Skkn sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện

1 MỤC LỤC Trang 1 Lời giới thiệu 2 2 Tên sáng kiến 3 3 Tác giả sáng kiến 3 4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 4 5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 4 6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 4 7 Mô tả bản chất của s[.]

MỤC LỤC Trang Lời giới thiệu…………………………………………………………………… 2.Tên sáng kiến…………………………………………………………………… 3.Tác giả sáng kiến……………………………………………………………… 4.Chủ đầu tư tạo sáng kiến…………………………………………………… Lĩnh vực áp dụng sáng kiến…………………………………………………… Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu………………………………………… Mô tả chất sáng kiến ………………………………………………… NỘI DUNG A CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH …………… …………………………… Bài tốn B MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng tốn 1: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Dạng toán 2: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính thể tích 11 khối đa diện Dạng tốn 3: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích tốn Min, Max 18 hình học khơng gian C MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN…………………………… 24 Những thông tin cần bảo mật…………………………………………… 29 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………………… 29 10 Đánh giá lợi ích thu được…………………………………………………… 29 11 Danh sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử…………………… 29 skkn BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Tốn học mơn học địi hỏi tư lơgic chặt chẽ Học sinh thường học mơn Tốn nói chung vất vả thấy khó, đặc biệt mơn Hình học khơng gian lại khó khăn Tuy nhiên từ năm học 2016 – 2017 đến Bộ Giáo Dục Đào Tạo thực đổi thi cử, mơn Tốn với mơn khác chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Học sinh khơng phải trình bày tốn theo kiểu tự luận mà cần cho đáp án xác nhất, nhanh Nhưng phần lớn học sinh gặp câu “Hình” trắc nghiệm khoanh bừa đáp án, mà ta lại thấy đề thi câu Hình học khơng gian lại xuất nhiều Nếu khoanh bừa đáp án theo kiểu “Hên-xui” học sinh thường khơng n tâm có phần nhiều lo lắng Trong đề thi minh họa Bộ Giáo Dục Đào Tạo đề thi thức Bộ Giáo Dục ln có tốn “Dễ, trung bình, khó” tính tỉ số thể tích, tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ khối đa diện đặc biệt khó tốn lại liên quan đến tốn MinMax hình học khơng gian Những tốn thường gây cho học sinh lúng túng nhiều em học sinh thường bỏ qua tốn “Hình” Đây vấn đề thực tế để học tốt vốn khơng đơn giản học sinh có tư hình học yếu, đặc biệt tư cụ thể hoá, trừu tượng hoá Việc dạy học vấn đề chương trình tốn lớp vốn gặp nhiều khó khăn nhiều nguyên nhân, có ngun nhân tâm lý gặp hình thấy khó sách giáo khoa thiếu nhiều tập phần trắc nghiệm để rèn luyện phần Do học vấn đề tính tỉ số thể tích, tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ khối đa diện chương hình học 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Đa số em học sinh thường có cảm giác nhìn vào tốn khơng muốn đọc dài cịn khó skkn Có em mà học chút học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng cơng thức cách máy móc chưa có phân tích, thiếu tư lôgic trực quan nên em hay bị nhầm lẫn, không giải được, đặc biệt tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” thể tích tính Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tốn hình cịn yếu kỹ “Nhìn hình vẽ khơng gian” cịn hạn chế, mơ hồ Trong sách giáo khoa tập vấn đề cịn ít, lượng tập hạn chế sơ sài Trên diễn đàn tài liệu nhiều vơ kể gây hoang mang cho học sinh nên tham khảo tài liệu hay bỏ tài liệu nào, chưa kể tài liệu viết lan man, nhiều tốn chí cịn đánh đố học sinh Nhận thức vấn đề nên tơi viết đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” nhằm giúp cho em học sinh lớp 12 có tài liệu tham khảo cô đọng Trong