nguyên hàm – tích phânứng dụng btn

Tài liệu toán học,câu hỏi trắc nghiệm toán 12, giúp giải các bài toán khó một cách dễ dàng và chi tiết,hướng dẫn mọi chi tiết về nguyên hàm tích phân,giúp chúng ta tìm hiểu được những kiến thức hữu ích mới

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Gọi S  t  diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  1 x   , y  , x  , x  t (t  0) Tìm lim S  t  t  A  ln  B ln  C  ln D ln  Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: *Tìm a, b, c cho  x  1 x    a bx  c  x  ( x  2)2   a  x     bx  c  x  1   ax2  4ax  4a  bx2  bx  cx  c a  b  a       a  b  x   4a  b  c  x  4a  c  4a  b  c   b  1  4a  c  c  3   *Vì  0;t  , y   x  1 x    nên ta có: t  t   1 x3  Diện tích hình phẳng: S  t     d x     0  x   x  22 dx     x  1 x      t  1    x 1      dx   ln   x   x    x  2   x2 x20 0  t  ln t 1 1   ln  t2 t2  t 1   t 1  *Vì lim    lim ln   lim 0   t  t  t  t  t    t 2 1  t 1 Nên lim S  t   lim  ln   ln    ln  t  t  2  t2 t2 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay t   Diện tích hình phẳng: S  t      dx     x  1 x    Cho t  100 ta bấm máy  100      dx  0,193   x  1 x  2    Dùng máy tính kiểm tra kết ta đáp án B   Câu 2: sin x (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tích phân I   dx J   dx  tan x cosx  sin x 0   với    0;  , khẳng định sai  4  cos x dx cosx  sin x A I   B I  J  ln sin   cos C I  ln  tan  D I  J   Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 cos    nên A sin   tan   cos   sin  cos   d  cos x  sin x  cos x  sin x I J  dx    ln cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x 0    ln cos   sin  B  I  J   dx  x 0   D Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x   x   4t  8t  dt Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  0;6 Tính M  m A 18 B 12 C 16 D Hướng dẫn giải f  x  x   4t  8t  dt   t  4t  x  x  x  , với x  f   x   x  4; f   x    x   1;6 f    3; f  2  1; f    15 Suy M  15, m  1 Suy M  m  16 Đáp án: C Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử  x 1  x  số nguyên dương Tính 2a  b bằng: A 2017 B 2018 2017 1  x  dx  a a C 2019 1  x   b b  C với a, b D 2020 Hướng dẫn giải Ta có:  x 1  x  2017 dx    x   11  x  2017  dx   1  x  2017  1  x  2018  1  x  dx   2018 2018 1  x   2019 2019 C Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 Chọn D Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e 3 x F     ln Tập nghiệm S phương trình 3F  x   ln  x3  3  là: A S  2 B S  2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 Hướng dẫn giải Ta có: F  x    dx  ex  x     dx  x  ln  e  3  C x x  e 3  e 3     1 Do F     ln nên C  Vậy F  x   x  ln  e x  3 3 Do đó: 3F  x   ln  e x  3   x  Chọn A Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) hàm số liên tục đoạn  2;6 thỏa mãn  6 3 f ( x)dx  3;  f ( x)dx  7;  g ( x)dx  Hãy tìm mệnh đề KHÔNG B  [3 f ( x)  4]dx  A  [3g ( x)  f ( x)]dx  C ln e6 ln e6  [2f ( x)  1]dx  16 D  [4 f ( x)  g ( x)]dx  16 Hướng dẫn giải 3  6 f ( x)dx   f ( x)dx   f( x)dx  10 6 3 Ta có:  [3g ( x)  f ( x)]dx  3 g ( x)dx   f ( x)dx  15   nên A 3 2  [3 f ( x)  4]dx  3 f( x)dx  4 dx    nên B ln e6 6 2 2  [2f ( x) 1]dx   [2f ( x) 1]dx  2 f( x)dx 1 dx  20   16 nên C ln e6  6 3 [4f ( x)  g ( x)]dx   [4f ( x)  g ( x)]dx  4 f( x)dx  2 g ( x)dx  28  10  18 Nên D sai Chọn đáp án D Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN - HCM) Giả sử  e2 x (2 x3  5x  x  4)dx  (ax3  bx  cx  d )e2 x  C Khi a  b  c  d A -2 B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta  (ax có e 2x (2 x3  5x  x  4)dx  (ax3  bx  cx  d )e2 x  C  bx  cx  d )e2 x  C  '  (3ax  2bx  c)e2 x  2e2 x (ax3  bx  cx  d )   2ax3  (3a  2b) x  (2b  2c) x  c  2d  e x  (2 x3  x  x  4)e x  2a  a  3a  2b  b     Do  Vậy a  b  c  d  2b  2c  2 c  2 c  2d  d  Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN - HCM) Cho biết  1 A P  15 B P  37 f ( x)dx  15 Tính P   [f (5  3x)  7]dx C P  27 Hướng dẫn giải D P  19 nên t   3x  dx   dt Để tỉnh P ta đặt x   t  x   t  1 nên 5  dt 1 P   [f (t )  7]( )   [f (t )  7]dt    f (t )dt   dt  3 1  1 1  1 1  15  7.(6)  19 3 chọn đáp án D Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x   a sin x  b cos x thỏa mãn   f '    2  adx  Tính tổng a  b bằng: 2 a b A B C D Hướng dẫn giải Chọn C f '  x   2a cos x  2b sin x   f '    2  2a  2  a  2 b b a  adx   dx   b    b  Vậy a  b    ln Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng:    x  2e  a  dx  ln  b ln  c ln Trong 1  x a, b, c số nguyên Khi S  a  b  c bằng: A B C D Hướng dẫn giải Chọn C ln    x x  dx   xdx  2e    ln ln Tính  xdx  ln Tính  2e x x ln 1  ln  2e x 1 dx ln 2 dx Đặt t  2e x   dt  2e x dx  dx  dt Đổi cận : x  ln  t  5, x   t  t 1 ln  2e ln x dt  1    dt   ln t   ln t   ln  ln  ln  ln  ln  ln t t  1  t  t  3  1  dx   5   dx  ln  ln  ln  a  2, b  1, c  1 1  Vậy a  b  c    x  2e x Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  hàm số  x  x  3 hai tiếp tuyến  C  xuất phát từ M 3; 2 13 11 A B C D 3 3 y Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y   2x  4  x  Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Khi đó, y0   x0  x0  3 y  x0   x0  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có tọa độ  x0 ; y0  y   x0   x  x0    x0  4x0  3 Vì tiếp tuyến qua điểm M  3; 2  nên 2   x0    x0    x0   y   x  1 x0  x0  3     x0   y  3x  11 Diện tích hình phẳng cần tìm S  1    x  x  3    x  1dx  1  x  x  3   3x  11 dx    3     Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân x   cos x dx  a  b ln , với a , b số thực Tính 16a  8b A B C Hướng dẫn giải Chọn A D u  x du  dx   Đặt  Ta có  dx d v  v  tan x    cos x     1    1  1 I  x tan x   tan xdx   ln cos x   ln   ln  a  , b   2 8 8 0 Do đó, 16a  8b  Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử  f  x  dx  A 12  f  z  dz  Tổng B  C f  t  dt   f  t dt D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có  f  x  dx    f  t  dt  ;  5 f  z  dz    f  t  dt  0 5 3   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  e2 x1  a dx  e  Tính tích a.b x e b ln  Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn B ln  e2 x 1  dx  ex  e x 1 ln  e x ln  ln e x 1dx  ln  e x dx  ln  e x 1d  x  1  ln  e d x x 1    2e  e     1  e   a  1, b   ab  2   Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết   sin x  x  x3 dx  3 a  3  c  d với a, b, c, d b là số nguyên Tính a  b  c  d A a  b  c  d  28 B a  b  c  d  16 C a  b  c  d  14 D a  b  c  d  22 Hướng dẫn giải Chọn A I   3   sin x 1 x  x dx       x  x3 sin x 1 x  x 6    dx     x  x3 sin xdx     x    t  Đặt t   x  dt  dx Đổi cận  x    t     3  I        t  t sin  t  dt       Suy I    2 x  sin x  dx  I     x     x  x3 sin xdx sin xdx x3 (+)  sin x 3x (–)  cos x 6x (+)  sin x (–)  cos x  sin x  I    x sin x  3x cos x  x sin x  6sin x  3    t  t sin tdt        3 27  3  2  3 Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  Vậy a  b  c  d  28   Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có