Microsoft Word HH8 C1 CD5 �¯ÜNG TRUNG BÌNH CæA TAM GIÁC, CæA HÌNH THANG docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Đường trung bình của[.]
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đường trung bình tam giác * Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác * Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba * Định lí 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang * Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang * Định lí 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song vói hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai * Định lí 4: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Dạng Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bìn tam giác để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình tam giác, Định lí 1, Định lí để suy điều cân chứng minh Bài Cho tam giác ABC cân A, có M trung điểm BC Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB E tia My song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) EF đường trung bình tam giác ABC; b) AM đường trung trực EF Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = DE = EB Đoạn CD cắt AM I Chứng minh: a) EM song song vói DC; b) I trung điểm AM; TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com c) DC = 4DI Dạng Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bình hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình hình thang, Định lí 3, Định lí để suy điều cần chứng minh Bài Cho hình thang vng ABCD A D Gọi E, F trung điểm AD, BC Chứng minh: a) AFD cân F; CDF b) BAF cắt E, Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) Các đường phân giác A D C cắt F Chứng minh: đường phân giác B a) EF song song với AB CD; b) EF có độ dài nửa chu vi hình thang ABCD Dạng Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang đê chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình tam giác, Định nghĩa đường trung bình hình thang Định lí : 1, 2, 3, để suy điều cần chứng minh Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AD, BD, AC, BC Chứng minh: a) M, N, P, Q nằm đường thẳng; b) NP = DC AB Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c DA = d Các tia phân giác C cắt F Gọi M, N theo thứ góc A góc D cắt E, tia phân giác B tự trung điểm AD BC a) Chứng minh M, E, N, F nằm đường thẳng b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d Dạng 4.Tổng hợp TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ tia Hx vng góc với AB P tia Hy vng góc vói AC Q Trên tia Hx, Hy lấy điếm D E cho PH = PD, QH = QE Chứng minh: a) A trung điểm DE; b) PQ = DE; c) PQ = AH Bài Cho tam giác ABC có AM trung tuyến ứng vói BC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = C Kẻ Mx song song với BD cắt AC E Đoạn BD cắt AM I Chứng minh: a) AD = DE = EC; b) SAIB = SIBM; C)SABC = 2SIBC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB b) So sánh EF ( AB + CD) c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng Từ chứng minh EF = (AB + CD) Bài 10 Cho tứ giác ABCD Có G trung điểm đoạn nối trung điểm hai đường chéo AC BD Gọi m đường thẳng không cắt cạnh hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' hình chiếu A, B, C, D, G lên đường thẳng m Chứng minh GG' = (AA'+BB'+CC'+DD’) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Bài a) Mx qua trung điểm M BC song song với AC Suy Mx qua trung điểm E AB (theo Định lí 1) Tương tự, ta F trung điểm AC Khi EF trở thành đường trung bình tam giác ABC; b) Do ME MF đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF Suy AM đường trung trực EF Bài a) Ta có EM đường trung bình tam giác BCD ĐPCM b) DC qua trung điểm D AE song song với EM DC qua trung điểm I AM c) Vì DI đường trung bình tam giác AEM nên DI = EM.