SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCÓNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong nhà trường phổ[.]
SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC A ĐẶT VẤN ĐỀ: I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong nhà trường phổ thơng mơn tốn mơn đóng vai trị quan trọng Nó chìa khố cho tất môn khoa học khác Không thế, thực tế tốn học cịn xâm nhập vào lĩnh vực xã hội ngày phát huy vai trị lĩnh vực Nhưng Tốn học mơn học khó rộng, kiến thức vận dụng để giải nhiều dạng tốn khác Việc học tốn địi hỏi học sinh phải có tìm tịi sáng tạo, biết khai thác, mở rộng kiến thức vào giải toán khác Một kiến thức chương trình tốn lớp cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Với kiến thức này, học sinh biết sử dụng để giải phương trình mà chưa biết khai thác để giải dạng tốn tìm cực trị biểu thức, dạng tốn gây cho em nhiều khó khăn lại thường gặp kì thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào lớp 10 Chính mà sâu nghiên cứu việc "Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm cực trị biểu thức" II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm cực trị biểu thức III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Hướng dẫn học sinh Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm cực trị số biểu thức IV MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Cung cấp cho học sinh cách "Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm cực trị biểu thức " Nhờ cải thiện cho học sinh giải dạng tốn tìm cực trị biểu thức, góp phần nâng cao chất lượng tuyển sinh lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi toán V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi sử dụng số phương pháp sau: Nghiên cứu lí luận: Tơi đọc sách, phân tích, đối chiếu tài liệu tốn học, lí luận dạy học mơn tốn, sách giáo khoa tài liệu hướng dẫn giảng dạy; Điều tra thực tế; skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC Thực tiễn sư phạm: Qua trình dạy học đặc biệt trình bồi dưỡng học sinh giỏi khối ôn thi tuyển sinh lớp 10 năm gần B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I Kiến thức lý thuyết 1) Định nghĩa phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a 2) Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a 0) biệt thức = b2 - 4ac : Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt: b x1 = b , x2 = 2a 2a b 2a Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = ; Nếu < phương trình vơ nghiệm Như phương trình bậc hai có nghiệm 3) Một số kiến thức khác cần lưu ý : * Quy tắc nhân với số giải bất phương trình: Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: - Giữ ngun chiều bất phương trình số dương; - Đổi chiều bất phương trình số âm * Định lí Vi-et đảo: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình x2 - Sx + P = Điều kiện để có hai số S2 - 4P II Phương pháp chung Dựa điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai = b - 4ac Đặt biểu thức cần tìm GTLN, GTNN A, chuyển phương trình bậc hai tham số A, lập biệt thức Do phương trình có nghiệm nên 0, từ suy miền giá trị A skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC Nếu A M mà có dấu xảy MaxA = M Nếu A m mà có dấu xảy MinA = m Nếu m A M mà có dấu xảy MaxA = M MinA = m III Các dạng toán: Dạng 1: Tìm GTLN (hoặc GTNN) biểu thức A = ax2 + bx + c (a 0) Bài Tìm GTNN biểu thức A = 2x2 + 20x - nhiều phương pháp (Trích đề thi giáo viên giỏi huyện Kỳ Anh năm học 2004-2005) a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi A giá trị biểu thức ta chuyển sang vế trái ta phương trình bậc hai (2x2 + 20x + (- - A) = 0) ta sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( ' = b'2 - ac 0) để tìm GTNN ( ' = 102 - 2(-3 - A) A -53 Suy AMin= -53 b) Lời giải: Coi A giá trị biểu thức ta có phương trình: 2x2 + 20x + (- A) = Có nghiệm ' 102 - 2(-3 - A) 100+6+2A 2A -106 A -53 b' Dấu xảy x = Suy AMin= -53 x = -5 a 10 = Bài Tìm GTLN biểu thức: B = -3x2 + 15x - Giải: Coi B giá trị biểu thức ta có phương trình: -3x2 + 15x + (- - B) = 0, có nghiệm khi: ' 152 - 4.