TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÀO CAI TỔ TOÁN – TIN CHUYÊN ĐỀ HÌNH BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN GIÁO VIÊN TOÁN TRẦN THỊ PHƯỢNG LÀO CAI THÁNG 2 / 2019 1 sk[.]
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN LÀO CAI TỔ TỐN – TIN CHUN ĐỀ HÌNH : BÀI TỐN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN GIÁO VIÊN TOÁN: TRẦN THỊ PHƯỢNG LÀO CAI THÁNG / 2019 skkn BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRỊN Bài tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng tốn thường có tập, khơng lạ khó chứng minh học sinh, học sinh thường lúng túng giải chưa nắm sở để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết lý thuyết hình học liên quan đến dạng tốn như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường tam giác, Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc C, O D thẳng hàng; thẳng hàng - Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng song song với a - Hệ quả: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng A vng góc với a A B C B a a C BA// a, BC// a A, B, C thẳng hàng AC a , BC a A, B, C thẳng hàng (hay AB a, BC a A, B, C thẳng hàng) Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng Nếu AM + MB = AB M nằm A B skkn Bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: Chứng minh đường thẳng đường đặc biệt tam giác: Sử dụng tứ giác nội tiếp: Chứng minh đường thẳng chia đoạn (trong ngoài) theo tỉ số nhau: Sử dụng phép đối xứng: Áp dụng định lí Céva Tìm giao hai đường thẳng, sau chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao điểm Chứng minh điểm thuộc ba đường thẳng 7.Sử dụng tính chất đồng quy tam giác Ba đường thẳng chứa đường trung tuyến Ba đường thẳng chứa đường phân giác Ba đường thẳng chứa đường trung trực Ba đường thẳng chứa đường đường cao Sử dụng chứng minh phản chứng Sử dụng tính thẳng hàng điểm 10 Chứng minh đường thẳng qua điểm Một số phương pháp CM nhiều điểm thuộc đường tròn Các điểm cách điểm khác Các tam giác vng có cạnh huyền chung chung Hai tam giác có đáy chung góc đỉnh ( đối diện với đáy) phía ( nói cách khác từ giác có đỉnh liên tiếp nhìn đoạn cịn lại góc nhau) Tứ giác có tổng hai góc đối 180 độ ( Tứ giác có góc góc ngồi đỉnh đối) Các đỉnh hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng, đa giác skkn MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC TỈNH THÀNH TRONG CẢ NƯỚC Bài 1: [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI HSG VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VII MƠN TỐN: KHỐI 11 Năm học: 2013-2014] Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳng OD BE cắt K, đường thẳng OE AD cắt L Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K, L, M thẳng hàng bốn điểm C, D, O, H nằm đường tròn LỜI GIẢI: Áp dụng đinh lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác HAB ba điểm K, L, M ta có: K, L, M thẳng hàng (1) Ta lại có (cùng cạnh đáy OE) (cùng cạnh đáy OD), (Bởi , skkn R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tương tự ) Từ kết ta có trung điểm ED Bằng cách vẽ tiếp tuyến suy DE // OH // DE OH qua đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C, dễ dàng , suy CO vuông góc với DE Gọi P, Q trung điểm DE, HC Dễ thấy tứ giác CEHD nội tiếp, suy QP vng góc với DE Suy CO//QP Nếu HO qua trung điểm DE suy P trung điểm HO, suy EHDO hình bình hành, suy OD // EH EO // HD Điều trái với giả thiết OD cắt BE cà OE cắt AD Vậy (1) xảy OH // DE CO vng góc với OH E, H, O, D nằm đường trịn (vì ta ln có tứ giác CEHD nội tiếp đường trịn đường kính CH) Bài 2: (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho tam giác cân Một đường tròn tiếp xúc với cạnh cắt cạnh Đoạn cắt đường tròn Gọi điểm đối xứng qua Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh điểm tâm đường tròn thẳng hàng LỜI GIẢI skkn Gọi I tâm ; D, E theo thứ tự tiếp điểm ngoại tiếp tam giác MPQ AB, AC; (O) đường