1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 90 phút Bài I (2 điểm) Cho hai biểu thức 3 x A x và 2 3 9 93 x x B xx[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I (2 điểm): Cho hai biểu thức A x 3x x B với x 0, x x 3 x 3 x9 1) Tính giá trị biểu thức A x 16 2) Chứng minh A B x 3 Bài II (2,5 điểm): 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 đồ bảo hộ y tế số ngày quy định Thực tế, ngày tổ làm nhiều 100 đồ bảo hộ y tế so với đồ bảo hộ y tế phải làm ngày theo kế hoạch Vì ngày trước hết thời hạn, tổ sản xuất làm xong 4800 đồ bảo hộ y tế Hỏi theo kế hoạch, ngày tổ sản xuất phải làm đồ bảo hộ y tế? (Giả định số đồ bảo hộ y tế mà tổ làm xong ngày nhau) 2) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m bán kính đáy 0,5m Người ta sơn tồn phía ngồi mặt xung quanh mặt xung quanh thùng nước (trừ hai mặt đáy) Tính diện tích bề mặt sơn thùng nước (lấy 3,14 ) Bài III (2,0 điểm) x y 1 1) Giải hệ phương trình y 11 x 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol P : y x đường thẳng d : y x m Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho x1 x2 Bài IV (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm C , bán kính CA Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn C; CA ( M tiếp điểm, M A nằm khác phía đường thẳng BC ) 1) Chứng minh bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn 2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N khác A , N khác B ) Lấy điểm P thuộc tia đối MB cho MP AN Chứng minh tam giác CPN tam giác cân đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng NP Bài V (0,5 điểm) Với số thực a b thỏa mãn a b2 , tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b ab -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Bài I Cho hai biểu thức A x 3x x B với x 0, x x 3 x 3 x9 1) Tính giá trị biểu thức A x 16 2) Chứng minh A B x 3 Phương pháp: 1) Thay giá trị x 16 tmdk vào biểu thức A tính giá trị biểu thức 2) Quy đồng, biến đổi rút gọn biểu thức A B Từ chứng minh giá trị A B x 3 Cách giải: 1) Điều kiện: x 0, x Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta có: A Vậy x 16 A x 16 4 x 3 16 2) Điều kiện: x 0, x x x 3x x 3 x 3 x9 A B x 3 x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x 3 3x x x x 3 x 3 x x x x 3x x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 dpcm x 3 Vậy A B x 3 (với x 0, x ) Bài II 1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 đồ bảo hộ y tế số ngày quy định Thực tế, ngày tổ làm nhiều 100 đồ bảo hộ y tế so với đồ bảo hộ y tế phải làm ngày theo kế hoạch Vì ngày trước hết thời hạn, tổ sản xuất làm xong 4800 đồ bảo hộ y tế Hỏi theo kế hoạch, ngày tổ sản xuất phải làm đồ bảo hộ y tế? (Giả định số đồ bảo hộ y tế mà tổ làm xong ngày nhau) 2) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m bán kính đáy 0,5m Người ta sơn tồn phía ngồi mặt xung quanh mặt xung quanh thùng nước (trừ hai mặt đáy) Tính diện tích bề mặt sơn thùng nước (lấy 3,14 ) Phương pháp: 1) Gọi số đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch x (bộ), x * Biểu diễn đại lượng chưa biết theo đại lượng biết ẩn x vừa gọi Dựa vào giả thiết cho để lập phương trình Giải phương trình tìm ẩn x đối chiếu với điều kiện xác định Kết luận 2) Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h bán kính r : S xq 2 rh Cách giải: 1) Gọi số đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch x (bộ), x Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong 4800 đồ là: * 4800 (ngày) x Thực tế ngày, tổ làm số đồ bảo hộ y tế là: x 100 (bộ) Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong 4800 đồ là: 4800 (ngày) x 100 Theo đề bài, tổ sản xuất làm xong 4800 đồ trước ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình: 4800 4800 8 x x 100 4800 x 100 4800 x x x 100 600 x 100 600 x x x 100 600 x 