Skkn giúp hs nâng cao kỹ năng giải tốt một số bài toán cực trị số phức

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số:…………………………… Tên sáng kiến: GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC (Trần Duy Tân, Nguyễn Thị Hồng Châu, Nguyễn Văn Chung, @THPT Ngô Văn Cấn, Nguyễn Văn Reo, @THPT Phan Văn Trị) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Chương trình Tốn THPT) Mơ tả chất sáng kiến 3.1.Tình trạng giải pháp biết Số phức vấn đề hoàn toàn đưa vào dạy chương trình phổ thơng, với thời lượng dành cho số phức khơng nhiều; với nội dung khái niệm số phức, phép cộng trừ nhân chia hai số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực Phần lớn học sinh thường áp dụng dạng toán tìm phần thực, phần ảo, mơđun số phức, ….hay giải phương trình đơn giản tập số phức Tuy nhiên, vận dụng toán số phức, đặc biệt toán liên quan đến cực trị số phức học sinh cịn lúng túng, hay cịn e ngại việc phân tích đề để tìm lời giải ngồi kiến thức số phức học sinh cịn phải sử dụng đến kiến thức liên quan bất đẳng thức, tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng,… Bên cạnh đó, kể từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT quốc gia mơn Tốn chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm, câu hỏi số phức khơng gói gọn dạng đơn giản số phức hay giải phương trình số phức mà mở rộng sang nhiều vấn đề hơn, có dạng tốn cực trị số phức Khi vai trị người giáo viên quan -1- skkn trọng việc tìm phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới đối tượng để học sinh tìm tịi nghiên cứu, đánh thức tiềm phát huy tính sáng tạo thân đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến 3.2.1 Mục đích giải pháp - Sáng kiến nhằm mục đích chia đồng nghiệp số kinh nghiệm giúp học sinh vận dụng kiến thức giải tốt số toán cực trị số phức - Sáng kiến đưa số dạng toán cực trị số phức điển hình chương trình Tốn lớp 12 để có giải pháp phương hướng giải hiệu hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện cho học sinh - Vấn đề nêu giải pháp sáng kiến thơng qua tốn kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, mơđun số phức, phép tốn số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, giúp học sinh giải tốt toán khai thác kiến thức toán, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải toán “cực trị số phức thoả mãn điều kiện cho trước” Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc giải nhanh gọn tốn, tạo thêm niềm hăng say đam mê toán học đến với học sinh 3.2.2 Điểm giải pháp Qua trình nghiên cứu tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ giải tốt số tốn cực trị số có điểm sau: + Các toán tổng hợp lại hệ thống thành dạng giải theo cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề -2- skkn + Các dạng tập thực từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh vận dụng từ kiến thức phần khác bất đẳng thức, phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elip,… để giải toán liên quan giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức + Các tốn biên soạn theo hình thức trắc nghiệm phù hợp định hướng đổi kiểm tra, đánh giá Bộ giáo dục đào tạo thực tiễn kỳ thi THPT quốc gia + Tăng cường kỹ sử dụng máy tính bỏ túi kỹ thuật giải nhanh toán trắc nghiệm để giúp học sinh ứng dụng làm tốt toán kỳ thi THPT quốc gia tới 3.2.3.Nội dung giải pháp Nội dung giải pháp nâng cao kỹ giải tốt số toán cực trị số gồm ba phương pháp giải: Thứ nhất: Phương pháp đại số Thứ hai: Phương pháp hình học Thứ ba: Phương pháp sử dụng máy tính Casio 3.2.3.1 Phương pháp đại số A.Cơ sở lý thuyết liên quan Bất đẳng thức tam giác , dấu “=” xảy với , dấu “=” xảy với , dấu “=” xảy với , dấu “=” xảy với Bất đẳng thức Cauchy Với khơng âm, ta ln có : Dấu “=” xảy Bất đẳng thức Bunhiacopxky: -3- skkn Dấu “=” xảy Công thức trung tuyến Chứng minh: Ta có: Mà Từ suy ra: B Các dạng toán thường gặp Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn giá trị lớn A B -2 C Lời giải Ta có Tìm giá trị nhỏ , suy , suy Đáp án A -4- skkn D Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A B C Tính D Lời giải Ta có: Do Đáp án C Bài toán Trong số phức thỏa mãn , gọi số phức có mơđun lớn nhỏ Tính tổng phần ảo hai số phức A 8i B C -8 D Lời giải Ta có * Giá trị lớn là với Do * Giá trị nhỏ với -5- skkn Do Vậy tổng hai phần ảo Đáp án B Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Ký