(-3)(-7 - B) 22584-12B 12B 141 47 B b Dấu xảy x = - skkn3 2a 15 = 2.( 3) SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC 47 Suy BMax= x = Tổng quát: Tìm GTLN (hoặc GTNN) biểu thức: A = ax2 + bx + c (a 0) Giải: Xem A giá trị, ta có phương trình ax2 + bx + (c - A) = có nghiệm = b2 - 4a(c - A) b2 - 4ac + 4aA 4aA -b2 + 4ac Xét hai trường hợp: -b2 + 4ac Nếu a > 0, ta có: A 4a -b2 + 4ac Suy A có giá trị nhỏ 4a ' = 4a (= a b ) x = - 2a b' (= - a ) -b2 + 4ac Nếu a < 0, ta có: A 4a -b2 + 4ac Suy A có giá trị lớn 4a ' = 4a (= a b ) x = - 2a b' a (= - ) Nhận xét: Ở tốn dạng biểu thức cần tìm GTLN GTNN tam thức bậc hai nên bất phương trình thu từ điều kiện có nghiệm bất phương trình bậc ẩn nên việc giải đơn giản Sau ta khai thác toán với biểu thức hai ẩn, sử dụng kết toán dạng để giải dạng khác Dạng 2: Tìm GTLN (hoặc GTNN) biểu thức A = ax2 + by2 + cx + dy + exy +f Bài Tìm GTNN biểu thức: P = x2 + y2 - 3x -3y + xy (Trích đề thi giáo viên giỏi huyện Kỳ Anh năm học 2006-2007) skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi P giá trị biểu thức ta chuyển sang vế trái nhóm theo x ta phương trình bậc hai với biến x, y P xem tham số (x2 + (- + y)x + (y - 3y - P) = 0) ta sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac 0) để tìm GTNN ( = (- + y)2 - 4.1.(y2 -3y - P ) P -3 + (y - 1)2 Suy PMin= -3 b) Lời giải: Coi P giá trị biểu thức ta có phương trình: x2 + y2 - 3x -3y + xy = P x2 + y2 - 3x -3y + xy - P = x2 + (- + y)x + (y2 - 3y - P) = Có nghiệm ' (- + y)2 - 4.1.(y2 -3y - P ) - 6y + y2 - 4y2 + 12y + 4P 4P -9 - 6y + 3y2 4P -12 + 3(y2 - 2y +1) P -3 + (y - 1)2 b y 1 2a Dấu xảy y = 1, x = =Suy GTNN P -3 x = 1, y = 2.1 Bài Tìm x để y đạt giá trị lớn thỏa mãn: x2 + 2y2 - 2xy - 6x + 2y = (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011) a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta nhóm theo x ta phương trình bậc hai với biến x, cịn y xem tham số (x2 - 2(y + 3)x + 2y2 + 2y = 0) ta sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( ' = b'2 - ac 0) để tìm GTLN ( 13 ' = (y + 3)2 - (2y2 + 2y) +2 y b) Lời giải: Ta có: x2 + 2y2 - 2xy - 6x + 2y = 13 +2 Suy yMax= x2 - 2(y + 3)x + 2y2 + 2y = Để phương trình có nghiệm ' ( y + 3)2 - (2y2 + 2y) skkn5 13 +2 SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC y2 + 6y + - 2y2 - 2y y2 - 4y - (y - 2)2 13 13 y - 213 13 + y b' y= 13 13 + y y 1323 a 13 + x = - = 13 13 Suy yMax= +2 x = +5 Lời bình: Trong giải tốn này, khó khăn học sinh việc giải bất phương trình y2 - 4y - Với bất phương trình dạng này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh biến đổi thành bình phương nhỏ số dương sử dụng bất đẳng thức (x+a)2 m (với m > 0) ax m x a m - a đưa bất phương trình tích [y - ( - m 13 x+a + 2)][y - ( 13 m - m- + 2)] cách áp dụng kiến thức tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x 1, x2 phân tích thành f(x) = a(x - x1)(x - x2) Dạng : Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = Bài Tìm GTLN, GTNN biểu thức: M = ax2 bx c a2x b x c2 với b22 - 4a2c2 < 2x 5x x2 a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + > nên