60000 600 x x 100 x x 100 x 60000 Phương trình có: ' 502 60000 62500 Phương trình có hai nghiệm phân x1 50 62500 200 tm biệt: x2 50 62500 300 ktm Vậy theo kế hoạch, ngày tổ sản xuất phải làm 200 đồ bảo hộ y tế 2) Thùng nước hình trụ có chiều cao h 1,6m bán kính đáy R 0,5m Diện tích bề mặt sơn thùng nước là: 2 Rh 2.3,14.0,5.1, 5, 024 m Vậy diện tích bề mặt sơn thùng nước 5,024m2 Bài III x y 1 1) Giải hệ phương trình y 11 x 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol P : y x đường thẳng d : y x m Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 cho x1 x2 Phương pháp: 1) Đặt t , hệ phương trình trở thành x 1 3t y 1 , sau sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm 5t y 11 t y sau tìm nghiệm x; y phương trình ban đầu 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d P , tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt, sử dụng ứng dụng định lí Vi – ét điều kiện giả thiết đề để tìm giá trị m Cách giải: 1) ĐKXĐ: x 1 Đặt t , hệ phương trình trở thành x 1 3t y 1 5t y 11 3t y 1 9t y 3 19t 19 t t t Ta có 5t y 11 10t y 22 3t y 1 3 y 1 2 y y Với t x 1 x x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 0; 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d P : x x m x x m * d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 Phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt x1 , x2 ' m m 1 m x1 x2 Khi theo định lí Vi-ét ta có: x1.x2 m Theo giả thiết: x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 m m m m tm Vậy m Bài IV Cho tam giác ABC vng A Vẽ đường trịn tâm C , bán kính CA Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn C; CA ( M tiếp điểm, M A nằm khác phía đường thẳng BC ) 1) Chứng minh bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn 2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N khác A , N khác B ) Lấy điểm P thuộc tia đối MB cho MP AN Chứng minh tam giác CPN tam giác cân đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng NP Phương pháp: 1) Chứng minh tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn suy bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn 2) Chứng minh CN CP (2 cạnh tương ứng nhau) CNP cân C (đpcm) Chứng minh CE đường cao, đồng thời đường trung tuyến CNP E trung điểm PN Cách giải: 1) Ta có: tam giác ABC vuông A nên BAC 900 MB tiếp tuyến đường tròn C; CA nên CMB 900 (định nghĩa tiếp tuyến đường trịn) Xét tứ giác ACMB ta có: CAB CMB 900 900 1800 ACMB tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 ) Hay bốn điểm A, C , M B thuộc đường trònbốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn (đpcm) 2) Xét tam giác CAN tam giác CMP có: AN MP gt CAN CMP 900 AC CM ( A, M thuộc đường tròn C; CA ) CAN CMP c g c CN CP (2 cạnh tương ứng nhau) CNP cân C (đpcm) Gọi E giao điểm AM PN Vì CAN CMP cmt nên: ACN MCP (2 góc tương ứng nhau) ACM ACN NCM PCM MCN NCP ACM CNP hai tam giác cân đỉnh C có ACM PCN CNP CAM (các góc đáy tam giác cân có góc đỉnh nhau) Hay CAE CNE CANE tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh đối diện góc nhau) CEN 900 CE PN Mà CNP cân C (cmt) CE đường cao, đồng thời đường trung tuyến CNP E trung điểm PN Vậy đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng NP (đpcm) Bài V Với số thực a b thỏa mãn a b2 , tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b ab Phương pháp: Kết hợp với giả thiết a b2 biến đổi biểu thức P a b ab trở thành P 11 a b 3 2 Sau áp dụng Áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị nhỏ biểu thức ban đầu Cách giải: Ta có a b a b 2ab 2ab 2 a b ab 2 Khi ta có: P a b ab a b a b 1 2 a b 1 1 11 a b a b 9 2 11 P a b 3 2 P Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a b a b2 2.2 2 a b 1 a b 11 5 a b 3 2 Pmin 5 a b a b 1 Dấu “=” xảy a b a b 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 5 , đạt a b 1