Luận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhật

Luận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhậtLuận văn thạc sĩ: Nghiên cứu ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản chữ nhật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - NGUYỄN QUANG KHÁNH NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI CỦA BẢN CHỮ NHẬT Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGƢT TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2015 MỤC LỤC Lời cam đoan……………………………………………………………… …1 Lời cảm ơn………………………………………………………………… …2 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu đề tài…………………………………………….4 Phạm vi nghiên cứu đề tài…………………………………………… 4 Phƣơng pháp nghiên cứu đề tài…………………………………………4 Cấu trúc luận văn………………………………………………………4 CHƢƠNG 1: KHÁI NIỆM VÀ NHỮNG PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Khái niệm ổn định giới hạn đàn hồi 1.2 Các phƣơng trình [2] 1.2.1 Đặc điểm biến dạng dẻo 1.2.2 Những lý thuyết dẻo đơn giản KẾT LUẬN CHƢƠNG 13 CHƢƠNG GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA BẢN NGỒI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI BẰNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 14 2.1 Cách đặt tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi theo lý thuyết dẻo (2) 14 2.2 Giải toán ổn định theo lý thuyết chảy dẻo 15 2.2.1 Phƣơng pháp trực tiếp 15 2.2.2 Các ví dụ tính toán 17 2.3 Giải toán ổn định theo lý thuyết biến dạng đàn dẻo 21 2.3.1 Thiết lập xác tốn ổn định giới hạn đàn hồi sở lý thuyết biến dạng 22 2.3.2 Giải gần toán ổn định 27 2.3.3 Các ví dụ tính toán 29 2.4 Giải toán ổn định chữ nhật ngồi giới hạn đàn hồi theo mơ đun tiếp tuyến 31 KẾT LUẬN CHƢƠNG 33 CHƢƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA BẢN NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỔI BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 34 3.1 Cách giải toán ổn định đàn hồi theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn [3] 34 3.1.1 Khái niệm chung phƣơng trình 34 3.1.2 Thiết lập ma trận độ cứng phần tử chữ nhật cho 34 3.2 Cách dùng nghiệm toán đàn hồi để giải toán ổn định giới hạn đàn hồi 54 3.3 Thuật tốn chƣơng trình 56 3.4 Một số ví dụ tính toán 56 3.4.1 Bản chữ nhật tựa đơn bị nén theo phƣơng (Hình 3.2) 56 3.4.2 Bản chữ nhật tựa đơn bị nén theo phƣơng (Hình 3.3) 56 3.4.3 Bản chữ nhật hai cạnh tựa đơn bị nén vng góc, hai cạnh có điều kiện biên 57 3.4.4 Bản chữ nhật bốn cạnh ngàm bị nén hai phƣơng (Hình 3.7) 59 3.4.5 Bản chữ nhật tựa đơn dƣới tác dụng ứng suất trƣợt (Hình 3.8) 59 KẾT LUẬN CHƢƠNG III 60 KẾT LUẬN CHUNG 61 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong thực tế, phần lớn cơng trình xây dựng chịu tác dụng tải trọng động (đặc biệt cơng trình qn sự) Việc tính tốn thiết kế cơng trình nói chung (nhất cơng trình cao tầng, cơng trình có độ lớn, cơng trình đặc biệt) Trong cơng trình ngƣời ta thƣờng dùng thanh, - vỏ chịu nén có chiều dài lớn điều kiện ổn định miền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Các cơng trình khơng phải đảm bảo điều kiện