chuyen de ty le thuc va tinh chat cua day ty so bang nhau

Chuyên đề Trường THCS Đại Đồng GV Nguyễn Thị Nghĩa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM TRƯỜNG THCS BẢO SƠN CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG VÀ HAI ĐỀ THI HSG DỰ THI GVG CẤP HUYỆN VÒNG III CH.

Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM TRƯỜNG THCS BẢO SƠN CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG VÀ HAI ĐỀ THI HSG DỰ THI GVG CẤP HUYỆN VÒNG III CHU KỲ 2016 – 2018 Họ tên giáo viên: Nguyễn Thị Hường Đơn vị công tác: Trường THCS Bảo Sơn Giảng dạy mơn: Tốn Trình độ đào tạo: Đại học Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa Bảo Sơn, tháng năm 2018 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: a c  (hoặc a : b = c : d) b d Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: a c Tính chất 1: Nếu  ad  bc (Tích trung tỉ = Tích ngoại tỉ) b d Tính chất 2: Nếu ad  bc a, b, c, d 0 ta có tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b  ,  ,   , b d c d b a c a Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c ac ac  -Tính chất: Từ  suy ra:   b d b d bd bd -Tính chất cịn mở rộng cho dãy tỉ số nhau: a c e a c e a b  c a b  c        suy ra: b d f b d f bd  f bd  f (giả thiết tỉ số có nghĩa) a b c * Chú ý: Khi có dãy tỉ số   ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, 5 Ta viết a : b : c = : : Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I/ DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ HẠNG CHƯA BIẾT TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC x y Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết  x  y  20 Giải Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt   k , suy ra: x  2k , y  3k Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa x  y  20  k  k  20  k  20  k  Theo giả thiết: Do đó: x  2.4  y  3.4  12 KL: x  , y  12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x  y 20    4 23 x Do đó:   x  y   y  12 KL: x  , y  12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y Từ giả thiết   x  3 2y  y  20  y  60  y  12 mà x  y  20  2.12 8 Do đó: x  KL: x  , y  12 x y y z  x  y  z  Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:  , Giải x y x y Cách 1: Từ giả thiết:    (1) 12 y z y z    (2) 12 20 x y z Từ (1) (2) suy ra:   (*) 12 20 x y z 2x y z 2x  3y  z      3 Ta có:   12 20 18 36 20 18  36  20 x Do đó:   x  27 y   y  36 12 z   z  60 20 KL: x  27 , y  36 , z  60 x y z  k ( sau giải cách VD1) Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt   12 20 Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Trường THCS Đại Đồng y z 3z   y Từ giả thiết: 5 GV: Nguyễn Thị Nghĩa 3z x y 3y 9z  x   4 20 9z 3z z mà x  y  z     z    60  z  60 20 10 3.60 9.60  36 , x   27 Suy ra: y  20 KL: x  27 , y  36 , z  60 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:  x y  40 Giải x y Cách 1: (đặt ẩn phụ): Đặt   k , suy x  2k ; y  5k Theo giả thiết: x y  40  2k.5k  40  10k  40  k   k  2 + Với k  ta có: x  2.2  y  5.2  10 + Với k  2 ta có: x  2.(2)  4 y  5.(2)  10 KL: x  , y  10 x  4 , y  10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Vì x.y = 40 => x  x y Nên nhân hai vế  với x ta được: x xy 40     x  16  x  4 5 y 4.5  10 + Với x 4 ta có   y  4 y 4.5   y  10 + Với x  4 ta có KL: x  , y  10 x  4 , y  10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tìm số x, y, z biết x y z x2 x4    a b x  y  z  28 10 21 x 1 x  c x  y ; y  5z x  y  z  d x : y : z  12 :9:5 xyz  20 10 14 x  16 y  25 z    e x   y   z  21 xyz  6720 f x3 1  15 16 25 Bài Tìm số x,y,z biết 3 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa 2 a) x : y : z  3: :5 z  3x  y  594 