Khóa luận một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lý

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƢƠNG 1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 3 1 1 Một số khái niệm 3 1 1 1 Cấp của phƣơng trình vi phân 3 1 1 2 Phƣơng trình vi phân thƣờng 3 1 1 3 Nghiệm của phƣơng tr[.]

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phƣơng trình vi phân 1.1.2 Phƣơng trình vi phân thƣờng 1.1.3 Nghiệm phƣơng trình vi phân 1.2 Phƣơng trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số dạng phƣơng trình 1.2.2.1 Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1.2.2.2 Phƣơng trình vi phân toàn phần 1.2.2.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1.2.2.4 Phƣơng trình Bernoulli 1.3 Phƣơng trình vi phân cấp 10 CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN 13 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ 13 2.1 Phƣơng trình vi phân cấp 13 2.1.1 Phƣơng trình Bernoulli 13 2.1.2 Sự phân rã phóng xạ 14 2.1.3 Định luật Newton nhiệt độ môi trƣờng 15 2.1.4 Một số toán học 16 2.2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 18 2.3 Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt 21 2.3.1 Phƣơng trình dao động sợi dây 21 2.3.2 Phƣơng trình truyền nhiệt 27 2.3.3 Phƣơng trình Schrodinger 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG 35 3.1 Trong y sinh hóa lý (dƣợc động lực học q trình biến đổi hóa chất đơn giản, phát triển dịch bệnh) 35 3.1.1 Dƣợc động lực học q trình biến đổi hóa chất đơn giản 35 3.1.2 Sự phát triển dịch bệnh: 38 3.2 Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa giá cả) 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Phƣơng trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế, vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều tốn học, vật lý dẫn đến nghiên cứu phƣơng trình vi phân tƣơng ứng Phƣơng trình vi phân có ứng dụng rộng rãi ngành nhƣ kinh tế, điều tra tội phạm, mơ hình tốc độ tăng dân số, vật lí,… Đặc biệt ngành Vật lí lý thuyết – mơn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lí Dựa tảng mơ hình vật lí, nhà khoa học vật lí xây dựng thuyết vật lí, từ tìm tính đắn giả thuyết Và phƣơng trình vi phân công cụ, giải pháp hữu hiệu để giải tốn q trình chứng minh giả thuyết Vì vậy, em định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải toán vật lí” để nghiên cứu Khóa luận bao gồm nội dung:  Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân  Chƣơng 2: Áp dụng phƣơng trình vi phân để giải số toán  Chƣơng 3: Một số ứng dụng khoa học đời sống Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu dạng phƣơng trình vi phân - Ứng dụng giải toán vật lí phƣơng trình vi phân Đối tƣợng nghiên cứu - Các dạng phƣơng trình vi phân - Một số tốn vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạng phƣơng trình vi phân - Nghiên cứu tốn vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo sách, mạng,… - Thống kê, lập luận, diễn giải Những đóng góp khóa luận Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng phƣơng trình vi phân vào giải số toán vật lý CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phƣơng trình vi phân Cấp cao đạo hàm có mặt phƣơng trình vi phân đƣợc gọi cấp hay bậc phƣơng trình vi phân Ví dụ: ( y' )2  xy3  y5  0, có mặt đạo hàm cấp nên đƣợc gọi phƣơng trình vi phân cấp ( y '' )2  5( y ' )3  y  