biểu thức M xác định với x Nếu ta coi y giá trị biểu thức M ta ta phương trình với ẩn x (2x2 + 5x + = y(x2 + 1) (y - 2)x2 - 5x + (y - 2) = 0) ta xét hai trường hợp: a = a phương trình bậc hai nên sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac = 52 - 4(y - 2)2 y 0) ta miền giá trị y 9 suy minM = maxM = skkn6 SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC b) Lời giải: Biểu thức M xác định với giá trị x Gọi y giá trị biểu thức M, ta có: 2x2 + 5x + = y(x2 + 1) (1) Xét (1) phương trình ẩn x, ta được: (y - 2)x2 - 5x + (y - 2) = (2) Nếu y = (2) có nghiệm x = Nếu y để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ là0, tức là: 52 - 4(y - 2)2 25 (y - 2)2 y-2 2y Với y = y = (2) có nghiệm kép x = - Với y = 2a = 2( y 2) x = -1, với y = So sánh hai trường hợp x = y = y nói ta thấy: minM = b với x = -1; maxM = x với x = 2y Bài Tìm GTLN, GTNN biểu thức: N = x y2 a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + y2 + > với x, y nên biểu thức M xác định với x y Nếu ta coi N giá trị biểu thức ta ta phương trình với ẩn x (Nx2 + Ny2 + 7N = x + 2y + Nx2 - x + (Ny2 - 2y + 7N - 1) = ta xét hai trường hợp: a = a phương trình bậc hai nên sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac = - 4N(Ny2 - 2y + skkn skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC 7N-1) ) ta miền giá trị N 14 N suy MinN = 14 MaxN = b) Lời giải: x 2y x2 y2 Ta có N xác định với x, y Ta tìm N để tồn x, y thỏa mãn: N = Hay Nx2 + Ny2 + 7N = x + 2y + Nx2 - x + (Ny2 - 2y + 7N - 1) = (*) (với a1 = N, b1 = -1, c1 = Ny2 - 2y + 7N - 1) Nếu N = (*) trở thành x + 2y + = hiển nhiên tồn x y, chẳng hạn x = 1, y = - Nếu N tồn x, y thỏa mãn (*) tồn y thỏa mãn: x , tức tồn y thỏa mãn: - 4N(Ny2 - 2y + 7N - 1) hay 4N2y2 - 8Ny + (28N2 - 4N - 1) (**) (với a2 = 4N2, b2' = -4N, c2 = 28N2 - 4N - 1) Theo toán tổng quát Dạng a2 = 4N2 > nên GTNN (4N2y2 - 8Ny + 28N2 ' ' y - 4N - 1) a Do (**) tồn y GTNN 16N2 - 4N2(28N2 - 4N - 1) 28N2-4N-5 28.(N2 - 14 N + (N - 14 )2 N-14 14 N 36 196 ) 49 skkn a 'y y 4N ' y0 skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC b' N= 14 y = b ' a2 = 14 14 N b , x = - 2a1 b ,x=- = 2N 1 1 N = y = a2 = N So sánh hai trường hợp N = N suy ra: MinN = = 2N 2a1 14 x = 5,y= MaxN = x = 1, y = Lời bình: Với tốn dạng phân thức, cần phải xác định điều kiện xác định chuyển phương trình dạng ax2 + bx + c = hệ số a cịn chứa tham số nên phải xét hai trường hợp a = a Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức thỏa mãn điều kiện Bài Cho x, y thỏa mãn hệ thức: x2 + 5y2 - x + 2y - 4xy - = (1) x y Tìm GTLN, GTNN biểu thức: E = (2) a) Phân tích hướng dẫn giải: Đây tốn tìm GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện xy x 2 nên từ biểu thức E = ) vào hệ thức x2 rút đại lượng (y = -E + + 5y2 - x + 2y - 4xy - = ta phương trình bậc hai ẩn x (x + 2(1 - 2E)x + (20E2 - 28E - 15) = 0) ta sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( = b'2 - ac = (1 - 2E)2 - (20E2 - 28E - 15 ) ) ta miền giá trị E Suy MinE = b) Lời giải: MaxE = x Từ (2) suy y = -E + 2 , thay vào (1) ta phương trình: skkn E skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC x x 2 x2 + 5(-E + )2 - x + (2 - 4x)(-E + x2 + 2(1 - 2E)x + (20E2 - 28E - 15) = )-6=0 Phương trình ẩn x với a = 1, b' = - 2E, c = 20E2 - 28E - 15 có nghiệm ' 0, tức là: (1 - 2E)2 - (20E2 - 28E - 15 ) 2E2-3E-2 25 2(E- 4)2 25 (E- 4)2 16 5 E- E b' 2E E= x=- a = 1 2.