Bài báo cáo Thống kê Dự báo Bài Báo Cáo Mô Hình Toán Học Trần Nam Hưng1* Corresponding author(s) E mail(s) hungb1906052@student ctu edu vn; Tóm tắt nội dung Bài báo cáo sưu tầm một số bài toán xây dựn[.]
Bài báo cáo Thống kê Dự báo Bài Báo Cáo Mơ Hình Tốn Học Trần Nam Hưng1* Corresponding author(s) E-mail(s): hungb1906052@student.ctu.edu.vn; Tóm tắt nội dung Bài báo cáo sưu tầm số tốn xây dựng mơ hình thực tế sử dụng phương pháp toán học để giải cho kết Keywords: Mơ hình tốn học Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Toán học Bài toán ứng dụng đạo hàm Bài tốn: Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm hai thị trường khác Biết hàm tổng chi phí T C(Q1 , Q2 ) = 35 + 40Q, (Q = Q1 +Q2 ) nhu cầu hai thị trường Q1 = 24−0.2P1 , Q2 = 10 − 0.05P2 Hãy xác định sản lượng giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa Biết giá bán hai thị trường Bài giải: Từ hai hàm cầu thuận Q1 = 24 − 0.2P1 Q2 = 10 − 0.05P2 Ta suy hai hàm cầu đảo P1 = 120 − 5Q1 P2 = 200 − 20Q2 Từ ta tính hàm doanh thu T R(Q1 , Q2 ) = P1 Q1 + P2 Q2 = (1120 − 5Q1 )Q1 + (200 − 20Q2 )Q2 = 120Q1 − 5Q21 + 200Q2 − 20Q22 Hàm lợi nhuận π(Q1 , Q2 ) = T R(Q1 , Q2 ) − T C(Q1 , Q2 ) = 120Q1 − 5Q21 + 200Q2 − 20Q22 − 35 − 40(Q1 + Q2 ) = 80Q1 − 5Q21 + 160Q2 − 20Q22 − 35 Theo giả thiết ta có P1 = P2 ⇔ 120 − 5Q1 = 200 − 20Q2 ⇔ −Q1 + 4Q2 = 16 Ta cần tìm (Q1 , Q2 ) cho π(Q1 , Q2 ) đạt giá trị lớn thỏa mãn điều kiện g(Q1 , Q2 ) = −Q1 + 4Q2 = 16 Lập hàm Lagrange f (Q1 , Q2 , λ) = 80Q1 − 5Q21 + 160Q2 − 20Q22 + λ(16 + Q1 − 4Q2 ) Đạo hàm riêng cấp hàm f ′ (Q1 ; Q2 ; λ) = 80 − 10Q1 + λ fQ ′ fQ (Q1 ; Q2 ; λ) = 160 − 40Q2 − 4λ fλ′ (Q1 ; Q2 ; λ) = 16 + Q1 − 4Q2 Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Ta xét hệ phương trình ′ fQ1 (Q1 ; Q2 ; λ) = ′ (Q1 ; Q2 ; λ) = fQ ′ fλ (Q1 ; Q2 ; λ) = 80 − 10Q1 + λ = ⇔ 160 − 40Q2 − 4λ = ⇔ 16 + Q1 − 4Q2 = Từ ta có nghiệm (Q1 , Q2 , λ) = 28 dừng M ( 32 , ) Đạo hàm riêng cấp hàm f 10Q1 − λ = 80 40Q2 + 4λ = 160 Q1 + 4Q2 = 16 32 28 , , 16 Vậy hàm số có điểm ′ fQ (Q1 ; Q2 ; λ) = 10 Q1 ′ ′ fQ (Q1 ; Q2 ; λ) = fQ (Q1 ; Q2 ; λ) = Q2 Q1 ′ (Q1 ; Q2 ; λ) = −40 fQ Q2 Đạo hàm riêng cấp g ′ (Q1 , Q2 ) = −1 gQ ′ (Q1 , Q2 ) = gQ 28 Xét điểm dừng M ( 32 , ) λ = −16 Ta có 32 28 ′ = −1 , g1 = gQ 5 32 28 ′ g2 = gQ =4 , 5 32 28 ′′ , , −16 = −10 f11 = fQ Q2 5 32 28 ′′ f22 = fQ , , −16 = −40 Q2 5 32 28 ′′ , , −16 =0 f12 = f21 = fQ Q2 5 28 Lập ma trận Hess điểm dừng M ( 32 , ) λ = −16 g1 g2 −1 H = g1 f11 f12 = −1 −10 