giá trị a đoạn  ; 2  thỏa mãn 4  a sin x 0  3cos x dx  A B C Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t   3cos x  t   3cos x  2tdt  3sin xdx Đổi cận: + Với x   t  + Với x  a  t   cos a  A D a Khi  a  2 sin x 2 2 dx   dt  t    A   A    3cos a   cos a  3 A 3  3cos x A  k  k   Do Bình luận: Khi cho a  k      a   ; 2     k  2    k    4 k  4     tích phân khơng xác định mẫu thức khơng xác định (trong bị âm) Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chấp nhận a   Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y  2x , y   x  và y  là: 1 47 A S  B S  C S  D S    3 ln 2 ln 50 ln Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm đường Ta có:  2x   x   x   2x   x   x    x  2  2x    x2  1 Diện tích cần tìm là: S     1 dx     x   1 dx    x    2x     ln 0   ln 2 1 x a Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có số a   0;20  cho  sin x sin xdx  A 20 B 19 C Hướng dẫn giải Chọn D D 10 a a a 2 Ta có  sin x sin xdx  2 sin x cos xdx  2 sin xd  sin x   sin x 0a  sin a  7 0 Do 0 sin a   sin a   a    k 2  20    k  10 k  2 n 1 Câu 19: (THTT – 477) Giá trị lim n  A 1  1 e x   k 2 a   0;20  Vì nên nên có 10 giá trị k dx n B C e D Hướng dẫn giải Chọn D n 1 Ta có: I   1 e x dx n Đặt t   e x  dt  e x dx Đổi cận: Khi x  n  t   en ; x  n   t   en1 1 en1  Khi đó: I  1 en dt  t  t  1 1 en1  1 en 1 en1  en  1   dt   ln t   ln t  n   ln  1 e  en1  t 1 t  n Mà  en  e n 1 1   1 1 e   n  n   , Do đó, lim I   ln  n  e e 1   e e  Câu 20: (THTT – 477) Nếu  sin n x cos xdx  A n 64 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận: x   t  0; x  Khi đó: I   t n dt  1 Suy   2 n 1  n 1 t 1    n 1 n 1   n 1   t  64 n 1 có nghiệm n  (tính đơn điệu) 64 Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d ,  a, b, c  , a   có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng đồ thị hàm số y  f   x  cho hình vẽ đây: 10 y  điểm có hoành độ âm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị  C  trục hoành A S  27 B S  C 21 D Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị suy f   x   3x  f  x    f   x  dx    3x  3 dx  x3  3x  C  C  tiếp xúc với đường thẳng f   x0    3x02    x0  1 y  điểm có hoành độ x0 âm nên Do Suy f  1   C    C  : y  x  3x   x  2 x 1 Xét phương trình x  3x      x Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2  3x   dx  27 Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho y  f  x  hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn  6;6 Biết  f  x  dx  1 A I  11  f  2 x  dx  Tính I   f  x  dx 1 B I  C I  D I  14 Hướng dẫn giải Chọn D Vì f  x  hàm số chẵn nên a 2 a 1  f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  11  f  2 x  dx   f  x  dx  3 Xét tích phân K   f  x  dx  Đặt u  x  du  2dx  dx  du Đổi cận: x   u  2; x   u  K 6 1 f  u  du   f  x  dx    f  x  dx   22 22 6 1 1 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x dx    14 Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết A T   3e 13 x dx  a b e  e  c  a, b, c  B T  C T  10  Tính T  a  b c  D T  Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t   3x  t   3x  2tdt  3dx Đổi cận: + x   t  + x 1 t    3e 13 x    dx 2 tet dt 2 tet   et dt  tet  et 1 2 1    2e  e  e  e  2e 2 a  10   T  10 nên câu C b  c  Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng x  a , x  b (như hình vẽ đây) 12 Giả sử S D diện tích hình phẳng D Chọn cơng thức phương án A, B, C, D cho đây? b a 0 b a A S D   f  x  dx   f  x  dx