đề tài lượng tập xếp theo thứ tự từ dễ đến khó đầy đủ dạng mà đề thi THPT QG thường đề cập tới Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ tính tỉ số thể tích, tính thể tích làm toán min, max liên quan đến khối đa diện Học sinh thấy việc sử dụng phương pháp tỉ số thể tích vào làm tốn trắc nghiệm số nhanh xác, học sinh cảm thấy hứng thú, thiết thực học tốt hình học khơng gian, em khơng cịn cảm giác khơng làm nữa, mà giải tốn nhanh gọn Tên sáng kiến “Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện” Tác giả sáng kiến - Họ tên: Tô Ngọc Dũng - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường – Tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0976378504 - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com skkn Chủ đầu tư tạo sáng kiến - Họ tên: Tô Ngọc Dũng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020 Mô tả chất sáng kiến: - Để giúp em học sinh tính tốn nhanh tập trắc nghiệm hình học tính tỉ số thể tích khối đa diện, tính thể tích khối đa diện em học sinh giỏi làm số tốn min-max khối đa diện hình khơng gian skkn NỘI DUNG A CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài tốn: Cho hình chóp tam giác S ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A, B, C  khác với S Gọi V V  thể tích V SA SB SC khối chóp S ABC S ABC  Khi ta ln có:  V  SA SB SC  B MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng tốn 1: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Phương pháp: - Sử dụng cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác - Sử dụng định lí, tính chất hình học biết Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung điểm SA, SB SC Khi tỉ số thể tích khối chóp S MNP khối chóp S ABC 1 1 A B C D Lời giải Chọn B Ta có: VS MNP SM SN SP   VS ABC SA SB SC Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N trung điểm SA , SB V Tính tỉ số S ABC VS MNC A B C skkn D Lời giải Ta có VS ABC SA SB SC   2.2.1  Chọn D VS MNC SM SN SC Ví dụ 1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân C cạnh bên SA vng góc với S mặt phẳng (ABC) có SA=AB Mặt phẳng () qua A vng góc với SB cắt SB B’ cắt SC C’ (B’ C’ khác S) Tìm tỉ số thể tích hai phần B’ C’ khối chóp cắt ()? B A Lời giải: C Ta đặt: CB = CA = a; AB =SA = a ; SB = 2a; SC = a VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC'   VS.ABC SA SB SC SB SC Dễ dàng chứng minh tam giác AC’B’ vuông C’ Nên ta có: 2 VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC' SB'.SB SC'.SC  SA  SA 4a2 = = = = = = 2 VS.ABC SA SB SC SB SC SB2 SC2  SB  SC  4a2.3a2 VS.AB'C ' VS.AB'C' = VS.ABC  VA.BCC'B'  VS.ABC Hay  3 VA.BCC ' B' Ví dụ 1.4 Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm ∆SBC, mp(  ) qua G song song (ABC) cắt SA, SB, SC A’, B’, C’, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải: skkn S C' A' G B' A C B Dễ dàng điểm A’, B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC nên ta tính tỉ số VSA ' B ' C ' VABC V VSA ' B ' C ' 8 SA ' SB ' SC '   Ta có: SA ' B ' C '       VSABC SA SB SC   VA ' B ' C ' ABC 19 27 Ví dụ 1.5 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính VS.AB 'C 'D ' tỉ số thể tích VABCDD 'C ' B' S Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’ Ta có: VS.AB'C ' SB' SC' SC'   VS.ABC SB SC SC VS.AC ' D ' SC' SD ' SC'   VS.ACD SC SD SC C' I B' O' A D O B Suy ra: SC' SC' VS.AB 'C '  VS.AC ' D '  (VS.ABC  VS.ACD )  VS.ABCD SC SC Kẻ OO’//AC’ (O’SC) Ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 V Do đó: VS.A ' B'C ' D '  VS.ABCD Hay S.A ' B'C ' D '  VS.ABCD Suy ra: VABCDD 'C 'B'  D' VS.AB'C ' D ' Vậy  VABCDD 'C ' B' skkn C Ví dụ 1.6 Cho khối chóp tứ giác SABCD, mặt phẳng (  ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Lời giải: S N M A D C H B Kẻ MN // CD (N  SD)  Hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mp(ABM) Ta có: 1 VSANB SN  VSANB  VSABD  VSABCD   VSADB SD Mặt khác có: VSBMN SM SN 1 1     VSBMN  VSBCD  VSABCD VSBCD SC SD 2 V Mà: VSABMN  VSANB  VSBMN  VSABCD  VMNABCD  VSABCD Do đó: SABMN  VMNABCD 8 Ví dụ 1.7 Cho hình chóp S.ABC lấy M N cạnh SA SB SM SN cho  Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối  , MA NB chóp thành hai phần, tìm tỉ số thể tích hai phần Lời giải: Kéo dài MN cắt AB I, kẻ MD song song SC (D AC); E =DI  CB Khi tứ giác MNED thiết diện khối chóp cắt (α) skkn Ta có: VA.MDI AM AD AI 2 16    VA.SCB AS AC AB 3 27 Vậy VA.MDI  16 VA.SCB 27 (Do kẻ MJ//AB ta có: NMJ  NIB , BJ  NJ  BI  AB ;AI  AB) Ta lại có: VIBNE IB IN IE 1 1    VIAMD IA IM ID 2 16 1 16 VA.MDI  VS.ABC  VS.ABC 16 16 27 27 16  VAMDEN  VAMDI  VIBNE  VS.ABC  VS.ABC  VS.ABC 27 27 Gọi VSMDCEN phần thể tích cịn lại ta có: Suy ra: VI.BNE  VSMDCEN  VS.ABC  VAMDEN  VS.ABC Vậy: VAMDBNE VSMDCEN VS.ABC   VS.ABC Ví dụ 1.8 Cho khối tứ diện tích V Gọi V ' thể tích khối đa diện có V' đỉnh trung điểm cạnh tứ diện cho Tính tỷ số V V' V' V' V' A B C D     V V V V Lời giải Giả sử khối tứ diện ABCD Gọi E , F , G, H , I , J trung điểm AB, AC , AD, BC , CD, BD VAEFG AE AF AG 1      VAEFG  V V AB AC AD 8 1 Tương tự VBEHJ  V ;VCHIF  V ;VDGIJ  V 8 Ta có V Do V   V  VAEFG  VBEHJ  VCHIF  VDGIJ   V Vậy  Chọn D V skkn Ví dụ 1.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a; SA  SB  SC  2a Gọi M trung điểm cạnh SA; N giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 thể tích khối chóp S.ABCD S.BCNM Tính tỷ số V1 V S Lời giải: Do (MBC) chứa BC//(SAD) nên N giao điểm đường thẳng qua M song song với AD Suy N trung điểm SD M N D A Ta có: VS.ABC  VS.ACD  V O (Do ABCD hình thoi nên SABC  SACD ) B VS.MBC SB SC SM SM    VS.ABC SB SC SA SA C  VS.MBC  V ; VS.MCN  SM SC SN  SM SN   VS.MCN  V VS.ACD SA SC SD SA SD Suy ra: V1  VS.MBC  VS.NCM  3V Vậy V1  V Ví dụ 1.10 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a Gọi K trung điểm BC, I tâm mặt bên CC’D’D Tính thể tích khối đa diện mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương Lời giải Gọi E = AK  DC , M = IE  CC’ , N = IE  DD’ Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành thành khối đa diện đặt: V = V KMCAND V = V KBB ' C ' MAA ' D ' N E Vlp = VABCDA ' B ' C ' D ' = a , V EAND  ED.SADN  a 3 VEKMC EK EM EC 7    V = VEAND  a VEAND EA EN ED 8 36 V = Vlp - V = B C K D A I V 29 a   36 V2 29 B' C' N A' 10 skkn D' Ví dụ 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA = a SA vng góc với đáy, mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a Lời giải : Ta có: BC  AB; BC  SA  BC  (SAB); SC  (P)  SC  AB’  AB’ (SBC) Tương tự ta có: AD’  SD Lại có: VS.AB'C'D'  Vs.AB'C'  VS.AD'C' S C' D' VS.AB'C ' SA SB' SC' SB.SB' SC.SC'   VS.ABC SA SB SC SB2 SC2 VS.AD 'C ' VS.ADC (1) SA SA 3    SB2 SC2 20 SA SD ' SC' SD.SD' SC.SC' (2)   SA SD SC SD SC C D B' O a B A SA SA 3    SD2 SC2 20 1 a3 Do: VS.ABC  VS.ADC  a a  Khi cộng theo vế (1) (2) ta có: 9 VS.AD 'C ' VS.AB'C ' VS.AB 'C ' VS.AD 'C ' + =     20 20 10 VS.ADC VS.ABC a a 6 a 3 3.a Suy VS.AB'C 'D '   10 20 Ví dụ 2.9 Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích 2018 Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng  MB ' D '  chia khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A A 5045 B 7063 C Lời giải Chọn D 16 skkn 10090 17 D 7063 12 -  ( ABCD ) / /( A ' B ' C ' D ')   ( MB ' D ')  ( ABCD )  MN / / B ' D ' ( MB ' D ')  ( A ' B ' C ' D ')  B ' D ' - Trong mp ( AA ' B ' B ) gọi S  B ' M  AA ' Do B ' M , D ' N , AA ' giao tuyến mặt phẳng đôi cắt nên chúng đồng quy S SA SM SN - Áp dụng định lí Talet ta có    SA ' SB ' SD ' SA SM SN - VS AMN  VS A ' B ' D '  VS A ' B ' D ' SA ' SB ' SD ' 7  VAMN A ' B ' D '  VS A ' B ' D '  SA.SA ' B ' D ' 