Luyện tập trang 67 Bài 26 trang 67 Toán lớp 7 Tập 2 Chứng minh định lí Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau Lời giải Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trun[.]
Luyện tập trang 67 Bài 26 trang 67 Toán lớp Tập 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên Lời giải: Giả sử ΔABC cân A có hai đường trung tuyến BM CN, ta cần chứng minh BM = CN A N B M C Ta có: AC = 2AM, AB = 2AN, AB = AC (vì ΔABC cân A) ⇒ AM = AN Xét ΔABM ΔACN có: AM = AN (chứng minh trên) AB = AC (giả thiết) Góc A chung Do ΔABM = ΔACN (c.g.c) Suy BM = CN (hai cạnh tương ứng) Bài 27 trang 67 Tốn lớp Tập 2: Hãy chứng minh định lí đảo định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân Lời giải: A M N G B C Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Khi G trọng tâm tam giác ABC 2 GB = BM;GC = CN 3 Mà BM = CN (theo giả thiết) nên suy GB = GC, GM = GN Xét ΔGNB ΔGMC có : GN = GM (chứng minh trên) GB = GC (chứng minh trên) BGN = CGM (hai góc đối đỉnh) Do ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) Suy NB = MC (hai cạnh tương ứng) (1) Vì M, N trung điểm AC, AB nên ta có: AC = 2MC, AB = 2NB (2) Từ (1) (2) suy AB = AC Do ΔABC cân A Bài 28 trang 67 Toán lớp Tập 2: Cho tam giác DEF cân D với đường trung tuyến DI a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI b) Cho biết số đo hai góc DIE DIF c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, tính độ dài đường trung tuyến DI Lời giải: D E F I a) Xét ΔDEI ΔDFI có: DI cạnh chung DE = DF (giả thiết) IE = IF (I trung điểm EF) Do ΔDEI = ΔDFI (c.c.c) b) Vì ΔDEI = ΔDFI (cmt) DIE = DIF (hai góc tương ứng) Mà DIE + DIF = 180 (hai góc kề bù) DIE = DIF = 90 c) I trung điểm EF nên IE = IF = 5cm Vì DIE = 90 nên tam giác AIE vuông I Xét tam giác DIE vng I, ta có: DE2 = DI2 + EI2 (Định lí Py – ta – go) ⇒ DI2 = DE2 – EI2 Thay số: DI2 = 132 – 52 = 144 ⇒ DI = 12 (cm) Bài 29 trang 67 Toán lớp Tập 2: Cho G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: GA = GB = GC Hướng dẫn: Áp dụng định lí tập 26 Lời giải: A N P G B M C Gọi trung điểm BC, AC, AB M, N, P Khi AM, BN, CP đồng quy trọng tâm G Ta có: ∆ABC suy ra: + ∆ABC cân A ⇒ BN = CP (theo chứng minh 26) + ∆ABC cân B ⇒ AM = CP (theo chứng minh 26) ⇒ AM = BN = CP (1) 2 Vì G trọng tâm ∆ABC nên ta có: GA = AM;GB = BN;GC = CP (2) 3 Từ (1) (2) suy GA = GB = GC (đpcm) Bài 30 trang 67 Toán lớp Tập 2: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trên tia AG lấy điểm G' cho G trung điểm AG' a) So sánh cạnh tam giác BGG' với đường trung tuyến tam giác ABC b) So sánh đường trung tuyến tam giác BGG' với cạnh tam giác ABC Lời giải: A P N G B M C G' a) Gọi trung điểm BC, AC, AB M, N, P ⇒ AM, BN, CP đường trung tuyến, G trọng tâm ΔABC Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có: GB = BN (1) 2 GA = AM mà GA = GG’ (do G trung điểm AG’) nên GG ' = AM (2) 3 1 GM = AG , mà AG = GG ' GM = GG ' GM = MG ' 2 Xét ΔGMC ΔG’MB có: GM = G’M (chứng minh trên) GMC = G 'MB (hai góc đối đỉnh) MC = MB (giả thiết) Do ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c) Suy GC = G’B (hai cạnh tương ứng) 2 Mà GC = CP (tính chất đường trung tuyến) BG ' = CP (3) 3 2 Từ (1), (2), (3) ta có: GG ' = AM;BG ' = CP;BG = BN 3 b) Gọi I, K trung điểm BG, BG’ A P N G I B M K C G' Vì M trung điểm GG’nên BM đường trung tuyến ΔBGG Mà M trung điểm BC nên BM = BC Vì I trung điểm BG nên IG = BG Mà GN = BG nên suy IG = GN = BG Xét ΔIGG’ ΔNGA có: IG = GN (chứng minh trên) IGG' = NGA (hai góc đối đỉnh) GG’ = GA (giả thiết) Do ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c) Suy G’I = AN (hai cạnh tương ứng) 1 G 'I = AC (vì AN = AC ) 2 1 Ta có: PG = GC;BK = BG ' 2 Mà GC = BG’ (chứng minh phần a) nên suy PG = BK ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a) CGM = BG'M (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le nên suy CP // BG’ PGB = GBG' (hai góc so le trong) hay PGB = GBK Xét ΔPGB ΔKBG có: PG = BK (chứng minh trên) PGB = GBK (chứng minh trên) BG cạnh chung Do ΔPGB = ΔKBG (c.g.c) Suy PB = GK (hai cạnh tương ứng) 1 GK = AB (vì PB = AB ) 2 1 Vậy BM = BC;GK = AB;G 'I = AC 2 ... = 132 – 52 = 144 ⇒ DI = 12 (cm) Bài 29 trang 67 Toán lớp Tập 2: Cho G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: GA = GB = GC Hướng dẫn: Áp dụng định lí tập 26 Lời giải: A N P G B M C Gọi trung điểm... trung điểm AC, AB nên ta có: AC = 2MC, AB = 2NB (2) Từ (1) (2) suy AB = AC Do ΔABC cân A Bài 28 trang 67 Toán lớp Tập 2: Cho tam giác DEF cân D với đường trung tuyến DI a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI... trọng tâm ∆ABC nên ta có: GA = AM;GB = BN;GC = CP (2) 3 Từ (1) (2) suy GA = GB = GC (đpcm) Bài 30 trang 67 Toán lớp Tập 2: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trên tia AG lấy điểm G'' cho G trung điểm AG''