b)  x 1   y   ;  y     z  3 x  y  z  50 12 x 15 y 20 z 12 y 15 y  20 z   c) x  y  z  48 11 Bài Tìm số x,y,z biết : x y 1 y 1 y 1 y   a) y  ;  x  y  z  b) z 13 19 5x 1 y 1 y 1 y x  y  2x  y 1     c) d) 6x 18 24 6x 1 y 1 y 1 y   e) 18 24 6x Bài 4: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z x y y z    a) x  y  z  28 b)  , x  y  z  124 10 21 x y 2x 3y 4z   c) x  y  z  49 d)  xy  54 3 x y z x y e)  x  y  f) y  z   z  x   x  y   x  y  z Bài 5: Tìm số x, y, z biết rằng: x 1 y  z    a) 3x  y , y  z x  y  z  32 b) x  y  z 50 x y z c) x  y  z x  y  z  95 d)   xyz  810 y  z 1 z  x  x  y     e) f) 10 x  y x  y  28 x y z x yz Bài 6: Tìm số x; y; z biết rằng: x x y  a) y  5x – 2y = 87; b) 2x – y = 34; 19 21 2x  3y  2x  3y 1 x y3 z3     b) x2 + y2 + z2 = 14 c) 6x 64 216 Bài 7: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 8: Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Hướng dẫn: a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 Bài Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng a b ? Hướng dẫn: Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa a b c , , Bài 10: Cho ba tỉ số nhau: Biết a + b + c  Tìm giá trị bc ca ab tỉ số ? II/ DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức: A C  ta thường dùng số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số A C có giá trị B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức (*) Một số kiến thức cần ý: a na (n  0) +)  b nb n n a c a c     +) b d  b   d  +) a.b + a.c = a( b+ c) a.b - a.c = a( b - c) (*) Một số ví dụ : ( giả thiết tỉ số có nghĩa) a c a b c d  Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức  Chứng minh rằng: b d a b c d Giải: Cách 1: (Phương pháp 1) Ta có: (a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd (1) (a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd (2) a c Từ giả thiết:   ad  bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a  b)(c  d )  (a  b)(c  d )  ab cd  a b c  d (đpcm) Cách 2: (Phương pháp 2) Đặt a c   k , suy a  bk , c  dk b d a  b kb  b b(k  1) k  Ta có: a  b  kb  b  b(k  1)  k  (1) Trường THCS Đại Đồng c  d kd  d d (k  1) k     c  d kd  d d (k  1) k  Từ (1) (2) suy ra: ab cd  a b c d GV: Nguyễn Thị Nghĩa (2) (đpcm) Cách 3: (phương pháp 3) Từ giả thiết: a c a b    b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a b a b  a b c  d     c d cd cd a b c d (đpcm) Hỏi: Đảo lại có khơng ? a c Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức  b d ab a  b2  Chứng minh rằng: cd c  d Giải: Cách 1: Từ giả thiết: a c   ad  bc b d (1) ab  c  d   abc  abd  acbc  adbd Ta có: cd  a  b   a 2cd  b 2cd  acad  bc.bd Từ (1), (2), (3) suy ra: Cách 2: Đặt ab  c  d   cd  a  b2  a c   k , suy a  bk , c  dk b d ab bk b kb b2    Ta có: +) cd dk d kd d (2) (3) ab a  b2   (đpcm) cd c  d (1) 2 a  b (bk )  b2 b 2k  b b  k 1 b     +) c  d (dk )2  d d k  d d  k 1 d Từ (1) (2) suy ra: ab a  b2  cd c  d (2) (đpcm) Trường THCS Đại Đồng a c a b    b d c d Cách 3: Từ giả thiết: ab a b a  b2     cd c d c  d  ab a  b2  cd c  d GV: Nguyễn Thị Nghĩa (đpcm) a c a  b ab   Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức : Chứng minh rằng: b d c d cd Giải a  b ab  2ab  a  2ab  b2   a  b   ab   a  b   a  b   a.b  Ta có : ; 2 c  d cd 2cd c  2cd  d  c  d  cd  c  d   c  d  c.d c  a  b  b  c  d  ca  cb bc  bd ca  bd     1 a  c  d  d  a  b  ac  ad da  db ca  bd a c  ca  cb  ac  ad  cb  ad   (dpcm) b d  BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài Cho tỉ lệ thức tỉ số có nghĩa ) 2a  7b 2c  7d  a) 3a  4b 3c  4d a  b2  ab  c)    c2  d cd  a c  Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết b d 2015a  2016b 2015c  2016d  