CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG

CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG

Các bạn học sinh thân mến ! Những năm gần đây, câu hình học tọa độ phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, loại tập tương đối khó Để giải được, yêu cầu phải phát tính chất đặc biệt hình Các tính chất đặc biệt chủ yếu nằm chương trình tốn học cấp THCS mà học từ lâu, đa số bạn thường khơng cịn nhớ Để chinh phục câu hình học tọa độ phẳng Oxy , trước hết ôn lại số kiến thức đặc trưng Trong tài liệu này, tác giả tạm thời 14 tính chất đặc trực hình học phẳng để bạn nhớ lại Phần tài liệu tập hợp 36 tốn có hướng dẫn giải, vận dụng 14 tính chất trình bày để minh họa cụ thể Tuy lượng tập không nhiều bao quát tương đối đầy đủ dạng toán trọng tâm yếu tố suy luận cần thiết mà đề thi thường khai thác Kiến thức thật mênh mông học cho hết, với phương châm thi - học nấy, tác giả hi vọng tài liệu nhỏ giúp bạn có kiến thức tổng hợp cách nhìn nhận tốt để tư giải thành cơng câu hình học tọa độ phẳng Oxy kỳ thi tới Chúc bạn thành công ! Phần CÙNG ƠN LẠI CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Tính chất 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm Họi H’ giao điểm AH với đường tròn (O) ⇒ H ' đối xứng với H qua BC Hướng dẫn chứng minh: A + Ta có Gọi A1 = C1 (cùng phụ với ABC ) sdBH ' ⇒ C1 = C2 ⇒ ∆HCH ' cân C ⇒ BC trung trực HH’ ⇒ H ' đối xứng với H qua BC + Mà A1 = C2 = O H B C H' Tính chất 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O), H trực tâm, kẻ đường kính AA’, M trung điểm BC ⇒ AH = 2.OM Hướng dẫn chứng minh: + Ta có ABA ' = 900 (góc nội tiếp chắn nửa A đường trịn tâm O) ⇒ BA ⊥ BA ' , mà BA ⊥ CH ⇒ BA '/ /CH (1) + Chứng minh tương tự ta có CA '/ /BH (2) + Từ (1) (2) ⇒ tứ giác BHCA’ hình bình hành, mà M trung điểm đường chéo BC ⇒ M trung điểm đường chéo A’H ⇒ OM đường trung bình O ∆ 'H ⇒ AH = 2.OM H x A C M B H K A' Tính chất 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O), BH CK đường cao ∆ABC ⇒ AO ⊥ KH Hướng dẫn chứng minh: O B C sdAC + Mà ABC = AHK (do tứ giá KHCB nội tiếp) ⇒ xAC = AHK , mà góc vị trí so le ⇒ / /HK + Lại có Ax ⊥ AO (do Ax tiếp tuyến) ⇒ AO ⊥ HK + Kẻ tiếp tuyến Ax ⇒ xAC = ABC = Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Tính chất 4: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HBC ⇒ O I đối xứng qua BC Hướng dẫn chứng minh: A + Gọi H’ giao điểm AH với đường tròn (O) ⇒ tứ giác ACH’B nội tiếp đường tròn (O) ⇒ O đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BH 'C + Mặt khác H H’ đối xứng qua BC (tính chất chứng minh) ⇒ ∆HBC đối xứng với ∆H ' BC qua BC, mà O, I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆H ' BC ∆HBC ⇒ I O đối xứng qua BC O H C B H' I Tính chất 5: (Đường thẳng Ơ - le) Cho ∆ABC , gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm tâm đường trịn ngồi tiếp ∆ABC Khi ta có: 1) OH = OA + OB + OC 2) điểm O, G, H thẳng hàng OH = 3.OG Hướng dẫn chứng minh: 1) Ta chứng minh AH = 2.OM (đã chứng minh tính chất 2) + Ta có : OA + OB + OC = OA + 2.OM = OA + AH = OH 2) Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ OA + OB + OC = 3.OG ⇒ OA + 2.OM = 3.OG A H ⇒ OA + AH = 3.OG ⇒ OH = 3.OG Vậy điểm O, G, H thẳng hàng G O C B M A' Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Tính chất 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E theo thứ tự chân đường cao từ A, B Các điểm M, N theo thứ tự trung điểm BC AB ⇒ tứ giác MEND nội tiếp Hướng dẫn chứng minh: A E H N O C B  H;   2 M D + Ta có D trung điểm HH’ (tính chất 1), M trung điểm HA’ (do HCA’B hình bình hành - tính chất 2) Như ta