Khóa luận một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ họ

LỜI CẢM ƠN Với lòng tri ân biết ơn chân thành, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Phương Lan trực tiếp hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Thầy (Cô) giáo khoa Vật Lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp em hồn thành khóa luận Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, khích lệ tạo điều kiện vật chất tinh thần để em hồn thiện khóa luận Mặc dù thân cố gắng nhiều để thực đề tài cách hồn chỉnh nhất, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý q thầy bạn để khóa luận em hồn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! Sinh viên Lê Ngọc Dương i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận kết cố gắng nỗ lực nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình Th.S Nguyễn Thị Phương Lan khơng trùng khớp với tài liệu Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lê Ngọc Dương ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chương 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.1.1 Di chuyển – Số bậc tự 1.1.1.1 Di chuyển 1.1.1.2 Số bậc tự 1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng 1.1.2.1 Tọa độ suy rộng 1.1.2.2 Lực suy rộng 1.1.3 Nguyên lý di chuyển 1.1.3.1 Liên kết lý tưởng 1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển 1.1.3.3 Điều kiện cân tổng quát hệ không tự 1.2 Các dạng tập nguyên lý di chuyển Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 14 2.1 Cơ sở lý thuyết 14 2.1.1 Nguyên lý Đalămbe 14 2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe chất điểm 14 2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe hệ 14 iii 2.1.2 Thu gọn hệ quán tính vật rắn 16 2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 16 2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng 17 2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh trục cố định 18 2.2 Các dạng tập nguyên lý Đalămbe 18 Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 24 3.1 Cơ sở lý thuyết 24 3.2 Các dạng tập nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 25 Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30 4.1 Cơ sở lý thuyết 30 4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30 4.1.2 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu 31 4.2 Một số tập nguyên lý tác dụng tối thiểu 33 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học tự nhiên, tập trung nghiên cứu vật chất chuyển động khơng gian thời gian Vật lý học phát triển không ngừng với nhiều chuyên ngành vật lý khác nhau, có chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” – diễn tả quy luật, học thuyết, suy luận logic để tìm nguyên lý chưa tìm thực nghiệm Để nghiên cứu quy luật tổng quát chuyển động cân vật tác dụng tương hỗ chúng – môn Cơ học lý thuyết đời Trong học lý thuyết cần ý bốn nguyên lý quan trọng Đó “Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; “Nguyên lý Đalămbe”; “Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng” Các nguyên lý học cho phép ta thành lập phương trình vi phân chuyển động điều kiện cân hệ Và việc vận dụng kiến thức học vào giải tập Cơ học lý thuyết yêu cầu hàng đầu chúng ta, qua giúp hiểu sâu lý thuyết đồng thời nâng cao tư kỹ học tập Chính tơi lựa chọn đề tài: “Một số dạng tập nguyên lý học” để hiểu rõ nguyên lý áp dụng nguyên lý vào giải dạng tập Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số nguyên lý học: + Nguyên lý di chuyển + Nguyên lý Đalămbe + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng + Nguyên lý tác dụng