1; ( y ' )5  ( y '' )2  y  1, có mặt đạo hàm cấp nên đƣợc gọi phƣơng trình vi phân cấp 1.1.2 Phƣơng trình vi phân thƣờng Phƣơng trình vi phân có dạng F ( x, y, y ' , y ( n) )  0, đƣợc gọi phƣơng trình vi phân thƣờng cấp n Trong x biến số độc lập, y hàm phải tìm, đạo hàm cấp n y đạo hàm cấp y, 1.1.3 Nghiệm phƣơng trình vi phân Nghiệm hay tích phân phƣơng trình vi phân hàm số y = f(x) mà thay vào phƣơng trình biến phƣơng trình thành đồng thức Ví dụ: Phƣơng trình y ''  y  0, nhận hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx – sinx tổng qt hàm số có dạng y = trình, với số sinx + cosx nghiệm phƣơng 1.2 Phƣơng trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa Phƣơng trình vi phân cấp phƣơng trình có dạng F(x,y, ) = Hay = f(x,y) hay Ví dụ: = f(x,y) yy '  3x  ; y dx  xdy  ; y '   Hoặc từ (1.1) ta giải đƣợc: y x (1.1) y '  f ( x, y) Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp giải đạo hàm Ta viết phƣơng trình vi phân giải đạo hàm dƣới dạng đối xứng M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  Cách giải: Ta dùng phƣơng pháp tách biến - Đƣa phƣơng trình vi phân cấp dạng: A(x)dx + B(y)dy = (1.2) Trong A(x), B(y) hàm lần lƣợt phụ thuộc vào x y - Tích phân vế phƣơng trình (1.2) ta đƣợc tích phân tổng qt (1.2):  A( x)dx   B( y)dy  C Ví dụ: Giải phƣơng trình: (1  x) ydx  (1  y) xdy  Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, viết phƣơng trình thành: 1 (  1)dx  (1  )dy x y Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: ln|x| + x = y - ln|y| + C Hay ln|xy| + x – y = C Đó tích phân tổng quát phƣơng trình 1.2.2 Một số dạng phƣơng trình 1.2.2.1 Phƣơng trình đẳng cấp cấp Phƣơng trình y’ = f(x,y) đƣợc gọi phƣơng trình đẳng cấp f (x, y) hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa f (x, y)  f (tx, ty) ví dụ: y'  x y phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp x y Cách giải: Theo định nghĩa phƣơng trình đẳng cấp ta có f (tx, ty)  f (x, y) Chọn t  y ( x  )thì ta có y '  f (x, y)  f(1, ) x x (1.3) Vế phải phƣơng trình (1.3) biểu thức ln phụ thuộc vào y x y x y x y '  f (1, )   ) (1.4) Đặt u  y x y  u.x y '  u  x.u ' vào phƣơng trình (1.4) ta có x.u '   (u)  u - Trƣờng hợp 1:  (u)  u y x Khi đó: ( )  y x Do phƣơng trình (**) trở thành y '  - Trƣờng hợp 2: dy dx  y x y x y  Cx  (u)  u  du dx  : phƣơng trình tách biến  (u)  u x Khi đó: Ví dụ: Giải phƣơng trình vi phân y '  x y x y Rõ ràng phƣơng trình đẳng cấp Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau: y x y x y'   x  y 1 y x 1 y x Đặt u  Ta có: y '  u ' x  u thay vào phƣơng trình ta có: u' x  u  1 u 1 u 1 u dx du  1 u x Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: du udu  1 u   1 u 2  ln x  lnC arctgu  ln(1  u )  ln C x Hay arctgu  ln C x  u Vậy nghiệm phƣơng trình có dạng: C( x  y )  e 2 y arctg ( ) x 1.2.2.2 Phƣơng trình vi phân tồn phần Phƣơng trình: M (x, y) dx  N(x, y) dy  (1.5) Đƣợc gọi phƣơng trình vi phân tồn phần thỏa mãn điều kiện vế trái phƣơng trình (1.5) phải vi phân tồn phần hàm khả vi Tức tồn hàm U (x, y) khả vi cho: dU (x, y)  M(x, y) dx  N(x, y) dy Điều kiện để phƣơng trình vi phân dạng (1.5) trở thành phƣơng trình vi phân tồn phần (hay cách nhận biết phƣơng trình vi phân toàn phần) là: M N  y x Cách giải: Nếu (1.5) phƣơng trình vi phân tồn phần tích phân tổng qt phƣơng trình (1.5) là: y x U (x, y)   M (x, y0 ) dx   N (x, y)dy  C x0 (1.6) y0 Hoặc y x U (x, y)   M (x, y) dx   N (x , y)dy  C x0 (1.7) y0 Với (x , y0 ) điểm mà thay vào hàm M (x, y0 ) , N (x , y) xác định Ví dụ: Giải phƣơng trình: (3x2  xy )dx  (6 x2 y  y3 )dy  (1.8) Giải: Trƣớc tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phƣơng trình cho có phƣơng trình vi phân tồn phần hay không M(x, y)  (3x2  xy ) , N(x, y)  (6 x2 y  y3 ) Ta có: M N   12 xy y x Vậy (1.8) phƣơng trình vi phân tồn phần Chọn (x , y0 )  (0,0) Theo công thức (1.7) ta đƣợc: x y 0 2  (3x  xy )dx   y dy  C Hay tích phân tổng quát phƣơng trình (1.8) là: x  3x y  y  C 1.2.2.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp phƣơng trình có dạng: y '   p(x) y q(x) (1.9) (hay y '  p(x) y  q(x) ) Trong p(x), q(x) hàm số liên tục, cho trƣớc Nếu q(x) (1.9) đƣợc gọi phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp - Nếu q(x) (2.9) đƣợc gọi phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp khơng Cách giải: -  Cách 1: Phƣơng pháp thừa số tích phân p ( x ) dx Nhân vế (1.9) với thừa số e ta đƣợc: y 'e  p ( x ) dx  p( x)e p (x)dx y  q( x)e p ( x ) dx (1.10) Ta ý vế trái phƣơng trình (1.10) thấy biểu thức vế trá đạo hàm tích số y.e p ( x ) dx Vậy ta viết lại phƣơng trình (1.10) nhƣ sau: ( y.e )  q( x).e p ( x ) dx ' p ( x ) dx Lấy tích phân vế ta đƣợc: y.e p ( x ) dx   q( x).e  p ( x ) dx dx  C Vậy nghiệm tổng qt phƣơng trình (1.9) có dạng:  p ( x ) dx  p ( x ) dx ye    q( x).e  dx  C    Lƣu ý: hàm p(x) hệ số y trƣờng hợp hệ số y ' Ví dụ: Giải phƣơng trình: y '  xy  x Giải: xdx Nhân vế phƣơng trình với thừa số e  e x Ta đƣợc: y ' e x  xe x y  x.e x 2 2 Hay 2 d ( y.e x )  x.e x dx Lấy tích phân vế ta đƣợc: y.e x  4 x.e x dx  C  2e x  C 2 Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình là: y   C.e x  Cách 2: Phƣơng pháp Bernoulli (phƣơng pháp tìm nghiệm dƣới dạng tích) Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm phƣơng trình có dạng tích hàm số Vì vậy, ta tìm nghiệm phƣơng trình dƣới dạng tích: y  u( x).v( x) Ta có: y '  u 'v  v'u Thế vào phƣơng trình (1.9) ta có: (u 'v  v'u)  p( x).(u.v)  q( x) Hay (u '  p( x).u)v  v' u  q( x) (1.11) Phƣơng trình (1.11) có tới thơng số chƣa biết u, v, nên giải để tìm u, v Để tìm u, v thỏa mãn phƣơng trình (1.11), ta cần chọn u, v cho triệt tiêu hàm chƣa biết Muốn vậy, ta chọn u(x) cho (1.12) u '  p( x).u  Ta dễ dàng tìm đƣợc hàm u(x) thỏa mãn (1.12) (1.12) phƣơng trình tách biến Khi đó:  p ( x ) dx du   p(x) dx  u(x)  C.e  u  p ( x ) dx Chọn C=1 ta có u(x)  e  Nhƣ ta tìm đƣợc hàm u(x) nên từ (1.11) ta có: v'  p ( x ) dx q ( x)  q( x).e  u ( x) v   q( x).e  Vậy, nghiệm tổng quát phƣơng trình (1.9) là:  p ( x ) dx   p ( x ) dx  C  ye  1   q( x)e  p ( x ) dx dx  C1 ... tài: ? ?Một số dạng phương trình vi phân áp dụng để giải tốn vật lí” để nghiên cứu Khóa luận bao gồm nội dung:  Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân  Chƣơng 2: Áp dụng phƣơng trình vi phân để giải số. .. phân - Một số tốn vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạng phƣơng trình vi phân - Nghiên cứu toán vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải Phƣơng pháp nghiên... luận, diễn giải Những đóng góp khóa luận Trình bày khái qt hệ thống ứng dụng phƣơng trình vi phân vào giải số tốn vật lý CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấp phƣơng trình