hiệu Tìm mơđun số phức A B C D Lời giải Ta có Nên   Vậy Đáp án A Bài tốn Trong số phức z thỏa có phần thực khơng âm cho A B , tìm số phức đạt giá trị lớn C D Lời giải Giả sử số phức Khi -6- skkn Ta có lớn nhỏ Khi  Do số phức z cần tìm thỏa Vậy Đáp án D Bài toán 6: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn A T = B T =10 C T = Lời giải Áp dụng công thức trung tuyến ta có: Suy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky: Suy Vậy -7- skkn D T= Bài toán tương tự: Cho hai số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A B C D Đáp án chọn C Bài toán 7: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tính mơ đun số phức w = M + mi A B C D Lời giải Đặt Ta có Đặt Khi Suy Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác Suy Vậy Đáp án B 3.2.3.2 Phương pháp hình học A Cơ sở lý thuyết liên quan -8- skkn  : Điểm biểu diễn số phức z nằm đường trịn tâm bán kính  : Điểm biểu diễn số phức z nằm đường trung trực đoạn AB với  , với + Đoạn thẳng , + Elip (E) nhận làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn 2a  Đặc biệt : : Điểm biểu diễn số phức z nằm Elip (E): với ( a, b, c dương) B Các dạng toán thường gặp * Dạng Tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường thẳng Gọi H hình chiếu vng góc O lên  Khi Bài tốn Trong số phức z thỏa mãn số phức z có mơđun nhỏ A B C D -9- skkn Tìm Lời giải Gọi số phức Ta có   Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng d: Khi nhỏ M hình chiếu vng góc O lên d Gọi đường thẳng  qua O vng góc với d có phương trình : Do , nghĩa tọa độ M nghiệm hệ Đáp án C Cách 2: Với tốn có cho sẳn đáp án ta thay z đáp án vào đề thỏa: kiểm tra mơđun nhỏ Bài tốn Xét tất số phức Tìm số phức z cho thỏa mãn có mơđun nhỏ A B C D Lời giải Xét số phức , có điểm biểu diễn - 10 - skkn  Khi Do điểm biểu diễn số phức z nằm đường thẳng : Ta có Gọi  Gọi H hình chiếu A lên   Đường thẳng d qua A vng góc với  có phương trình d: Tọa độ H nghiệm hệ phương trình Đáp án B * Dạng Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn a) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường trịn (C) có tâm bán kính R Gọi  đường thẳng qua hai điểm O I Khi đường thẳng  cắt (C) hai điểm hình vẽ bên - 11 - skkn *Do * Tìm tọa độ hai điểm A, B (tức tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất) + Lập phương trình đường thẳng  qua hai điểm O I có dạng : + Tìm A, B giao điểm  (C) nghĩa ta giải hệ Hai nghiệm  tọa độ hai điểm A, B , so sánh độ dài OA, OB Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn Ta có cơng thức b) Trong số phức z thỏa mãn , lớn nhất, giá trị nhỏ Gọi I, A, M điểm biểu diễn số phức - 12 - skkn Tìm giá trị Khi Suy Muốn tìm số phức z cho đường trịn ta tìm giao điểm với đường thẳng AI Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn Ta tìm Bài tốn Cho số phức z thỏa mãn Môđun lớn số phức z A B C D Lời giải Gọi số phức  Ta có Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn tâm bán kính Với O gốc tọa độ Vậy Đáp án B Bài toán 4: Nếu số phức z thỏa mãn có giá trị lớn A B C Lời giải Ta có - 13 - skkn C.6  Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm , bán kính Vậy Đáp án D Bài toán 5: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ A.7 B C D Lời giải điểm biểu diễn số phức phức z đường Ta có trịn tâm bán kính Từ ta chọn số phức có điểm biểu diễn Vậy Đáp án B Bài toán 6: Trong tất số phức z thỏa mãn gọi , số phức có giá trị biểu thức A B C D - 14 - skkn , đạt giá trị nhỏ Tính Lời giải Từ suy điểm biểu diễn số phức z đường trịn (C) có tâm , bán kính Từ ta chọn có điểm biểu diễn Đường thẳng qua I A có phương trình Gọi M, N giao điểm d với đường tròn (C), suy tọa độ M, N nghiệm hệ  N điểm biểu diễn số phức z cần tìm Khi   Đáp án A Bài tốn 7: Cho số phức z thỏa mãn z số thực số thực Giá trị lớn biểu thức A B C Lời giải - 15 - skkn là: D Ta có: Vì w số thực nên Từ (1), (2) suy (vì z khơng số thực nên ) Đặt suy điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm bán kính Đáp án B Cách 2: Ta có w số thực nên số thực Đặt số thực Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn Đặt * Dạng Tập hợp điểm biểu diễn số phức z Elip a) Số phức z thỏa mãn (hoặc ) Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường Elip (E) : với , dương, - 16 - skkn có:hai tiêu điểm: ;bốn đỉnh: dài trục lớn: ;độ dài trục nhỏ: Vậy ;độ ;tiêu cự: ; b) Cho số