(1) Tương tự, ta được: EM = DC (2) Từ (1) (2) DC = 4DI Bài a) Ta có È đường trung bình hình thang ABCD EF//AB Suy EF AD Khi EF vừa trung tuyến, vừa đường cao tam giác AFD ĐPCM EDF b) Tam giác AFD cân F nên EAF CDF Suy FAB Bài 4 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Gọi M N giao điểm AE, BF với CD 1 1 ngoài, DAE Ta có: ADE D A ngồi 2 = 1800 (do AB//CD) Mà A + D 900 , tức tam giác ADE vng E ADE DAE Khi đó, tam giác ADM cân D (do có DE vừa đường phân giác, vừa đường cao) E trung điểm AM Chứng minh tương tự, ta F olaf trung điểm BN Từ khó, suy EF đường trung bình hình thang ABNM ta ĐPCM b) Từ ý a), EF ( AB BC CD DA) Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh Bài a) Ta có MN đường trung bình tam giác ABD MN / / AB Tương tự, ta MP//CD MQ//AB, CD Như vậy, MN, MP, MQ song song AB ĐPCM b) Ta có: 1 DC AB 2MP 2MN MP MN NP 2 Bài a)Gọi P Q giao điểm AE, AF với CD Chứng minh tương tự b) Ta có: MN 1 ( AB CD ) (a c) 2 Lại có: TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam giác BCQ cân) QD = c - b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF//DQ nên chứng minh F trung điểm BQ, từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD MF 1 ( AB DQ ) ( a c b) 2 1 Mặt khác, FN đường trung bình tam giác BCQ, tức FN CQ b 2 Bài a) Chứng minh tam giác ADH AEH cân A HAP HAQ AD = AH = Khi đó: DAP , EAQ AE Từ đó, suy A, A, E thẳng hàng A trung điểm DE b) PQ đường trung bình tam giác DHE ĐPCM c) Có AH = AD = AE = 1 DE, mà PQ = DE AH 2 = PQ Bài a) Theo định lý 1, tam giác BDC có: M trung điểm BC, ME//BD E trung điểm DC DE = EC = DC Suy AD = DE = EC b) Từ ý a) D trung điểm AE Suy ID đường trung bình tam giác AME hay IA = IM Vậy SAIB= SIBM c) Hạ hai đường cao AH IK tam giác ABC IBC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Chứng minh IK đường trung bình tam giác AHM IK = AH Xét hai tam giác ABC IBC có chung đáy BC hai đường cao AH = 2IK ĐPCM Bài a) HS tự chứng minh b) Xét tam giác EFK : EF EK KF 1 CD AB ( AB CD ); 2 c) Để E, F, K thẳng hàng, EF đồng thời song song với AB CD Tức tứ giác ABCD hình thang (AB//CD) Theo định lý 4, EF ( AB CD ) Bài 10 Gọi E F trung điểm AC BD; E' F' hình chiếu E, F đường thẳng m Khi đó, GG' đường trung bình hình thang EE'F'F GG ' EE' +FF') Mà EE' FF' đường trung bình hình thang AA'C'C BB'D'D EE ' 1 (AA' +CC') FF ' (BB' +DD') 2 Thay vào (1) ta ĐPCM TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B.CÁC DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Đường trung bình tam giác Bài Cho tứ giác ABCD, đường chéo BD đường trung trực AC Gọi M , N trung điểm AD AB Vẽ ME BC NF CD E BC,F CD Chứng minh ba đường thẳng ME,NF AC đồng quy Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E Gọi M, N trung điểm BE CD Đường thẳng MN cắt tia AB AC P Q Hỏi hai điểm D E phải có điều kiện để tam giác APQ cân A ? Bài Cho tam giác ABC Gọi Bx Cy đường chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh B C Gọi H K hình chiếu A Bx Cy a) Chứng minh tứ giác BCKH hình thang; b) Tam giác ABC phải có điều kiện để hình thang BCKH hình thang cân? Bài Cho tam giác ABC , trực tâm H Gọi O giao điểm ba đường trung trực Chứng minh khoảng cách từ O đến BC nửa độ dài AH Bài Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH đường phân giác BD Biết AH BD , tính số đo góc tam giác ABC Bài Cho đoạn thẳng AB n điểm O1 ,O2 , ,On không nằm A B cho O1 A O2 A On A O1 B O2 B On B a Chứng minh tồn điểm M cho O1M O2 M On M a Đường trung bình hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD AB CD Vẽ AH CD Chứng minh rằng: a) HD đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC đường trung bình hình thang Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB Trên tia đối tia BC lấy điểm O cho BO 1 BC Đường thẳng OM cắt OC N Chứng minh rằng: AN AC TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định Vẽ tam giác tam giác ABM vuông cân B , tam giác CAN vuông cân C Chứng minh A di động nửa mặt phẳng bờ BC đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 10 Cho điểm M nằm hai điểm A B không trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác CAM DBM cân C D cho D Gọi H F trung điểm AD BC Chứng minh rằng: HF CD C HƯỚNG DẪN Bài (h.3.7) Gọi O giao điểm AC BD Ta có: AC BD OA OC Xét ABD có MN đường trung bình MN //BD OA MN (vì OA BD ) Xét ABC có ON đường trung bình ON //BC ON ME (vì ME BC ) Xét ACD có OM đường trung bình OM //CD OM NF (vì NF CD ) Xét OMN có OA,ME, NF ba đường cao nên chúng đồng quy Bài (h.3.8) Gọi O trung điểm BC Xét EBC có OM đường trung bình OM //CE OM CE Xét DBC có ON đường trung bình ON //BD ON BD TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ta có: M AQP, N APQ (so le trong) 1 P N M OM ON CE BD APQ cân A Q 1 Bài (h.3.9) a) Gọi D E thứ tự giao điểm AH AK với đường thẳng BC ABD có BH vừa đường phân giác, vừa đường cao nên tam giác cân HA HD Tương tự, ta có: KA KE Xét ADE có HK đường trung bình nên HK //DE HK //BC Do tứ giác BCKH hình thang B ;K C (so le trong) b) Ta có: H 1 1 K B C Hình thang BCKH hình thang cân H 1 1 ABD ACE ABC ACB ABC cân A Bài (h.3.10) Gọi M N trung điểm BC CA Gọi F G trung điểm AH BH Ta có MN đường trung bình ABC; FG đường trung bình ABH Suy MN //AB MN FG //AB FG AB AB Do MN //FG MN FG Dễ thấy OM //AD,ON //BE 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HFG;ONM HGF (hai góc có cạnh tương ứng song OMN HFG có: MN FG;OMN song) Vậy OMN HFG g.c.g OM HF AH Bài (h.3.11) Gọi M trung điểm BD thì: MD BD AH ABC cân A, AH đường cao nên HB HC Ta có HM đường trung bình BCD HM //AC Hình thang HMAD có hai đường chéo nên hình thang cân 90 C B C ADH DAM c.c c A1 D 1 (1) C x 1 90 x x x x 36 Ta đặt B C 36; A 108 Vậy ABC có B Bài Gọi M trung điểm AB O điểm tùy ý không nằm A B Trường hợp O nằm tia đối tia AB hay tia đối tia BA (h.3.16), ta chứng minh OM OA OB 1 Trường hợp O không thẳng hàng với A B (h.3.17) Gọi N trung điểm OB , MN đường trung bình OAB, MN OA Xét OMN , ta có: OM MN ON OM OA OB 2 11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Từ 1 suy ra: OM OA OB * Áp dụng hệ thức * n điểm O1 ,O2 , ,On ta có: O1M O1 A O1B O A O2 B O A On B ;O2 M ; ;On M n 2 Cộng vế bất đẳng thức ta được: O1M O2 M On M O1 A O1 B O2 A O2 B O A On B n 2 O1 A O2 A On A O1 B O2 B On B a a a 2 2 Như điểm cần tìm trung điểm M AB Bài (h.3.19) a) Vẽ BK CD ta AH //BK AB //HK AB HK ADH BCK HD KC Ta có: HD KC CD HK 2HD CD AB HD CD AB Theo ví dụ đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chéo nửa hiệu hai đáy Vậy HD PQ b) Ta có: HC CD HD CD CD AB CD AB 2 Đường trung bình hình thang nửa tổng hai đáy Do HC độ dài đường trung bình hình thang Bài (h.3.20) Gọi D trung điểm BC Vẽ BE //ON ,DF //ON E,F AC 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ta có: OB BD DC BC 1 Xét ABE có MN //BE MA MB nên NA NE Xét hình thang ONFD có BE //ON OB BD nên NE EF Xét CBE có DF //BE BD DC nên EF FC Từ 1 , , 3 suy ra: AN NE EF FC , AN 2 3 AC Bài (h.3.21) Gọi O trung điểm MN Vẽ OF BC; AH BC; MD BC NE BC Ta có: OF //AH //MD //NE BMD ABH (cạnh huyền – góc nhọn) MD BH BD AH 1 Tương tự, CNE ACH NE CH CE AH 2 Từ 1 suy BD CE