HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Các kí hiệu Lời nói đầu 3-4 Chương Các kiến thức hàm phần nguyên .5 §1 Khái niệm phần nguyên §2 Các tính chất phần nguyên .6 §3 Hàm phần nguyên đồ thị hàm phần nguyên 11 Chương Phần nguyên toán số học đại số 16 §1 Phần nguyên toán số học 16 §2 Tính giá trị số biểu thức chứa phần nguyên 27 §3 Chứng minh hệ thức chứa phần nguyên 31 §4 Phương trình hệ phương trình chứa phần nguyên .32 Chương Phần ngun tốn giải tích 49 §1 Một số tính chất giải tích dãy chứa phần ngun 49 §2 Tính tổng hữu hạn dãy chứa phần nguyên 53 §3 Tính giới hạn dãy chứa phần dư .…… .56 §4 Hàm số chứa phần nguyên …… … .62 §5 Chuỗi số chứa phần nguyên … … .67 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn ta sử dụng ký hiệu sau: Tập số thực ký hiệu Tập số thực không âm ký hiệu Tập số hữu tỉ ký hiệu Tập số nguyên ký hiệu { , -2, -1, 0,1, 2, } Tập số tự nhiên ký hiệu {1, 2, 3, } Tập số nguyên dương ký hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Do tính độc đáo hàm phần nguyên, thí dụ, hàm phần nguyên vừa đơn giản (là hàm khúc) lại vừa phức tạp (gián đoạn điểm nguyên nên khó áp dụng cơng cụ giải tích), nhiều toán hay phần nguyên sử dụng làm đề thi học sinh giỏi cấp, có nhiều đề thi học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế Mặt khác, hàm phần nguyên có ứng dụng quan trọng khơng tốn học phổ thơng, mà cịn nhiều vấn đề tốn ứng dụng cơng nghệ thơng tin (làm trịn số, tính gần đúng, ) Phần nguyên thể kết nối tính liên tục tính rời rạc, tốn giải tích tốn rời rạc nên thú vị Lí thuyết tập phần nguyên rải rác có sách tạp chí, chí chuyên đề số sách số học (xem [3], [5], [8]) Tuy nhiên, chưa có sách viết đủ phong phú tổng hợp phần nguyên Đó lí để tác giả chọn đề tài làm luận văn cao học Luận văn Hàm phần ngun ứng dụng có mục đích trình bày kiến thức hàm phần nguyên ứng dụng giải tốn sơ cấp, cụ thể số học, đại số giải tích (tốn chia hết, giải phương trình, tính chất dãy, tính giới hạn, tính tổng dãy, chuỗi, chứa phần nguyên) Đồng thời luận văn trình bày mối quan hệ mật thiết phần nguyên với dạng toán khác (dãy truy hồi, nhị thức Newton, hệ đếm, ) Đặc biệt luận văn tập hợp khối lượng lớn tốn thi vơ địch quốc gia quốc tế minh họa cho lí thuyết phần nguyên Luận văn gồm ba chương Chương trình bày định nghĩa tính chất hàm phần nguyên đồ thị hàm phần nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày số dạng tốn chứa phần nguyên số học đại số (toán chia hết; tính tốn chứng minh hệ thức chứa phần nguyên; giải phương trình hệ phương trình chứa phần ngun; ) Chương trình bày số dạng tốn chứa phần nguyên giải tích (các tính chất tính bị chặn, tính tuần hồn dãy số; tìm số hạng tính giới hạn dãy số, tính tổng hữu hạn dãy số, tính tổng chuỗi chứa phần ngun, ) Nhiều ví dụ tốn tập hợp luận văn đưa vào thảo sách tác giả luận văn viết chung với Thầy hướng dẫn Thạc sĩ Nguyễn Thị Bình Minh Vì hạn chế số trang luận văn, chương, chúng tơi cố gắng trình bày vấn đề lí thuyết làm sở để phân loại tổng kết phương pháp giải dạng toán chứa phần nguyên Các ví dụ minh họa phương pháp lựa chọn mang tính chất điển hình, số lượng lớn tập thể phong phú mn hình vẻ ứng dụng hàm phần nguyên giải toán giải chi tiết [2] nên khơng trình bày lại luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng Xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin chân cám ơn Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác giả hồn thành chương trình cao học ngành tốn Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp cảm thông, ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian tác giả học cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Hạnh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHẦN NGUYÊN §1 KHÁI NIỆM VỀ PHẦN NGUYÊN Định nghĩa 1.1 Cho số thực x Số nguyên lớn không vượt x gọi phần nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) x Ta thường kí hiệu phần nguyên x x Nhiều tài liệu gọi phần nguyên x sàn kí hiệu phần nguyên x x , sàn có liên quan mật thiết với khái niệm trần x x Hai khái niệm trần sàn thường sử dụng tin học Trong luận văn ta dùng hai kí hiệu phần nguyên (sàn) x x Định nghĩa 1.2 Cho số thực x Số nguyên bé không nhỏ x gọi trần x kí hiệu x Định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.2 tương đương với: z x z 1; 0 x z 1; z z x z z x z; 0 z x 1; x z z z Hơn nữa, x x x x x với x Định nghĩa 1.3 Phần dư (phần thập phân, phần lẻ, giá trị phân - fractional part, fractional value) số thực x , kí hiệu x định nghĩa công thức x x x Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ Định nghĩa 1.3 ta suy ngay, x với x z z số nguyên Ta biết rằng, với x tồn số nguyên z cho z x z Định nghĩa 1.4 Giá trị nhỏ hai số x z z x gọi khoảng cách từ x đến số nguyên gần kí hiệu x Ta có x x z 0,5 với x Định nghĩa 1.5 Số nguyên gần số thực x kí hiệu x x gọi số làm tròn x Khái niệm làm tròn số sử dụng rộng rãi máy tính Để xác định, có hai số nguyên gần x (nghĩa x z 0,5 z 1 0,5 z z có khoảng cách tới x 0,5 ( x z z x 0,5 ) ta qui ước chọn số lớn, tức z x z 0,5 , x z , z 0,5 x z x z §2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHẦN NGUYÊN Từ Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.5 ta đến tính chất đơn giản hay sử dụng sau phần nguyên Các tính chất chứng minh chi tiết [2], chúng tơi liệt kê mà khơng chứng minh Tính chất 2.1 Với x ta có a) x x x hay x x x ; b) x x x hay x x x Dấu xảy x số nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 2.2 x x x ; x ; x x x Hệ 2.1 x z z z x Tính chất 2.3 x z x z ; x z x với z Đảo lại, x y y x z với z Tính chất 2.4 Nếu x x x x Ngược lại x x x x Nếu x số hữu tỉ khơng phải số ngun x số hữu tỉ thuộc khoảng 0;1 Nếu x số vơ tỉ x số vô tỉ thuộc khoảng 0;1 Tính chất 2.5 Phần dư, sàn trần có tính chất luỹ đẳng (idempotent), tức x x ; x x x x với x Hơn nữa, x x x với x hai lần áp dụng phép tốn kết khơng đổi: Nhưng x x x x với x ; x , x x x x với x Tính chất 2.6 Các qui tắc đổi chỗ (hốn vị), kết hợp phép toán cộng phép toán nhân; qui tắc kết hợp phép toán nhân phép toán cộng cho phần nguyên phần dư Tính chất 2.7 Phép làm trịn số x thông thường nêu Định nghĩa 1.5 phép lấy phần nguyên x 0,5 , tức x x 0,5 Tính chất 2.8 Nếu x y x y hay 1 x y Tính chất 2.9 Nếu x y x y Đảo lại, x y x y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 2.10 a) Cả hai số x y hai số nguyên x y b) Trong hai số x y có số nguyên số khơng phải số ngun x y c) Hai số x y khơng ngun có tổng x y số nguyên x y Tính chất 2.11a Với x, y ta có x y x y x y ; x y x y x y Nhận xét 2.1 Tính chất 2.11a phát biểu dạng sau x y 1; x y Tính chất 2.11b x y x y x y Tính chất viết dạng sau x y 1; x y Tính chất 2.11c x y x y x y Hệ 2.2 x x với x Hệ 2.3 x x x x x ; x x 1 x x Hệ 2.4 x x với x x Tính chất 2.12a Với x y số thực ta có x y x y x y x y x y x y Nhận xét 2.2 Tính chất 2.12a viết dạng sau Tính chất 2.12b a) Nếu max x , y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x y x y x y x y x y 2 x 2 y b) Nếu x , y max x , y x y x y x y x y x y x y 2 x y c) Nếu x , y max x , y x y x y x y d) Nếu 2 x y x y x y 2 x 2 y x , y x y x y x y x y x y 2 x 2 y Tính chất 2.13 Với x ta ln có 1 1 x x x 2 x x n n 1 Hệ 2.5 Với số nguyên dương ta có n Tính chất 2.14a Với x, y ta ln có x y x y x y Nhận xét 2.5 Tính chất 2.14a phát biểu dạng sau x y Tính chất 2.14b x y x y x y Tính chất 2.14c x y x y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên y x; x y y x; x y http://www.lrc-tnu.edu.vn