2016c  2017d 2016a  2017b ab  2a  3b  7a  5ac 7b  5bd   d) e) cd  2c  3d  7a  5ac 7b  5bd a c Bài Cho a  c  2b 2bd  c  b  d  ; b, d  Chứng minh rằng:  b d a2014 a1 a2 a3 Bài Cho dãy tỉ số : a  a  a  L  a Chứng minh : 2015 b) 2014 a1  a1  a2  a3  L  a2014   a2015  a2  a3  a4  L  a2015  a8 a9 a1 a2 Bài 4: Cho a  a   a  a a1  a2   a9  CMR: a1  a2   a9 a c Bài Cho  số x, y, z, t thỏa mãn ax  yb  zc  td  b d xa  yb xc  yd  Chứng minh : za  tb zc  td a c 2a  13b 2c  13d  Bài Cho tỉ lệ thức Chứng minh :  b d 3a  7b 3c  7d Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa a c Bài 7: Cho tỉ lệ thức:  Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d tỉ số có nghĩa) 3a  5b 3c  5d  1) 3a  5b 3c  5d a  b2  ab   2)   c2  d cd  a b c  d  3) a b c d ab  a  b   4) cd  c  d  2 5) 2a  5b 2c  5d  3a  4b 3c  4d 6) 2005a  2006b 2005c  2006d  2006c  2007d 2006a  2007b 7) a c  ab cd 8) 7a  5ac 7b2  5bd  7a  5ac 7b2  5bd 7a  3ab 7c  3cd  9) 11a  8b 11c  8d a b c Bài 8: Cho   Chứng minh rằng: b c d Bài 9: Cho a  abc  bcd   d   a b c   Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a)2 2003 2004 2005 a b a  b2 a   Bài 10: Chứng minh : b d b d2 d Bài 11: CMR: Nếu a  bc Bài 12: Cho ab ca  a b c a Đảo lại có khơng? a c ab cd  Chứng minh  b d a b c d Bài 13: Chứng minh nếu: u 2 v3  u 2 v 3 u v  Bài 14: Chứng minh a( y  z )  b( z  x)  c( x  y ) ,trong a, b,c khác yz zx x y khác : a(b  c)  b(c  a)  c(a  b) Bài 15: Cho a c  Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  zc  td  b d Trường THCS Đại Đồng xa  yb xc  yd  Chứng minh rằng: za  tb zc  td GV: Nguyễn Thị Nghĩa Bài 16: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b2  ac ; c  bd b3  c3  d  Chứng minh rằng: a  b3  c a  b3  c  d d a b c ax  bx  c Chứng minh a  b  c a1 x  b1 x  c1 1 không phụ thuộc vào x Bài 17: Cho P  Bài 18: Cho biết : a b'  1 ; a' b giá trị P b c'   Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = b' c a c  b d x y z bz  cy cx  az ay  bx     Bài 20: Cho dãy tỉ số : ; CMR: a b c a b c Bài 19: Cho tỉ lệ thức: 2a  13b 2c  13d  ; 3a  7b 3c  7d Chứng minh rằng: III/ DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC (*) Một số kiến thức cần ý: - Tính chất dãy tỉ số - Tính chất phân số - Các cơng thức lũy thừa (*) Một số ví dụ : x 3x  y Ví dụ : Cho tỉ lệ thức x  y  Tính giá trị tỉ số y Bài giải: Cách : 3x  y Từ x  y   4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y  12x – 3y = 3(x+y)  9x = 7y x Vậy y  3x 1 3x  y y  Cách 2: Từ x  y   x 1 y Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa Bài Số học sinh khối 6, 7, 8, trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? PHỊNG GD & ĐT LỤC NAM TRƯỜNG THCS BẢO SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: Tốn (Thời gian làm : 150 phút) Câu ( điểm) 1) Thực phép tính : 10 10 10 10 10 9.69.120  46.96 B      A ; 13 12 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022  2) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn : a b c b  c a a  c b   c a b b  a  c  Hãy tính giá trị biểu thức B  1  .1   1   a c b     3) Tính giá trị đa thức f ( x)  x  2018 x  2016 x  2018 x  2016 x  2017 x = 2017 Câu ( điểm) 3x  y z  x y  3z x y z   Chứng minh :   2 x  y  x  xz  2) Tìm x, y, z biết: 1) Cho Câu (5 diểm) 1) Tìm cặp số tự nhiên (x; y) cho: 49 - y2 = 12(x - 2001)2 2) Cho 2019 x1  2018 y1  2019 x2  2018 y2   2019 x2018  2018 y2018  x1  x2  x3   x2018 2018 Chứng minh y  y  y   y  2019 2018 3)Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải 186m, giá tiền mét vải ba cuộn Sau bán ngày cửa hàng lại 3 cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, 17 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; Tính xem ngày cửa hàng bán mét vải cuộn Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · · · c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME Câu (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y, z  thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Câu Nội dung 9.6 120  3 23.3.5  212.312 A  84.312  612 212.313  212.312 312.212.5  212.312 312.212 (5 1)  12 12  (3 1) 212.312.2  6 9 1 2 Vậy A= 10 10 10 10 10 B      7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 5 5 Câu  2.