AH Dễ thấy OF đường trung bình hình thang MDEN OF MD NE BH CH BC (khơng đổi) 2 Ta có: FD FE; BD CE FB FC Vậy O nằm đường trung trực BC cách BC khoảng không đổi điểm cố định Suy MN qua điểm cố định điểm O Bài 10 (h.3.22) * Tìm hướng giải 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com BC Do O Điều phải chứng minh HF CD gợi ý cho ta nghĩ đến định lí đường trung bình tam giác Ta vẽ đường trung bình EG MCD EG CD Chỉ phải chứng minh HF EG * Trình bày lời giải Gọi E trung điểm CM , G trung điểm DM Khi EG đường trung bình MCD EG CD 1 D nên CAM DBM cân C D mà C góc đáy chúng nhau: CMA DMB DBM CAM CA//DM CM //DB (vì có cặp góc đồng vị nhau) Xét CMB có EF đường trung bình EF //MB Xét DAM có HG đường trung bình HG //AM Suy ra: EF //HG (vì song song với AB ) Vậy tứ giác EFGH hình thang Xét hình thang ACDM có EH đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH //AC Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG //DB CAM ,FGH DBM Do EHG DBM (chứng minh trên) nên EHG FGH Mặt khác CAM Vậy hình thang EFGH hình thang cân HF EG Từ 1 suy ra: HF CD 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Đường trung bình tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD AB Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AD, K chân đường vng góc kẻ từ C đến AE a) Chứng minh HK song song với DE b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC 10 Bài 2: Cho ABC có AB AC , AH đường cao Gọi M, N, K trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh MNKH hình thang cân b) Trên tia AH AK lấy điểm E D cho H trung điểm AE K trung điểm AD Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân Bài 3: Cho ABC có trung tuyến AM, I điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC D a) Nếu AD DC Khi chứng minh I trung điểm AM b) Nếu I trung điểm AM Khi chứng minh AD c) Nếu AD 1 DC , ID BD DC Khi cạnh AB lấy điểm E cho AB AE Chứng minh BD, CE, AM đồng quy Bài 4: Dùng tính chất đường trung bình tam giác chứng minh tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD Gọi E, F trung điểm AC, DB Đường thẳng HKC EF cắt AB, CD H,K Chứng minh rằng: KHB Bài 6: Hình thang cân ABCD AB CD có AB cm, CD 10 cm, BD cm Tính khoảng cách từ trung điểm I BD đến cạnh CD Bài 7: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi I trung điểm AH, E giao điểm BI AC Tính độ dài AE EC, biết AH 12 cm, BC 18 cm 15 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M trung điểm HC, K trung điểm AH Chứng minh BK vng góc với AM Bài 9: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi K hình chiếu vng góc H lên AC Gọi I trung điểm HK Chứng minh rằng: AI BK HƯỚNG DẪN Bài 1: a) ABD cân B, đường cao BH nên BH đồng thời đường trung tuyến nên AH HD Tương tự AK KE nên HK đường trung bình ADE nên HK //DE ; HK b) HK DE DE 10 cm (vì DE DB BC CF AB BC CA 10 cm ) 2 Bài 2: a) MN đường trung bình ABC MN //BC MN //HK , hay MI //BH MI //BH MA MB IA IH MAH cân A nên HMI IMA (1) NK đường trung bình ABC NK //AB MNK IMA (hai góc vị tri so le trong) (2) Từ (1) (2) suy HMI MNK (so le trong) hay HMN MNK Tứ giác MNHK có MN //HK nên tứ giác hình thang, lại có HMN MNK hình thang cân b) HK đường trung bình AED HK //ED hay BC //ED nên tứ giác BCDE hình thang NK đường trung bình ACD NK //CD mà NK //AB nên AB //CD (so le trong) (3) ABH BCD 16 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dễ thấy ABE cân B BH vừa đường cao vừa trung tuyến (4) ABE ABH HBE BH phân giác BCD hay CBE BCD Từ (3), (4) HBE BCD tứ giác BCDE hình thang cân Hình thang BCDE có CBE Bài 3: a) Khi AD DC Gọi N trung điểm DC, MN đường trung bình BCD MN //BD