tối thiểu - Áp dụng sở lý thuyết nguyên lý vào việc giải toán học Đối tượng nghiên cứu - Các nguyên lý: + Nguyên lý di chuyển + Nguyên lý Đalămbe + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng + Nguyên lý tác dụng tối thiểu - Dạng tập nguyên lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu nguyên lý học - Nghiên cứu dạng tập nguyên lý Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo - Thống kê, lập luận, diễn giải Cấu trúc luận văn Chương 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.2 Các dạng tập Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Các dạng tập Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết 3.2 Các dạng tập Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 4.1 Cơ sở lý thuyết 4.2 Một số tập NỘI DUNG Chương 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.1.1 Di chuyển – Số bậc tự 1.1.1.1 Di chuyển Cơ hệ không tự hệ tập hợp nhiều chất điểm mà chuyển động chúng phụ thuộc vào lực tác động mà phụ thuộc vào số điều kiện ràng buộc hình học động học Ngược lại ta có hệ tự Di chuyển hệ không tự tập hợp di chuyển vô nhỏ chất điểm vị trí xét sang vị trí lân cận mà hệ thực phù hợp với liên kết đặt lên hệ Ký hiệu di chuyển chất điểm  r ( x,  y,  z) (với r vectơ định vị chất điểm), để phân biệt với di chuyển thật dr (dx, dy, dz ) Xét hệ gồm N chất điểm, điều kiện để  rk dĩ thỏa mãn ( k = 1, N ) di chuyển khả f  r  r = hay dạng: f f f  xk +  yk +  zk = xk yk zk (1.1) Ta dễ dàng nhận thấy di chuyển thực di chuyển Do di chuyển di chuyển ta tưởng tượng thời điểm cố định di chuyển thực thực theo thời gian Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng điều kiện đầu liên kết đặt lên hệ cịn di chuyển phụ thuộc vào liên kết đặt lên di chuyển thực có cịn di chuyển có nhiều di chuyển 1.1.1.2 Số bậc tự Số bậc tự hệ số tối đa di chuyển độc lập tuyến tính hệ, nghĩa số biến phân độc lập toạ độ Cách xác định số bậc tự do: Giả sử hệ có n chất điểm chịu m phương trình liên kết độc lập với hệ số bậc tự hệ S = 3n − m Phương trình liên kết: phương trình hay bất phương trình biểu thị mặt tốn học mối ràng buộc mặt hình học động học chất điểm thuộc hệ Dạng phương trình liên kết là: f (t, x1, y1, z1, , xn , yn , zn , x1, y1, z1, , xn , yn , zn )  ( = 1,m ) (1.2) 1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng 1.1.2.1 Tọa độ suy rộng Tọa độ suy rộng tham số có thứ nguyên xác định cách đơn trị vị trí hệ thời điểm Số tọa độ suy rộng số bậc tự hệ Tọa độ suy rộng thường kí hiệu qi (i=1,2,…), đại diện cho đơn vị độ dài, góc quay, diện tích, điện lượng… Tọa độ suy rộng đủ số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí hệ Tọa độ dư thừa vượt số tọa độ cần thiết để xác định vị trí hệ 1.1.2.2 Lực suy rộng Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng lực Fk (k =  N ) tác dụng vào chất điểm M k ( xk , yk , zk ) , từ biểu thức tính cơng ngun tố công ta được: N N k =1 k =1  Ak =  Fk rk (1.3) rk  qi : di chuyển  rk tọa độ suy rộng i =1 qi s Trong đó:  rk =  Thế vào biểu thức ta được: N N k =1 k =1 s rk  N   qi =    Fk rk  qi qi  i =1  k =1 i =1 qi s  Ak =  Fk  N Ta gọi đại lượng Q j =  Fk k =1 (1.4) rk lực suy rộng tương ứng với tọa độ qi suy rộng qi Vậy lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy rộng qi đại lượng vô hướng biểu thị hệ số biến phân tương ứng biểu thức tổng công hoạt lực tác dụng lên hệ di chuyển hệ 1.1.3 Nguyên lý di chuyển 1.1.3.1 Liên kết lý tưởng Định nghĩa: Liên kết hệ gọi liên kết lý tưởng tổng công nguyên tố phản lực liên kết tác dụng lên hệ di chuyển không Biểu thức:  