Thông tin tài liệu
Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành LỜI NÓI ĐẦU Cuốn tài liệu “Giải đề cương Đại số” sưu tầm biên soạn lại với mục đích hỗ trợ bạn sinh viên trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có nguồn tài liệu học tập chất lượng, phục vụ cho việc ôn tập luyện thi dễ dàng học phần Đại số tuyến tính Cuốn tài liệu biên soạn lại đội ngũ Tài Liệu HUST với nguồn tài liệu: Đề cương Đại số tuyến tính – Viện toán ứng dụng tin học Các tài liệu chia sẻ group Hỗ trợ học tập đại cương – ĐHBKHN Các tài liệu chia sẻ group BCORN – Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa Để học tập hiệu có định hướng học tập rõ ràng bạn tham khảo khóa học Đại số khóa học khác website: Bcorn.org (Trực thuộc phòng CTSV) Trong q trình nhóm biên soạn tài liệu khơng thể tránh hết tất sai sót hay nhầm lẫn nên nhóm mong nhận phản hồi bạn để tài liệu hoàn thiện hơn, có ích với bạn sinh viên Mọi đóng góp bạn gửi cho nhóm qua địa email: tailieuhustgroup@gmail.com MỘT SỐ KÊNH THÔNG TIN CỦA TÀI LIỆU HUST - Website: https://tailieuhust.com/ - Facebook: https://www.facebook.com/tailieuhust - Discord: https://discord.com/invite/GKkhW3D9pq - Telegram: https://t.me/+72guyAp_ewQwYTY1 - Youtube: https://www.youtube.com/channel/UCy4RUTy_FzQ1UhiklR9PVdw Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHĨM NGÀNH CHƯƠNG I TẬP HỢP – LOGIC – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC CHƯƠNG II MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 16 CHƯƠNG III KHÔNG GIAN VECTOR 28 CHƯƠNG IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 38 CHƯƠNG V DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TỒN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLIDE, ĐƯỜNG MẶT BẬC HAI 51 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHĨM NGÀNH CHƯƠNG I TẬP HỢP – LOGIC – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC Bài 1: Lập bảng giá trị chân lý biểu thức mệnh đề sau a) [A (B C)] C b) [ A (B C)] B Lời giải a Ta có bảng giá trị chân lý A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 C 1 1 (B C) A (B C) [A (B C)] C 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 b Ta có bảng giá trị chân lý A B C A BC A(B C) [ A (B C)] B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 Bài (CK 20152) Cho p, q mệnh đề Hai mệnh đề ( p q ) q p q có tương đương logic khơng? Vì sao? Lời giải Ta có bảng giá trị chân lý p p q q 0 1 1 ( p q) q 1 1 1 pq 1 Từ bảng giá trị chân lý ta kết luận hai mệnh đề tương đương logic Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Bài Chứng minh rằng: a) A B (A B) (A B) tương đương logic b) (A B) C A (B C) không tương đương logic c) A B A B tương đương logic Lời giải a Ta có bảng giá trị chân lý A B A B (A B ) AB A B (A B) (A B) 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 Vậy hai mệnh đề tương đương logic b Giả sử A = B = C = Khi A B = 1; (A B) C = B C = 1; A (B C) = Vậy nên hai mệnh đề không tương đương logic c Ta có bảng giá trị chân lý A B A A B AB AB 0 1 0 1 1 0 1 1 0 Vậy hai mệnh đề tương đương logic Bài (GK 20171) Cho mệnh đề A, B C thỏa mãn ( A C ) ( B C ) ( A C ) ( B C ) mệnh đề Chứng minh A B mệnh đề Lời giải Ta có: ( A C ) ( B C ) ( A C ) ( B C ) mệnh đề (1) Giả sử A B mệnh đề sai khơng tính tổng qt ta có: A B C A C B C ( A C ) ( B C ) sai (2) C A C B C ( A C ) ( B C ) sai (3) Từ (1), (2) (3) ta thấy giả sử sai nên A B mệnh đề Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Bài Cho mệnh đề logic "Nếu 2020 số lẻ chia hết cho 3" Hỏi mệnh đề hay sai? Giải thích? Lời giải Do 2020 chẵn nên 2020 số lẻ mệnh đề sai (giá trị chân lý 0) 2020 chia hết cho mệnh đề sai (giá trị chân lý 0) Mà mệnh đề logic “Nếu 2020 số lẻ chia hết cho 3” mệnh đề kéo theo nên mệnh đề f xác định Hàm số f đơn ánh xác định mệnh đề: "Với x1 , x2 thuộc tập R , f x1 f x x1 x2 " Hãy dùng kí hiệu để diễn tả Bài Cho hàm số mệnh đề mệnh đề phủ định Từ đưa cách chứng minh hàm số đơn ánh Lời giải Mệnh đề ban đầu: " x1 , x2 , f x1 f x2 x1 x2 " Mệnh đề phủ định: " x1 , x2 , f x1 f x2 x1 x2 " Như để chứng minh hàm số không đơn ánh ta cần x1, x2 mà x1 x2 f x1 f x2 Bài Giả sử f (x ), g(x) hàm số xác định Kí hiệu tập hợp sau: A {x ∣ f (x ) 0} , B {x ∣ g (x ) 0} Biểu diễn tập nghię̂m phương trình sau qua hai tập hợp A, B : a) f ( x ) g ( x ) b) [ f (x)]2 [g(x)]2 Lời giải f ( x) g ( x) a f ( x).g ( x ) Tập nghiệm C A B b [ f (x)]2 [g(x)]2 f (x) g(x) Tập nghiệm D A B Bài (GK20141) Cho tập hợp A [3; 6), B (1; 5), C [2; 4] Xác định tập hợp ( A B ) \ C Lời giải A [3; 6); B (1; 5); C [2; 4] A B [3; 5) ( A B ) \ C (4; 5) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Bài Cho A, B, C , D tập hợp bất kì, chứng minh: a) A ( B \ C ) ( A B ) \ ( A C ) b) A ( B \ A) A B c) ( A \ B ) (C \ D ) ( A C ) \ ( B D ) (GK20151) Lời giải a A(B \ C) A(B C) A BC ( A B) \ ( A C ) A B A C A B ( A C ) ( A B A) ( A B C ) A B C (do A A ) Vậy A ( B \ C ) ( A B ) \ ( A C ) A(B \ A) A(B A) ( AB) ( A A) A B b Vậy A ( B \ A) A B c ( A\ B) (C \ D) A B C D ( A C) \ (B D) A C B D AC (B D) A B C D Vậy ( A \ B ) (C \ D ) ( A C ) \ ( B D ) Bài 10 Cho hai ánh xạ g: f : \{0} x x ; x 2x x2 a Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, Tìm g ( ) b Xác định ánh xạ h = g f Lời giải a) + f x1 f x2 1 x1 x2 x1 , x2 \{0} x1 x2 f đơn ánh Do x \{0} để g x1 g x2 f ( x) f khơng tồn ánh x x1 x2 x1 x22 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 1 2 Mà g g (2) nên g ( x ) không đơn ánh g(3) 2x 3x2 3x2 2x (vơ nghiệm) nên g ( x ) khơng tồn ánh + Tìm g ( R ) Ta có: 2x | 2x | | 2x | (Cauchy) x 1 x 1 | x | Và a [ 1;1] : phương trình x a x có nghiệm thực a nên g ( R ) [ 1;1] x 2x b g f g ( f ( x )) 1 x 1 x 2 Bài 11 Chứng minh tính chất ảnh nghịch ảnh ánh xạ f : X Y a) f ( A B ) f ( A ) f ( B ); A, B X b) f (A B) f (A) f (B); A, B X Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không c) f 1( A B) f 1(A) f 1(B); A, B Y d) f 1(AB) f 1(A) f 1(B);A,B Y e) f 1(A \ B) f 1(A) \ f 1(B); A, B Y Lời giải a) y f ( A B ), f ( x ) y x A B x A x B y f ( A) y f ( B ) y f ( A) f ( B ) f ( A B ) f ( A ) f ( B ) (1) f ( A ) f ( A B ), f ( B ) f ( A B ) f ( A ) f ( B ) f ( A B ) (2) Từ (1) (2) f ( A ) f ( B ) f ( A B ) A, B X b) + Ta có A B A f ( A B ) f ( A ) Tương tự f ( A B ) f ( B ) Do f ( A B ) f ( A ) f ( B ) + Ví dụ điều ngược lại khơng Xét f (x) x2, A {2}, B {2} Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Khi f ( A B ) ; f ( A ) f ( B ) {4} f ( x) A x f 1 ( A) c) x f ( A B) f ( x) A B 1 f ( x) B x f ( B) 1 x f 1( A) f 1(B), A, B Y f ( x) A x f 1 ( A) 1 x f ( A B ) f ( x ) A B x f 1( A) f 1(B) d) 1 f ( x) B x f ( B) f ( x) A x f 1 ( A) 1 x f ( A \ B ) f ( x ) A \ B x f 1(A)\ f 1(B) e) 1 f ( x) B x f (B) Bài 12 Cho ánh xạ f : xác định 1 f (x) x2 4x 5, x , A {x ∣ x 3} f (A) Xác định tập hợp f (A ) Lời giải f (x) x2 4x f (x) 2x 4, f (x) x 2 - f (x) x2 4x x 2 - f (x) 3 x2 4x x 2 Nhìn vào bảng biến thiên f 1( A) [2 3; 2 6] [2 6; 2 3] Bài 13 (CK 20161) Cho ánh xạ f : 2 2 xác định bới f ( x , y ) ( x y , x y ) tập A ( x, y ) ∣ x y Xác định tập hợp f ( A ) f 1(A) Lời giải Ta xét ( x ; y ) A f ( x ; y ) ( x y ; x y ) Va ( x y ) ( x y ) x y 18 2 uv u v 9 Mặt khác, u v 18 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành f ( A) ( x; y ) || x y 18 Xét f (u ; v ) (u v ; u v ) A (u v)2 (u v)2 u2 v2 4,5 Và u2 v2 4,5 Do nên f 1 f (u ; v ) A ( A) ( x; y ) ∣ x y 4, Bài 14 (GK 20171) Cho ánh xạ f : 2 2 , xác định f ( x; y ) x y; x y Ánh xạ f có đơn ánh, tồn ánh khơng? Vì sao? Lời giải 2 x y x y x1 y1 x2 y2 12 22 Xét f x1; y1 f x2 ; y2 x1 x1 x2 x2 x1 y1 x2 y2 Ta thấy f (0; 1) f ( 1; 0) (1; 1) f không đơn ánh Bài 15 Cho tập 4 {0;1;2;3} trang bị luật hợp thành sau: với a, b4 ta có a * b ( a b ) mod a) Chứng minh * phép tốn đóng 4 b) Hỏi 4* có phải nhóm khơng? Lời giải a) Ta có a, bZ4 (a b)mod4{1;2;3;0} Z4 * phép tốn đóng Z4 b) ,* nhóm vì: + Tính kết hợp: ( a * b ) c [( a b ) mod c ] mod ( a b c ) mod a * ( b * c ) + Tính: có phần tử trung hịa + a Z4 0: a*0 0*a a a Z4 có phần tử đối xứng: 1*3 2* Bài 16 Cho G f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 tập ánh xạ từ \ {0;1} \ {0;1} xác định sau: f1 ( x ) x ; f ( x ) a Tính 1 x ; f ( x ) ; f ( x ) ; f ( x ) x; f ( x ) 1 x x x x 1 f1 f2 b Lập bảng để biểu diễn giá trị f1 f2 với i, j 1 c) Chứng minh G với phép tốn phép tích ánh xạ lập thành nhóm khơng Abel Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 10 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 1 Ta có | A I | 1 3 ( 1) Trị riêng 0, 1 0, vA (0) span{(1;0;1)} 3 1 1, vA (1) span ; ;1 2 Bài 17 Cho f : V V tốn tử tuyến tính Giả sử f f f : V V có giá trị riêng Chứng minh giá trị giá trị riêng f Lời