MN //ID AMN có MN //ID AD DN AI IM b) Khi AI IM Kẻ MN //BD Xét AMN ta có ID //MN AI IM nên AD DN Xét BCD có MN //BD; MB MC nên ND NC Vậy AD ID DC , dễ dàng BD c) Khi AD DC AB AE Ta có I giao điểm BD AM Gọi F trung điểm BE Ta có MF đường trung bình BEC FM //CE AD DC IA IM (theo câu a) nên EI đường trung bình AFM EI //FM Có FM //CE EI //FM nên E, I, C thẳng hàng hay EC qua điểm I Bài 4: Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD AB Khi BCD cân C nên BC CD AM đường trung bình BCD AM 17 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1 DC BC 2 Bài 5: E trung điểm AC, F trung điểm BD Gọi M trung điểm BC Nên EM đường trung bình ABC EM AB EM //AB MEF AHK Và FM đường trung bình BCD FM CD FM//CD EFM HKD Mà AB CD nên AB CD FME cân AHK EFM HKD MEF HKD KHB HKC (kề bù) AHK Bài 6: Kẻ BH CD,IK CD Ta có: CH CD AB 10 (cm) 2 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔBHC , ta có: BH2 BC CH2 52 32 16 BH cm Tam giác BDH có BI ID IK BH nên IK đường trung bình IK BH (cm) 2 Bài 7: Kẻ HK // BE ta chứng minh AE = EK = KC Kết quả: AE = 5cm, EC = 10cm 18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 8: Tam giác AHC có AK KH HM MC MK đường trung bình ΔAHC MK AC Ta lại có AC AB nên MK AB Tam giác ABM có: AH BM MK AB K trực tâm, suy BK AM Bài 9: Gọi J trung điểm KC, ta có IJ đường trung bình tam giác KHC Do IJ / /HC IJ AH Trong tam giác AHJ có IJ AH, HI AJ Từ đó, I trực tâm tam giác AHJ AI HJ (1) Trong tam giác BKC, HJ đường trung bình, suy HJ // BK (2) Từ (1) (2) suy AI BK Đường trung bình hình thang Bài 1: Cho ABC đường thẳng d qua A không cắt đoạn thẳng BC Vẽ BD d, CE d (D, E d) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID IE Bài 2: Cho hình thang vng ABCD A D Gọi E , F trung điểm AD , BC Chứng minh: a) AFD cân F ; CDF b) BAF Bài 3: Tính độ dài x y hình Biết AB//EF//GH//CD, AE EG GD, AB 4, CD 10 (cm) 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD (AB CD) M trung điểm AD Qua M vẽ đường thẳng song song với hai đáy hình thang cắt hai đường chéo BD AC E F, cắt BC N a, Chứng minh N, E, F trung điểm BC, BD, AC b, Gọi I trung điểm AB , đường thẳng vng góc với IE E đường thẳng vng góc với IF F cắt K Chứng minh : KC KD Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB đáy nhỏ Gọi M, N, P, Q trung điểm AD, BC, BD AC a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng; b) Chứng minh PQ // CD PQ CD AB ; c) Hình thang ABCD phải có điều kiện để MP = PQ = QN Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác góc C qua trung điểm M cạnh bên AD Chứng minh rằng: 90 a) BMC b) BC AB CD Bài 7: Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I AM cắt cạnh AB, AC Gọi A ', B ', C ' thứ tự hình chiếu A, B, C lên đường thẳng d Chứng minh BB ' CC ' 2AA ' HƯỚNG DẪN Bài 1: BD //AE (cùng vng góc với d ) Tứ giác BDEC hình thang, Từ I kẻ IO DE IO //BD //CE Hình thang BDEC có IO //BD //CE IB IC nên OD OE Ta có OD OE ; IO DE nên IO đường trung trực đoạn thẳng DE ID IE 20 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... vi hình thang ABCD Dạng Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang đê chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình tam giác, Định nghĩa đường trung. .. (do tam giác BCQ cân) QD = c - b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF//DQ nên chứng minh F trung điểm BQ, từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang. .. Đường trung bình hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD AB CD Vẽ AH CD Chứng minh rằng: a) HD đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC đường trung bình hình thang Bài Cho tam