tròn Dễ thấy tứ giác MDKE điều hòa Do Dễ thấy DE // PK, mà Vậy nên Từ hay M, D, P thẳng hàng Chứng minh tương tự M, E, Q thẳng hàng Kết hợp với suy Do qua phép vị tự tâm M tỉ số k điểm M, D, E theo thứ tự biến thành điểm M, P, Q Vậy qua phép vị tự tâm M đường tròn biến thành đường trịn (O) skkn Do M, I, O thẳng hàng Bài 3: (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Lai Châu, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho nhọn, đường cao cắt Cho điểm tùy ý cạnh ( khác ) Kẻ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh thẳng hàng A N E L F O' H M O B D C K LỜI GIẢI Gọi L giao điểm thứ hai hai đường tròn (BKF) (CKE) Ta có tứ giác BFEC nội tiếp Do A thuộc trục đẳng phương hai đường tròn (BFK) (CEK) Suy A, L, K thẳng hàng Vì tứ giác BFHD nội tiếp nên Suy Mà Do tứ giác DHLK nội tiếp nên M, H, L thẳng hàng Tương tự N, H, L thẳng hàng Từ suy M, H, N thẳng hàng Bài 4: Cho đường trịn đường trịn tiếp xúc ngồi với hai đường trịn tiếp xúc ngồi skkn Đường tròn Tiếp tuyến chung C đường tròn Chứng minh , Đường kính , đường trịn đồng quy vng góc với ( Bắc Ninh 2018) LỜI GIẢI Gọi tiếp điểm đường tròn đường tròn Vì nên tiếp tuyến đường trịn nên Ta lại có suy ) nên Tương tự thẳng hàng thẳng hàng Suy Mà đường kính và đường trịn thẳng hàng tam giác hai tam giác cân có với đường trịn nên skkn đồng dạng tam giác (vì Suy đồng quy Gọi Áp dụng định lý Ceva ta có: (1) Giả sử cắt Suy (2) Tương tự (3) Từ (1), (2),(3) suy Do , suy trùng đồng quy Bài 5: Tam giác ABC có H trực tâm, M trung điểm BC, P điểm đoạn HM Gọi D, E, F hình chiếu P AH, AB, AC Đường thẳng HM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K, G (M nằm H K) Tiếp tuyến E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF cắt T Chứng minh ba điểm G, D, T thẳng hàng (Hưng Yên 2018) Gọi AK’ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi K’, H, M thẳng hàng Vậy K’ trùng K Ta có Suy Gọi R, S chân đường cao theo thứ tự hạ từ B, C tam giác ABC Xét đường tròn (AGBC), (AGSHR), (BSRC) có trục đẳng phương AG, SK, BC TH1: AG, SK, BC song song trùng tam giác ABC vng cân A Khi tiếp tuyến E F (AEF) song song TH2: AG, SK, BC đồng quy T’ Ta có Suy GEDF tứ giác điều hịa Do G, P, T thẳng hàng skkn A G R S F H E D P B C M K T Bài 6: Cho tam giác Gọi tiếp điểm với nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đường tròn Gọi điểm cung chứa cung khơng chứa cắt điểm thứ hai Gọi điểm đối xứng qua cắt điểm thứ hai giao a) Chứng minh đường thẳng song với b) Chứng minh đường nối trực tâm tam giác qua G: Gọi giao trịn đường kính Ta thấy điểm đồng quy song trực tâm tam giác thuộc đường Xét tam giác có Tương tự ta có Do tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm thẳng hàng nên đường tròn đường kính BIC Do đường trịn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc Các trục đẳng phương ba đường trịn: , đường trịn đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy tâm 10 skkn S A F1 E1 N J F V R C1 G B1 L E O I H C D B P Z M K T đẳng phương Do tiếp tuyến chung đường trịn đường kính trịn ngoại tiếp tam giác qua Do Giả sử Ta xét hai tam giác Mà đường nên tam giác đồng quy có chung vng Từ suy Bài 7: 11 skkn hay Cho tam giác ABC cân A có , đường cao CD Gọi E trung điểm BD, M trung điểm CE, phân giác góc cắt CE P Đường trịn tâm E đường kính BD cắt đoạn BC F, đường tròn tâm C bán kính CD cắt AC Q Gọi a Chứng minh P, Q, F thẳng hàng b Chứng minh tam giác vuông (Lương Văn Tụy 2018) A Q L K D N E P S B M C F T Gọi T giao điểm DP đường trịn tâm C bán kính CD, Vì nên Vì nên Vậy Kết hợp với , suy 12 skkn Vì nên Do đó: (2) Từ (1) (2) suy CE, TD, QF đồng quy Điều có nghĩa P, Q, F thẳng hàng Vì nên CNEF hình bình hành Do (3) Từ (3), áp dụng định lí Menelaus cho tam giác NQF cát tuyến KMA, suy ra: Từ (3) (4), áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BQF cát tuyến KCL, theo định lí Thales, ý AC=AB, suy ra: Do AL phân giác góc Kết hợp với AB=AC, suy LB=LC Vậy Vì nên Vậy Từ (5), (6) suy Do đó: Kết hợp với ta suy ra: Do tứ giác DKCF nội tiếp Vậy Bài 8: (đpcm) Cho tam giác ABC cân A có , đường cao CD Gọi E trung điểm BD, M trung điểm CE, phân giác góc cắt CE P Đường trịn tâm E đường kính BD cắt đoạn BC F, đường trịn tâm C bán kính CD cắt AC Q Gọi a Chứng minh P, Q, F thẳng hàng 13 skkn b Chứng minh tam giác vuông (Lương Văn Tụy 2018) A Q L K D N E P S B M F C T Gọi T giao điểm DP đường tròn tâm C bán kính CD, Vì nên Vì nên Vậy Kết hợp với , suy Vì nên Do đó: (2) Từ (1) (2) suy CE, TD, QF đồng quy Điều có nghĩa P, Q, F thẳng hàng b Vì nên CNEF hình bình hành Do (3) Từ (3), áp dụng định lí Menelaus cho tam giác NQF cát tuyến KMA, suy ra: 14 skkn Từ (3) (4), áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BQF cát tuyến KCL, theo định lí Thales, ý AC=AB, suy ra: Do AL phân giác góc Kết hợp với AB=AC, suy LB=LC Vậy Vì Vậy Từ (5), (6) suy Do đó: nên Kết hợp với Do tứ giác DKCF nội tiếp Vậy (đpcm) ta suy Bài 9: Cho ngũ giác lồi ABCDE.Gọi F điểm nằm AC cho tam giác ABF,ACD,ADE tam giác đồng dạng đồng thời: (1) Gọi M trung điểm CF X đỉnh thứ tư hình bình hành AMXE Chứng minh rằng:BD,EM FX đồng quy 15 skkn (Hải Dương 2018) Đặt góc (1) Do EA = ED nên B,F,E thẳng hàng nên ED song song AM E,D,X thẳng hang M trung điểm CF nên MF=MB Do F,D nằm EB,EX EF=ED nên BD XF đối xứng với qua EM Vậy BD,XF,EM đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, Gọi M điểm thay đổi cạnh AB Đường thẳng CM cắt đường trịn đường kính BM điểm thứ hai N cắt đường trịn tâm A bán kính AC điểm thứ hai D Đường thẳng AN cắt đường trịn đường kính BM lại điểm thứ hai E 16 skkn Chứng minh M thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DEM nằm đường thẳng cố định Giả sử Gọi P điểm cạnh BC cho (Huế 2018) , d đường thẳng qua A vuông góc với MP Chứng minh ba đường thẳng d, BN ME 17 skkn đồng quy điểm C O P d A H M I B K N E T D C' 18 skkn a) Ta có Suy tứ giác AMED nội tiếp Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A, tứ giác AC’MD nội tiếp.Vậy điểm A, M, E, D, C’ nằm đường tròn (T) Tâm T đường tròn tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DEM Vì C’ cố định nên AC’ cố định, từ suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM nằm đường thẳng cố định, đường trung trực AC’ Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường thẳng d đường trung trực AH Gọi O trung điểm BC Ta chứng minh MP song song với OT Gọi H trung điểm AM, K trung điểm AB I trung điểm HK, Khi tứ giác HTKO hình bình hành Sử dụng giả thiết suy Suy Vì Suy nên Suy , Ta có ME trục đẳng phương đường trịn đường kính BM đường trịn 19 skkn (T) BN trục đẳng phương đường tròn đường kính BM đường trịn đường kính BC, d trục đẳng phương (T) đường trịn đường kính BC Suy ba đường thẳng d, ME, BN đồng quy điểm Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O).Trên đường tròn (O) lấy điểm E điểm cung nhỏ BC Gọi M trung điểm BC, F đối xứng với M qua E BF cắt AC N, CF cắt AB P Từ F kẻ đường thẳng song song với BC cắt AE K a) Chứng minh điểm A, F, K, N, P thuộc đường tròn (I) b) Tiếp tuyến P đường tròn (I) cắt BC S Chứng minh SN tiếp tuyến đường tròn (I) 20 skkn ...BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẢNG HÀNG ĐỒNG QUY; NHIỀU ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRỊN Bài tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng tốn thường có tập, khơng lạ khó chứng minh. .. thẳng chứa đường phân giác Ba đường thẳng chứa đường trung trực Ba đường thẳng chứa đường đường cao Sử dụng chứng minh phản chứng Sử dụng tính thẳng hàng điểm 10 Chứng minh đường thẳng qua điểm Một... giao hai đường thẳng, sau chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao điểm Chứng minh điểm thuộc ba đường thẳng 7.Sử dụng tính chất đồng quy tam giác Ba đường thẳng chứa đường trung tuyến Ba đường thẳng