(      ) 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 điểm 1 1 1 1 1    ) = 2(        12 12 17 17 22 2012 2017 2017 2022 1 2022  2015 )   = 2(  2022 2022.7 7077 Vậy B  2015 7077 Điểm 0,5 0.5 0.5 0.5 18 Trường THCS Đại Đồng 2) +Nếu a+b+c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: GV: Nguyễn Thị Nghĩa a  b c b c  a c  a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b   = =1 c a b abc 0,5 mà abc bca c  a b 1  1  1 = c a b 0,5 => ab bc ca   =2 c a b 0,25  b  a  ba ca bc c )( )( ) =8 Vậy B = 1  1   1   ( c  b  a c b  a  +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b c b c  a c  a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b   = =0 abc c a b mà a bc bca ca b 1  1  1 = c a b => ab bc ca   =1 c a b   Vậy B =   0,25 0,5 0,5 b  a  c  ba ca bc )( )( ) =1  1   1   ( a  c  b  a c b 0,25 3)Tính giá trị đa thức f ( x)  x5  2018 x  2016 x  2018 x  2016 x  2017 x = 2017  2018  x   Ta có x  2017    2016  x  Khi ta có: f (2017)  x5  ( x  1) x  ( x 1) x3  ( x  1) x  ( x 1) x  x  x5  x  x  x  x  x  x  x  x  x 0 0,5 0,5 Vậy f(2017) =0 19 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa 3x  y z  x y  3z   1) Theo ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Câu 12 x  y z  12 x y  z 12 x  y  z  12 x  y  z     0 điểm 16 16   12 x  y 0 12 x 8 y      12 x 8 y 6 z  y  z 0  y 6 z 12 x y z x y z       (đpcm) 24 24 24 0,5 0,5 0,25 2) Áp dụng tính chất A     x 0 x      2   y    y   3    x  xz  x x  z      0,5  x      y     z  x    1,0 Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 Câu điểm 0,25 0,5 1) Xét đẳng thức: 49- y =12  x - 2001 Vế phải mộ số chẵn không âm nên y số lẻ không lớn 0,5 Khi y =  x = 2003 x = 1999 0,5 Khi y = khơng có giá trị x  N Khi y = khơng có giá trị x  N Khi y =  x = 2011 Vậy cặp (x; y) cần tìm (2003; 1); (1999; 1); (2001; 7) 2 20 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa 2) Ta có 2019 x1  2018 y1  2019 x2  2018 y2  … 2019 x2018  2018 y2018   (2017 x1  2016 y1 )2  (2017 x2  2016 y2 )2   (2017 x2016  2016 y2016 )2  0,5 Theo ta có: 2019 x1  2018 y1  2019 x2  2018 y2   2019 x2018  2018 y2018  Suy ra:  2019 x1  2018 y1    2019 x2  2018 y2   M    2019 x2018  2018 y2018   2019 x1  2018 y1  2019 x  2018 y x x x 2018 2       2018  M y1 y2 y2018 2019  2019 x2018  2018 y18 (1) 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x x  x   x2018 x1 x2    2018  (2) y1 y2 y2018 y1  y2   y2018 Từ (1) (2) suy x1  x2  x3   x2018 2018  (đpcm) y1  y2  y3   y2018 2019 0,5 21 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa 3) Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z 0,25 (m) ĐK: 0< x, y, z < 186 +) Tổng chiều dài ba cuộn vải 186m => x + y + z = 186 0,5 + Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ nhất, 3 cuộn thứ hai, cuộn thứ ba => Trong ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, x y 2z thứ hai, thứ ba , , (mét) 3 +) Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; giá tiền mét vải ba cuộn => Số mét vải bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; x y 2z 2x y 2z  => : :  :3: =>  3 12 10 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y