b a B S D    f  x  dx   f  x  dx C S D   f  x  dx   f  x  dx b a D S D    f  x  dx   f  x  dx Hướng dẫn giải Chọn B + Nhìn đồ thị ta thấy:  Đồ thị (C ) cắt trục hoành O  0;0   Trên đoạn  a;0 , đồ thị (C ) trục hoành nên f  x    f  x   Trên đoạn  0;b , đồ thị  C  trục hoành nên f  x   f  x  b b b a a a + Do đó: S D   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx x  1 dx   a ln  b ln , với a , b x Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết I   số nguyên Tính S  a  b A S  B S  11 C S  Hướng dẫn giải Chọn B x  1 x  1 x  1 dx   dx   dx x x x 1 Ta có: I   5  2x 2x  2  x 1  x  2   dx   dx   dx   dx x x x x 2 13 D S  3 2 5 3      x  dx      dx   5ln x  x    x  3ln x  2 x x   a   a  b  11  8ln  3ln    b  3 Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết I   x ln  x  1 dx  nguyên dương và A S  60 a ln  c, a, b, c số b b phân số tối giản Tính S  a  b  c c B S  70 C S  72 D S  68 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I   x ln  x  1 dx  du  dx  u  ln x       2x 1 Đặt   d v  x d x   v  x   x ln  x  1 x2 I   x ln  x  1 dx   dx 2x 1 0 4 x   x2  1 63  8ln       dx  16ln    x  ln x    ln  4  x  1   4 0 0 a  63 a 63   ln  c  ln   b   S  70 b c   Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  y  k ,0  k  Tìm k để diện tích hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên A k  B k   1 C k  D k   Hướng dẫn giải Chọn D Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên u cầu tốn trở thành: 14 Diện tích hình phẳng giới hạn y   x , y  k , x  diện tích hình phẳng giới hạn : y   x2 , y  x  1, y  k , x  1 k  1  x2  k dx    k   x2 dx  1 k 1 k  k  x  1dx  1  k   k  1 1  k   k 1 1   1  k   1  k   k  1  k   k  1  k   k  1  k   k  1  k   3 3  1  k   k   3  1 k    k   Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f ( x) cắt trục Ox ba điểm có hoành độ a  b  c hình vẽ Mệnh đề nào là đúng? A f (c)  f (a)  f (b) B f (c)  f (b)  f (a) C f (a)  f (b)  f (c) D f (b)  f (a)  f (c) Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b b; c  , lại có f ( x) nguyên hàm f ( x)  y  f ( x) y   Do diện tích hình phẳng giới hạn đường:  là: x  a  x  b 15 b b a a S1   f ( x)dx    f ( x)dx   f  x  a  f  a   f  b  b Vì S1   f  a   f  b  1  y  f ( x) y   Tương tự: diện tích hình phẳng giới hạn đường:  là: x  b   x  c c c b b S2   f ( x)dx   f ( x)dx  f  x  b  f  c   f  b  c S2   f  c   f  b    Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1  S2  f  a   f  b   f  c   f  b   f  a   f  c   3 Từ (1), (2) (3) ta chọn đáp án A (có thể so sánh f  a  với f  b  dựa vào dấu f ( x) đoạn  a; b so sánh f  b  với f  c  dựa vào dấu f ( x) đoạn b; c  ) Câu 29: Cho tam giác ABC có diện tích quay xung quanh cạnh AC Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành A.V B.V C.V D.V Hướng dẫn giải Đáp án A SABC AB BC Chọn hệ trục vng góc Oxy CA choO 0; , A 1; , B 0; với O Phương trình đường thẳng AB y là trung điểm AC x , thể tích khối tròn xoay quay ABO quanh trục AC (trùng Ox ) tính V x dx Vậy thể V 2V 16 tích cần tìm 2x 1.cos x dx 2x Câu 30: Trong số đây, số ghi giá trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 2 2x cos x dx 2x Ta có: 2x cos x 2x dx 2x cos x 2x dx Đặt x t ta có x 2x cos x x t 2 dx 0, x t cos t t 2 t d t dx cos t t 2 dt dt cos x 2x dx Thay vào (1) có 2x cos x dx 2x 2x cos x 2x 2 dx cos x 2x dx 2 2x cos x x Vậy 2 dx 2x cosx dx 2x cos x dx sin x 2 2 Câu 31: (CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g hai