AkN =  Nk rk = Trong N k phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk,  rk véc tơ di chuyển chất điểm Nếu liên kết không phụ thuộc vào thời gian, lực ma sát trượt ngẫu lực ma sát lăn không sinh cơng di chuyển hệ hệ chịu liên kết lý tưởng 1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển Phát biểu nguyên lý: hệ chịu liên kết dừng lý tưởng điều kiện cần đủ để cân vị trí xét tổng cơng lực chủ động tác dụng lên hệ di chuyển hệ vị trí xét khơng N  Ak =  Fk rk =  k =1 (k=1…N) (1.5) Chứng minh: Giả sử chất điểm thứ k hệ chịu tác dụng hợp lực lực chủ động Fk hợp lực phản lực liên kết Nk + Điều kiện cần: Hệ trạng thái cân phản lực phải thỏa mãn điều kiện: Fk + N k = (k=1…N) Ta cho hệ di chuyển chất điểm thứ k có di chuyển  rk Do đó: Fk rk + N k rk = N N k =1 k =1  Fk rk +  Nk rk = Viết cho hệ ta thu được: Do hệ chịu liên kết lý tưởng nên N N Nk rk = nên  F  r  k =1 k =1 k k 0 + Điều kiện đủ: Giả sử hệ thỏa mãn (1.5) ta phải chứng minh điều kiện đủ hệ tự cân vị trí xét Nếu hệ không cân nghĩa hệ di chuyển suy dT >0 N N k =1 k =1 Theo định lý động dT =  Fk rk +  N k rk  N Mà  Nk rk = hệ chịu liên kết lý tưởng nên k =1 N Fr  k =1 k k  điều trái với giả thiết Vậy hệ hệ di chuyển hay hệ cân mãi Ý nghĩa: Ý nghĩa nguyên lý di chuyển chỗ cho ta điều kiện cân hệ dạng tổng quát, phương pháp tĩnh học yêu cầu xét cân vật thể hệ Lưu ý: Nếu hệ có liên kết lý tưởng cần tính đến lực chủ động cịn phản lực liên kết bỏ qua Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết Như tìm hiểu nguyên lý Đalămbe cho phép giải tốn động lực học phương pháp tĩnh học, cịn nguyên lý di chuyển cho phép ta giải toán cân tĩnh học phương pháp tổng quát Kết hợp phương pháp giải cho ta phương pháp tổng quát giải tập động lực học Xét hệ gồm n chất điểm có liên kết lý tưởng chịu tác dụng lực chủ động Fka phản lực liên kết N k Áp dụng nguyên lý Đalămbe ta thu hệ lực cân ( Fk + Fkqt + N k ) ~ Áp dụng nguyên lý di chuyển sau cho hệ di chuyển  rk ta được:  ( Fk + Fkqt + Nk ) rk = ) (   Fk + Fkqt  rk +  N k rk = Do hệ liên kết lý tưởng nên ( (1.11)  Nk rk = ) (1.11)   Fk + Fkqt  rk = (1.12) Phương trình (1.12) phương trình tổng quát động lực học hay nguyên lý Đalămbe – Lagrăng Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng phát biểu: Khi hệ liên kết lý tưởng điểm tổng công nguyên tố lực chủ động lực quán tính đặt vào hệ di chuyển không Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng viết dạng giải tích sau:  ( Fkx + Fkxqt ) xk + ( Fky + Fkyqt ) yk + ( Fkz + Fkzqt ) zk  = 24 Trong đó: Fkx , Fky , Fkz hình chiếu lực chủ động Fk lên trục tọa độ Fkxqt , Fkyqt , Fkzqt hình chiếu lực quán tính Fkqt lên trục tọa độ 3.2 Các dạng tập nguyên lý Đalămbe – Lagrăng Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng cho ta phương pháp tổng quát để giải tốn động lực học Đặc biệt toán xác định gia tốc điểm vật toán xác định điều kiện cân tương đối hệ Những tốn áp dụng phương trình Lagrăng thường tốn thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ hay xác định gia tốc trường hợp hệ có bậc tự Các tập tương ứng Bài 3.1 Cho hệ hình vẽ Các phần dây nằm trục ròng rọc theo phương thẳng đứng Các vật A, B, C có khối lượng tương ứng m1=2kg, m2=3kg, m=4kg Hãy xác định khối lượng, gia tốc vật B A x2 x1 nặng Bỏ qua ma sát ròng rọc, khối lượng ròng rọc dây nối không C đáng kể Bài giải Hình 3.1 Khảo sát hệ gồm vật, dây, ròng rọc, liên kết đặt lên hệ liên kết lý tưởng hệ có hai bậc tự 25 Gọi gia tốc vật nặng w1, w , w Các ngoại lực đặt lên hệ P1 , P2 , P có lực qn tính F1qt , F2qt , F qt