có phép vị tự : (A ') = M V  :   H;  (H ') = D  2 + Mà điểm A’, H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ điểm M, D thuộc đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) tâm O qua phép vị tự V  (1) + Chứng minh tương tự ta có điểm N, E thuộc đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) tâm O qua phép vị tự V  (2)  H;   2 A' + Từ (1) (2) ⇒ điểm D, M, E, N thuộc đường tròn (C’) Tính chất 7: Cho ∆ABC , gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC , AI cắt đường tròn (O) D ⇒ DB = DI = DC Hướng dẫn chứng minh: H' + Ta có ɵI1 = A1 + B1 (do I1 góc ngồi ∆ABI ) A + Mà B1 = B2 (Do BI phân giác ∆ABC ), A1 = A (Do AI phân giác ∆ABC ), mà sdBC ⇒ I1 = B2 + B3 = IBD ⇒ ∆IBD cân D ⇒ DI = DB (1) + Ta lại có A1 = A ⇒ BD = DC ⇒ BD = DC (2) + Từ (1) (2) ⇒ DB = DI = DC A = B3 = O I 1 B C D Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Tính chất 8: Cho ∆ABC , gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C ∆ABC Gọi H trực tâm ∆ABC ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ∆D Hướng dẫn chứng minh: + Ta có tứ giác BDHF nội tiếp A ⇒ B1 = D1 (1) E + Tứ giác ECDH nội tiếp ⇒ C1 = D (2) F + Mà B1 = C1 (cùng phụ với BAC ) (3) H Từ (1), (2) (3) ⇒ D1 = D ⇒ DH phân giác ∆D (*) - Chứng minh tương tự ta có EH, FH tia phân giác ∆D (**) B C - Từ (*) (**) ⇒ H tâm đường trịn nội D tiếp ∆D Tính chất 9: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E giao điểm đường tròn (O) với đường cao qua A C ⇒ OB trung trực ED Hướng dẫn chứng minh: sdBD sdBE , D1 = C1 = , C1 = A1 2 (cùng phụ với ABC ) ⇒ E1 = D1 ⇒ ∆EBD cân B ⇒ BE = BD (1) + Mà OE = OD (bán kính đường trịn tâm O) (2) Từ (1) (2) ⇒ OB trung trực ED A + Ta có E1 = A1 = E O B C D Tính chất 10: Cho ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm I, G trọng tâm ∆ABC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm ∆ADC ⇒ I trực tâm ∆DEG Hướng dẫn chứng minh: A - Gọi F, H, K trung điểm BC, AC, AD ⇒ E = DH ∩ CK - Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ G = ∩ CD K CE CG - Ta có = = ⇒ GE / /AB , CK CD mà AB ⊥ DI ⇒ GE ⊥ ID E D DE / /BC  - Lại có I  ⇒ GI ⊥ DE ⇒ I trực tâm ∆DGE GI ⊥ BC  G B Nguồn: http://www.toanmath.com/ C F Trang CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Tính chất 11: “Trong hình thang cân có đường chéo vng góc, độ dài đường cao độ dài đường trung bình” Hướng dẫn chứng minh: N A B + NM = NI + IM + Do ABCD hình thang cân, AC ⊥ BD I ⇒ ∆AIB, ∆DIC vuông cân ⇒ IN, IM I(2;3) đường cao tương ứng đồng thời trung tuyến AB CD F E ⇒ NI = ; IM = 2 AB + CD ⇒ NI + IM = = ⇒ NM = D C M x-3y-3=0 Tính chất 12: Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC hình vng ABCD ⇒ AN ⊥ DM Hướng dẫn chứng minh: + Ta có ∆ABN = ∆DAM(c − g − c) ⇒ A1 = D1 M A B + Mà D1 + M1 = 900 ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒ ∆AHM vuông H ⇒ AN ⊥ DM H N D C Tính chất 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2.AD , M điểm AB cho AB = 4.AM ⇒ DM ⊥ AC Hướng dẫn chứng minh: M A B + Ta có D1 + M1 = 900 1 + Mà BC AM H tan A1 = = , tan D1 = = AB AD , ⇒ A1 = D1 + Thay vào (1) ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒ ∆AHM vuông H ⇒ AC ⊥ DM C D Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Tính chất 14: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, AH ⇒ AP ⊥ CQ Hướng dẫn chứng minh: + Ta có PQ đường trung bình ∆AHB ⇒ PQ / /AB , mà AB ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ AC ⇒ Q trực tâm ∆APC ⇒ AP ⊥ CQ B P H Q A C Còn … Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang Phần CÙNG THỰC HÀNH VỚI 36 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 