bền, cứng, ổn định mà không phần quan trọng phải phân tích phản ứng cơng trình chịu nguyên nhân tác dụng động (gió bão, động đất ) Ví dụ nhƣ cơng trình biển thƣờng xuyên chịu tác động sóng gió, tải trọng gây nên kết cấu ứng suất thay đổi theo thời gian Việc nghiên cứu động lực học cơng trình nghiên cứu phản ứng cơng trình chịu tải trọng động Kết cấu đƣợc sử dụng rộng rãi cơng trình xây dựng Nghiên cứu ổn định làm đàn hồi trở nên quen thuộc [1], [3] Trong nhiều kết cấu cơng trình tƣợng ổn định thƣờng xảy ngồi giới hạn đàn hồi, tính chất khơng đàn hồi (dẻo từ biến ) ảnh hƣởng đáng kể đến ổn định cân kết cấu Bài tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi đƣợc nhiều tác giả đề cập đến với lời giải đƣợc coi xác phù hợp với giả thiết ban đầu, song phần lớn chƣa có kết số tải tác dụng nhƣ điều kiện biên dƣới dạng đơn giản quen thuộc Những kết chủ yếu mang tính lý thuyết nhằm trang bị phƣơng pháp luận phục vụ giải toán ổn định lý thuyết dẻo Để phần khắc phục đƣợc hạn chế nêu trên, luận văn học viên lặp lại đƣờng lối giải toán lý thuyết dẻo theo giải tích với lời giải có kết số cụ thể, để phần ứng dụng đƣợc tính tốn nhƣ minh chứng cho kết theo pháp số cần thiết Một hạn chế thƣờng gặp dùng phép giải tích khó dùng đƣợc ứng dụng tính tốn kết cấu thực Lúc cần thiết phải có phƣơng pháp số, mà thơng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Vì vậy, luận văn học viên dùng cách quy đổi mô đun tiếp tuyến theo Timoshenko kết hợp với cách giải toán theo nghiệm đàn hồi để xét toán ổn định chữ nhật giới hạn đàn hồi với điều kiện biên khác Mục đích nghiên cứu đề tài: - Tìm hiểu, nghiên cứu ổn định giới hạn đàn hồi - Dùng phƣơng pháp giải tích phƣơng pháp phần tử hữu hạn để giải toán ổn định cơng trình Phạm vi nghiên cứu đề tài: Trong luận văn này, tác giả giới hạn việc nghiên cứu phân tích sử dụng phƣơng pháp giải tích phƣơng pháp phần tử hữu hạn để giải tốn ổn định chữ nhật ngồi giới hạn đàn hồi với điều kiện biên khác Phƣơng pháp nghiên cứu đề tài: - Nghiên cứu mặt lý thuyết - Phân tích so sánh phƣơng pháp giải toán - Sử dụng kiến thức lý thuyết phần mềm tin học để tính tốn ví dụ Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm chƣơng đƣợc trình bày theo cấu trúc nhƣ sau: Chƣơng 1: Khái niệm phƣơng trình 1.1 Khái niệm ổn định giới hạn đàn hồi 1.2 Các phƣơng trình Chƣơng 2: Giải tốn ổn định giới hạn đàn hồi phƣơng pháp giải tích 2.1 Cách đặt tốn ổn định giới hạn đàn hồi theo lý thuyết dẻo 2.2 Giải toán ổn định theo lý thuyết chảy dẻo 2.3 Giải toán ổn định theo lý thuyết biến dạng đàn dẻo 2.4 Giải toán ổn định chữ nhật giới hạn đàn hồi theo mô đun tiếp tuyến Chƣơng 3: Giải tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi phƣơng pháp phần tử hữu hạn 3.1 Cách giải toán ổn định đàn hồi theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn 3.2 Cách dùng nghiệm tốn đàn hồi để giải tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi phƣơng pháp phần tử hữu hạn 3.3 Một số ví dụ tính tốn CHƢƠNG KHÁI NIỆM VÀ NHỮNG PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Khái niệm ổn định giới hạn đàn hồi Để tìm hiểu khái niệm ổn định ngồi giới hạn đàn hồi, ta xét ví dụ [1] hai đầu khớp, tiết diện chữ I chịu nén tâm (hình 1.1) Dựa lý thuyết E Engesser - V Karman, trạng thái tới hạn, ta coi thẳng tính lực Pth nhƣ lực cần thiết để giữ cho bị cong so với dạng cân Hiện tƣợng uốn làm cho ứng suất nén toàn phần tăng thêm chút phía bên lõm giảm bớt chút phía bên lồi Nếu đƣờng cong OBC (hình 1.2) đồ thị thí nghiệm nén vật liệu điểm C tƣơng ứng với điều kiện tới hạn mối liên hệ ứng suất - biến dạng phía bên lõm thanh, lúc bị cong đi, đƣợc đặc trƣng độ dốc tiếp tuyến CC' ta gọi mơdun tiếp tiếp Et Ở phía bên lồi nơi ứng suất nén giảm bớt, mối liên hệ ứng suất - biến dạng đƣợc xác định độ dốc đƣờng thẳng CC” tức môđun đàn hồi ban đầu E vật liệu Nếu giả thiết mặt cắt ngang phẳng ta tính đƣợc lực tới hạn qua mô đun quy đổi E qd Pt th  Với  E qd I Eqd  l2 EEt E  Et Trong phần trên, ta giả thiết lực nén tâm (P qd ) tác động trƣớc đã, tiếp tục đƣợc giữ nguyên bị cong Nếu làm thí nghiệm thật thấy chuyển vị ngang tăng lên lúc với lực dọc Gặp trƣờng hợp này, giai đoạn đầu bị uốn, giảm ứng suất bên lồi đƣợc bù lại phần tăng ứng suất nén trực tiếp lực dọc tăng lên không ngừng xảy mà khơng có thun giảm ứng suất thớ phía bên lồi, mối liên hệ ứng suất - biến dạng toàn đƣợc đặc trƣng mô đun tiếp tuyến E n lực tới hạn Pt th   Et I l2 (1.2) Đối với liên kết khác hai đầu nhận đƣợc cơng thức tƣơng tự Nhƣ vậy, tốn ổn định giới hạn đàn hồi, ta sử dụng đƣợc công thức Euler, công thức đƣợc thiết lập vật liệu tuân theo định luật Hooke cho vật liệu không đàn hồi, cần thay mơđun đàn hồi E mơ đun tính đổi E qd E r Trong toán tấm, tƣợng ổn định vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi xảy tƣơng tự Tuy nhiên, việc xác định lực tới hạn có phần khác chút giải phƣơng pháp giải tích (khơng tuý thay môđun đàn hồi E mơ đun tính đổi Eqd E, nhƣ trên), ngoại trừ dùng phƣơng pháp gần (phƣơng pháp PTHT chẳng hạn) Để giải thấu đấu toán này, trƣớc tiên cần sơ lƣợc qua số phƣơng trình lý thuyết sở 1.2 Các phƣơng trình [2] 1.2.1 Đặc điểm biến dạng dẻo Là q trình khơng thuận nghịch, quan hệ ứng suất biến dạng quan hệ khơng tuyến tính (phi tuyến vật lý) Trên hình vẽ sơ đồ chung (tổng quát) mối quan hệ TTƢS đơn nhận đƣợc từ thí nghiệm (hình 1.3) Ở đây, đƣờng tăng tải đƣờng giảm tải không trùng nhau, đƣờng giảm tải đƣờng bậc Khi ứng suất trở khơng biến dạng cịn lƣợng khác không, gọi biến dạng dƣ hay biến dạng dẻo Biến dạng toàn phần   e   p (1.3) 1.2.2 Những lý thuyết dẻo đơn giản Prager lý thuyết dẻo xây dựng sở hệ thức tuyến tính tenxơ Các hệ thức chứa vi phân, tích phân tenxơ lệch ứng suất biến dạng L Sij   L' ij  (1.4) Trong L, L' tốn tử tuyến tính tenxơ lệch phụ thuộc vào tham số  LSij   AS ij  B L' ( sij )  A' eij  B' dSij d deij d    CSij s     C ' eij d  (1.5 ) A, B, C hàm số bất biến J 2' , J 3' A', B', C' hàm bất biến  2' ,  3' Nhờ giả thiết riêng hệ số A, B, C A', B', C' ta nhận đƣợc hệ thức lý thuyết dẻo Ở đây, ta khảo sát hai nhóm lý thuyết đƣợc sử dụng tính tốn sau 1.2.2.1 Lý thuyết chảy dẻo Ứng suất trạng thái phụ thuộc vào trình biến dạng nên liên hệ ứng suất biến dạng nói chung khơng có dạng hữu hạn, mà có dạng vi phân Lý thuyết chảy dẻo thiết lập hệ gia số biến dạng ứng suất, dựa giả thuyết sau đây: - Vật liệu đẳng hƣớng ban đầu - Sự thay đổi thể tích tƣơng đối tỷ lệ với áp suất trung bình   3Ke Hay d  3Kde (1.6) - Gia số biến dạng toàn phần tổng gia số biến dạng đàn hồi gia số d ije   3v  d ij   d ij  2G  1 v  d ije  d ij 2G Hay (1.7) - Tenxơ lệch ứng suất trùng với tenxơ lệch gia số biến dạng dẻo, tức trạng thái ứng suất xác định gia số tức thời biến dạng dẻo deije  dSij (1.8) Từ giả thiết ta có đƣợc: B' deij  ASij  BdSij Trong đó: B'  1, B  / 2G, A  d d hàm số bất biến ứng suất biến dạng, tuỳ thuộc vào loại vật liệu trình biến dạng Từ ta có: deij  dSij  dSij 2G hay: d ij  d ( ij   ij )  3v  d ij 2G  v 10 (1.9) Ks9_5:= hTxya m 72 (14Txm  9Ty) 1260 Ks9_6:=  ha(7Txm  11Ty) 210m Ks9_7:= Ks9_8:=  Ks9_9:= hTxya m 72 (14Txm  3Ty) 315m Ks10_1:=  h(46Txm  17Ty) 105m ha(22Txm  7Ty  42Txym) Ks10_2:=  420 Ks10_3:= h(34Txm  34Ty  105Txym) 210m Ks10_4:=  Ks10_5:= ha(14Txm  13Ty) 420m ha(13Txm  7Ty  42Txym) 420 ha(42Txym  7Txm  13Ty) Ks10_6:= 420m Ks10_7:= h(17Txm  46Ty) 105m Ks10_8:=  Ks10_9:= ha(13Txm  14Ty) 420 ha(42Txym  7Txm  22Ty) 420m h(92Txm  105Txym  92Ty) Ks10_10:= 210m Ks11_1:=  ha(22Txm  7Ty  42Txym) 420 Ks11_2:=  (3Txm  7Ty) 315 49 Ks11_3:= Ks11_4:=  Ks11_5:=  hTxya m 72 ha(13Txm2  7Ty  42Txym) 420 m(9Txm2  7Ty  21Txym) 1260 Ks11_6:= Ks11_7:= Ks11_8:=  hTxya m 72 ha(13Txm  14Ty) 420 m(9Txm2  14Ty) 1260 hTxya m Ks11_9:= 72 Ks11_10:= Ks11_11:= ha(11Txm2  7Ty) 210 m(3Txm2  14Ty) 315 Ks12_1:=  ha(14Txm2  13Ty) 420m hTxya m Ks12_2:= 72 Ks12_3:= Ks12_4:=  (14Txm  9Ty) 1260m ha(42Txym  7Txm2  13Ty) 420m Ks12_5:=- hTxya m 72 (7Txm  9Ty  21Txym Ks12_7:=1260m Ks12_7:= ha(42Txym  7Txm  22Ty 420m Ks12_8:= hTxya m 72 50 Ks12_9:= Ks12_10:= (7Txm  3Ty 315m ha(7Txm  11Ty) 210m Ks12_11:=- Ks12_:= hTxya m 72 (14Txm  3Ty) 315m 3.1.2.2 Thiết lập ma trận độ cứng cho hệ kết cấu Sau có ma trận độ cứng [K ] e ' ma trận hình học [K  ] e phần tử hệ toạ độ địa phƣơng, chuyển ma trận sang hệ toạ độ tổng thể [K ]=[T] T [K ] e [T] [K  ] g [T] [K  ] e [T] T Trong đó: [T] ma trận biến đổi tọa độ từ hệ trục địa phƣơng phần tử với hệ trục tổng thể Ma trận [T] có tính chất trực giao nên [T] T = [T] 1 Khi ma trận độ cứng ban đầu, ma trận độ cứng hình học ma trận độ cứng tiếp tuyến hệ kết cấu đƣợc ghép từ phần tử nhƣ sau: ne [ K ]s  [ H ]T [ K ] g [ H ] (3-19) n 1 ne [ K  ]s  [ H ]T [ K  ] g [ H ] (3-20) n 1 > Giải toán ổn định đàn hồi theo phƣơng pháp trị riêng Trong tốn này, ma trận độ cứng hình học trị riêng toán biến dạng uốn: ([ K ]s  [ K ]s { u }  (3.21) Trong  hệ số tăng ứng suất mặt phẳng cần thiết để đạt tới trạng thái tới hạn hay cịn gọi thơng số ổn định kết cấu Khi tiếp tục tăng tải trọng, tƣợng vồng biến dạng ngang xuất 51 khơng có tải trọng ngang [ K ]s {X }  [ K ]s {X } (3-22) Đây tốn trị riêng tổng quát Để giải phƣơng trình ta đƣa dạng phƣơng trình trị riêng tắc [A]{X}=-  {X } (3.23) đó: [ A]  [ K ]s 1[ K ]s (3-24)   Với ma trận A cấp nxn, trị riêng vec tơ riêng tƣơng ứng thỏa mãn hệ {[ A]   [ I ]}{X }  (3.25) Khi trị riêng  nghiệm đa thức đặc trƣng Det{[A]+  [ I ]}  (3.26) 3.1.3.1 Phương pháp Faddeev-Leverrier lập đa thức đặc trưng Phƣơng pháp giải trực tiếp phƣơng trình đặc trƣng, đa thức bậc n Nếu ma trận A đối xứng phƣơng trình ln có n nghiệm thực ta ln tìm đƣợc n véc tơ riêng sở khơng gian E Có thể sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng nghiệm A ma trận đối xứng, hay phƣơng pháp gần để tìm nghiệm đa thức đặc trƣng Khai triển định thức ta thu đƣợc đa thức cấp n: Pn ( )   n  p1 n1  p2  n2   pn1  pn Để xây dựng thuật tốn tính tham số p1 , p2 , , pn ta xét ma trận A đối xứng không đối xứng: a1,1a1, a1,n    a 2,1a 2, a 2,n   A     a n ,1a n , a n ,n  Gọi Vet(A) số đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Vet(A) = a1,1  a2,1   an,n 52 Khi tham số p1 , p2 , , pn đƣợc xác định nhƣ sau: P1 = Vet (B1) B1  A P2 = l/2Vet( Bn ) B2 = A( B1  p1 I ) P3 = l/2Vet( B3 ) B3 = A( B2  p2 I ) Pn = l/2Vet( Bn )trong Bn = A( Bn1  p1 I ) Vì pn I = Bn nên trƣờng hợp pn #0, , ta có : I= AA 1 = (l/ p n )Bn =1/ pn A( Bn1  pn1 I ) Suy : A1 = (1 / p n )( Bn1  pn1 I ) 3.1.3.2 Phương pháp lặp Power tìm trị riêng lớn nhỏ Phƣơng pháp hiệu giải tốn ổn định, tốn trị riêng nhỏ (> 0) ứng với dạng ổn định Phƣơng pháp áp dụng cho ma trận đối xứng không đối xứng cấp n Với véc tơ ban đầu {X } khác rỗng, đặt: Y = A X = 1 X (1) Trong B1(1) tọa độ có trị tuyệt đối lớn véc tơ Y =A X , X nhận đƣợc từ Y cách đƣa tọa độ có trị tuyệt đối lớn B1 (1) làm thừa số chung Y k 1 Lặp lại bƣớc thứ k ta có: Y k 1  AX k  1 X k 1 (1) Trong 1( k 1) tọa độ có trị tuyệt đối lớn véc tơ Y k 1 , X k 1 nhận đƣợc từ Y k 1 cách đƣa tọa độ có trị tuyệt đối lớn 1( k 1) làm thừa số chung Y k 1 Ngƣời ta chứng minh đƣợc 1( k 1) hội tụ trị riêng có trị tuyệt đối lớn 1 X k hội tụ véc tơ riêng e1 tƣơng ứng Phép lặp dừng lại 1( k 1)  1k <  chọn trƣớc nhỏ tùy ý 3.1.3.3 Phương pháp lặp Jacobi tìm trị riêng Ƣu điểm phƣơng pháp tính đơn giản ổn định Sử dụng phƣơng 53 pháp xác định đƣợc giá trị riêng âm, dƣơng không Nếu A ma trận vuông đối xứng cấp n, T ma trận trực giao phép biến đổi trực giao: D = T T AT không làm thay đổi trị riêng A Giả sử A trị riêng 1 , 2 , , n q1 , q2 , , qn , qn véc tơ riêng tƣơng ứng Gọi: 1      A  .    n  q1,1q1, q1,n    q 2,1q 2, q 2,n   Và Q=[ q1 , q2 , , qn ]=  ma trận hệ [ q1 , q2 , , qn sở hệ    q n ,1q n , q n ,n  chuẩn trực Khi ta có: AQ = QA Xét biểu thức D T T Q = T T A T T T Q Chứng tỏ véc tơ riêng tƣơng ứng D Q* = T T Q Phép biến đổi D = T T A T phép quay R n liên tiếp thực phép quay đến nhận đƣợc ma trận đƣờng chéo A T2T T1T AT1T2 Tm trị riêng A phần tử tƣơng ứng đƣờng chéo ma trận kết A Phép quay q trình tính tốn đƣợc xem nhƣ phép khử Do tính tốn gần nên kết cuối thu đƣợc ma trận gần đƣờng chéo, tức phần tử đƣờng chéo ma trận kết gần Dùng chƣơng trình viết ngôn ngữ Maple để thiết lập đƣợc hệ thức ngơn ngữ lập trình Delphi [3] tìm đƣợc giá trị  max phƣơng trình (3.26), từ xác định đƣợc mim tải trọng tới hạn 3.2 Cách dùng nghiệm toán đàn hồi để giải tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi Timoshenko [1] giải gần tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi theo quan điểm Euler dựa theo điều chỉnh số đàn hồi phù hợp với xuất biến dạng dẻo Timoshenko gợi ý giải cho 54 toán cách tƣơng tự toán đàn hồi theo giải tích (nhƣ đƣợc trình bày mục 2.4) Ở dùng phƣơng pháp Phần tử hữu hạn nhƣ đƣợc trình bày để giải trọn vẹn toán này, việc điều chỉnh số đàn hồi ( Et , v) phù hợp với xuất biến dạng dẻo, nhằm phục vụ tính toán thiết kế thực tế 55 3.3 Thuật toán chƣơng trình Bắt đầu Nhập số liệu sơ đồ, điều kiện biên, tải trọng Tính ma trận độ cứng phần tử    K p e 0 [ K ]e    0K e  Tổ hợp ma trận độ cứng kết cấu [ K ]s Thành lập véc tơ tải trọng [ F]s Xác định điều kiện biên khử dạng suy biến [ K ]s Giải hệ phƣơng trình [ K ]s [U ]s  [ F]s Tính tốn ứng suất phần tử  e  DB0 U e Tính ma trận độ cứng hình học 00    K e  K e     u Thiết lập giải phƣơng trình trị riêng K o s  K s  Kết thúc 56 3.4 Một số ví dụ tính tốn 3.4.1 Bản chữ nhật tựa đơn bị nén theo phƣơng (hình 3.2) Hình 3.2 Bảng 3.1 pth (MN/ m ) a b h i= (m) (m) (m) b/h  E Et pp giải pp PTHH (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo theo E t Et 2.40 2.40 0.04 60 0.5 2.0E+05 1.80E+05 219.10 210.55 6.00 3.00 0.04 75 0.5 2.0E+05 1.80E+05 220.04 212.50 3.4.2 Bản chữ nhật tựa đơn bị nén theo phƣơng (hình 3.3) Giả sử p = q, ta có: Hình 3.3 56 pth ( MN/ m ) a (m) b (m) h (m) i= b/h  E Et PP giải pp (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo PTHH Et theo Et 1.76 1.76 0.04 44 0.5 2.0E+05 1.80E+05 101.86 100.12 5.60 2.80 0.04 70 0.5 2.0E+05 1.87E+05 104.52 100.50 3.4.3 Bản chữ nhật hai cạnh tựa đơn bị nén vng góc, hai cạnh có điều kiện biên 1) Cạnh y = liên kết khớp, y - b tự (hình 3.4) Hình 3.4 Bảng 3.3 pth ( MN/ m ) a (m) b(m) h (m) 1= b/h  E Et pp giải pp (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo PTHH Et theo Et 1.44 1.44 0.04 36 0.5 2.0E+05 1.80E+05 219.10 215.19 2.00 1.00 0.04 25 0.5 2.0E+05 1.80E+05 220.22 215.40 57 2) Cạnh y = ngàm, y = b tự (hình 3.5) Hình 3.5 Bảng 3.4 pth (MN/ m ) a b h i= (m) (m) (m) b/h  E pp giải Et pp (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo PTHH Et theo Et 1.56 1.56 0.04 39 0.5 2.0E+05 1.80E+05 220.40 216.34 2.80 1.40 0.04 35 0.5 2.0E+05 1.80E+05 220.91 215.49 3) Cạnh y = y = b ngàm (hình 3.6) Hình 3.6 Bảng 3.5 pth (MN/ m ) a (m) b (m) h (m) i= b/h  E Et pp giải (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo PTHH theo Et 3.32 3.32 0.04 83 pp 0.5 2.0E+05 1.80E+05 220.12 58 Et 217.44 3.4.4 Bản chữ nhật bốn cạnh ngàm bị nén hai phƣơng (hình 3.7) Bảng 3.6 pth (MN/ m ) a b h i= (m) (m) (m) b/h  E Et pp giải (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo PTHH Et 3.80 3.80 0.02 pp 95 0.5 2.0E+05 1.80E+05 116.46 theo Et 109.94 3.4.5 Bản chữ nhật tựa đơn dƣới tác dụng ứng suất trƣợt (hình 3.8) Hình 3.8 59 Bảng 3.7 pth (MN/ m ) a (m) b (m) h (m) i= b/h  E Et pp giải (MN/ m ) (MN/ m ) tích theo Et 4.80 4.80 0.04 120 0.5 2.0E+05 1.80E+05 128.61 pp PTHH theo Et 121.62 KẾT LUẬN CHƢƠNG III Với việc dùng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để giải tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi theo cách tƣơng tự đàn hồi dùng mô đun tiếp tuyến cho phép ta giải đƣợc nhiều tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi với kết đáng tin cậy dùng để ứng dụng tính tốn kết cấu cơng trình (nhiều trƣờng hợp tính giá trị lực tới hạn mà không xét đến hạ tải) Trong chƣơng giải số tốn ví dụ số mà dùng lời giải giải tích khơng thực đƣợc 60 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn giải đƣợc số toán ổn định ngồi giới hạn đàn hồi theo phƣơng pháp giải tích phƣơng pháp số (phƣơng pháp PTHH) dựa theo cách giải nhƣ toán đàn hồi với điều chỉnh mơ đun tiếp tuyến thơng qua việc tính lặp Nhờ có máy tính mà cách tính nêu khơng q phức tạp mà chừng mực ứng dụng đƣợc tính tốn kết cấu cơng trình Cách giải mang tính lơgich rõ ràng lý thuyết, mặt khác cho phép làm sở dùng để đối chứng cho nghiên cứu tính tốn phức tạp Trong luận văn giải đƣợc số toán với biên đa dạng mà thông thƣờng dùng đƣợc nghiệm giải tích Tuy nhiên, ví dụ đơn giản toán dẻo (đặt tải đơn giản, biến dạng nhỏ ) Song tiền đề để phục vụ cho bƣớc nghiên cứu 61 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Stiphen Timoshenko - Ngƣời dịch: Phạm Hồng Giang, Vũ Thanh Hải, Nguyễn Khải, Đoàn Hữu Quang: ổn định đàn hồi Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 1976 [2] Đào Huy Bích: Lý thuyết dẻo ứng dụng Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội 2004 [3] Trần Việt Tâm: Nghiên cứu ổn định theo phƣơng pháp Phần tử hữu hạn Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật, Hà Nội 2003 [4] Trần Thanh Tuấn: Nghiên cứu ổn định mỏng đàn dẻo phƣơng pháp lƣợng có xét đến vùng cất tải Tuyển tập cơng trình khoa học hội nghị học toàn quốc - lần thứ bảy - (trang 674 - 682, tập III - Cơ học vật rắn biến dạng), Hà Nội 2002 [5] Phạm Huy Điển (chủ biên): Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học MAPLE Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2002 [6] Nguyễn Tất Tiến: Lý thuyết biến dạng dẻo kim loại Nhà xuất giáo dục, Hà nội 2004 [7] o.c Zienkiewicz and R.L.Taylor : The Finite Element Method - Volume McGravv - Hill International (UK), 1991 [8] D.R.J Owen and E Hinton: Finite Elements in Plasticity Pineridge Press Limited, Swansea - U.K 62 ... giải toán theo nghiệm đàn hồi để xét toán ổn định chữ nhật giới hạn đàn hồi với điều kiện biên khác Mục đích nghiên cứu đề tài: - Tìm hiểu, nghiên cứu ổn định giới hạn đàn hồi - Dùng phƣơng pháp... 2.4 Giải toán ổn định chữ nhật giới hạn đàn hồi theo mô đun tiếp tuyến Chƣơng 3: Giải tốn ổn định ngồi giới hạn đàn hồi phƣơng pháp phần tử hữu hạn 3.1 Cách giải toán ổn định đàn hồi theo phƣơng... 2.4 Giải toán ổn định chữ nhật ngồi giới hạn đàn hồi theo mơ đun tiếp tuyến 31 KẾT LUẬN CHƢƠNG 33 CHƢƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA BẢN NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỔI BẰNG PHƢƠNG