Giả sử hệ chuyển động hình vẽ Ta cho hệ di chuyển vật A di chuyển  x1 , vật B di chuyển  x2 vật C có di chuyển là:  x3 = −  x1 +  x2 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học ( Fi − mi w i ) xi =  i =1 Suy (P1 − m1w1) x1 + (P2 − m2 w ) x2 + (P − mw) x3 = Khai triển phương trình ta được: ( P1 − m1w1 − Ta có  x3 = − P − mw P − mw ) x1 + ( P2 − m2 w − ) x2 = 2  x1 +  x2 nên w = − w1 + w 2  P − mw =0  P1 − m1w1 − Và  x1 độc lập với  x2 nghĩa   P − m w − P − mw = 2  2 (m1 − m2 ) g − m1w1 + m2 w = Giải phương trình ta được:  m2 m m ) g − (m1 + )w1 − w = (m1 − 4    w1 = − 11 g   Thay số vào ta thu kết quả:  w = g 11    w= − 11 g  Bài 3.2 Máy chuyển vật liệu chuyển động nhờ ngẫu lực có mơmen khơng đổi M tác dụng lên puli B Xác định gia tốc chuyển động băng chuyền Biết trọng lượng vật A nâng P, puli B, C có trọng lượng Q, 26 bán kính r xem đĩa trịn chất Băng chuyền hợp với phương ngang góc α trọng lượng bỏ qua, ngồi khơng có trượt A băng chuyền, băng chuyền với puli Bỏ qua ma sát ổ trục Bài giải Gọi gia tốc chuyển động băng truyền w Xét hệ gồm vật A, B, C chịu tác dụng lực hoạt động: trọng lượng Q puli B, C Hình 3.2 trọng lượng P vật A, ngẫu lực M Các lực quán tính tác dụng lên hệ gồm FAqt , M Bqt , M Cqt Do hệ bỏ qua ma sát nên hệ chịu liên kết lý tưởng, hệ có bậc tự Chọn tọa độ suy rộng đủ hệ góc quay  puli Ta cho hệ di chuyển  , vật A di chuyển lên đoạn  s = r Từ phương trình tổng quát động học (1.12) ta có: (  P + F qt A  ) s + ( M qt B ) + M Cqt   =  Khai triển theo hệ dịch chuyển M  − P sin  s − M Bqt − M Cqt − FAqt s = Khi  s = r  ( M − Pr sin  − M Bqt − M Cqt − rFAqt )  = Do  độc lập nên M − Pr sin  − M Bqt − MCqt − rFAqt = Trong đó: M Bqt = M Cqt = J  = J  M − Pr sin  − w Qr P = w, FAqt = mw = w r 2g g Qr Pr M − Pr sin  w − w = hay w = g g g ( P + Q)r 27 Bài 3.3 Một lăn A trọng lượng Q lăn không trượt xuống theo mặt phẳng nghiêng với góc phương ngang góc α, nâng vật C trọng lượng P nhờ sợi dây không giãn, khơng trọng lượng vắt qua rịng rọc cố định B Khi rịng rọc B quay quanh trục cố định qua tâm trực giao với mặt phẳng ròng rọc Con lăn A rịng rọc B đĩa trịn đồng có bán kính trọng lượng.Tìm gia tốc trục lăn? Bài giải Khảo sát hệ gồm lăn A, ròng rọc B, vật nặng C dây Các lực chủ động phản lực liên kết tác dụng lên hệ gồm Q, P, N , R0 Các lực qn tính tác Hình 3.3 dụng lên hệ có độ lớn là: Fcqt = P Q Q w c ; FAqt = w A ; M qt = J z = R2 w C = w A g g 2g Hệ có bậc tự Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ góc  Ta cho hệ di chuyển  , độ dịch chuyển vật A  s = R Áp dụng phương trình tổng quát động lực học (1.12) chiếu lên chiều dịch chuyển di chuyển ta được: (Q sin  − FAqt ) s − 2M qt − ( P + FCqt ) s = Q  Q s  P  w   s − R 2 −  P + w   s = g  2g R  g   Q sin  − P w= 2Q + P    Q sin  − 28 Từ việc giải số tập rút tiến trình giải tốn áp dụng ngun lý Đalămbe - Lagrăng: Bước 1: Xác định hệ khảo sát số bậc tự do, kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng, giả thuyết chiều gia tốc a,  Bước : Xác định lực hoạt động tác dụng lên hệ Bước : Đặt lực quán tính lên hệ Bước : Cho hệ di chuyển hợp lý theo toạ độ suy rộng viết phương trình tổng quát động lực học Tiến hành biến đổi toán học, rút kết 29 Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 4.1 Cơ sở lý thuyết 4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu Có thể nói nguyên lý tác dụng tối thiểu tiền đề học lý thuyết Ta xét hệ hôlônôm (Cơ hệ với liên kết hơlơnơm gọi hệ hơlơnơm Nếu phương trình liên kết khơng chứa yếu tố vận tốc có chứa yếu tố vận tốc nhờ phép tính tích phân đưa dạng không chứa yếu tố vận tốc liên kết gọi liên kết hôlônôm), N chất điểm với s bậc tự Vị trí hệ phù hợp với liên kết xác định tọa độ qk (t , ) (k = 1, s) với t thởi gian, α tham số thực Khi α thay đổi:  →  +  qk (t , ) → q k (t , +  ) Đại lượng:  q k = q k (t , +  ) − qk (t , ) = qk  gọi biến phân  qk Giả sử với  = qk (t , ) diễn tả chuyển động thực hệ khoảng thời gian từ t1 đến t2 (t2 gần so với t1) Với   qk (t , ) mô tả chuyển động từ t1 đến t2 Chúng ta hạn chế khảo sát chuyển động hệ chuyển động thực có chung điểm đầu điểm cuối Tại thời điểm t1, t2 hàm qk trùng nên ta có: 30  qk (t1 ) = 0,  qk (t2 ) = Giả sử hàm Lagrăng hệ: L = L(qk , qk , t ) (k = 1, s) (L=T-U) Lực vô hướng Ldt gọi tác dụng ngun tố theo Haminton t2 Ta có tích phân: S =  L(qk , qk , t )dt gọi tác dụng theo Haminton t1 khoảng thời gian t1 → t2 Đặt qk (t , ) = qk qk (t , ) = qk ta được: t2 S =  L  qk (t , ), qk (t , ), t dt t1 Suy biến phân tác dụng S là:  S = t S  =   Ldt t1  Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với hệ Hôlônôm chịu liên kết lý tưởng tác dụng lực thế, chuyển động thực đưa hệ từ trạng thái A sang trạng thái B chuyển động tương ứng với giá trị cực trị hàm tác dụng S, hay nói khác chuyển động thực hệ, biến phân cấp hàm S bị triệt tiêu  S  = hay  S = Nghĩa là:       =0 4.1.2 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu + Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu N Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H = H (qk , pk ) H =  pk qk − L ta có k =1 thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dạng: t2  N   S =     pk dqk − Hdt  = t  k =1  Thay đổi thứ tự phép tính tích phân phép tính biến phân vế trái ta được: N S =  k =1 t2  t1 N  H  H  qk −   q dt +  p − pk  k qk k   k =1   t 31 t2 pk d ( qk ) Áp dụng tích phân phần điều kiện  qk (t1 ) =  qk (t2 ) = ta được: N  t k =1 t2 N t2 k =1 t1 pk d ( qk ) = −  pk qk dt  H  qk = p  k Vì  qk ,  pk độc lập nên   p = − H  k qk  Đây gọi phương trình Haminton + Nguyên lý tác dụng tối thiểu phương trình chuyển động hệ Cùng với chuyển động thực ta biểu diễn chuyển động phương trình thơng số: q*k (t ) = qk (t ) +  qk Trong biến phân  qk hàm khả vi vô bé bất kì, thỏa mãn điều kiện hai đầu mút  qk (t1 ) =  qk (t2 ) = Với độ xác đến số hạng bé bậc với  qk ,  qk ta có: N L L  L = L(qk +  qk , qk +  qk , t ) − L(qk , qk , t ) =   qk +   qk k =1 qk k =1 qk N t2 N t1 k =1 t2   L L  qk +  qk  = qk  qk  Ta lại có:  S =   Ldt =    t2  L d  L S =   −  t q dt  qk k =1   k N t1  L   qk dt =   qk  − d  L   =0 dt  qk  Đây phương trình Lagrăng loại 2, đặc trưng cho chuyển động hệ + Phương trình Lagrăng loại chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu Từ phương trình L d  L  −   = ta nhân với  qk lấy tổng ta được: qk dt  qk  32  d  L  L     q = − dt  qk  qk  k k =1    N N d  L  L   qk =    qk −   k =1 dt  qk  k =1 qk N N  N  L  d  L L   q −  q +  qk  =    k k   k =1  q  k =1 dt  qk k =1 qk   k  N  d  L  L−  qk  =    k =1 dt  qk  N        Nhân vế với dt tính tích phân từ giới hạn t1, t2 ta có: t2 t N t k =1 t1  Ldt −   N  t2 d  L L  qk  =   Ldt −   qk   t1 dt  qk  q k = k  t2 t1 t2 =   Ldt = t1 Hay  S = 4.2 Một số tập nguyên lý tác dụng tối thiểu Bài 4.1 Xác định biểu thức tác dụng dao động tử điều hòa chiều có khối lượng m Bài giải Chọn hệ tọa độ suy rộng qk = x Ta có động dao động tử điều hòa là:  2 T = mv = mx  U = kx = m x  2 ( = const ) Hàm Lagrăng dao động tử điều hòa: 1 L = T −U = mx2 − m x2 2 Từ phương trình d  L  L = ta có phương trình cho tọa dộ x:  − dt  