g2 f21 f22 −40 Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Ta có định thức ma trận Hess −1 det(H) = −1 −10 −40 −1 −1 −10 = 200 > = (−1) (−1) + (−1) · 4 −40 28 Vậy hàm số đạt cực đại điểm M ( 32 , ), nghĩa sản lượng Q1 = 28 = giá bán tương ứng P1 = P2 = 88 cơng ty đạt lợi nhuận tối đa πmax = 576 32 , Q2 Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Bài toán xây dựng hàm sinh Bài tốn: Có cách xếp giỏ bao gồm n trái thỏa mãn điều kiện sau ❼ ❼ ❼ ❼ Số trái táo phải số chẵn Số trái chuối phải chia hết cho Chỉ có nhiều cam Chỉ có nhiều đào Bài giải: Trước hết ta tìm hàm sinh cho số cách chọn táo Vì có cách chọn táo, có cách chọn táo (vì số táo phải số chẵn), có cách chọn táo, có cách chọn táo, Như ta xây dựng hàm sinh cho số cách chọn táo A(x) = + x2 + x4 + · · · = 1 − x2 Tương tự, ta có cách chọn trái chuối (vì trái chuối phải chia hết cho 5), ta có cách chọn số táo 1,2,3,4 có cách chọn số táo 5, Vậy hàm sinh cho số cách chọn chuối B(x) = + x5 + x10 + · · · = 1 − x5 Tiếp theo, ta chọn cam cách, cam cách, Nhưng ta chọn nhiều cam Vì hàm sinh cho số cách chọn cam C(x) = + x + x2 + x3 + x4 = − x5 1−x Tương tự cho cách chọn đào, ta có hàm sinh D(x) = + x = − x2 1−x Vì cách chọn trái rời nên ta chọn loại hàm sinh tính cơng thức A(x) · B(x) · C(x) · D(x) Ta có ∞ X 1 − x5 − x2 · · · = = (n + 1)xn − x2 − x5 − x − x (1 − x)2 n=0 Vậy số cách xếp giỏ trái gồm n trái đơn giản n + cách Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Bài tốn ứng dụng xích Markov Bài tốn: Giả sử người bốn trạng thái sau: ❼ ❼ ❼ ❼ Giàu có (R) Bình thường (A) Nghèo (P) Mắc nợ (D) Nếu giả sử người có xuất thân bình thường Khi xác suất để người trở nên giàu có sau 1,2,3 thời kỳ bao nhiêu? Vectơ trạng thái ổn định liên kết với xích Markov gì? Biết xác suất chuyển sau ❼ Nếu người giàu có, thời gian tới người – Bình thường: 0.75 – Nghèo: 0.2 – Mắc nợ: 0.05 ❼ Nếu người bình thường, thời gian tới người – Giàu có: 0.05 – Bình thường: 0.2 – Mắc nợ: 0.45 ❼ Nếu người nghèo, thời gian tới người – Bình thường: 0.4 – Nghèo: 0.2 – Mắc nợ: 0.45 ❼ Nếu người mắc nợ thời gian tới người – Bình thường: 0.15 – Nghèo: 0.3 – Mắc nợ: 0.55 Ta có xích Markov tương ứng ma trận trạng thái sau Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Rich 0.2 0.75 0.1 Poor 0.3 0.4 0.05 0.05 0.3 Average 0.2 0.2 0.45 0.3 0.15 In Debt 0.55 .05 P = 75 15 3 05 45 55 Bài Giải: (1) Ta mơ trạng thái người bình thường trạng thái khác mã hóa π (0) = (0, 1, 0, 0) Khi