1: ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; −1) trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B ∆ABC qua điểm E(−1; −3) , điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC biết D(4; −2) Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, gặp loại tập mà A? tam giác nội tiếp đường tròn, kiện cho đường cao tam giác ta thường nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách: - Nếu tam giác có đường cao ta việc kẻ đường kính qua đỉnh cịn lại (khơng chứa đường cao kia) H - Nếu tam giác có đường kính qua đỉnh đường cao ta kẻ đường cao thứ (bài tốn ta làm vậy) + Với toán ta tạo điểm H M(3;-1) B trực tâm ∆ABC ⇒ ta chứng minh BHCD hình bình hành (xem tính chất 2) + Cơng việc chuẩn bị xong, ta làm theo bước suy luận sau nhé: - Thấy H trung điểm AC ⇒ H(2; 0) - Lập phương trình BH (qua điểm H E) ⇒ BH : x − y − = - Lập phương trình DC (qua D // BH) ⇒ DC : x − y − = - Lập phương trình AC (qua F ⊥ BH ) ⇒ AC : x + y − = - Tọa độ C = AC ∩ DC , giải hệ ⇒ C(5; −1) - Lập phương trình BC qua điểm M C ⇒ BC : y + = - Lập phương trình AH (qua H ⊥ BC ) ⇒ AH : x − = - Tọa độ A = AH ∩ AC , giải hệ ⇒ A(2; 2) E(-1;-3) F(1;3) C D(4;-2) Bài 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (C), đường phân giác ngồi A cắt đường tròn (C) M(0; −3), N(−2;1) Tìm tọa độ điểm B, C biết đường thẳng BC qua E(2; −1) C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta thấy AN ⊥ AM (t.c phân giác góc kề bù) ⇒ đường trịn (C) có tâm I(−1; −1) trung điểm MN, bán kính R = MN 2 = ⇒ (C) : ( x + 1) + ( y + 1) = + Như đến thấy để tìm tọa độ B, C ta cần thiết lập phương trình đường thẳng BC cho giao với đường tròn (C) Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang CHINH PHỤC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG A B + Trước hết ta tính + Do A ∈ AM ⇒ A(x; 2x − 5) , vấn đề phải IH = d(I; AM) = = thiết lập phương trình để tìm x !!! + Ta thấy ∆AIH vng H, tính AI (hoặc AH) có phương trình ẩn x Thật vậy, em quan sát suy luận sau đây: - Em chứng minh I(1;-1) H ( 2x-y-5=0 tan A1 + tan A ) A1 + A = 450 ⇒ tan A1 + A = ⇔ − tan A1.tan A C D M DM 1 - Mà tan A = = , thay vào (*) ⇒ tan A1 = AD IH - Lại có: ∆AIH vng H ⇒ tan A1 = ⇒ AH = ⇒ AI = AH2 + IH2 = AH  13  13  x = ⇒ A ;   - Bây giải phương trình AI = ⇒   5  x = ⇒ A(1; −3) =1 Bây xem lại đề thi khối A-2012 có cách khai thác làm tương tự (trong đáp án BGD khó hiểu) Bài 17: (KA-2012) Cho hình vng ABCD, M trung điểm BC N thuộc CD cho = A  11  Điểm M  ;  , AN : 2x − y − = Tìm tọa độ A  2 Hướng dẫn tìm lời giải + Do A ∈ AN ⇒ A ( x; 2x − 3) B + Tính khoảng cách AH = d(M; AN) = 2x-y-3=0 11 M( ; ) 2 + Bây ta cần tính đoạn AM để thiết lập phương trình tìm x sau: - Ta có ( A1 + A + A3 = 900 ⇒ A = 900 − A1 + A3 H D N C ) ⇒ cot A = cot 900 − A1 + A3  = tan A1 + A3   ( ) ( ) 1 DN BM + + = ⇒ A = 450 AD AB ⇒ cot A = = = DN BM 1 − tan A1.tan A − 1− AD AB HM - Xét ∆AHM vuông H ⇒ AM = =3 sin 45 tan A1 + tan A3 Nguồn: http://www.toanmath.com/ Trang 17 ... ổn khơng ! Nếu vẽ hình xác ta dự đốn BC ⊥ MN !!! (ta chứng minh nhanh nhé: A1 = A ⇒ MB = MC ⇒ M N(-2;1) điểm BC ⇒ H trung điểm BC ( H = MN ∩ BC ) ⇒ BC ⊥ MN (q hệ đường kính dây cung - hình học... Cho hình thang ABCD có đáy AD // BC, AD = 3.BC Phương trình đường thẳng AD x − y = Điểm E(0;2) trung điểm AB, điểm P(1;-2) nằm đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh hình thang, biết hình thang có... PHẲNG Tính chất 11: “Trong hình thang cân có đường chéo vng góc, độ dài đường cao độ dài đường trung bình” Hướng dẫn chứng minh: N A B + NM = NI + IM + Do ABCD hình thang cân, AC ⊥ BD I ⇒ ∆AIB,