giải Đưa bải toán về: Ma trận Cần chứng minh A biết A2 có trị riêng A có trị riêng hoắc Ta có: det A2 I | A I | | A I | | A I | A có trị riêng hoắc (đpcm) | A I | 3 3 Bài 18 (CK 20161) Cho ánh xạ tuyến tính f : P2[x] P2[x] có ma trận A 10 sở tắc 1, x, x a) Tính f x x Tìm b) Tìm sở m P2[x] để v x mx thuộc Ker f P2[x] để ma trận f sở có dạng chéo Lời giải 1 3 1 3 1 f 1 x x x x a) f 1 x x A 1 E 1 10 1 2 1 2m v x mx Ker f f 1 x mx A 1 3m m 2 6m 12 m 2 1/ 1/ 1/ 0 0 3 / b) Chéo hóa A: D A D với D 1/ 0 1 1 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 49 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Cơ sở cần tìm ; 1 ;1 ; ; 0;1 ; ; 3 ;1 4 2 A ma trận kích thước m n , B ma trận kích thước n p Chứng minh rank( AB ) min{rank( A ), rank( B )}, vor i rank( A ) hạng ma trận A Bài 19 Cho Lời giải A, B ma trận f, $ cặp sở tương ứng Im( f g ) Im f r ( AB ) dim Im( f • g ) dim Im f r ( A ) Ker g Ker( f g ) dim Im( f g ) dim Im g (do dimU dimIm g dim Ker g dim Im( f g ) dimKer( f g )) r ( AB) r ( B) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 50 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành CHƯƠNG V DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TỒN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLIDE, ĐƯỜNG MẶT BẬC HAI Bài Cho f dạng song tuyến tính khơng gian véc tơ chiều V có ma trận sở 1 B u1, u2 , u3 A 2 2 Cho h : V V ánh xạ tuyến tính có ma trận sở 1 1 B B 3 4 2 3 a) Xác định f u1; u3 ; f u1 u2 u3 ,2u1 3u2 u3 b) Chứng minh ánh xạ g (u , v ) f (u , h ( v )) dạng song tuyến tính V Tìm ma trận sở B, Lời giải a) f u1 , u3 f u1 u2 u3 , 2u1 3u2 u3 f u1, u1 f u1, u2 f u1, u3 f u2 , u1 f u2 , u3 f u2 , u3 f u3 , u1 f u3 , u2 f u3 , u3 14 b)Kiểm chứng g u1 u2 , av1 bv2 ag u1 , v1 g u1 , v2 ag u2 , v1 bg u2 , v2 g (u, v) f (u, h(v)) h[u]T A [h(v)] [u]T A B | v | g AB Ma trận g sở AB Bài Cho dạng song tuyến tính P2[x] xác định f ( p ( x ), q ( x )) p (1) q (2) Tìm ma trận biểu thức f sở tắc Lời giải f (1,1) 1; f (1, x ) 2; f 1, x f ( x ,1) 1; f ( x , x ) 2; f x, x f x ,1 1; f x , x 2; f x , x 1 4 Ma trận f sở tắc 1 4 1 4 f a1 x b1 x c1 , a2 x b2 x c2 4a1a2 2a1b2 a1c2 4b1a2 2b1b2 b1c2 4c1a2 2c1b2 c1c2 Bài Trên 3 cho dạng tồn phương có biểu thức tọa độ: Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 51 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 1 x1, x2 , x3 x12 5x22 4x32 2x1x2 x1x3 2 x1 , x2 , x3 x1x2 4x1x3 x2 x3 a) Bằng phương pháp Lagrange, đưa dạng tồn phương dạng tắc b) Xét xem dạng tồn phương xác định dương, xác định âm khơng? Lời giải + w1 x12 5x22 4x32 2x1x2 4x1x3 2 x12 2x1 x2 2x3 x2 2x3 5x22 4x32 x2 2x3 2 2 x1 x2 x3 x22 832 x2 x3 x1 x2 x3 x2 x3 x3 y1 y2 y3 2 y1 x1 x2 2x3, y2 2x2 x3, y3 3x3 w1 không xác định dương, không xác định âm + w2 x1x2 4x1x3 x2 x3 Đặt x1 y1 y2 , x2 y1 y2 , x3 y3 w2 y12 y22 y1 y2 y3 y1 y2 y3 y12 y1 y3 y3 y22 y2 y3 y2 y3 y12 y1 y3 y22 