hàm liên tục 1;3 thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 A 3 1  2 f  x   g  x  dx  Tính   f  x   g  x  dx B C Hướng dẫn giải Chọn C  Ta có 3 1   f  x   3g  x  dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 17 D 3 3 1  Tương tự   f  x   g  x   dx   2 f  x  dx   g  x  dx  3 u  3v  10 u    Xét hệ phương trình  , u   f  x  dx , v   g  x  dx 2u  v  v  1 3 1   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx     Khi Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn (C ) : x  ( y  3)2  xung quanh trục hoành là B V  6 A V  6 C V  3 D V  6 Hướng dẫn giải ChọnD x2  ( y  3)2   y    x   V       x2 1       x2    dx  12   x dx 1    x   t  Đặt x  sin t  dx  cos t.dt Với   x  11  t       V  12     sin t cos tdt  12  cos  2 tdt  6 Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E  có phương trình x2  y2  1,  a, b   và đường tròn  C  : x  y  Để diện tích elip  E  gấp lần a b diện tích hình trịn  C  A ab  B ab  7 C ab  Hướng dẫn giải Chọn D x2 a  y2 b  1,  a, b    y  b 2 a x a b a2  x dx b Diện tích  E  S E     a2  x dx a a0 a a    Đặt x  a sin t , t    ;   dx  a cos tdt  2 18 D ab  49 Đổi cận: x   t  0; x  a  t  a  a b S E   a cos2 tdt  2ab 1+cos2t  dt   ab a0 Mà ta có SC   π.R  7π Theo giả thiết ta có S E  7.SC    ab  49  ab  49 Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân  x.ln  x  1 b tối giản Lúc c A b  c  6057 B b  c  6059 2017 b dx  a  ln Với phân c số C b  c  6058 D b  c  6056 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I   x.ln  x  1 2017 dx  2017  x.ln  x  1 dx 0  du  dx u  ln  x  1  2x 1  Đặt  dv  xdx v  x   1   x2    x2  Do  x.ln  x  1 dx   ln  x  1            dx 8 x    0    1  x2  x  3  ln     ln  0  I   x.ln  x  1 2017 3  6051 dx  2017  ln   ln 8  Khi b  c  6059 Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường 2my  x , mx  y2 ,  m   Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  D m  2 Hướng dẫn giải 19 Chọn A Ta có 2my  x  y  mx  x  (do m  ) 2m  y  2mx  y  y  2mx   y   mx   Xét phương trình hoành độ giao điểm 2my  x mx  y ta có x  x  2mx  x  2m 2mx  x  8m3 x    2m  x  2m 2m Khi S   x  2mx dx  2m x 2m   x x 2m 3 Để S   2m 2m    2m x   2mx  dx  4m  4m   m2   m  (do m  ) Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi  H  phần giao hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H  hai khối A V H  2a  C V H   B V H  a3 3a  D V H    a3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy là phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S  x   a  x Thể tích khối  H  a a 0 2  S  x  dx    a  x dx  20 2a Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với số nguyên a, b thỏa mãn   x  1 ln xdx  a   ln b Tính tổng P  a  b A P  27 B P  28 C P  60 D P  61 Hướng dẫn giải Chọn C  u  ln x Đặt  ta có  dv   x  1 dx  du  dx x  v  x  x  2 2   x  1 ln xdx   x  x  ln x    x  x  1 dx x  x2  3   ln    x  1 dx  ln    x  12  ln      4   ln 64 2    P  a  b  4  64  60 Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa và tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy y 16 y  x  25  x  hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét 125 125 250 125 m  m2  m2  A S  B S  C S  D S      m2  3 Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy 21 x Từ giả thuyết tốn, ta có y   x  x Góc phần tư thứ y  x 25  x ; x   0;5 Nên S( I )  125 125 x 25  x dx  S  (m )  40 12 Câu 39: (CHUN VINH – L2)Gọi V thể tích khối trịn y xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường M thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm y  x M a (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo O K thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi A a  B a  2 C a  D a  H x Hướng dẫn giải Chọn D Ta có x   x  Khi V    xdx  8  Ta có M a; a  Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:  Hình nón  N1  có đỉnh O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ;  Hình nón  N2  thứ có đỉnh H , chiều cao h2  HK   a , bán kính đáy R  MK  a 1 Khi V1   R h 1  R h   a 3 Theo đề V  2V1  8   a  a  Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục hoành Xác định k để đường thẳng  d  qua điểm A  0;  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích A k  4 B k  8 C k  6 D k  2 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  x  trục hoành là: x2  x    x  22 Diện tích hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục  x3  hoành là: S   x  x  dx    x  x   dx    x  x    0 0 2 2 Phương trình đường thẳng  d  qua điểm A  0;4  y có hệ số góc k có dạng: y  kx   4  Gọi B là giao điểm  d  trục hoành Khi B  ;0   k  Đường thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích B  OI SOAB  S O B1 I d 4  0 2  k  2  k    k  6 1 4 k  6  S OA.OB   OAB   2 k  Câu 41: (CHUYÊN TUYÊN QUANG –L1) 6 Tính tích phân  4 x  x  dx  a  b  c  Với a , b , c là số x 1   nguyên Khi biểu thức a  b2  c4 có giá trị A 20 B 241 C 196 D 48 Hướng dẫn giải Chọn B 6 2 Ta có  4 x  x  dx  x4  Tính I  4 6 2  dx  4 x 6 2 6 2   x 1   4   dx  4 x 1   6 2  dx   2  2  Tính J  6 2  x2  dx  x4  6 2  1 x dx  x2  x 1 6 2  1 x2 dx 1  x  2 x  1 x   t  1    Đặt t  x   dt  1   dx Khi  6 x  x  t  x   23 6 2  x2  dx  I  J x4  x  Khi J  dt t   2 Đặt t  tan u  dt  1  tan u  du t   u   Khi   t   u   Suy J   6 2 Vậy   1  tan u   24 du  du  u    2 1  tan u  a  b  16 4 x  x  dx  16  16      x 1 c    Vậy a  b2  c4  241 Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1  thuộc  S2  ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( S1 ) ( S2 ) A V   R3 B V   R3 C V  5 R3 12 Hướng dẫn giải D V  2 R3 y (C ) : x  y  R Chọn C Gắn hệ trục Oxy hình vẽ Khối cầu S  O, R  chứa đường tròn lớn C  : x2  y  R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính R V  2  R  R  x3  5 R3 R  x dx  2  R x    12 R   2  24 O R R x Câu 43: (CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y  x  3x  m có đồ thị  Cm  với m tham số thực Giả sử  Cm  cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ : y  Cm  S3 O S1 x S2 Gọi S1 , S S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để S1  S2  S3 5 A m   B m   C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử x  b nghiệm dương lớn phương trình x4  3x2  m  Khi ta có b4  3b2  m  (1) Nếu xảy S1  S2  S3 b x   3x  m dx   b5 b4  b3  mb    b2  m  (2)  b   5 Từ (1) (2), trừ vế theo vế ta 4 b  2b2   b2  (do b  0) 5 Thay trở ngược vào (1) ta m  25 ...   4 k  4     tích phân khơng xác định mẫu thức khơng xác định (trong bị âm) Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chấp nhận a   Câu 17: (NGƠ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn... (a)  f (c) Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b b; c  , lại có f ( x) nguyên hàm f ( x)  y  f ( x) y   Do diện tích hình phẳng giới hạn đường:  là: x... ab  49  ab  49 Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân  x.ln  x  1 b tối giản Lúc c A b  c  6057 B b  c  6059 2017 b dx  a  ln Với phân c số C b  c  6058 D b  c  6056