Skkn báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ những phương trình vô tỷ được giải bằng cách đặt ẩn phụ

Sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải phương trình vô tỷ” BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1 Lời giới thiệu Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức kì thi THPT quốc gia nhằm cả hai mục đích là[.]

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức kì thi THPT quốc gia nhằm hai mục đích xét tốt nghiệp tuyển sinh ĐH – CĐ Đặc biệt Mơn Tốn thi trắc nghiệm 100% Đề thi phải đảm bảo mục đích Hình thức thi tiếp tục áp dụng vài năm Qua nghiên cứu, phân tích xu đề thi đề thi thử nghiệm giáo dục đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT khắp nước , với tích lũy thân cho thấy đề thi vài năm tới chuyển sang câu hỏi trắc nghiệm thêm phần lớp 10 chủ đề phương trình vơ tỷ khơng thể bỏ qua Khi gặp chủ đề nhiều giáo viên chưa có định hướng đề rõ ràng, đại đa số học sinh lúng túng không Để khắc phục khó khăn cho giáo viên học sinh hướng tới kì thi THPT Quốc gia, qua nghiên cứu tài liệu kinh nghiệm giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia, thực nghiên cứu đề tài: “Kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ phương trình vơ tỷ giải cách đặt ẩn phụ” Tên sáng kiến: Kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ phương trình vơ tỷ giải cách đặt ẩn phụ Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Trần Quyết - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Liễn Sơn - Số điện thoại: 0973.801.725 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trần Quyết E_mail: tranquyetsp2@gmail.com Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Luyện thi THPT Quốc gia Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Từ 05 tháng 12 năm 2019 lớp 10A1, 10A7, 10A8- trường THPT Liễn Sơn Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: Dạng 1: Đặt mợt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai Dạng 2: Đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình Dạng 3: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Dạng 4: Đặt hai ẩn phụ đưa phương trình Dạng 5: Đặt ẩn phụ khơng hoàn toàn skkn PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: Đặt một ẩn phụ đưa phương trình bậc hai Mợt sớ dạng bản thường gặp:   t  f  x  , t  a f  x   b f  x   c    at  bt  c  PP f  x  g  x  Thí dụ PP f  x  g  x   h  x   t  Giải phương trình: x  x  11  31 f  x  g  x  1.1 Giải ● Đặt t  x  11,  t  11  t  x  11  x  t  11 t   t  7  1.1   t  11  t  31  t  t  42     L ● Với t   x  11   x  25  x  5 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x  5  x  Từ lời giải tự luận ta có số kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x  x  11  31 có nghiệm là: A x  5  x  B x  5 C x  D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến biểu thức nghiệm phương trình: Phương trình x  x  11  31 có nghiệm x1 , x2 Khi a) T  x1.x2 bằng: A T  25 B T  25 C T  10 D T  Đáp án: B b) T  x1  x2 bằng: A T  25 B T  25 C T  10 D T  Đáp án: D skkn 2 c) T  x1  x2 bằng: A T  25 B T  25 C T  50 D T  Đáp án: C Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình x  x  11  31 cách đặt ẩn phụ t  x  11,  t  11 Khi Ta có phương trình là: A t  t  42  B t  t  42  C t  t  20  D t  t  20  Đáp án: A Giải phương trình: Thí dụ 2 x2  x    x2  x  1.2  Giải  1.2  ● x  x  1  x  x     2  * Đặt t  x  x    t  x  x  Lúc đó:  *  t  1 t t   0  2  t  3  L ● Với t   t  x  x    x  x   x   x  2 ● Vậy nghiệm của phương trình là x  2  x  Từ lời giải tự luận ta có số kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình 2x2  x    x2  2x có nghiệm là: A x  2  x  B x  2 C x  D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến biểu thức nghiệm phương trình: Phương trình x  x    x  x có nghiệm x1 , x2 Khi a) T  x1.x2 bằng: A T  B T  C T  2 D T  10 skkn Đáp án: B b) T  x1  x2 bằng: A T  B T  2 C T  D T  8 Đáp án: B 3 c) T  x1  x2 bằng: A T  8 B T  C T  D T  Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình x  x    x  x cách đặt ẩn phụ t  x  x   Khi : Ta có phương trình là: A t t  0 2 C  t  t   2 B t t   2 D t t  0 2 Đáp án: A Thí dụ x2  5 x  Giải phương trình:  x  2   x  4  1.3     14 Giải x    2  x  ● Điều kiện:  5  x  ● Đặt  t  x    x B C S  12  12  x2 t2   t    x  2   x    x  2   x   2 t  t2    t  2t  15     1.3  t  t  ● Với t    x  2   x    L t2  1   x     x     x  3x    x  skkn 3 2 5 x ● So với điều kiện nghiệm của phương trình là x  33 33  x 2 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x   5 x   x  2   x  4 có nghiệm là: A x  33 33  x 2 B x  33 C x  33 D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến biểu thức nghiệm phương trình: Phương trình x   5 x   x  2   x   có nghiệm x1 , x2 Khi a) T  x1.x2 bằng: A T  B T  9 C T  3 D T  Đáp án: B b) T  x1  x2 bằng: A T  B T  9 C T  3 D T  Đáp án: D 2 c) T  x1  x2 bằng: A T  B T  9 C T  27 D T  27 Đáp án: D Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình x   5 x   x  2   x   cách đặt ẩn phụ t  x    x Khi : Ta có phương trình là: A t  2t  15  B t  2t  15  C t  2t  15  D t  2t  15  Đáp án: A Thí dụ Giải phương trình: x   x   x  2 x  x   16 skkn  1.4  Giải ● 2 x     x  1 Điều kiện:  x   2 x  x   x  x       ● Đặt t  x   x  1,  t    t  3x   2 x  x   1.4  t  t   16  t  t  20   t  ●  L Với t   25  x   2 x  x   2 x  x   21  3x x  21  x  x       x   x   x  146 x  429  4  x  x  3   21  3x    x  143  ●  t  4 So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất x  Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x   x   3x  2 x  x   16 có nghiệm là: A x   x  3 B x  C x  3 D Vô nghiệm Đáp án: B Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình x   x   3x  2 x  x   16 cách đặt ẩn phụ t  x   x  1,  t   Khi : Ta có phương trình là: A t  t  20  B t  t  20  C t  t  20  D t  t  20  Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình : Phương trình A x   x   3x  2 x  x   16 B có số nghiệm là: D C Đáp án: B Thí dụ Giải phương trình: x  1   x x   1.5  Giải  1.5  x  x    x 2x2   x2  x2  2   x 2x2  skkn  * ● t2 Đặt t  x x   t  x  x    x  x    2  *  ● 2 2 t2   t  t  2t    t  4  t  x  x  t  4  x x   4     x 2 x  x   x    x   x  t   x x     x ●   2 x  x   x      ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x    x  1 1 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình  x  1   x x  A x    x  C x  có nghiệm là: B x   1 D Vô nghiệm 1 Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình  x  1   x x  cách đặt ẩn phụ t  x x  Khi : Ta có phương trình là: t2 A   t C  t2 B   t t2  4t D t2  4  t Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình : Phương trình  x  1   x x  A có số nghiệm là: B D C Đáp án: C Thí dụ Giải phương trình: x  x x   3x  x Giải skkn  1.6  x  x      x 1  x   1;0    1;   ● Điều kiện:  x      x  x ● Chia hai vế phương trình cho x  0, ta được:  1.6   x  x 1 3 x x  x 1  x  3  x x  * 1 ● Đặt t  x  ,  t    t  x  x x t   *  t  2t     t  3 ● Với t   x   N  L 1 1   x    x2  x    x  x x ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x  1 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x  x x   3x  x có nghiệm là: A x  1 B x  1 C x  1 D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: 1  3x  cách đặt ẩn phụ t  x  ,  t   Khi : x x Ta có nghiệm phương trình là: Phương trình x  x x  t  A  t  3 B t  C t  3 D.Vô nghiệm Đáp án: B Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình : skkn Phương trình x  x x  A  3x  có số nghiệm là: x B D C Đáp án: C Dạng 2: Đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình u  n a  f  x   α a  f  x   β b  f  x   c  đặt  mb f x v     n Thí dụ PP m Giải phương trình: 3 x    x    1.7  Giải ● Điều kiên:  x   x  3 u  3 x  u  x  5u  15 x  10    5u  3v   1 ● Đặt  3v  15 x  18 v   x  v  5 x  ● Lúc đó:  1.7   2u  3v     Từ  1   ta có hệ phương trình: 2u   5u  3v  u  2 v     v  u  v    15u  4u  32u  40   u  3 x   2 3 x   8  x  2     x  2 6  x  16  x  2 v   x  ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x  2 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình 3 x    x   có nghiệm là: A x  2 B x  C x  2 D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: u  3 x  Phương trình x    x   cách đặt ẩn phụ  Khi ta v   x  có nghiệm hệ phương trình là: skkn u  2 A  v  u  2 B  v  4 u  C  v  u  D  v  4 Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm hệ phương trình : u  3 x  Phương trình x    x   cách đặt ẩn phụ  Khi v   x   số nghiệm hệ phương trình là: A B D C Đáp án: B Thí dụ Giải phương trình:  x  x 1   1.8  Giải 5  x   1 x  ● Điều kiện:  x 1  u   x  u   x   u  v4  ● Đặt  v  x  v  x    2 u  v  u  v    ● Từ  1.8  ,     4 2 u  v    u  v   2uv   2u v  u  v  u  v  u  v  u  v         2 2 uv  u v  uv   uv  u v   uv        u  u     v  v  u    x    x  ● Với  v    x   u    x    x  ● Với  4 v    x   x  ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm  x  10 skkn Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình  x  x   có nghiệm là: x  A  x  B x  C x  D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: u   x  Phương trình  x  x   cách đặt ẩn phụ  Khi ta có v  x   nghiệm hệ phương trình là: 4 u  u    A  v  v  u  B  v  u  C  v  u   u  D    v  v  Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm hệ phương trình : u   x Phương trình  x  x   cách đặt ẩn phụ  Khi ta có số v  x  nghiệm hệ phương trình là: A B D C Đáp án: C Thí dụ Giải phương trình:   x    x    x   x   1.9  Giải ● u   x u   x   u  v3  Đặt  v   x v   x  2 2 u  v  uv  u  v  uv   u  v   3uv     1.9 ,     3 2 u  v u  uv  v      u  v  u  v   u  v  u  u  1   x 8   x  x  6         uv  v  v  8   x 1   x x 1 11 skkn ● Vậy phương trình có hai nghiệm : x  6  x  Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình   x    x     x    x   có nghiệm là: A x  6  x  B x   x  1 C x  6  x  1 D x   x  Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình   x    x     x    x   cách đặt ẩn phụ u   x Khi ta có hệ phương trình là:  v   x  u  v   3uv  A  u  v   u  v   3uv  B  u  v   u  v   3uv  C  u  v  3  u  v   3uv  D  u  v  Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến số nghiệm hệ phương trình : Phương trình   x    x     x    x   cách đặt ẩn phụ u   x Khi số nghiệm hệ ẩn u, v là:  v   x A B C D