Luận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọng

Luận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọngLuận văn thạc sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine với hàm trọng

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN DUY THANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN DUY THANH PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Minh Khoa Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi tự hồn thành Các kết luận văn trung thực chưa công bố tạp chí Tác giả Phan Duy Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv LỜI CẢM ƠN Trong trình học Cao học viết Luận văn tốt nghiệp, tác giả nhận nhiều ủng hộ Phòng giáo dục đào tạo huyện Tam Nông – Phú Thọ, lãnh đạo đồng nghiệp trường THCS Dị Nậu, giúp đỡ quý báu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả nhận chia sẻ, động viên bạn đồng nghiệp người thân Trong trình thực Luận văn thạc sĩ Toán học, tác giả nhận hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Minh Khoa chuyên mơn Thầy ln nhiệt tình, tận tâm bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức cung cấp nhiều tài liệu quý báu Thầy dẫn cho tác giả trình bày kiến thức thu qua học tập ngiên cứu cách có hệ thống luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ động viên quý báu Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Phan Duy Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………… i Lời cảm ơn…………………………………………………… ii Mục lục…………………………………………………………… iii MỞ ĐẦU NỘI DUNG…………………………………………………………… Chương Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay Chương II Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosin với hàm trọng 13 (2-1) Định nghĩa 13 (2-2) Định lý kiểu Watson Bổ đề 2.1 13 (2-3) Định lý kiểu Plancherel 19 Định lý 3.4 19 (2-4) Các ví dụ 22 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ vi CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Các không gian hàm dùng luận văn     x  R : x  0 L(  ) tập hợp tất hàm f xác định  0,   cho   f ( x) dx   Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 1) Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân vấn đề trụ cột giải tích tốn học, đời khơng ngừng phát triển khoảng hai trăm năm qua Phép biến đổi tích phân đóng vai trị quan trọng toán học nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác quang học, điện, lượng tử, y sinh học, âm thanh, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị đặc biệt lý thuyết ứng dụng, trước hết phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Xuất phát từ toán thực tế nghiên cứu trình truyền nhiệt năm 1807 Fourier hồn thành cơng trình phép biến đổi tích phân Fourier  6 Phép biến đổi tích phân Fourier có dạng (Xem  2 )  Ff  ( y)  2  e  iyx f ( x)dx, f  L1 (  * ) ; (0.1)   Ff  ( y )  NLim  2 N e  iyx f ( x)dx, f  LP (  ) (0.2) N Trong trường hợp f hàm số chẵn lẻ ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng sau (xem 6,10 ):  F f  ( y)  C   F f  ( y)  S Số hóa Trung tâm Học liệu   f ( x)cos( xy)dx, f  L1 (   ) ; (0.3)    f ( x)sin( xy)dx, f  L1 (   ) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (0.4) Và  F f  ( y)  Lim C N   F f  ( y)  Lim S N    f ( x)cos( xy)dx,  N f  LP (  ) ; (0.5) f  LP (  ) (0.6) N N  f ( x)sin( yx)dx, N Ở giới hạn hiểu theo chuẩn không gian LP (  ) Các định nghĩa trùng f  L1 (  )  LP (  ) Cùng với phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân, hướng phát triển lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f, g phép biến đổi Fourier có dạng sau (Xem 7 ): ( f *g)(x)  F 2   f (y)g ( x  y)dy, x   (0.7)  Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F ( f *g)( y)  ( Ff )( y).( Fg )( y), y   ; f , g  L1 (  ) F (0.8) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập hai hàm f, g phép biến đổi Fourier cosine (Xem 7 ): ( f *g)(x)  F 2 C   f (y)  g ( x  y)  g ( x  y )  dy, x  (0.9) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Đẳng thức Parseval sau (Xem 7 ): FC ( f *g)( y)  ( FC f )( y).( FC g )( y), y  0; f , g  L1 (   ) ; F (0.10) ( f *g)( x)  Fc  ( Fc f )( y ).( Fc g )( y )  ( x), x  0; f , g  L2 (   ) F (0.11) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Vào năm 2004 tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa xây dựng tích chập với hàm trọng  ( y )  cos y hai hàm f, g thuộc L1 (  ) phép biến đổi Fourier cosine (Xem 8 ):  f * g  ( x)   F    2 c   f ( y)  g  x  u  1  g  x  u    g  x  u    g  x  u    du, x > (0.12) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  Fc  f * g  ( y )  cos y.( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), y   F  (0.13) c Đối với tích chập hai hàm f, g cố định hàm, chẳng hạn hàm g cho hàm f thay đổi không gian hàm ta nhận phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phép biến đổi tích phân với thống xây dựng theo hướng phép biến đổi Watson dựa tích chập Melin phép biến đổi Melin Gần số phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tích chập suy rộng khảo sát (Xem 3,5,9,11 ) Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trong luận văn mình, tác giả xét tích chập với hàm trọng  ( y)  cos ay phép biến đổi tích phân Fourier cosine Dựa tích chập tích chập (0.9) để xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng nhận diều kiện cần đủ để phép biến đổi xây dựng unita không gian L2 (  ) Định lý kiểu Plancherel tính bị chặn phép biến đổi xây dựng không gian LP (  ) chứng minh Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phƣơng pháp nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Sử dụng phép biến đổi tích phân, tích chập biết kết giải tích, giải tích hàm Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 Và sử dụng đẳng thức Parseval tích chập Fourier cosine L2 (  ) ta 2 Fc cos ay. Fc f  ( y )  Fc g  ( y )  ( x) có:  2 Fc cos ayFc  f * g  ( y )  ( x)   f * g  ( x  a )   f * g  ( x  a )  Từ đẳng thức ta nhận đẳng thức (2.2) Bổ đề chứng minh Định lý 2.2 Giả thiết k1 , k2  L2 (  ) a0  1, a j  cho a y  L2 (  ) n 2j j j 0 Khi điều kiện: 2cos ay  Fc k1  ( y )   Fc k2  ( y )  2 a y (2.3) n 2j j j 0 điều kiện cần đủ để phép biến đổi tích phân: f g  g ( x)     n j 0  d2 j   (1) a j j   f (u ) k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a  dx   0  j  k1  x  u  a   du     f (u )  k2  x  u   k2  x  u   du  , x   (2.4) unita L2 (  ) phép biến đổi ngược có dạng:  f ( x)     n j 0  d j   (1) a j j   g (u )  k1  x  u  a   k1  x  u  a   k1  x  u  a  dx   j Số hóa Trung tâm Học liệu  http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Tích chập Fourier cosine với hàm trọng  ( y)  cos ay 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2 Tích chập Fourier cosine với hàm trọng. .. thay đổi khơng gian hàm ta nhận phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Phép biến đổi tích phân với thống xây dựng theo hướng phép biến đổi Watson dựa tích chập Melin phép biến đổi Melin Gần số phép. .. CHƢƠNG II PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG  ( y )  cos ay Trong chương ta xét lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập Fourier cosine tích chập Fourier