y2 y3 2 y1 y3 y2 y3 y32 u12 u22 u32 u1 y1 y3 ; u2 y2 y3 ; u3 y3 w2 khơng có dấu xác định Bài Xác định a đề dạng toàn phương xác định dương: a) 5x12 x22 ax32 4x1x2 2x1x3 2x2x3 b) 2x12 x22 3x32 2ax1x2 2x1x3 c) c) x12 x22 5x32 2ax1x2 2x1x3 4x2 x3 Lời giải 1 1 a) Ma trận f sở tắc A 1 1 a 1 5, 2 1, | A | a w xác định dương a Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 52 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 2 a b) Ma trận f sở chỉnh tắc B a 1 1 2; a ; a 3a 2 a2 15 15 a2 a w xác định dương 3 5 3a a 1 c) Ma trận f sở tắc C a 1 1 1; 2 1 a2 ; 3 5a2 4a 1 a 1 a a w xác định dương 5a 4a a Bài Cho dạng song tuyến tính 3 xác định bởi: x1, x2 , x3 , y1, y2 , y3 2x1 y1 x1 y2 x2 y1 ax2 y2 2x2 y3 2x3 y2 3x3 y3 (a tham số) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở tắc 3 tìm điều kiện a để dạng song tuyến tính tích vô hướng 3 Lời giải 2 Ma trận dạng song tuyến tính cho sở tắc A 1 a 2 0 2 Dạng song tuyến tính tích vơ hướng xác định dương 1 2; 2 2a 1; 3 6a 11 2a 11 a 6a 11 Bài Trong 3 trang bị dạng song tuyến tính sau: f ( x , y ) x1 , x2 , x3 A y1 , y , y3 t 4 với: A 1 a 1 x x1 , x2 , x3 , y y1 , y2 , y3 Xác 2a định a để f (x, y) tích vơ hướng 3 Lời giải Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 53 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành f ( x; y ) tích vơ hướng Mà 3 f xác định dương (1) 1 4; 2 8; 3 18a2 16a 11 a2 Nên (1) a 18a 16 a 11 Vậy không tồn a thỏa mãn Bài Giả sử V KGVT n chiều với sở B e1 ,e2 ,,en Với u,v véc tơ V ta có u ae 1 a2e2 anen ; v be 1 b2e2 bnen Đặt tu, v ab 1 a2b2 anbn a) Chứng minh u, v tích vô hướng V b) Áp dụng cho trường hợp V , với e1 (1;0;1),e2 (1;1; 1),e3 (0;1;1),u (2; 1; 2),v (2;0;5) Tính u,v c) Áp dụng cho trường hợp V P2[x] , với B 1; x; x , u 3x , v 3x 3x Tính d) Áp dụng cho trường hợp V P2[x] , với B 1 x; 2x; x x , u 3x , v 3x 3x Tính u , v u , v Lời giải a) Kiểm chứng: u , v v , u u1 u2 , v u1, v u2 , v - - u , u 0u u , u u b) B0 {(1;0;1);(1;1; 1);(0;1;1)} sở 3 [u ]R0 B01 [u ]E B01 ma trận chuyển sở từ E sang B0 1 0 1 1 3 a1; a2 ; a3 (1; 3;1) 1 1 1 2 Tương tự b1 ; b2 ; b3 (2;5;7) u, v 6 2 6 c) [u ]B 0 ;[v]B 3 u, v 0.(3) (3) 3 3 1 0 6 d) [u ]n 1 0 ,[v]n 3 u, v 2.6 (3) (3) 0 1 3 3 3 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 54 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Bài Xét khơng gian P3[x] Kiểm tra dạng p,q sau có phải tích vơ hướng hay khơng? a) p, q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2) b) p, q p(0) q (0) p(1)q(1) p(2)q(2) p(3)q(3) c) p, q p( x)q( x)dx 1 3 p,q với p 3x 5x x q x 3x 2x Trong trường hợp tích vơ hướng tính Lời giải a) p, p p2 (0) p2 (1) p2 (2) p , p p (0) p (1) p (2) Chọn p x(x 1)(x 2) P3[x] p p , p p , q không tích vơ hướng b) Có tích vơ hướng p , q q , p p1 p2 , q p1 , q p2 , q p , p 0; p=0) c) Có tích vơ hướng ( Với 1 p2 ( x)dx p(x) ) p 3x 5x2 x3; q x 3x2 2x3 p , q 12 