Microsoft Word ÐS9 C4 CD3 H? TH?C VI ÉT VÀ ?NG D?NG docx CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG A TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hệ thức Vi ét Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 (a 0) Nếu[.]
CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ thức Vi-ét Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = (a 0) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình thì: b S x1 x2 a P x x c a Ứng dụng hệ thức Vi-ét a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm lại x2 c a c - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1, nghiệm cịn lại x2 a b) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X2 - S X + P = II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Khơng giải phương trình, tính giá trị biêu thức đối xứng nghiệm Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: a Từ áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: S x1 x2 c b P x1.x2 a a Bước Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề theo tổng x1 + x2 tích x1x2 sau áp dụng Bước Chú ý: Một số biểu thức đối xứng nghiệm thường gặp là: A x12 x22 ( x1 x2 ) 2x1 x2 S P; B x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) S 3PS; C x14 x24 ( x12 x22 ) 2x12 x22 ( S P ) P ; D x1 x2 ( x1 x2 ) 4x1 x2 S P 1.1 Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 5x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: a) A x12 x22 ; b) B x13 x23 ; 1.2 Cho phưoug trình: -3x2 - 5x-2 = Với x1,x2 nghiệm phương trình, khơng giải phương trình, tính: a) M x1 c) P 1 x2 ; x1 x2 x1 x2 ; x12 x2 b) N 1 ; x1 x2 d) Q x1 x x2 x1 2.1.Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + 2m -5 = (ra tham số) a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 b) Với tìm trên, tìm biểu thức liên hệ x1,x2 khơng phụ thuộc vào 2.2 Cho phương trình x2 +(m + 2)x + 2m = Với giá trị tham số m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ? Khi đó, tìm biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào Dạng Giải phương trình cách nhấm nghiệm Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét 3.1 Xét tổng a + b + c a - b + c tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 15x2 -17x + = 0; b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0; c) (2 d) )x2 + x - (2 + 5x - (2 - ) = 0; )x - = 3.2 Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 -9x + = 0; c) 1975x2 + 4x - 1979 = 0; b) 23x2 -9x-32 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 4.1 Cho phương trình (ra - 2)x2 - (2m + 5)x + + = với tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 4.2 Cho phương trình (2m - 1)x2 + (m - 3)x – 6m - = a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm x = -2 b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 5.1 Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 - 13m - = (ra tham số) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm cịn lại 5.2 Tìm giá trị tham số để phương trình x2 +3mx - 108 = (ra tham số) có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Dạng Tìm hai số biết tổng tích Phương pháp giải: Để tìm hai số x, y biết tổng S = x + y tích P = x.y, ta làm sau: Bước Giải phương trình X2 - S X + P = để tìm nghiệm X1,X2 Bước Khi số x, y cần tìm x = X1,y = X2 x = X2, y = X1 6.1 Tìm hai số u v trường hợp sau: b) u2 + v2 = 13,uv = a) u + v = 15,uv = 36; 6.2 Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 4,uv = 7; b) u + v = -12,uv - 20 7.1 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm + - 7.2 Tìm phương trình bậc hai biết nhận -11 nghiệm 8.1.Cho phương trình x2 + 5x - 3m = (m tham số) a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 b) Với điều kiện m tìm câu a), lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x12 x22 8.2 Cho phương trình 3x2 +5x - m = Với giá trị tham số m, phương trình có hai nghiệm x1 x2 ? Khi đó, viết phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 x2 x1 Dạng Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Phương pháp giải: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 tam thức phân tích thành nhân tử: ax2 + bx + c - a(x – x1 )(x – x2) 9.1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 7x + 6; c) x - x + 6; b) 30x2 - 4x - 34; d) 2x - x + 9.2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 - 5x +1; c)4x - x +3; b) 21x2 - 5x - 26; d) 12x- x -7 Dạng Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp giải: Xét phương trình ax2 +bx + c - ( a ≠ ) Khi đó: Phương trình có hai nghiệm trái dấu p < Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu P Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P S Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P S Phương trình có hai nghiệm trái dâ'u mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương P S Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0; Phương trình có hai nghiệm ∆ > 10.1 Tìm giá trị tham số m để phương trình: a) x2 -2(m – 1)x + +1 = có hai nghiệm phân biệt trái dấu; b) x2 - 8x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt; c) x2 - 2(m - 3)x + – 4m = có hai nghiệm phân biệt âm; d) x2 - 6x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt dương; e) x2 - 2(m- 1)x - - = có nghiệm dương 10.2.Tìm giá trị tham số để phương trình: a) 2xz - 3(m + 1)x + m2 - - = có hai nghiệm trái dấu; b) 3mx2 + 2(2m +l)x + m = có hai nghiệm âm; c) x2 + mx+m - = có hai nghiệm lớn m; d) mx2 - 2(m - 2)x+ 3(ra - 2)= có hai nghiệm dâu Dạng Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ Bước Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét, tìm điều kiện tham số Bước Kiểm tra điều kiện tham số xem có thỏa mãn điều kiện Bước hay không kết luận 11.1 Cho phương trình x2 - 5x + m + = Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thòa mãn: a) |x1| + |x2| = 4; c) b)3x1 + 4x2=6; x1 x2 3; = -3; x2 x1 d) x1(1 - 3x ) + x (1 - 3x1) = m2 - 23 11.2 Cho phuơng trình x2 -mx-m-1 = (m tham số) Tìm giá trị tham số m để phương trình: a) Có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Có hai nghiệm âm phân biệt; c) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương; d) Có hai nghiệm dấu; e) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x13 x23 1; g) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: |x1 -x,| ≥ III BÀI TẬP VỂ NHÀ 12 Cho phương trình: -3x2 + x + l = Với x1, x2 nghiệm phương trình, khơng giải phương trình, tính: 2 x22 ; x1 x2 b) B 2 ; x1 x2 x1 x2 ; x1 x2 d) D x1 x2 x14 x2 a) A x12 c) B 13 Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) 16x - 17x + l = 0; c) 2x2 - 40x + 38 = 0; b) 2x2 - 4x - = 0; d) 1230x2 -5x - 1235 = 14 Tìm hai số u, v biết rằng: a) u + v = -8, uv = -105; b) u + v = 9, uv = -90 15 Cho phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m - 4) = Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và: a) Thoả mãn điều kiện x - x1 =17; b) Biểu thức A = (x - x )2 có giá trị nhỏ nhất; c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ vào 16 Cho phương trình bậc hai: (m + 2)x2 - 2(m + 1)x + m - = Tìm giá trị tham số để phương trình: a) Có nghiệm trái dấu; b) Có nghiệm dương phân biệt; c) Có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm; d) Có nghiệm x1,x thỏa mãn: 3(x +x ) = 5x ,x 17 Cho phương trình: x2 - (2m + l)x + m2 + m - = (ra tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x12 x22 d) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x ,x thỏa mãn: x13 x23 19 18 Cho phương trình: x2 – (m - 2)x + 2m - = (ra tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với b) Gọi x , x nghiệm phương trình Tìm để x ,x thỏa mãn: x (1 – x ) + x2 (1 – x1) < HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Ta có 13 PT cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1.x2 a) Ta có A x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 52 2.3 19 b) Ta có C x13 x23 ( x1 x2 )3 x1 x2 ( x1 x2 ) 80 c) Ta có D x14 x24 ( x12 x22 ) 2( x1 x2 ) 343 1 x14 x24 x1.x2 4 ( x1 x2 ) 81 d) Ta có E x1 x2 x1 x2 x1 x2 13 1.2 Tương tự 1.1 a) Ta có M c) Ta có P 25 b) Ta có N 49 13 14 d) Ta có Q 17 12 2.1 a) Ta có ' (m 3) 0, m Phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m x1 x2 2m b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có x1.x1 2m Biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 x1 x2 2.2 Tương tự 2.1 Phương trình có hai nghiệm x1 x2 với m Biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: x1 x2 x1 x2 4 3.1 a) Ta có a b c 15 17 x1 1, x2 b) Ta có a b c x1 1, x2 15 1234 1230 c) Ta có a b c x1 1, x2 7 d) Ta có a b c x1 1, x2 3.2 Tương tự 3.1 a) Ta có x1 1, x2 c) Ta có x1 1, x2 4.1 1979 1975 b) Ta có x1 1, x2 32 23 d) Ta có x1 1, x2 198 311 a) Ta thấy a b c ( m 2) (2m 5) m Phương trình ln có nghiệm x = khơng phụ thuộc vào m b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm x = Với m : Phương trình có hai nghiệm x = x m7 m2 4.2 a) Thay x = -2 vào phương trình cho, ta có 2m 1 2 m 3 2 6m (luôn đúng) ĐPCM b) Với m Với m : Phương trình có nghiệm x = -2 3m : Phương trình có hai nghiệm x 2; 2m 5.1 Thay x = -2 vào phương trình ta tìm m = m = x * Với m = 1, ta có: x x 16 x 2 13 x * Với m = 2, ta có: x x 26 x 2 5.2 Tương tự 5.1 Tính m = 4; x2 = -18 6.1 a) Ta có u , v hai nghiệm phương trình sau X 12 X 15 X 36 (u, v) 12;3 , 3;12 X u v b) Ta có u v u v 2uv 13 2.6 25 u v 5 * Với u v ta có u , v hai nghiệm phương trình sau: X X 5X X Vậy u, v 2;3 , 3; , 2; 3 , 3; 2 6.2 Tương tự 6.1 a) Khơng tồn u , v thỏa mãn 42 - 4.7 = -12 < b) Tìm u, v 2; 10 , 10; 2 7.1 Ta có Do nghiệm phương trình sau: X2 - 4X + = 7.2 Tương tự 7.1 Tìm phương trình X2 + 4X -77 = 8.1 a) Ta có 25 12m Tìm m 25 12 2 2 x1 x2 50 12m b) Ta có S x1 x2 9m x1 x2 Và P 2 25 2 Với ĐK m ta có hai nghiệm phương 2 9m 12 x1 x2 x1 x2 x1 x2 trình bậc hai X 50 12 X : 9m X 2(6m 25) X 9m 9m 8.2 Tương tự 8.1 Điều kiện m 2 m m 25 10 6m Phương trình tìm X (Điều kiện: X m2 3m 12 25 ) 12 9.1 a) Ta có x2 - 7x + = (x - 1) (x - 6) 17 b) Ta có 30x2 - 4x - 34 = 30 x 1 x 15 c) Ta có x x d) Ta có x x x 2 x 3 3 x 1 x 2 9.2 Tương tự 9.1 1 a) Ta có x x x 1 x 4 26 b) Ta có 21x x 26 21 x 1 x 21 c) Ta có x x d) Ta có 12 x x 12 3 x 1 x 4 7 x 1 x 12 10.1 a) Phương trình có nghiệm trái dấu ac m 1 b) Phương trình có nghiệm phân biệt 82 4(2m 6) m c) Phương trình có nghiệm phân biệt âm m 8m m S 2(m 3) m P 8 4m d) Phương trình có nghiệm phân biệt dương 32 8m 1 S 6 m4 P 2m e) Vì (m 1) 4(3 m) (2m 1) 15 0, m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dungd nghiệm dương ac 3 m Tìm m 3 10.2 Tương tự 10.1 m b) Tìm m 2 a) Tìm 1 m c) Tìm m 1 d) Tìm 1 m 11.1 Ta có 52 4(m 4) 4m ... b) Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có x1.x1 2m Biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 x1 x2 2.2 Tương tự 2.1 Phương trình có hai nghiệm x1 x2 với m Biểu thức liên hệ x1... đó, tìm biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào Dạng Giải phương trình cách nhấm nghiệm Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi- ét 3.1 Xét tổng a + b + c a - b + c tính nhẩm nghiệm phương... bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ Bước Từ hệ thức cho hệ thức Vi- ét, tìm điều kiện tham số