phức z thỏa mãn với Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ với Bài toán Cho số phức z thỏa mãn A Giá trị nhỏ B C D Lời giải Cách 1:Gọi số phức suy Ta có nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z Elip có phương trình (E): - 17 - skkn Theo hình vẽ Đáp án B Cách 2: Gọi phức z, có trung điểm M điểm biểu diễn số Áp dụng hệ thức lượng tam giác MAB, đường trung tuyến MO, ta có Mà theo giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky: Do Bài tốn Trong tất số phức z thỏa mãn Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giá trị biểu thức A B C D Lời giải Áp dụng : Khi đó, từ Elip (E): ta có  điểm biểu diễn số phức z Elip : Vậy Suy - 18 - skkn với Khi , Đáp án D Bài toán 10 Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A B C D Lời giải  Ta có Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ta chọn Do Ta có ; Khi   Đáp án A Bài toán 11: Xét số phức z thỏa mãn Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A B C D Lời giải Gọi M điểm biểu diễn số phức z, - 19 - skkn Tính Từ nên ta có M thuộc đoạn thẳng Gọi H hình chiếu N lên , ta tìm Suy Đáp án B 3.2.3.3 Phương pháp sử dụng máy tính Casio A Phương pháp chung  Bước : Đặt biến đổi theo điều kiện để tìm hệ thức điều kiện  Bước : Rút x (hoặc y ) từ hệ thức điều kiện vào biểu thức tìm max  Bước : Sử dụng chức tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ tam thức bậc hai MODE 53 (với máy tình 570 VN PLUS) sử dụng MODE Casio để tìm max B Các dạng tốn thường gặp Bài toán Cho số phức z thỏa mãn , số phức có mơđun nhỏ A B C D Lời giải Với dạng toán trắc nghiệm đáp án số phức z cho sẵn nên ta thực sau:  Thay z đáp án vào điều kiện chức CALC máy tính: - 20 - skkn đề ta số phức thỏa  So sánh môđun: , , , Do số phức , số phức có mơdun nhỏ Đáp án D Bài toán Cho số phức z thỏa điều kiện Phần ảo số phức z có mơđun nhỏ A B C D Lời giải Đặt Từ ta (d) Sử dụng máy tính Cách 1: Từ đáp án cho phần ảo ta thay vào (d) tìm phần thực suy môđun số phức A B C D Vậy đáp án chọn D Cách 2: Từ  - 21 - skkn Khi Đặt Với máy tính 570VN PLUS ta bấm Mode 53 nhập a=5, b=4, c= bấm tới Từ suy Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Gọi số phức có mơđun nhỏ nhất, A B C D Đáp án khác Lời giải Đặt Từ ta  Ta có Đặt Với máy tính 570VN PLUS ta bấm Mode 53 nhập a=10, b=-24, c= 16 - 22 - skkn Bấm tới Vậy    , Vậy đáp án B Bài toán Cho số phức z thỏa mãn A B C D Tìm giá trị lớn Lời giải Đặt Từ ta với Ta có  Dùng máy tính với chức Table (Mode 7) nhập Start -1, End 1, Step (1-(-1))/29 Ta bảng - 23 - skkn Suy hay Từ ta suy Vậy đáp án chọn A 3.3 Khả áp dụng giải pháp Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng cho giáo viên dạy mơn tốn lớp 12 chương số áp dụng ôn tập cho học sinh chuẩn bị ôn tập kỳ thi THPT quốc gia tới 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu áp dụng giải pháp Đề tài bắt đầu nghiên cứu thực trạng từ năm học 2016 - 2017 đơn vị thực nghiệm từ đầu năm học 2017-2018 Qua thời gian thực hiện, thân nhận thấy việc thực đề tài mang lại hiệu tích cực sau: + Học sinh biết vận dụng kiến thức học giải tốt tốn liên quan nhanh, xác + Học sinh khơng cịn ngán ngẫm, e dè gặp tốn khó số phức phát triển thành dạng toán phức tạp Đa số có thái độ hứng thú học tập làm chủ kiến thức, sẵn sàng cho kỳ thi THPT quốc gia + Chất lượng giáo dục ngày tăng lên, tỉ lệ học sinh giỏi tăng lên rõ rệt Để đánh giá mức độ thành công đề tài, tiến hành kiểm tra lớp thực đề tài lớp chưa thực đề tài Kết quả: lớp chưa thực đề tài khơng đạt kết tốt, học sinh chưa làm nhiều, giải khoảng 20%, đa số cịn e dè, - 24 - skkn khơng giải được;Tuy nhiên, lớp thực đề tài học sinh đa số thực tốt giải khoảng 80% đến 90% 3.5 Tài liệu kèm theo gồm: không Bến Tre, ngày 17 tháng năm 2018 - 25 - skkn ... dè, - 24 - skkn không giải được;Tuy nhiên, lớp thực đề tài học sinh đa số thực tốt giải khoảng 80% đến 90% 3.5 Tài liệu kèm theo gồm: không Bến Tre, ngày 17 tháng năm 2018 - 25 - skkn ... xảy với Bất đẳng thức Cauchy Với khơng âm, ta ln có : Dấu “=” xảy Bất đẳng thức Bunhiacopxky: -3- skkn Dấu “=” xảy Công thức trung tuyến Chứng minh: Ta có: Mà Từ suy ra: B Các dạng toán thường gặp... phức z thỏa mãn giá trị lớn A B -2 C Lời giải Ta có Tìm giá trị nhỏ , suy , suy Đáp án A -4- skkn D Bài toán Cho số phức z thỏa mãn Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A B C Tính D Lời