Đáp án: C Dạng 3: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình  x n  by  a  x  a  b bx  a  y  bx  a đưa về hệ đối xứng loại II:  n  y  bx  a  n n PP n  ax  b  cx  dx  e PP   đặt  a  0, c  0, a  c ax  b  2cy  d đưa về hệ đối xứng loại II Thí dụ 10 Giải phương trình: x   x  Giải 12 skkn  1.10   2 ● Đặt y  x   y  x   y   x  x3   y   x   y    1.10  ,     3  x  y   y  x   y   x  x3   y  x3   y   2 2 x  y x  xy  y  x  y          x  y   x  xy  y      x3  x    x   y    x  y x   x  y     x3   y    x  1   x   y       y  3y2   x  xy  y    x     VN      4   ● Vậy phương trình có ba nghiệm: x   x  1  1   x 2 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x3   x  có nghiệm là: A x   x  1  1   x 2 B x  1  1   x 2 C x   x  1  D x   x  1  Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình x3   x  cách đặt ẩn phụ y  x  Khi ta có ta có hệ đúng:  x   y A   y   x  x   y B   y   x  x   y C   y   x  x   y D   y   x Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình: Phương trình x3   x  , Khi ta có số nghiệm phương trình là: A B C 13 skkn D Đáp án: D Thí dụ 11 Giải phương trình: x  x   x7  1.11 Giải ● Điều kiện: x  7 x7 , ● Đặt y    1.11  3 x  1  y  1  y  y   x7  3y2  y  x    y   3x  x  y   2 y  x 3 y  y  x  y  x   ● Từ  1 ,     y    x 3  y  x    3x  x  y    3  x    1  3  4  x  1 x7 5  73  x 3 x  x    4    x   x7 7  69 7  x    x 9 x  21x    ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x  5  73 7  69  x 6 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x  x   x7 có nghiệm là: A x  5  73 7  69  x 6 B x  5  73 C x  5  73 7  69  x 6 D x  7  69 Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: x7 cách đặt ẩn phụ y   ta có nghiệm hệ phương trình là: Phương trình x  x   14 skkn x7 ,  y  1 Khi y  x A  y    x  B y  x C y    x  y  x D  y    x  Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình : Phương trình x  x   A x7 có số nghiệm là: B C D Đáp án: C Nhận xét: Ta đưa thêm câu hỏi trắc nghiệm khách quan đặt ẩn phụ : u  x  1,  u  6   3u   v   x 1 2 0  v  3v   u  Thí dụ 12 Giải phương trình: 1  2 x  x2  1.12  Giải  x  ● Điều kiện:    x  ● Đặt y   x ,  1.12   ●  y    y   x  x  y   1 1    x  y  xy x y  2  x  y  xy  x  y  xy     2 2 x  y   x  y   xy   xy    xy     x  y  xy Từ  1 ,      x  y  xy  x  y  xy    2 xy  xy        xy   xy    15 skkn   xy    1   1  x x    x  y  x    2      y  1    xy     y  1   y  1     2   x  y  1 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là: x   x  1  Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình 1   có nghiệm là: x  x2 A x   x  1  B x  1  x  C x   x  1  D x   x  1  1 Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: 1   cách đặt ẩn phụ y   x ,  y   Khi ta có x 2 x mệnh đề sau đúng: Phương trình  x  y  xy A  2 x  y   x  y  2 xy B  2 x  y   x  y  xy C  2 x  y   x  y  xy D  2 x  y  Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm hệ phương trình : Phương trình A 1   có số nghiệm là: x  x2 B C Đáp án: C Dạng 4: Đặt hai ẩn phụ đưa phương trình 16 skkn D  a n A2  b n AB  c n B   PP Dạng phương trình :  a A  x   b.B  x   c A  x  B  x   đặt   α A  β.B  mA2  nB  u , v  PT : αu  βuv  γv  Thí dụ 13 Giải phương trình:   x    x   1 x 0  1.13 Giải ● Điều kiện:  x   1  x  u   x  2 ● Đặt  Lúc đó:  1.13  2u  3uv  v  v   x   1 ● Do v  :  1  2u   u   x  1 không là nghiệm của   nên chia hai vế của  1 cho v  ta được: u  v  1 u u  1           v v u    v 2  L ● Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình   x    x    x   có nghiệm là: 2 B x  A x  1 C x  1 D Vô nghiệm Đáp án: D Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình   x    x  4  1 x u   x   cách đặt ẩn phụ  v   x  Khi ta có phương trình là: A 2u  3uv  v  B 2u  3uv  v  C 2u  3uv  v  D 2u  3uv  v  17 skkn Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình : Phương trình   x    x    x   có số nghiệm là: A B D C Đáp án: A Lưu ý: Ta có thể giải bằng cách, chia hai vế của   cho  1 x  và thu được 1 x 1 x  1 x  và cũng được phương phương trình:    0, rồi đặt t    34 1 x 1 x  1 x  trình 2t  3t   Từ cách ta tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan Thí dụ 14 Giải phương trình:  x      x   3   x   2  1.14  Giải 2 ● Đặt u  x  2, v   x và lúc đó  1.14   4u  7uv  3v   1 ● Do v  không là nghiệm của phương trình  1 nên chia hai vế  1 cho v  : u u u u  1             v v v v ● Với u 1 v ● Với u   v x2 x2 1 1 x  2 x 2 x 3 x2 x2 74     x 2 x  x 16 91 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x   x   74 91 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình  x      x   3   x   có nghiệm là: A x   x   C x   x  2 74 91 B x   74 91 74 91 D x  Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: 18 skkn Phương trình  x      x   3   x   cách đặt ẩn phụ 2 u  x  2, v   x Khi ta có mệnh đề đúng: u  v  A  u   v u  v  B  u    v u  v  1 C  u   v u  v  1 D  u    v Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình : Phương trình  x      x   3   x   có số nghiệm là: A 2 B D C Đáp án: C Dạng 5: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Thí dụ 15 Giải phương trình sau: x  x    x  3 x2   1.15  Giải ● Đặt t  x    t  x  Lúc đó:  1.15  t  3x   x  3 t  t   x  3 t  3x   1 ● Lúc đó, ta xem  1 là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số  x 3 x 3 x t  2 2 Δ   x  3  12 x  x  x    x     t  x   x    x  ● Với t  x  x   x   vô nghiệm x 1  x ● Với t   x    x    x  2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x  2 Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: 19 skkn Phương trình x  3x    x  3 x  có nghiệm là: A x  2 B x  2 C x  2 D Vô nghiệm Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: Phương trình x  3x    x  3 x  cách đặt ẩn phụ t  x   u  x  2, v   x Khi ta có mệnh đề đúng: t  x A  t  t   x B  t  t  x C  t  3 t   x D  t  3 Đáp án: A Kỹ thuật 3: Hỏi liên quan đến cách số nghiệm phương trình: Phương trình x  3x    x  3 x  có số nghiệm là: A B D C Đáp án: C Thí dụ 16 Giải phương trình sau:  x  1 x3   x  x   1.16  Giải ● Đặt t  x   t  x   x  2t   1.16    x  1 t  2t  x   2t   x  1 t   x  1   1 ● Lúc đó, ta xem  1 là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số  4x 1  4x   2x 1 t  2 Δ   x  1   x  1   x  3   t  x   x     x   x  2 ● Với t  x   x   x     x  4x  4x   20 skkn ... 5 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x  5  x  Từ lời giải tự luận ta có số kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình x ... Vậy nghiệm của phương trình là x  2  x  Từ lời giải tự luận ta có số kỹ thuật tạo câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Kỹ thuật 1: Hỏi trực tiếp nghiệm phương trình: Phương trình 2x2  x ... Đáp án: A Kỹ thuật 2: Hỏi liên quan đến cách đặt ẩn phụ phương trình để hạn chế máy tính cầm tay: x7 cách đặt ẩn phụ y   ta có nghiệm hệ phương trình là: Phương trình x  x   14 skkn x7