( ) b' 2E 2.2 a E=2 x== Vậy E đạt GTLN x = -3, y = -3 ,y=-2+ ,y=- 1 + +1+ =2 =-3 E đạt GTNN x = 2, y = 2 Bài Cho x, y thỏa mãn hệ thức: x2 + y2 + xy = (1) Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A = x2- xy + 2y2 (2) a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + y2 + xy = nên ta viết A dạng phân x2 thức A = x xy 2y2 xy y2 hai ẩn nên ta xét trường hợp y = A = 1, cịn y ta x chia tử mẫu cho y2 đặt t = y (A = skkn t2 t t2 t có cách giải ) đưa tốn dạng Bài 10 skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC b) Lời giải: x2 2y2 xy x xy y2 Ta viết A dạng: A = Nếu y = A = x Nếu y chia tử , ta được: A = y mẫu A cho y2 đặt t = t2 t t2 t t2 t t t Cần xác định A để phương trình A = có nghiệm Điều tương đương với việc phương trình (A - 1)t2 + (A + 1)t + A - = có nghiệm +) A = rõ ràng tồn x y +) A phương trình có nghiệm khi: =(A+1)2-4.(A-1)(A-2) 3A2 14A + 7 28 3(A- 3)2 28 (A- 3) 27 A- 2 3 7 A 3 7 Vậy MinA = , đạt A A1 x 2(1 A1) x y 1 x hay xy y 2(1 A1) y y 2(A1 1) 6A1 3A1 skkn 7 11 skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC 27 maxA = , đạt A2 x A2 2(1 A2 ) x y 2(1A2 ) y hay y 2(A2 1) y xy x 6A2 3A2 Trong A1, A2 giá trị nhỏ giá trị lớn x xy y yz z zx 15 Bài Cho x, y, z số thỏa mãn hệ phương trình: Tìm GTLN GTNN x, y, z a) Phân tích hướng dẫn giải: Do vai trị x, y, z nên ta cần tìm GTLN GTNN x suy GTLN GTNN y z Đề cho hệ phương trình với ba ẩn số x, y z nên ta phải rút tổng S = y + z P = yz thông qua ẩn x, y z nghiệm phương trình t - (7 - x)t + (x - 7x + 15) = ta sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để tìm GTLN GTNN x ( = b2 - 4ac = (7 - x)2 - 4.(x2 - 7x + 15) (x -3 31 x b) Lời giải: 11 ) 16 x 11 suy Min x = Max x = ) x y z Xét hệ phương trình: xy yz zx 15 y z 7-x y z 7-x yz = 15 x ( y z) yz = 15 x (7 x) y z 7-x yz = x2 -7x+15 y, z nghiệm phương trình: t2 - (7 - x)t + (x2 - 7x + 15) = (*) y, z có giá trị lớn nhất, bé (7 - x)2 - 4.(x2 - 7x + 15) phương trình (*) có nghiệm skkn 0, tức là: 12 skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC 3x2 - 14x + 11 x2 - 2.x (x - 3) 16 x- x x = y = z = 3 11 x= + x 49 16 9 11 x ; y = z = Suy giá trị nhỏ x 1, đạt y = z = 11 giá trị lớn x , đạt y = z = 11 Vì vai trị x, y, z nên GTNN y, z 1, GTLN y, z Lời bình: Đối với dạng tốn địi hỏi phải có khéo léo chuyển từ điều kiện biểu thức cần tìm cực trị cho phương trình dạng ax + bx + c = Các cách thường sử dụng từ biểu thức cần tìm cực trị rút đại lượng thông qua đại lượng khác vào biểu thức điều kiện ngược lại (như 7); chia hai biểu thức (biểu thức điều kiện biểu thức cần tìm cực trị) cho theo vế với vế (như 8); chuyển thành hệ phương trình thực phép biến đổi… IV Một số tập tự luyện: Bài a) Tìm GTNN biểu thức: A = 7x2 - 2x +3 b) Tìm GTLN biểu thức: B = x2 2x Bài Tìm x để y đạt giá trị nhỏ thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 4y = y y Bài a) Tìm GTNN biểu thức: D = x2 - x + x + y - +1 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004) b) Tìm GTLN biểu thức P = - 5x2 - y2 - 4xy + 2x (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường Đại học sư phạm ngoại ngữ Hà Nội năm học 04-05) x2 Bài Tìm GTLN, GTNN biểu thức: M = skkn 2x x 2x x y2 ; N = 2x y xy 13 skkn ... bậc hai nên sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac = - 4N(Ny2 - 2y + skkn skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC 7N-1) ) ta miền giá trị. .. lập biệt thức Do phương trình có nghiệm nên 0, từ suy miền giá trị A skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC Nếu A M mà có dấu xảy MaxA = M Nếu A m mà có dấu xảy... 2006-2007) skkn SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi P giá trị biểu thức ta chuyển sang vế trái nhóm theo x ta phương trình bậc hai