qk  qk x + m x = phương trình có nghiệm x = a sin( t +  ) 33  x = a cos(t +  ) Thế vào hàm Lagrăng, sau đưa vào biểu thức tác dụng S tính tích phân ta thu được: t S =  Ldt = t1 m  x2 + x cos  t − t − x x  ( )  sin  (t2 − t1)  ( ) Bài 4.2 Xác định biểu thức tác dụng hạt có khối lượng m, chuyển động tự Bài giải: Chọn tọa độ suy rộng qk = x 1 Ta có hàm Lagrăng cho hạt chuyển động tự là: L( x, x, t ) = mv2 = mx2 2 d  L  L = ta có phương trình cho tọa dộ x: mx =  − dt  qk  qk Từ phương trình  x2 − x1 =v  x = const = t2 − t1 ta có   x = vt  Thế vào tác dụng S: S =  t2 t1 m ( x2 − x1 ) mx suy S = 2 t2 − t1 Bài 4.3 Trong chuyển động chiều hạt tự do, xung lượng p = chứng minh điểm x1 quỹ đạo, xung lượng có dạng p = Bài giải t2 Từ công thức nguyên S =  Ldt t1 t L t2  d  L  L  −  x    − dt Suy  S =  x x t t1  dt  x  x  34 L , x S x1 Theo đề ta có p = Mặt khác t2 t S L = const  S =  x x x  d  L  L  S dt ~ suy  − x  dt  x  x   x = x = x1 L =p x x= x Bài 4.4 Biểu thức lượng chất điểm có dạng E = L + xp Chứng minh điểm x2 quỹ đạo, lượng có dạng E = S ; t2 thời điểm t2 ứng với tọa độ x2 Bài giải Xét chất điểm chuyển động quỹ đạo từ x1 → x2 thời gian từ t1 đến t2 t2 Ta có tác dụng S: S =  L( x, x, t )dt = S (t2 ) Suy t2  L x S L x L  =   + +  dt t2  x t2 x t2 t2   (do t2 L S = x(t2 )  dt2 + L x t2 x = nguyên lý tác dụng tối thiểu áp dụng cho hệ kín) t2 Từ phương trình Lagrăng mô tả chuyển động chất điểm: d  L  L d  L  L L L =    =  =  dt  − dt  x  x dt  x  x x x  t2 L t2 L L = dt2 =  dt2 t1 x x x t =t Thế vào phương trình S ta được: t2 S L L S = x(t2 ) + L(t2 ) mà p = nên = ( xp + L ) =E t =t2 t2 t2 x t =t x 35 Vì t2 tùy ý nên E = S t2 Từ việc giải tập rút phương pháp giải chung cho tập nguyên lý tác dụng thiểu Bước 1: Xác định hệ khảo sát Xác định số bậc tự hệ chọn toạ độ suy rộng, xác định điều kiện liên kết hệ Bước 2: Tính động hệ biểu diễn hàm Lagrăng qua toạ độ suy rộng qj vận tốc suy rộng qj Bước 3: Tính đạo hàm T d T T , , thay đại lượng q j dt q j q j vào phương trình Lagrăng Tiến hành biến đổi toán học rút kết 36 KẾT LUẬN Đề tài “Một số dạng tập nguyên lý học” sau hoàn thiện thu kết sau: Khóa luận đề cập đến bốn nguyên lý học cụ thể sở lý thuyết, nội dung nguyên lý Đặc biệt khóa luận đưa cách phân loại dạng tập ứng với nguyên lý, sau đưa tập với lời giải cụ thể cho dạng tập Khóa luận đề xuất tiến trình giải chung để sinh viên áp dụng giải toán độc lập 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chu Tạo Đoan (1996), Cơ học lý thuyết, Trường đại học Giao thông vận tải Chu Tạo Đoan (2007), Cơ học lý thuyết (tập 1), Nhà xuất Giao thơng vận tải Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1998), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất Giáo Dục Đỗ Sanh (1996), Cơ học (tập 2), Nhà xuất Giáo Dục Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng (2003), Bài tập học (tập 2), Nhà xuất Giáo Dục 38 ... toán học rút kết 36 KẾT LUẬN Đề tài ? ?Một số dạng tập nguyên lý học” sau hoàn thiện thu kết sau: Khóa luận đề cập đến bốn nguyên lý học cụ thể sở lý thuyết, nội dung nguyên lý Đặc biệt khóa luận. .. cứu - Các nguyên lý: + Nguyên lý di chuyển + Nguyên lý Đalămbe + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng + Nguyên lý tác dụng tối thiểu - Dạng tập nguyên lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu nguyên lý học -... dạng tập Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Các dạng tập Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết 3.2 Các dạng tập Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 4.1 Cơ