đó, qua thời kỳ, người có trạng thái giàu có phần tử phép tính sau π (1) .05 (0) = π · P = (0, 1, 0, 0) · 75 15 3 05 45 = (0.05, 0.2, 0.3, 0.45) 55 Vậy sau thời kỳ, xác suất để người từ xuất thân bình thường trở nên giàu có 5% Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Mặt khác, π (2) 2 75 05 .05 45 = π (0) · P = (0, 1, 0, 0) · 15 55 0.0575 0.2375 0.3 0.04 0.265 0.295 = (0, 1, 0, 0) · 0.05 0.305 0.29 0.0375 0.2325 0.3 = (0.04, 0.265, 0.295, 0.4) 0.405 0.4 0.355 0.43 Vậy sau thời kỳ, xác suất để người từ xuất thân bình thường trở nên giàu có 4% Tương tự ta có π (3) .05 (0) = π ·P = (0, 1, 0, 0)· 75 15 3 3 05 45 = (0.04275, 0.211, 0.296, 0.4025) 55 Vậy sau thời kỳ, xác suất để người từ xuất thân bình thường trở nên giàu có 4.28% (2) Ta có hệ phương trình 0.05πA + 0.1πP = πR 0.75πR + 0.2πA + 0.4πP + 0.15πD = πA 0.2πR + 0.3πA + 0.2πP + 0.55πD = πP (1) 0.05πR + 0.45πA + 0.2πP + 0.55πD = πD πR + πA + πP + πD = Khi ta có nghiệm xác suất 53 326 367 495 , , , (πR , πA , πP , πD ) = 1241 1241 1241 1241 Vectơ trạng thái ổn định liên kết với xích Markov Tức lâu dài, tỷ lệ người giàu ổn định mức 4.27%, người bình thường 26.27%, người nghèo 29.57% người mắc nợ 39.89% 53 326 367 495 1241 , 1241 , 1241 , 1241 Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học Bài tốn ứng dụng phương trình vi phân Bài tốn: Một vng ni tơm ước tính thể tích đạt 10000m3 nước tình trạng ngập mặn nặng với nồng độ muối 3g/m3 Để giảm tình trạng ngập mặn vng, người ta tiến hành bơm nước vào vuông với tốc độ 150m3 /h từ nguồn nước gần có nồng độ muối 0.2g/m3 Giả sử nước vuông nước bơm vào trộn tức cho chảy ngồi với tốc độ 100m3 /h, nồng độ muối vuông tôm sau ngày thực biện pháp giảm mặn bao nhiêu? Bài Giải Giả sử Q(t) (đơn vị: gram) khối lượng muối vng thời điểm t Q(t) Khi đó, C(t) = nồng độ muối vuông thời điểm t 10000 + 50t Q(t) Ta có Q′ (t) = vin − vout = 150 × 0.2 − 100 × C(t) = 30 − 100 × 10000 + 50t Từ ta có phương trình vi phân Bernoulli có dạng Q(t) = 30 200 + t Phương trình có nghiệm tổng quát sau Q′ (t) + Q(t) = e − R dt 200+t Z R dt 200+t dt + C 30e Z ln(200+t) −2 ln(200+t) 30 e +C ⇔ Q(t) = e Z 30 (200 + t) dt + C ⇔ Q(t) = (200 + t)2 (200 + t)3 30 +C ⇔ Q(t) = (200 + t)2 C ⇔ Q(t) = 10(200 + t) + (200 + t)2 Theo giả thiết, Q(0) = 10000 × = 30000 nên 30000 = 10 × 200 + Từ ta tính C = 112 × 107 Thay vào ta nồng độ muối vuông C(t) = Q(t) 112 × 107 = 0.2 + 10000 + 50t 50(200 + t)3 Nồng độ muối vuông sau ngày (24h) C(24) = 0.2 + 112 × 107 = 2.19g/m3 50(200 + 24)3 C 2002 Bài báo cáo Thống kê Dự báo 10 Mơ hình Toán học Bài toán ứng dụng giải ma trận Giả sử ba người ký hiệu P1, P2, P3 đưa vào xã hội khép kín đơn giản sản xuất ba loại hàng hóa z1 , z2 , z3 Mỗi người bán mua Tất sản phẩm họ họ tiêu thụ, khơng có hàng hóa khác xâm nhập vào hệ thống (“mơ hình khép kín”) Tỷ lệ sản phẩm tiêu thụ P1, P2, P3 cho bảng sau: P1 P2 P3 z1 z2 z3 0.6 0.1 0.3 0.2 0.7 0.1 0.3 0.2 0.5 Để đảm bảo xã hội tồn tại, người P1, P2, P3 phải có thu nhập theo tỷ lệ bao nhiêu, giả sử mức tiêu dùng người với thu nhập họ? Bài giải: Ta ký hiệu x1 , x2 , x3 thu nhập P1, P2, P3 Khi số tiền P1 chi cho z1 , z2 , z3 0.6x1 +0.2x2 +0.3x3 Ta có phương trình 0.6x1 +0.2x2 +0.3x3 = x1 , tương tự người khác Ta có hệ phương trình tuyến tính 0.6x1 + 0.2x2 + 0.3x3 = x1 0.1x1 + 0.7x2 + 0.2x3 = x2 0.3x1 + 0.1x2 + 0.5x3 = x3 Hệ viết lại dạng phương trình Ax = x, 0.6 0.2 0.3 A = 0.1 0.7 0.2 x = (x1 , x2 , x3 )⊤ 0.3 0.1 0.5 Hơn nữa, thu nhập số không âm, tức xi ≥ với i = 1, 2, (ký hiệu x ≥ O) Chúng ta viết lại phương trình thành dạng tương đương (A − I)x = O: −0.4 0.2 0.3 −3 −3 10 −13 A = 0.1 −0.3 0.2 0 −→ −4 −→ 0 −10 11 −→ −10 11 0.3 0.1 −0.5 −5 −10 11 0 Một nghiệm tùy ý hệ có dạng x = t(13, 11, 10)⊤ x ≥ O với t ≥ Do đó, để đảm bảo xã hội tồn tại, người P1, P2, P3 phải có thu nhập họ theo tỷ lệ 13 : 11 : 10 Bài báo cáo Thống kê Dự báo Mơ hình Tốn học 11 Bài toán ứng dụng hồi quy tuyến tính Bài tốn: Cho bảng liệu hai đại lượng x y x 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 y 11.18 14.78 117.89 23.52 28.56 Xây dựng mơ hình hồi quy y = axebx Bài giải: Ta biến đổi biểu thức sau y = axebx ⇔ log y x = bx + log(a) Đặt Y = log( xy ), X = x, A = b, B = log(a) Từ ta có mơ hình tuyến tính Y = AX + B Lập bảng n Xi = x i yi Yi = log( xyii ) Xi2 Xi Yi P 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 11.5 11.18 14.78 117.89 23.52 28.56 195.93 1.7723 1.9513 3.9368 2.2416 2.3588 12.2608 3.61 4.41 5.29 6.25 7.29 26.85 3.3673 4.0978 9.0547 5.6039 6.3686 28.4924 Giải hệ phương trình ( AX + B = Y AX + BX = XY Từ ( a ⇔ ( 11.5A + 5B = 12.2608 26.85A + 11.5B = 28.4924 = eB = 2.15964 b = A = 0.7314 Vậy mơ hình cần tìm y = 2.15964xe0.7314x ⇔ ( A = 0.7314 B = 0.76994 Bài báo cáo Thống kê Dự báo 12 Mơ hình Toán học Tài liệu [1] I Podlubny, Fractional Differential Equations, Academie Press, New York, 1999 [2] Đinh Ngọc Quý (2018), Giáo trình Phương pháp tính, NXB Đại học Cần Thơ, 2018