z x  y  z 186     6 12 10 12   10 31  x  72  =>  y  54 ( Thỏa mãn điều kiện )  z  60 0,5  Vậy ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ 0,25 hai, thứ ba : 24; 36; 24 (mét) A Câu điểm I M B C H K E 22 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa 1) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = EMB · (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) 0,75 Nên : AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB · 0,5 · Vì AMC = EMB  MAC = MEB 0,5 · · Mà MAC MEB góc có vị trí so le 0,25 Suy AC // BE 2) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( AMC  EMB ) MAI AI = EK (gt ) 0,5 Nên AMI  EMK ( c.g.c ) · · Suy AMI = EMK · 0,5 Mà ·AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) o · ·  EMK + IME = 180 0,5  Ba điểm I;M;K thẳng hàng (đpcm) µ = 90o ) có HBE · 3) Trong tam giác vng BHE ( H = 50o · · 0,5 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o  HBE o o o · · · = HEB - MEB = 40 - 25 = 15  HEM 0,5 · góc ngồi đỉnh M HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o 0,5 ( định lý góc ngồi tam giác ) xyz 0,25 Câu Khơng tính tổng qt tốn giả sử Vì x, y, z số tự nhiên khác   x  y  z điểm Ta có x  y  z  xyz  * 1    1 yz xz xy 1 1    x x x x  x   x 1 0,25 Thay vào (*) ta 1+y+z = yz   y  1  z  1  y   y    z   z    x, y,z    1;2;3 Vì vai trị x, y, z nên số (x,y,z) thoả mãn 0,25 23 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa toán :  1;2;3 ;  1;3;2  ;  2;1;3 ;  2;3;1 ;  3;1;2  ;  3;2;1 0,25 PHÒNG GD & ĐT LỤC NAM TRƯỜNG THCS BẢO SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: Tốn (Thời gian làm : 150 phút) Câu 1: (4,5 điểm) 2017 2018  2017  2018 2018 2017 b Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10  c Giải phương trình:   x3 x4 Câu 2: (4,0 điểm) x  x x  x  x 1   Cho biểu thức: P  x  x 1 x x 1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P x c Xét biểu thức: Q  , chứng tỏ < Q < P Câu 3: (4,0 điểm)  17  38 2018 a Với x  Tính giá trị biểu thức: B =  3x3  8x    14  b Xác định đa thức P( x) có bậc bốn thỏa mãn: P(1)  P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1) Câu 4: (6,0 điểm) 1/ Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD a Khơng dùng máy tính so sánh :   a) Chứng minh hệ thức: 1   AD AB AC b) Hệ thức thay đổi đường phân giác AD đường phân giác AE 2/ Cho tam giác ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA =2 cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Câu 5: (1,5 điểm) 24 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  36x  y Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Nội dung Câu Câu (4,5điểm) Điểm a) Ta có: 2017 2018 2018  2017     2018 2017 2018 2017 1  2018  2017    2018  2017 2017 2018 2017 2018   2017  2018 Vậy 2018 2017 b)Ta có: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 = 4x2 + y2 + y2 + z2 + z2 - 4xy – 2yz + 2y – 2z - 6z +1 + = (4x2- 4xy + y2) + (y2 + z2 + – 2yz + 2y – 2z) + (z2- 6z + 9) = (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 Vì (2x - y)2  ; (y – z + 1)2  ; ( z - 3)2  với x, y, z nên  2x  y   x 1   (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2    y  z     y     z 3  z 3 Vậy (x;y;z) = (1; 2; 3) 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 25 Trường THCS Đại Đồng c) ĐKXĐ: x > - Khi phương trình cho tương đương với GV: Nguyễn Thị Nghĩa 0,25               x  x      4 x3  x4 0  2 2 x4 x3 x  11 x  11   0      x  3   x    x   2  x       4    (4 x  11)    ( x  3)(2   Vì x > - nên ) x3   x  3      0  ) x    ( x  4)(2    x      x   2   0   x   11 (thỏa mãn điều kiện)  11  Vậy tập nghiệm phương trình là: S      4 Do 4x + 11 =  x =  Câu (4 