giới thiệu Toán học ngày giữ vai trò quan trọng cách mạng khoa học kỹ thuật Nó ngày thu hút quan tâm nhiều người việc học toán trường phổ thơng kích thích ham muốn học sinh lứa tuổi Luật Giáo dục 2005(điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” Với mục tiêu giáo dục phổ thông “ giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động , tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục Đào tạo nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh” Muốn cho học sinh học sinh Trung học sở có tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo có lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên địi hỏi người giáo viên phải có skkn phương pháp dạy học đạt hiệu cao dạy.Tôi giáo viên phân công giảng dạy môn toán nhiều năm liền dạy đến phần giải tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số học trò sai lầm lời giải Tôi muốn đưa số kinh nghiệm giúp học trị khơng cịn sai sót nên nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” chương trình tốn học lớp II Nội dung Nghiên cứu chương trình mơn tốn THCS, tơi thấy kiến thức về tỉ lệ thức tinh chất dãy tỉ số nhau được trình bày cẩn thận, giúp học sinh dễ hiểu Tuy nhiên, qua trình dạy học phần tỉ lệ thức tinh chất dãy tỉ số nhau tôi thấy nhiều học sinh làm đựơc toán mức độ đơn giản áp dụng trực tiếp kiến thức SGK chưa biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt Khi gặp tốn khó chứng minh đẳng thức hai lũy thừa, tốn chứng minh, tốn chia hết, …thì em lúng túng cách giải, khơng có cách giải chặt chẽ, vận dụng kiến thức chưa sáng tạo Trước thực trạng trên, dạy phần GV cần cung cấp công thức nâng cao luỹ thừa cho học sinh cách vững chắc, từ toán biết khai thác nhiều dạng tốn nâng cao; từ xây dựng phương pháp giải phù hợp cho dạng Cụ thể, giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm chắc: Tỉ lệ thức 1.1 Tỉ lệ thức a Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số = skkn Ta viết a: b = c: d Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức Các số a d gọi ngoại tỉ Các số b c gọi trung tỉ b Tính chất: * Tính chất 1: Tính chất tỉ lệ thức Nếu = ad = bc * Tính chất 2: Tính chất hốn vị Từ tỉ lệ thức = (a, b, c, d ¹ 0) ta suy ba tỉ lệ thức khác cách: - Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau: = - Đổi chỗ trung tỉ cho nhau: = - Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho nhau: = 1.2 Tính chất dãy tỉ số a Tính chất: = = = (b ¹ d, b ¹ - d) Từ dãy tỉ số nhau: = = ta suy *= = = = * = = = = Giả thiết tỉ số có nghĩa b. Khi nói số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c nghĩa ta có: = = Ta viết x: y: z = a: b: c Một số dạng tập thường gặp skkn 2.1 Dạng 1: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG Phương pháp giải: Để tìm hai số x y biết tổng x + y = u hiệu x-y = v tỉ số = ta làm như sau: a, Từ = Þ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = Þ x = a ; y = b b, Từ = Þ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = Þ x = a ; y = b Bài tập áp dụng 2.1. Tìm hai số x y biết = x + y = 110 Hướng dẫn Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = 11 Vì = 11Þ x = 11 = 77 = 11Þ y = 11 = 33 Vậy x = 77; y = 33 2.2. Tìm hai số x y biết x : = y : (- 5) x - y = -14 Hướng dẫn Từ x : = y : (- 5) ta có = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: skkn = = = = -2 Vì = - 2 Þ x = - = - 4; = - 2 Þ y = (- 2) (- 5) =10 Vậy x = - ; y = 10 2.3. Cho 7x = 4y y-x = 24 Tính x y Hướng dẫn Từ 7x = 4y Þ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = Vì = 8 Þ x = = 32; = 8 Þ y = = 56 Vậy x = 32 ; y = 56 2.4 Học sinh lớp 7a chia thành tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ tỉ lệ với 2; 3; Tìm số học sinh tổ biết số học sinh lớp 7a 45 học sinh Hướng dẫn Gọi số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ theo thứ tự x, y, z theo đầu ta có: = = x+y+z = 45 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = == = =5 Vì = 5 Þ x = = 10 = 5 Þ y = = 15 = 5 Þ z = = 20 Vậy số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ là: 10; 15; 20 học sinh 2.5. Tìm a, bỴ N* biết = a2 + b2 = 208 skkn Hướng dẫn Từ = Þ = Þ = Áp dụng tính chất dãytỉ số ta có: = = = = 16 Vì = 16 Þ a2 = 16 = 64 Þ a = 8; a = - (loại) = 16 Þ b2 = 16 = 144 Þ b =12; b = - 12 (loại) Vậy a = ; b = 12 Một số tập tương tự: 3.1. Tìm hai số x y, biết = x + y = 60 3.2. Tìm hai số x y, biết = y - x = 26 3.3. Tìm diện tích hình chữ nhật có tỉ số hai cạnh và chu vi hình chữ nhật 40 m 3.4. Tỉ số sản phẩm làm hai công nhân 0,8 Hỏi công nhân làm sản phẩm, biết người làm nhiều người kia 50 sản phẩm 2.2 Dạng 2. CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC Phương pháp giải Giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với số a, b, c Ta làm như sau: Vì x, y, z tỉ lệ với số a, b, c, nên Þ = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = Do x = a ; y = b ; z = c skkn Bài tập áp dụng 2.1. Số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với số 2; 4; Tính số viên bi bạn, biết ba bạn có tất 44 viên bi Hướng dẫn Gọi số viên bi ba bạn là: x, y, z (viên bi) Theo đầu ta có: = = x + y + z = 44 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = = Vì = 4 Þ x = = 8; = 4 Þ y = =16; = 4 Þ z = = 20 Vậy số viên bi ba bạn Minh, Hùng, Dũng là: 8; 16; 20 viên bi 2.2. Tìm ba số x, y, z, biết rằng = ; = x + y - z = 10 Hướng dẫn Từ = Þ = Þ = (1) và = Þ = Þ = (2) Từ (1) (2) suy ra = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = = Vì = 2 Þ x = = 16; = 2 Þ y = 12 = 24; = 2 Þ z = 15 = 30 Vậy x = 16; y = 24; z = 30 2.3 Tìm số x, y, z, biết x : y : z = : : (- 2) 5x – y + 3z = 124 Hướng dẫn Từ x : y : z = : : (- 2) Þ = = Þ = = skkn Þ = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = = 31 Vì = 31 Þ x = 31 = 93; = 31 Þ y = 31 = 155; = 31 Þ z = 31 = 62 Vậy số cần tìm là: x = 93; y = 155; z = 62 2.4. Tìm số x, y, z biết: x = y = z - x + y + z = - 120 Hướng dẫn Từ x = y = z Þ x = y = z Þ = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = = Vì = 5 Þ x = 33 = 165; = 5 Þ y = = 20; = 5 Þ z = = 25 Vậy số cần tìm là: x = 165 ; y = 20 ; z = 25 2.5. Tìm số x, y, z biết: = = x - 2y + 3z = 14 Hướng dẫn Từ = = suy ra = = Þ = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = = = = = skkn Vì = 1Þ x - = 2 Þ x = 3; = 1 Þ y - = 3 Þ y = 5; = 1 Þ z - = 4 Þ z = Vậy số cần tìm là: x = ; y = ; z = Một số tập tương tự * Tìm số x, y, z biết: 3.1. 2x = 3y; 5y = 7z 3x - 7y + 5z = 30 3.2. x = = 4x - 3y + 2z = 36 3.3.10x =15y = 6z 10x - 5y + z = 25 3.4. = = x - 3y + 4z = 62 3.5. = ; = x – y + z = -15 3.6.5x = 8y = 20z x – y - z = 3.7. = = x2 - 2y2 + z2 = 44 2.3 Dạng 3. TÌM HAI SỐ BIẾT TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG Phương pháp giải Giả sử hai số phải tìm x, y biết x y = P = Từ = Þ = * Đặt = = k, ta có: x = k a ; y = k b Do đó: x y = (ka) (kb) = k2 ab = P Þ k2 = * Từ tìm k tìm x y Bài tập áp dụng 2.1. Tìm hai số x y biết rằng = x y = 10 Hướng dẫn skkn Đặt k = = ta có x = 2k; y = 5k Vì x y = 10 nên 2k 5k = 10 Þ 10k2 = 10 Þ k2 = Þ k = ± 1 Với k = 1 Þ x = 2; y = Với k = -1 Þ x = - 2; y = - Vậy hai số cần tìm là: x = 2, y = 5; x = - 2, y = - 2.2. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 380 m 2, có chiều rộng bằng chiều dài Tính chiều rộng chiều dài mảnh đất Hướng dẫn Gọi chiều rộng x (m); chiều dài y (m) (x, y > 0) Theo đầu ta có: x y = 380 và = Từ = Þ = Đặt k = = ta có x = 5k; y = 19k Vì x y = 380 nên 5k 19k = 380 Þ 95k2 = 380 Þ k2 = 4 Þ k = ± 2 Với k = 2 Þ x = 10, y = 38 Với k = - 2 Þ x = - 10, y = - 38 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất là: 10 m chiều dài mảnh đất là: 38 m Một số tập tương tự: 3.1. Tìm x y biết = x y = 112 skkn 3.2. Tìm x y biết = x y = 40 3.3. Diện tích tam giác 27 cm2 Biết tỉ số cạnh đường cao tương ứng tam giác 1,5 Tính độ dài cạnh đường cao nói 2.4 Dạng 4. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỪ MỘT TỈ LỆ THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số 2. Bài tập áp dụng 2.1. Chứng minh từ tỉ lệ thức = (a- b ¹ 0, c - d ¹ 0) ta suy tỉ lệ thức = Hướng dẫn Từ = Þ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: === Từ = Þ = (ĐPCM) 2.2. Chứng minh = = Hướng dẫn Từ = Þ = Þ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: === Từ = áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta được: = (ĐPCM) skkn 2.3. Chứng minh nếu = thì = Hướng dẫn Từ = Þ b = ac Mà = Þ = = Do = Þ ceq \l(\o\ac(2, = Suy ra = (ĐPCM) 2.4. Cho a, b, c, d số hữu tỉ dương = chứng minh rằng: a, = b, (a+2c) (b+d) = (a+c) (b+2d) Hướng dẫn a, Từ = Þ = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = (1) Mà = Þ . = . Þ = (2) Từ (1) (2) suy ra = (ĐPCM) b, Từ = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = (3) Mặt khác từ = Þ = = (4) Từ (3) (4) suy ra = Þ (a+2c) (b+d) = (a+c) (b+2d). (ĐPCM) Một số tập tương tự 3.1. Chứng minh từ tỉ lệ thức: = ta suy tỉ lệ thức: = ( nỴ N) skkn 3.2. Chứng tỏ từ tỉ lệ thức = ta suy tỉ lệ thức: = 3.3. Chứng minh a + c = 2b và 2bd = c (b + d) (b ¹ 0; d ¹ 0) thì = 3.4. Chứng minh a = bc (với a ¹ b; a ¹ c) thì = 2.5 Dạng 5. THAY TỈ SỐ GIỮA CÁC SỐ HỮU TỈ BẰNG TỈ SỐ GIỮA CÁC SỐ NGUYÊN Phương pháp giải: - Viết số hữu tỉ dạng phân số - Thực phép chia phân số Bài tập áp dụng: * Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên 2.1 2,04: (-3, 12) 2.2 (-1 ): 1,25 2.3 4:5 2.4 10 : Hướng dẫn 2.1 2,04: (-3,12) = = = 2.3 : = : = = (-1 ) : 1,25 = : = = 2 10 : = : = = Một số tập tương tự: * Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên skkn 3.1 1,5 : 2,16 3.2 4: 3.3 : 0,31 3.4 -6 : 29 2.6. Dạng 6. TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT TRONG MỘT TỈ LỆ THỨC Phương pháp giải: Trong tỉ lệ thức, ta tìm số hạng chưa biết biết ba số hạng kia. = Þ a = ; b = ; c = ; d = Bài tập áp dụng 2.1 ( x) : = : 2.2 4,5 : 0,3 = 2,25 : (0,1x) 2.3 : ( x) = : 0,02 2.4 3: = : (6x) Hướng dẫn 2.1 ( x) : = : 2.2 Þ ( x) = Þ 15 = 2,25: ( 0,1 x) Þ .x = Þ 0,1x = 2,25: 15 Þ x = : Þ 0,1x = 0,15 Þ x = 2= Þ x = 0,15 : 0,1 = 1,5 Vậy x = 2.3 4,5 : 0,3 = 2,25: (0,1x) : ( x) = 2: 0,02 Vậy x = 1,5 2.4 3: = : (6x) Þ 8 : ( x) = 100 Þ 3 : = : (6x) Þ x = 8: 100= Þ 3 = : (6x) skkn Þ x = : Þ = : (6x) Þ x = = Þ 6x = : = = Vậy x = Þ x = : = Þ x = Vậy x = Một số tập tương tự: * Tìm x tỉ lệ thức sau 3.1 x : 0,16 = 9: x 3.2 3,8 : (2x) = : 3.3 (0,25x) : = : 0,125 3.4 0,01 : 2,5 = (0,75x) : 0,75 3.5 : 0,8 = : (0,1x) 3.6 (3x - 2) : = : 2.7. Dạng 7. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỶ LỆ THUẬN, ĐẠI LƯỢNG TỶ LỆ NGHỊCH, CHIA TỈ LỆ Bài toán 1. Số học sinh khối 6; 7; 8; trường THCS tỉ lệ với 9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? Giải: Gọi số học sinh khối 6; 7; 8; x, y, z, t ( x, y, z, t N* ) Theo đầu ta có : và x – t = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : skkn Suy ra : x = = 72 ; y = 10 = z = 11 = 88 ; t = = 64 Vậy số học sinh khối 6, 7, 8, là: 72; 80; 88; 64 học sinh Bài toán 2: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ với 2; 3; Tìm số học sinh tổ lớp 7A biết số học sinh lớp 7A 45 học sinh Giải: Gọi số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ lần lợt x, y, z ( x, y, z N* ) Theo đầu ta có : và x + y + z = 45 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : = Suy ra : x = = 10 y = = 15 z = = 20 Vậy số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ lần lợt là : 10 ; 15 ; 20 học sinh Bài toán 3: Chia số 136 thành phần tỉ lệ nghịch với Giải: Gọi phần chia số 136 x; y; z ( x; y; z > 0) Theo đề ta có: (1) x+ y + z = 136 (1) Chia tỷ số (1) cho BCNN ( 8; ) = 40 ta có: skkn ? à x = 35 = 35 y = 45 = 45 z = 56 = 56 Vậy phần chia số 136 là : 35 ; 45 ; 56 Bài tốn 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với 1 ; 2 ; GIẢI: Gọi a, b, c chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có: (1) Vì số phải tìm bội 72 nên Mà Từ (1) suy ra Từ (2) (3) suy ra (2) (3) suy ra: Vì số cần tìm chia hết ta có số 936 thoả mãn điều kiện đầu Bài toán 5: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số Giải: Gọi độ dài ba cạnh tam giác a, b, c skkn Ba chiều cao tương ứng x, y, z Diện tích tam giác S Ta có: (1) Vì ba cạnh tỉ lệ với 2, 3, nên : (2) Từ (1) (2) ta có: Vậy chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với số 6; 4; Bài tốn 6:Tìm hai số khác biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ với 5;1;12 GIẢI: Gọi hai số phải tìm a, b ( ), a > b ta có: Xét Do đó skkn Từ Thay vào ta có: Thay a = vào ta có: Vậy a = 6; b = Bài tốn 7: Tìm số đo góc tam giác biết số đo góc tam giác tỉ lệ với 2, 3, Giải: Gọi số đo góc tam giác x, y, z Theo đầu ta có : (Tổng góc tam giác) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Vậy số đo góc tam giác là: 200 ; 600 ; 800 skkn Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải khác cho tốn, tơi cịn hướng dẫn học sinh cách khai thác toán cách thay đổi số liệu, kiện để có tốn với phương pháp giải tương tự 2.8. Dạng 8: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài tốn 1: Biết Tính A = Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Ta có: Vậy A = Bài tốn 2: Cho Tính giá trị biểu thức P biết số x, y, z tỉ lệ với 5; 4; Giải: Theo đầu ta có Suy ra : Bài toán 3: Cho và skkn ... c, d gọi số hạng tỉ lệ thức Các số a d gọi ngoại tỉ Các số b c gọi trung tỉ b Tính chất: * Tính chất 1:? ?Tính chất tỉ lệ thức Nếu = ad = bc *? ?Tính chất 2:? ?Tính chất hốn vị Từ tỉ lệ thức? ? =... 5. THAY TỈ SỐ GIỮA CÁC SỐ HỮU TỈ BẰNG TỈ SỐ GIỮA CÁC SỐ NGUYÊN Phương pháp giải: - Viết số hữu tỉ dạng phân số - Thực phép chia phân số Bài tập áp dụng: * Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên... kiến thức về? ?tỉ lệ thức tinh chất dãy tỉ số nhau? ?được trình bày cẩn thận, giúp học sinh dễ hiểu Tuy nhiên, qua trình dạy học phần? ?tỉ lệ thức tinh chất dãy tỉ số nhau? ?tôi thấy nhiều học sinh làm