80 374 474 p, q 3x x 1 x3 x x x dx 1466 105 Bài Cho V không gian Euclide Chứng minh: a) ‖ u v ‖2 ‖ u v ‖2 ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 b) u v ‖ u v ‖ ‖ u ‖ ‖ v ‖ , u, v V 2 Lời giải a) ‖ u v ‖2 u v, u v u, u v, v 2u, v ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 2u, v ‖ u v ‖2 u v, u v u, u v, v 2u, v ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 2u, v ‖ u v ‖2 ‖ u v ‖2 2( ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 b) ‖ u v ‖‖ u ‖2 ‖ v ‖2 2u, v Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 55 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành u v u, v ‖ u v ‖‖ u ‖2 ‖ v ‖2: đpcm Bài 10 Cho sở B {(1;1; 2), (2; 0;1), (1; 2; 3)} khơng gian 3 với tích vơ hướng tắc Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt sở u (5; 8; 6) sở B B để thu sở trực chuẩn B tìm tọa độ véc tơ Lời giải v1 (1;1; 2); v2 (2; 0;1); v3 (1; 2;3) u1 v1 1 2 ; ; v1 6 u2 v2 v2 , u1 u1 (2;0;1) 0u1 (2; 0;1) u2 u3 v3 v3 , u1 u1 v3 , u2 u2 (1; 2;3) u2 ;0; u2 5 3 1 2 ; ; ;0; 6 6 5 u 1 1 ; ;3 u3 ; ; u3 62 62 62 2 B ' {u1 , u2 , u3} [u ]z u , u1 u , u2 u, u3 T 1/ 71 16 / 62 71/ 62 T 16 Bài 11 Cho 4 với tích vơ hướng tắc Cho u1 (6;3; 3;6),u2 (5;1; 3;1) Tìm sở trực chuẩn không gian sinh u1 , u Lời giải u1 (6;3; 3; 6); u2 (5;1; 3;1) v1 u1 1 ; ; ; u1 10 10 10 10 v2 v2 u2 , v1 v1 (5,1, 3,1) 16 1 , , , , 10 10 10 10 10 v2 3 7 11 3 7 11 , , , , , , v2 v2 65 65 65 65 5 5 1 3 7 11 B , , , , , , ; 10 10 10 10 65 65 65 65 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 56 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành span B span u1 , u2 Bài 12 Trong P2[x] định nghĩa tích vơ hướng p,q p(x)q(x)dx 1 a) Trực chuẩn hoá Gram-Schmidt sở B 1; x; x b) Tìm [r]A với p,q P2[x] để nhận sở trực chuẩn A biết r x x Lời giải a) Đặt v1 1, v2 x, v3 x - u1 v1 v1 - u2 v2 v2 , u1 u1 x u x u2 u2 - u3 v3 v3 , u1 u1 v3 , u2 u2 x b) [r ]A r , u1 r , u2 r , u3 T x u 1 u3 x u3 3 2 A u , u , u 10 / Bài 13 Tìm hình chiếu trực giao véc tơ u lên không gian sinh véc tơ v: a) u (1; 3; 2; 4), v (2; 2; 4; 5) b) u (4;1; 2; 3; 3), v ( 1; 2; 5;1; 4) Lời giải a) w1 u, v v 16 16 32 40 (2, 2, 4,5) , , , v, v 49 49 49 49 49 b) w2 u, v v 5 10 25 5 20 (1, 2, 5,1, 4) , , , , v, v 47 47 47 47 47 47 Bài 14 Cho không gian 3 với tích vơ hướng tắc véc tơ u (3; 2;1), v1 (2;2;1), v2 (2;5; 4) Đặt W span v1 , v2 Xác định hình chiếu trực giao véc tơ u lên không gian W Lời giải + Trực chuẩn hóa v1 , v2 u1 v1 2 , , v1 3 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 57 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 2 1 2 u2 v2 v2 , u1 u1 (2,5, 4) , , (2,1, 2) u2 , , 3 3 3 3 + Gọi w hình chiếu u lên W span v1 , v2 2 1 2 w u , u1 u1 u , u2 u2 , , (2) , , (2,0, 1) 3 3 3 3 Bài 15 (CK20161) Trong khơng gian 3 với tích vơ hướng tắc, cho véc tơ u (1; 2; 1) , v (3; 6; 3) đặt H w ∣ w u a) Tìm sở trực chuẩn khơng gian