8 1 7063  AA ' A ' B ' A ' D '  VABCD A ' B ' C ' D '  24 12 S Ví dụ 2.10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a; BC = a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = b Gọi M trung điểm SD, N trung điểm AD Gọi (P) mặt phẳng qua BM cắt mặt phẳng (SAC) theo đường thẳng vng góc với BM Chứng minh rằng: AC  (BMN) tính thể tích khối đa diện S.KMHB Lời giải : Dễ CM AC  BN (1) Lại có: MN // SA  MN  AC (2) 17 skkn K M A I N D H O C B Từ (1) (2) ta có: AC  (BMN) Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d)  BM Mà (d) AC đồng phẳng  (d) // (AC) Gọi: O = (AC)(BD) Trong mặt phẳng (SBD): SO cắt BM I Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC H, K  Mặt phẳng (MHBK) mặt phẳng (P) cần dựng Lại I trọng tâm SDC HK//AC nên: SH SK SI (3)    SC SA SO Theo cơng thức tính tỉ số thể tích, ta có: VSMBK SM SB SK VSMHB SM SH SB   ;   VSDBA SD SB SA VSDCB SD SC SB 1  VS.DBC  VS.DBA   VS.ABCD = 2.a 2b (đvtt) 3 Dạng tốn 3: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích tốn Min, Max  VSKMHB =VSKMB + VSMHB = hình học khơng gian Nội dung phương pháp: Trong tốn học nói chung, thấy: Việc tìm giá trị nhỏ lớn đại lượng biến thiên không dễ dàng Bởi việc tìm giá trị nhỏ lớn đại lượng biến thiên hình học khơng gian lại khó khăn Tuy nhiên biết cách sử dụng công thức tỉ số thể tích vào giải tốn min, max số tốn hình khơng gian cho lời giải ngắn gọn hay Ví dụ 3.1 Cho tứ diện S ABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh V AG cắt cạnh SB , SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số S AMN VS ABC A B C Lời giải Chọn A 18 skkn D Gọi E , F , G trung điểm BC , SA, EF suy G trọng tâm tứ diện S ABC Điểm I giao điểm AG SE Qua I dựng đường thẳng cắt cạnh SB , SC M , N Suy  AMN  mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu toán Kẻ GK // SE ,  K  SA  suy K trung điểm FS  Mà KG AK   SI AS KG SI    SE SE SM SI SN SI  ;  SB SP SC SQ  BEP  CEQ  E trung điểm PQ  SP  SQ  2SE (đúng trường hợp P  Q  E ) Kẻ BP // MN , CQ // MN ;  P, Q  SE  Ta có: VS AMN SA SM SN SI SI AM GM SI SI  SI       Ta có:   2 VS ABC SA SB SC SP SQ SE SE   SP  SQ   Dấu "  " xảy SP  SQ  SE Hay P  Q  E  MN // BC Ví dụ 3.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a , AD  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  3a Điểm P trung điểm SC Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB SD M N Gọi V1 thể Vậy tỉ số nhỏ tích khối chóp S AMPN Giá trị nhỏ V1 A a B a C a Lời giải Chọn A 19 skkn D a3 Ta có: VS ABCD  SA.S ABCD  SA AB AD  3a.a.2a  2a 3 Đặt SM  x, SN  y SB SD VS AMPN VS AMP  VS ANP VS AMP V    S AMP  ( x  y ) (1) VS ABCD VS ABCD 2.VS ABC 2.VS ADC VS AMPN VS AMP  VS ANP VS AMN V xy xy xy    S PMN    (2) VS ABCD VS ABCD 2.VS ABD 2.VS CBD 4 Từ (1) (2) ta có : 3 xy  x  y xy x  y  0 4  x, y  Với x, y  ta có:  xy  x  y  xy   xy   xy   xy  Đẳng thức xảy  x  y  V xy  S AMPN     VS AMPN  VS ABCD  a VS ABCD 4 3 Đẳng thức xảy  SM  SN  SB SD Vậy giá trị nhỏ V1 a Ví dụ 3.3 Cho hình chóp S.ABC có SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) qua AG cắt cạnh SB, SC M, N Gọi V1, V thể tích khối chóp S.AMN S.ABC Tìm giá trị lớn 20 skkn V V1 ... 10 skkn D'' Dạng tốn 2: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính thể tích khối đa diện Phương pháp: - Nhiều tính trực tiếp thể tích khối đa diện cần tính khó, nhiên ta sử dụng cơng thức tính. .. dụng cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác để đưa tốn tính thể tích khối đa diện đơn giản hơn, từ ta tính thể tích khối đa diện cần tính - Sử dụng cơng thức, định lí, tính chất hình học... tốt kiến thức, kỹ tính tỉ số thể tích, tính thể tích làm tốn min, max liên quan đến khối đa diện Học sinh thấy việc sử dụng phương pháp tỉ số thể tích vào làm toán trắc nghiệm số nhanh xác, học