điểm) a) Rút gọn P: Với x > x  ta có: x x x 1 x x 1 P   x  x 1 x  x x 1  x 1  x 1             x 1 x 1  x 1  x  x  x 1  x   x  x 1 Vậy P  x  x  , với x  0; x  b)Tìm giá trị nhỏ P - Theo phần a ta có: Với x  0; x  P  x  x  1 3  Mà P  x  x    x     2 4  1 dấu xảy x    x  ( thỏa mãn đk) Vậy GTNN P x  4 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 26 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa x x  P x  x 1 1 3  Vì P  x  x    x     >0 2 4  x  với x > nên Q > (1) c)Với x  0; x  Q  + Xét    x 1 0,25 2 x   Dấu “=” không xảy x  x 1 x  x 1 điều kiện x    x  hay  Q  => Q < x  x 1 Từ (1) (2) suy < Q < (đpcm) Câu (4 điểm) a)Ta có x    0,5  52  17  38  14  5  2   2      3      27   1 0,5 0,25  2   2  3 5  (3  5) 2018 Thay x  vào biểu thức B =  3x3  x   ta được: 2018   3  1 B  3.      2  3     (2) 2018 2018 0,75 1  Vậy B = x  52  17  38  14  0,25 27 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa b) Ta có: P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1) - Xét x =0 ta có : P(0) - P(-1)=0 0,5 Mà P(1)  => P(0)= => P(x) có nhân tử x - Xét x =-1 ta có : P(-1) - P(-2)=0 Mà P(1)  =>P(-2)=0 => P(x) có nhân tử x+2 0,5 - Lại có P(1)  => P(x) có nhân tử x+1 Mà P(x) đa thức bậc nên: P(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b) - Từ P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1) xét x=1 ta có P(1)=6 Lại có P(1)= 6(a+b) nên ta có: a+b = (1) - Tương tự ta có với x = ta có: 24(2a+b)= 36 4a +2b=3 (2) 0,5 Từ (1) (2) Tính được: a=b= 2 Kết luận: P(x)=x(x+1)(x+2)( x+ ) 0,25 0,25 28 Trường THCS Đại Đồng Câu 1) (6 điểm) GV: Nguyễn Thị Nghĩa A a Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = E B D bc  bc = SABC = SABD + 2SADC = AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450 = ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450 Suy ra: bc = ( b + c )AD AD = ( b + c ) 2 AD bc = bc bc 1  =   bc c b AD 1   Vậy (đpcm) AD AB AC  b)Ta có: bc = SABC = SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 = ( b – c )AE  2 bc = ( b – c )AE = ( b – c ) AE 2 bc 1   = bc c b AE 1 1      hay AE AC AB AD AC AB 1   Vậy AD = AE AD AC AB  C 0,25 0,5 0,25 0,75 0,25 0,5 0,75 0,5 0,25 29 Trường THCS Đại Đồng 2) GV: Nguyễn Thị Nghĩa A M H I B C Kẻ AM  AC, M thuộc tia CI Chứng minh ∆ AMI cân M  MI = AI = Kẻ AH  MI  HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > ) Xét ∆ AMC vuông A ta có AM2 = MH.MC  (2 )2 = x.(2x + 3)  2x2 + 3x – 30 =  ( 2x – 5)(x + 4) =  x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44  AC = 44 = 11 cm  AB = 11 cm Câu Với x, y  N * 36x có chữ số tận 6, y có chữ số tận (1,5điểm) nên : A có chữ số tận ( 36x > 5y) ( 36x < 5y) TH1: A = 36x - 5y =1  36x - = 5y Điều khơng xảy (36x – 1) M35 nên (36x – 1) M7, cịn 5y khơng chia hết cho TH2: A = Khi y - 36x =  5y = + 36x điều khơng xảy (9 + 36x) M9 cịn cịn 5y khơng chia hết cho TH3: A = 11 Khi 36x - 5y =11 Thấy x = 1, y = thỏa mãn Vậy GTNN A 11, x = 1, y = 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bảo Sơn, ngày 10 tháng 04 năm 2018 Người đề ( Kí ghi rõ họ tên) 30 Trường THCS Đại Đồng GV: Nguyễn Thị Nghĩa Nguyễn Thị Hường 31 ... thức cịn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c ac ac  -Tính chất: Từ  suy ra:   b d b d bd bd -Tính chất cịn mở rộng cho dãy tỉ số nhau: a c e a c e a b  c a b  c    ... = EMB (c.g.c )  AC = EB · 0,5 · Vì AMC = EMB  MAC = MEB 0,5 · · Mà MAC MEB góc có vị trí so le 0,25 Suy AC // BE 2) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( AMC  EMB ) MAI AI = EK... giả thiết: Do đó: x  2.4  y  3.4  12 KL: x  , y  12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x  y 20    4 23 x Do đó:   x  y   y 