b) Tìm hình chiếu trực giao H v lên không gian H Lời giải a) w H w1 w2 w3 0( w, u 0) w a(1, 0,1) b(2,1, 0) H span{(1,0,1);(2,1, 0)} (1, 0,1) 1 , 0, 2 $ v2 (2,1, 0) 2(1) , 0, (2,1, 0) (1, 0,1) (1,1,1) 2 v1 1 1 v2 , , B v1 , v2 sở trực chuẩn H 3 3 b) u hình chiếu trực giao v lên H (v (3,6,3)) 1 1 u v, v1 v1 v, v2 v2 , 0, , , (1, 2,5) 3 2 3 3 Bài 16 Trong 5 với tích vơ hướng tắc cho véc tơ v1 (1;1;0;0;0),v2 (0;1; 1;2;1),v3 (2;3; 1;2;1) Gọi V x ∣x vi ,i 1; 2;3 a) Chứng minh V không gian véc tơ 5 b) Tìm dimV Lời giải x1 x2 Ta có: x V x, vi 0, i 1,3 x2 x3 x4 x5 2 x 3x x x x x x2 , x2 , x3 , x4 , x2 x3 x4 x2 ( 1,1, 0, 0, 1) x3 (0, 0,1, 0,1) x4 (0, 0, 0,1, 2) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 58 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành dim V v1 , v2 V v1 , vi v2 , vi v1 v2 , vi v1 v2 V Gọi V KGVT : kv1 V , k Bài 17 Cho V không gian Euclide n chiều, V1 không gian m chiều V Gọi V2 x V∣x v, v V1 a) Chứng minh V2 không gian véc tơ V b) Chứng minh V1 c) Tìm V2 bù dimV2 Lời giải a) Chứng minh: a, b V2 a, V b, V 0v V1 a b, v a b V2 a V2 , k ka,V k a, V 0v V1 ka V2 V2 KGVT V b) Xét B1 x1 , x2 , , xm sở trực chuẩn V1 Bổ sung n m vector để co sở trực chuẩn V x1 , x2 , , xm , xm 1 , , xn Đặt W span xm 1 , , xn n x - w W w i m n i i w, xi 0i 1, m w V2 W V2 n v V2 v i xi Mà v, xi 0i 1, m i 0i 1, m i 1 v n x v W V i m 1 i i W Do W V2 , nên V1 , V2 bủ Khi dễ thấy dimV2 n m Bài 18 Chéo hoá trực giao ma trận sau 1 0 a) A 0 1 0 1 7 24 b) B 24 1 0 c) C 1 0 0 1 2 d) D 2 Lời giải Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 59 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 1 0 a) A 1 | A I | ( 1)( 2) 1 - v A (0) span{(0; 1;1)} vector riêng: 0, 1 , 2 - v A (1) span{(1;0; 0)} vector riêng: (1;0;0) - v A (2) span{(0,1,1)} vector riêng: 0, Ta có vector riêng trực chuẩn 0, 1 , 2 1 1 , , ; (1;0;0); 0, úng với trị riêng 0,1,2 2 2 0 0 PT AP 0 vói P 1/ / 1/ 1/ 2 0 2 7 24 [ B I ] ( 25)( 25) 24 b) B 3 4 5 5 - 25 ta có vector riêng trực chuẩn: , 4 , 5 - 25 ta có vector riêng trực chuẩn 25 / 1/ 5 PT BP với P 25 4 / / 1 / 0 0 c) PT CP vởi P 1 / 0 1 / 1/ 3 0 1 / / 2 / 3 d) P DP với P 2 / / / 0 / / 1/ T Bài 19 Đưa dạng toàn phương dạng tắc phương pháp trực giao a) x12 x22 x32 2x1x2 b) 7x12 6x22 5x32 4x1x2 4x2 x3 Lời giải Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 60 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành a) Đặt f ( x) x12 x22 x32 x1 x2 1 Ma trận f sở tắc A 1 0 Ta có | A I | ( 1)( 2) 1 v A (0) span{(1,1, 0)} , trực chuẩn hóa , ,0 2 v A (1) span{0, 0,1} , trực chuẩn hóa (0,0,1) 1 v A (2) span{1,1, 0} , trụuc chuẩn hóa , ,0 2 1 / 0 0 Do P r AP vói P / 0 Hay f ( x) y22 y32 [ x]B y1 y2 1/ 2 1/ 2 1 T 1 y3 , B , , ;(0, 0,1); , , 2 2 b) Tương tự câu a 1 2 2 2 T f ( x) y12 y22 y32 [ x]B y1 , y2 , y3 , B , , ; , , ; , , 3 3 3 Bài 20 Nhận dạng đường cong phẳng sau: a) 2x2 4xy y2 b) x2 