BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Trường đại học lâm nghiệp Bộ môn Toán Vũ Khắc Bảy Bài giảng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn) Hà nội - Năm 2012 Bi ging : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN LỜI NĨI ĐẦU Để giải tính tốn tốn kêt cấu học, ngồi phương pháp giải tích ta cịn có phương pháp số Do toán học thường dẫn đến việc giải phương trình vi phân với điều kiện biên xác định Vì thời kỳ đầu phương pháp số : phương pháp tích phân số phương pháp sai phân hữu hạn Cùng với phát triển máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn đời phát triển mạnh mẽ phương pháp dùng phổ biến tính tốn tốn học Nó áp dụng để có nhiều chương trình tính cho dạng tốn học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, kết cấu dạng , vỏ , Phương pháp phần tử hữu hạn môn học sở ngành kỹ thuật liên quan đến tính tốn kết cấu môn học ngành Xây dựng Kỹ thuật cơng trình thuộc trường ĐHLN Trong năm trước chúng tơi có biên soạn nội dung giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn để phục vụ cho công tác giảng dạy môn học : Phương pháp số Vẫn biết tài liệu viết môn học có nhiều dạng : sách , giảng mạng, song thiết nghĩ việc biên soạn tài liệu dạng giảng phương pháp phần tử hữu hạn với thời lượng tín điều cần thiết để em sinh viên ( độc giả lần đầu biết phương pháp này) tiếp cận với môn học thuận lợi Tài liệu tiếp cận đến số nội dung khái niệm phương pháp phần tử hữu hạn Các vấn đề trình bày dừng đến việc tính tốn cho dàn, khung không gian Tài liệu đưa số thủ tục lập trình tính tốn, thủ tục viết Visual Basic, độc giả chuyển đổi dễ dàng sang mơi trường lập trình khác Mong với ý muốn giúp ích phần cho q trình học tập môn học em sinh viên, tất nhiên mong đóng góp độc giả vấn đề trình tài liệu Tác giả Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Chương I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG & CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC I.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG I.1.1 Ten xơ ứng suất Dưới tác dụng lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng bên xuất ứng suất Ứng suất điểm khác khác nhau, véc tơ ứng suất phụ thuộc vào điểm mà phụ thuộc vào hướng thiết diện qua mà   xác định pháp tuyến có hướng n Như tập hợp cặp véc tơ ứng suất Tn véc tơ  n điểm P xác định trạng thái ứng suất điểm Trạng thái ứng suất điểm hồn toàn xác định qua ten-xơ ứng suất – ten xơ đối xứng hạng hai, nên có thành phần độc lập:  σ11 σ ij   σ 21 σ  31 σ13  σ 23  với σ ij  σ ji σ33  σ12 σ 22 σ32 Trong hệ tọa độ De-cac thành phân ten xơ ứng suất ký hiệu : σ x ;σ y ; σ z ; τ xy ; τ xz ; τ yz I.1.2 Phương trình cân Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn mặt S môi trường liên tục hình thái biến dạng, xét cân lực tác dụng lên thể tích ( khơng kể lực quán tính) ta :  T  n dS  S   K  dV  V  T  i ni dS  S   K  dV  V   Ti Do  Ti ni dS   dV ( cơng thức Gaoxơ - Ơtrơgratxki) nên ta có : S V x i    Ti   K  dV , V thể tích tùy ý nên biểu thức dấu tích phân khơng  V  x i     ij Ti (I.1) => ta :  K  hay lµ  K j  x i x i Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN  Phương trình (I.1) gọi phương trình cân bằng, ρ mật độ khối lượng , K lực khối Viết (I.1) dạng tường minh ta :  σ x τ xy τ xz  x  y  z  ρK x   τ yx σ y τ yz    ρK y  x y z      τ τ zy σ z   ρK z  zx  y z  x    (I.2) Với toán hai chiều ( Tấm , vỏ ), phương trình cân có dạng :  σ x τ xy  x  y  ρK x    τ yx  σ y  ρK y  x y  (I.3)  Cịn tốn chiều phương trình cân : σ x  ρK x  x (I.4) I.1.3 Quan hệ biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si) Khi xây dựng hệ thức quan hệ biến dạng chuyển vị, xuất phát từ thể thay   đổi kích thước dài đoạn vơ nhỏ dX lấy từ điểm X thay đổi góc hai đoạn vơ nhỏ lấy từ điểm người ta dẫn đến ten-xơ biến dạng hữu hạn viết hệ tọa độ Đề : Grin Anmăngxi γij  γ ij  U k U k   U i U j     X i X j   X j X i u k u k   u i u j     x i x j   x j x i (Grin) (I.5) (Anmăngxi) (I.6) Trong Xn - biến Lagrăng, xk – biến Ơ le , Um un thành phần chuyển vị theo biến Lagrăng Ơle Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là bỏ qua VCB bậc cao – thành phần phi tuyến (1.5) (1.6) )) hai ten xơ xấp xỉ thành phần tenxơ biến dạng nhỏ có dạng:   11   ij    21   31 ε12   12  13   u u u  22  23  với thành phần : ε11  , ε 33  , ε 22  , x1 x x  32  33   u1 u   u u   u1 u      , ε13      , ε 23    x x1   x x   x x1  Để thuận lợi cho cơng thức sau tính tốn theo phương pháp PTHH, người ta ký hiệu : - Các thành phần chuyển vị : u , v , w - Các thành phần ten-xơ biến dạng ε x ; ε y ; ε z ; γ xy ; γ xz ; γ yz với : εx  γ xy  u v w ; εy  ; εz  ; x y z u v u w v w  ; γ xz   ; γ yz   y x z x z y Hay viết dạng ma trận :   x  ε x  0 ε    y    ε z  0      γ xy   y  γ yz     0  γ xz     z  y         u  z     v    w       y    x  (I.7) x z (I.8) I.1.4 Phương trình liên tục Hệ thức Cô-si (I.8) cho liên hệ thành phần biến dạng xác định qua thành phần chuyển vị cho trước Như với thành phần biến dạng cho trước từ quan hệ (I.8) không cho thành phần chuyển vị, thành phần Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN biến dạng có phương trình tương thích biến dạng ( cịn gọi phương trình tương thích biến dạng Xanhvơnăng), phương trình đảm bảo cho biến dạng liên tục môi trường  2ε y  γ xy  2ε x    xy y x  2ε y z   2ε z y   γ yz  zy  2ε z  γ xz  2ε x    xz z x γ zy    γ zx γ yx  2ε x     x  y z x  yz  2ε y γ zx    γ zy γ yx     y  x z y  xz γ xy   2ε z   γ zx γ yz     z  y x z  yx (I.9)  2ε y  γ xy  2ε x    Trong tốn chiều : (I.9) cịn phương trình 2  xy y x  Trong tốn chiều : phương trình thỏa mãn I.1.5 Điều kiện biên Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ứng suất  Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi điều kiện biên động học) thường cho trước chuyển vị điểm phần mặt biên  Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi cân ứng suất mặt biên với ngoại lực đặt lên Ví dụ Một chiều dài  , chiều dầy h, bị ngàm chặt đầu, đầu tự do, chịu tác dụng lực phân bố có cường độ q hình vẽ Chọn hệ tọa độ : 0x theo chiều dài, sát mặt dưới, 0y hướng lên Hình 1.1 Đây tốn hai chiều điều kiện biên đưa hệ thức sau : - Tại x = : u(0,y) = v(0,y) = ; v(0, y) 0 x Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN - Tại mặt ( y = h) : τ xy (x, h)  ; σ y (x, h)   q - Tại mặt ( y = 0) : τ xy (x,0)  ; σ y (x, 0)  - Tại đầu B ( x =  ) : τ xy (, y)  ; σ x (, y)  I.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất biến dạng Trong giáo trình xét giai đoạn làm việc vật liệu giai đoạn đàn hồi, biến dạng nhỏ đàn hồi tuyến tính Như quan hệ ứng suất biến dạng áp dụng định luật Hooke Xét với vật liệu đẳng hướng : I.1.6.1 Bài toán chiều : định luật Hooke có dạng : 1 2(1  ν) σ x  ν(σ y  σ z )  , γ xy  τ xy  τ xy E G E 1 2(1  ν) ε y   σ y  ν(σ x  σ z )  , γ yz  τ yz  τ yz E G E 1 2(1  ν) ε z  σ z  ν(σ x  σ y )  , γ xz  τ xz  τ xz E G E εx  (I.10) Chú ý thành phần ten-xơ biến dạng tính theo chuyển vị qua (I.7) Nếu viết dạng ma trận có kể đến biến dạng ban đầu (I.10) có dạng: ε  C .σ  ε  (I.11) đó: ε  ε x ,ε y ,ε z , γ xy , γ yz , γ zx  T σ  σ x ,σ y ,σ z , τ xy , τ yz , τ zx  - véc tơ biến dạng T - véc tơ ứng suất ε   ε 0x ,ε 0y ,ε 0z , γ0xy , γ0yz , γ0zx  T - véc tơ biến dạng ban đầu ( Chữ T – ký hiệu chuyển vị ma trận) [C] – ma trận hệ số đàn hồi , Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN 1  ν   ν  C   E 0 0  0 ν ν ν 0 ν 0 0 0 2(1  ν) 0 0 2(1  ν)         2(1  ν)  (I.12) với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt , ν - hệ số Pốt-xơng vật liệu ε   αT 1 , , 1, Trường hợp biến dạng ban đầu nhiệt độ 0, 0, 0 , T σ   D ε  ε  α - hệ số dãn nở nhiệt, T0 – độ biến thiên nhiệt độ Biểu diễn ứng suất qua thành phần biến dạng ta có : : 1  1    E αT 1  σ   Dε     2ν 0  0    0  với ma trận hệ số D : 1  ν ν  ν  E 0  D  (1  ν).(1  2ν)   0   0  ν 1 ν ν ν ν 1 ν 0  2ν 0 0 0 0 0 0  2ν        (I.13)     2ν    0 I.1.6.2 Bài toán chiều :  Bài tốn ứng suất phẳng : ví dụ xét toán tấm, vỏ với tải trọng nằm mặt phẳng tấm, phân bố theo bề dầy chọn trục z vng góc với mặt phẳng tấm, dẫn đến thể giả thiết : Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN  σ z  τ xz  τ yz   ứng suất không đổi theo chiều dầy với giả thiết biểu thức định luật Hooke có dạng : ε   Cσ  ε  với :  εx   σx   ε 0x  1  1 1       0  ε   ε y  ; σ   σ y  ; ε    ε 0y   αT 1 ; C    ν E γ  τ  γ     0    xy   xy   0xy  ν 1  E αT   Hay biểu diễn ngược lại:  σ    D  ε  ε     D ε  1 ν   0   1 E  với  D   ν  ν2  0  ν     1 ν    biến dạng theo phương z tồn εz    2(1  ν  ν σ x  σ y   αT  E  Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt ngang không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng vng góc với 0z , ta có : w = ; ε z  w  ; đại lượng z ứng suất biến dạng phụ thuộc vào biến x y ε  C .σ  ε   ε 0x  1  1  ν 1 ν    0  ν ε    ε 0y   1  ν  αT 1  ; C  E  γ      0xy  1  E αT   Hay biểu diễn ngược lại:  σ    D  ε  ε     D ε   2ν   0  Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 ν 1 ν 0   Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN  1  ν  E với  D   ν (1  ν).(1  2ν)         2ν    ν 1 ν ứng suất theo phương z tồn σ z  ν  σ x  σ y   E αT ; τ xz  τ yz  0 I.1.6.3 Bài toán chiều : εx  σ x  αT E σ x  Eε x  EεT ( => D = E – mô đun đàn hồi) I.1.7 Đặt toán đàn hồi : Thiết lập toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập phương trình điều kiện biên, chúng phải lập thành hệ kín để giải ẩn cần tìm giá trị thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất , véc tơ chuyển vị Các phương trình gồm có :  Phương trình cân  Hệ thức Cơ-si ( liên hệ chuyển vị biến dạng)  Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất biến dạng : định luật Hooke) điều kiện biên động học tĩnh học Người ta chứng minh tồn nghiệm toán đàn hồi I.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI Như phần trình bày, ta thấy để giải tốn đàn hồi tuyến tính : chiều ta có tới 15 phương trình điều kiện biên để tìm giá trị 15 ẩn : thành phần chuyển vị, thành phần biến dạng thành phần ứng suất Cho đến có phương pháp giải gần Có phương pháp áp dụng tốt cho lớp dạng toán học biến dạng lại khó khăn áp dụng cho dạng khác Có thể tổng kết theo sơ đồ sau Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN p2 q  1          0 0 0 1 0 0  aq     aq    0     0      0  a q   a q     12   12    ; véc tơ tải trọng nút    aq   aq   0        0 1  a q     12   a 2q     12   Q2   Q   1   nut p '   2  R ( )   x   R( 2)   y    Do véc tơ tải phần tử (2) tọa độ tổng thể : p2  p2 nut  p2 q 3aq    aq   aq  Q      2         Q2  Q aq          Q      2   a q a q  1 a q           12  12   12   0      ( 2)    aq    aq   aq  R x    R (x2)    R(x2)   2  R( )  2  2  y ( 2)  ( 2)        Ry Ry         2    a q   a q a q      12  12   12   Vậy có véc tơ tải tổng thể :  R (y )     R (x )    0   5aq       2qa    p '   a q    12    aq ( 2)    Rx  2   R(y )     a q   12   => p '  *  5aq        2qa     a q   12  76 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN ta có hệ phương trình : 12H  F E   K*  q *    a   6aH    12H  F 6aH  5aq  6aH  q         6aH   q    2qa      8a H  q   a q    12  với H = J a2 Giải hệ phương trình ta tính giá trị q , q ,q Chú ý : Để giải hệ phương trình ta nên đưa ẩn cần tìm thứ nguyên: 12H  F    6H 12H  F 6H 6H   q    aq 6H   q   12E 8H  aq   30    24     1  4) Tính nội lực: mơ men uốn Chú ý: tính mơ men uốn phần tử (2) cần cộng thêm mô men M0(x) theo (III.39) III.3 Hệ khung không gian Ma trận cứng phần tử : Ta xét phần tử khung khơng gian dầm thẳng có thiết diện không đổi, mặt cắt ngang tồn lực dọc, mơ men uồn trịn hai mặt phẳng qn tính mơ men xoắn Các bậc tự chuyển vị đặc trưng cho trạng thái chuyển vị - biến dạng phần tử dầm nút biểu diễn hình Hệ tọa độ địa phương xyz với trục x trục dầm, y z hai trục mặt phẳng cắt ngang Véc tơ chuyển vị phần tử hai nút : {q}(e) = { q1 q2 q3 q q5 q6 q7 q8 q9 77 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 q10 q11 q12}T Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Trong : q1 q7 chuyển vị dọc trục dầm gây biến dạng dọc trục dầm q2 q8 chuyển vị thẳng theo trục y q6 q12 : gây biến dạng uốn mặt phẳng xy góc xoay mặt phẳng xy q3 q9 chuyển vị thẳng theo trục z gây biến dạng uốn mặt phẳng xz q5 q11 : góc xoay mặt phẳng xz gây biến dạng xoắn q4 q10 góc xoắn quanh trục x Như 12 bậc tự chuyển vị gây nhóm biến dạng độc lập Vì ma trận cứng phần tử [ K ](e) có kích thước 12 × 12 thành lập từ ma trận sau : a) Biến dạng dọc trục ( q1 q7) [ K ](e)  q1 E.F  L  1 q7 1  q1 q7 78 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 (III.47) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN b) Biến dạng xoắn theo trục x ( q4 q10) Thấy đa thức xấp xỉ hàm góc xoắn θ (x) hàm bậc : (0≤ x≤ L) θ (x) = a1 + a2x hay : a  θ(x)  [1 x ]   = [P(x)] {a} , theo kết ví dụ phần (II.2) ta có : a  biểu diễn xấp xỉ hàm góc xoắn θ (x) theo góc xoắn nút: x  x q10 θ (x) = [N]e { q}xoắn = 1   q4 + L  L Nếu  x  [N]e = 1    L  x L  trịn biến dạng xoắn  yz  r (III.48) dx ứng suất tiếp  xy  G. xy dx ( theo Hooke G mô đun trượt , r khoảng cách từ tâm đến điểm tính tốn) ε xoắn áp dụng σ xoắn =   θ xoắn =  [N]{q} xoắn = = { τ yz }= [T]q xoắn [B] {q} xoắn (III.49) : [T] = [D] [B] ma trận tính ứng suất gọi [Kxoắn ]e - Ma trận cứng phần tử [Kxoắn ]e   [B] T [D][B]dv Ve ta có {  } = {  yz } {  } = [ B ] {q }(xoắn)  r  L với B =   r  ; [D ] = [ G ] L Do ta : 79 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 (III.50) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN   L [Kxoắn ]e = G dx F   L r dF    L q4 =>         L 1 L  (III.51) q10 1 q L  1  q10 [Kxoắn ]e = GJ x  (III.52) R4 ; R – bán kính dầm Jx mơ men qn tính độc cực mặt cắt ngang: J x  Trong trường hợp mặt cắt ngang dầm hình chữ nhật có cạnh a × b : Jx = c ab3 với c số lấy theo bảng sau ( phụ thuộc vào tỷ số a/b) a/b 1,5 10 c 0,141 0,196 0,229 0,263 0,291 0,312 c) Biến dạng uốn mặt phẳng xz ( { q}xz = { q3 , q5 , q9 , q11}T ) q3 áp dụng với J y   K xz e z  12  EJ y  6L  L3  12   6L q5 6L 4L 6L 2L2 q9 12 6L 12 6L q11 6L   2L2  6L   4L2  q3 q5 q9 q11 (III.53) dF - mơ men qn tính mặt cắt ngang đường trung hòa F 80 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN  Nếu thiết diện dầm chữ nhật có kích thước cạnh hình vẽ R4  Nếu thiết diện trịn bán kính R : J y  ab3 Jy = 12 d) Biến dạng uốn mặt phẳng xy ( { q}xz = { q2 , q6 , q8 , q12}T ) q2 áp dụng với J z   12  EJ z  6L  K xy   e L3  12   6L y q6 q8 6L 4L 6L 2L2 12 6L 12 6L q12 6L   2L2  6L   4L2  q2 q6 q8 q12 (III.54) dF - mô men quán tính mặt cắt ngang đường trung hịa F  Nếu thiết diện dầm chữ nhật có kích thước cạnh hình vẽ  Nếu thiết diện trịn bán kính R : J z  R4 81 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Jz = a 3b 12 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN  Từ kết ta xây dựng ma trận cứng phần tử [ K](e) ma trận cỡ 12 × 12 Chuyển ma trận cứng phần tử [K](e) ma trận cứng [ K' ](e) hệ tọa độ tổng thể Để ghép nối phần tử ta phải chuyển ma trận cứng phần tử ma trận cứng [ K' ](e) hệ tọa độ tổng thể Ta có [ K' ](e) =  T (e)  K (e)  T (e) T [T](e) ma trận chuyển hệ trục tọa độ , ma trận vng cấp 12, có dạng : T (e) [n] [0]  [0]  [0] [0] [0] [0] [n] [0] [0]  [0] [n] [0]  [0] [0] [n] 82 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 (III.55) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN với : 0 0 [0] = 0 0    0 0   x  [n] =   y  y  mx my mz nx   ny  n z  (III.56)  x , mx , nx cosin phương trục x  y , my , ny cosin phương trục y  z , mz , nz cosin phương trục z hệ tổng thể x'y'z' : x   x '  y   [n]  y'      z   z '  Các bước thiết lập chương trình tính cho hệ khung có Ne với R nút: Bước Lập bảng đánh số thanh- nút : có Ne với R nút Nút T.T Đầu : i Cuối : j 1 k ki kj Ne Nei Nej Ở bảng đánh số nhập tay ( số lượng ít) viết đoạn chương trình để tự động đánh số thứ tự nút Số liệu ghi vào mảng khai báo : Thanh_nut( to Ne, to 2) as integer 83 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Bước Lập bảng nhập thông số dầm : TT (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) L E G Jx Jy Jz x mx nx y my ny z (14) (15) mz nz k Ne Số liệu bảng ghi vào mảng : Thanh(1 to Ne, to 15) as double Chú ý : Các trục x , y , z có gốc nút đầu phải lập thành tam giác thuận Bước Lập bảng ma trận số [b] : Thanh – Nút - Bậc tự : Nút đầu : i T.T q6i -5 q6i -4 q6i -3 q6i -2 Nút cuối : J q6i -1 q6i q6j-5 q6j-4 k Ne Số liệu tự tính ghi vào mảng : b(1 to Ne , to 12) as integer Bước Tính giá trị [T](e) ghi vào mảng: T(1 to 12 , to 12) as double Bước Tính [ K](e) ghi vào mảng : Ke(1 to 12, to 12) as double Bước Tính [K'](e) = T T(e) [K](e) [T](e) ghi vào mảng : 84 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 q6j-3 q6j-2 q6j-1 q6j Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN KeT(1 to 12, to 12) as double Bước Ghép [K'](e) vào ma trận cứng tổng thể [K'] ghi vào mảng: KT ( to N, to N) as double Ở N = R tổng số bậc tự Bước Tính véc tơ tải phần tử => véc tơ tải tổng thể Bước Áp điều kiện biên Chú ý sau có ma trận cứng tổng thể [K'] ( mà định thức = 0) , ta tính cho véc tơ tải tổng thể sở tính véc tơ tải phần tử Nhờ điều kiện biên ta bỏ số phương trình số biến ( số lượng chúng nhau), điều có nghĩa ma trận cứng tổng thể [K'] bị bỏ số hàng số cột thành ma trận cứng tổng thể [K'* ] Ma trận [K'* ] ma trận vng có cấp nhỏ N định thức  , dẫn hệ Cramer để giải biến bậc tự ma ta cần tìm Bước 10 Giải hệ phương trình tính chuyển vị qk ( giá trị bậc tự theo hệ tọa độ tổng), từ tính {q}e = [T]e {q’}e Bước 11 Tính đại lượng : biến dạng , ứng suất Một số thủ tục chương trình Chương trình viết với khai báo sau : Dim Thanh_nut( to Ne, to 2) as integer ' đánh số nút Dim Thanh(1 to Ne, to 15) as double ' thông số Dim b(1 to Ne , to 12) as integer 'Ma trận số Dim T(1 to 12 , to 12) as double ' Ma trận chuyển tọa độ Dim Ke(1 to 12, to 12) as double ' Ma trận cứng phần tử Dim KeT(1 to 12, to 12) as double ' Ma trận cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể Dim KT ( to N, to N) as double ' Ma trận cứng tổng thể Dim i , j , k as integer 85 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Với khai báo trên, ta có số thủ tục sau: Thủ tục tạo lập ma trận số : [b] Private sub TaoChiSo() dim kk as integer dim s , dau , cuoi as integer For kk =1 to Ne dau = Thanh_nut(kk,1) : cuoi = Thanh_nut(kk,2) for s =1 to b(kk,s) = 6*(dau -1) + s b(kk,6+s) = 6*(cuoi -1) +s next Next end sub Thủ tục tính Te Private sub Te(kk as integer) dim r , s as integer for r =1 to 12 for s = to 12 T(r,s) = next next For r =1 to for s = to T(r,s) = Thanh(kk, + (r-1)*3 + s) T(3+r,3+s) = T(r,s) T(6+r,6+s) = T(r,s) T(9+r,9+s) = T(r,s) next next 86 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN end sub Thủ tục tính ma trận cứng phần tử : Private Sub MaTranCungPT(kk) dim i, j as integer dim E , G , L, F , Jx , Jy , Jz as double for i=1 to 12 for j=1 to 12 Ke(i,j) = next Next L = Thanh(kk,1) : F = Thanh(kk,2) : E = Thanh(kk,3) : G = Thanh(kk,4) Jx = Thanh(kk,5) : Jy = Thanh(kk,6) : Jz = Thanh(kk,7) Ke(1,1)= E*F/L : Ke(1,7) = -E*F/L Ke(2,2)= 12*E*Jz/L^3 : Ke(2,6)= 6*E*Jz/L^2 : Ke(2,8)= -Ke(2,2) : Ke(2,12)= Ke(2,6) Ke(3,3)= 12*E*Jy/L^3 : Ke(3,5)= 6*E*Jy/L^2 : Ke(3,9)= -Ke(3,3) : Ke(3,11)= Ke(3,5) Ke(4,4)= G*Jx/L : Ke(4,10) = - Ke(4,4) Ke(5,5) = 4*E*Jy/L : Ke(5,9) = - 6*E * Jy/L^2 : Ke(5,11) = 2*E*Jy/L Ke(6,6)= 4*E*Jz/L : Ke(6,8) = - 6*E * Jz/L^2 : Ke(6,12) = 2*E*Jz/L Ke(7,7) = E*F/L Ke(8,8) = 12*E*Jz/L^3 : Ke(8,12) = - 6*E*Jz/L^2 Ke(9,9) = 12*E*Jy/L^3 : Ke(9,11) = - 6*E*Jy/L^2 Ke(10,10) = G*Jx/L : Ke(11,11) = 4*E*Jy/L : Ke(12, 12) = 4*E*Jz/L for i =2 to 12 for j=1 to i -1 Ke(i,j) = Ke(j,i) next Next End sub 87 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Thủ tục tính [K'](e) : Ma trận cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể , [K'](e) = [T]T.[K](e).[T] Private Sub MaTranCungPT_Tong Dim MaTranTG(1 to 12, to 12) as double dim i, j , s as integer dim tg as double for i =1 to 12 for j =1 to 12 MaTranTG(i,j) = KeT(i,j) = next Next For i =1 to 12 for j = to 12 tg = for s = to 12 tg = tg + Ke(i,s) * T(s,j) next MaTranTG(i,j) = tg next Next For i =1 to 12 for j = to 12 tg = for s = to 12 tg = tg + T(s,i) * MaTranTG(s,j) next KeT(i,j) = tg next Next End sub 88 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ mơn Tốn ĐHLN Thủ tục ghép nối ma trận cứng phần tử vào ma trận cứng tổng thể Private sub GhepNoi(k as integer) dim i , j as integer for i = to 12 for j=1 to 12 KT(b(k,i) , b(k,j)) = KT(b(k,i) , b(k,j)) + Ke(i,j) next Next end sub Thủ tục tính tốn , Thủ tục dùng sau nhập số liệu vào mảng Thanh, Thanh_nut Private Sub Tinh Dim K , Kj as integer call TaoChiSo For k = to N for kj =1 to N KT (k, kj) = next Next For k = to N call Te(k) call MaTranCungPT(k) call MaTranCungPT_Tong call GhepNoi(k) Next end sub 89 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN Tài liệu tham khảo Rao S.S The Finite Element Method in Enginieering, Second Edition, Pegamon Press, 1989 Zienkiewicz O.C and Taylor R.L The Finite Element Method, volum 1, 4th Edition McGraw – Hill Book Co , 1991 Dũng N.L Giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn học,Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, 1993 Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học kỹ thuật, 1997 90 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012