2xy y2 8x y c) 11x2 24xy 4y2 15 d) 2x2 4xy 5y2 24 Lời giải 2 2 1 a) Dạng toàn phương w x xy y có ma trận A 1/ 2 ,P 3 / Chéo hóa trực giao A được: PT AP x y 1/ Đặt / 2 / / 2 / x 1/ y Phương trình đường cong là: 2 x2 y 2 hyperbol Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 61 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành 1 1 1 1 b) Dạng toàn phương w x xy y có ma trận A 1/ 2 0 ,P 0 1/ Chéo hóa trực giao A được: PT AP x y 1/ Đặt 1/ 1/ 1/ 1/ x 2 Phương trình đường cong là: x x y parabol 2 1/ y 11 12 có tụ riêng 20, 5 12 c) A đưa đạng toàn phương 11x 24 xy y 20 x2 y 2 Phương trình đường cong là: 20 x2 y 2 15 hyperbol d) (31 8) x2 (3 8) y 2 24 elipse Bài 21 Nhận dạng mặt bậc sau: a) x12 x22 x32 2x1x2 b) 5x2 y2 z2 6xy 2xz 2xy 1 c) 2x12 2x22 3x32 2x1x2 2x2 x3 16 Lời giải 1 a) Ma trận dạng toàn phương sở tắc A 1 0 1/ 0 0 Chéo hóa trực giao A được: PT AP , P 1/ 0 1/ 1/ x12 x22 x32 x1 x2 x22 x32 Phương trình mặt cong: x22 x32 ellipsoid 3 b) Ma trận dạng toàn phương w x y z xy xz yz A 3 1 1 2 Có trị riêng 1 , 2 , 3 nghiệm 7 Chéo hóa trực giao A đưa dạng tồn phương dạng w 1 x 2 2 y 2 3 z 2 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 62 Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành Phương trình mặt cong 1 x2 2 y 2 3 z 2 Hyperboloid tầng 1 , 2 0, 3 1 c) A 1 1 có trị riêng 1 , 2 , 3 nghiệm 7 14 1 Phương trình mặt cong 1 x2 2 y 2 3 z 2 16 ellipsoid Bài 22 Cho Q x1 , x , x3 9x1 7x2 11x3 8x1x2 8x1x3 Tìm Max Q x1, x2 , x3 , x12 x22 x32 16 Min x12 Mx22 x32 16 2 x1, x2 ,x3 Với giá trị Q x1, x2 , x3 đạt max, Lời giải 4 A 4 ma trận Q sở tắc 11 2/3 3 0 / 1/ Chéo hóa trực giao A : P AP , P / 2 / 1 / 3 0 15 1/ 2 / / r y1 x1 1 Q y y 15 y vs y2 P x2 y3 x3 2 2 Mà P trực giao x, x Py , Py ( Py )T Py y T PT P y y T y y , y x y i i 16 3.16 Q 15.16 4 0 Q 3.16 x P 0 , max Q 15.16 x P 0 Bài 23 Cho A, B ma trận vuông đối xứng cấp n có tất giá trị riêng dương Chứng minh A B có tất giá trị riêng dương Lời giải Xét f; g dạng toàn phương ứng với ma trận A, B (đối với sở tắc) Do A, B vng, đối xứng cấp n có tất trị riêng dương Dạng toàn phương f , g tương ứng xác định dương f g xác định đương Mà A B ma trận f g sở tắc A B có tất trị riêng dương (đpcm) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 63 ... Đại số tuyến tính Cuốn tài liệu biên soạn lại đội ngũ Tài Liệu HUST với nguồn tài liệu: Đề cương Đại số tuyến tính – Viện toán ứng dụng tin học Các tài liệu chia sẻ group Hỗ trợ học tập đại. .. Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHĨM NGÀNH CHƯƠNG I TẬP HỢP – LOGIC – ÁNH XẠ - SỐ... Tailieuhust.com Giải đề cương Đại số MI1141 - nhóm ngành GIẢI ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHĨM NGÀNH CHƯƠNG I TẬP HỢP – LOGIC – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC Bài 1: Lập bảng giá trị chân lý biểu thức mệnh đề sau a) [A
Ngày đăng: 03/02/2023, 21:44
Xem thêm:
