Hcmute bài toán cauchy và hàm chậm trong thang không gian banach với điều kiện độ đo phi compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ÐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ÐIỂM BÀI TỐN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO PHI - COMPACT MÃ SỐ: T2015 - 116 SKC005624 Tp Hồ Chí Minh, tháng 11/2015 Luan van TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG BÀI TOÁN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM TRONG THANG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO PHI-COMPACT Mã số: T2015-116 Chủ nhiệm đề tài: Ths Phạm Văn Hiển TP.HCM, tháng 11 năm 2015 Luan van Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đơn vị phối hợp Thành viên: Ths Phạm Văn Hiển Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.Hồ Chí Minh i Luan van Thơng tin kết nghiên cứu Thơng tin chung: • Tên đề tài: BÀI TỐN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO PHI-COMPACT • Mã số: T2015-116 • Chủ nhiệm: Ths Phạm Văn Hiển • Cơ quan chủ trì: Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành phố Hồ Chí Minh • Thời gian thực hiện: 12 tháng Mục tiêu: Mục tiêu đề tài khoa học xem xét tồn nghiệm toán: ( u0 (t) = f (t, u(t), u(h(t))) u(0) = u0 Trong tốn tử f hoạt động thang không gian Banach Xs Tức với t ∈ [0, T ], u, v ∈ Xs0 , s < s0 f (t, u, v) ∈ Xs Đề tài sử dụng điều kiện: h i C αs (f (t, Ω1 , Ω2 )) ≤ s0 − s αs0 (Ω1 ) + (αs0 (Ω2 ))p Trong ≤ h(t) ≤ t1/p , < p < αs (B) ký hiệu độ đo Kuratowski Xs Tính sáng tạo: Tìm định lý tốt định lý có toán với điều kiện nêu Kết nghiên cứu: Mở rộng định lý nêu tài liệu Akhmerov ii Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Sản phẩm Bài báo khoa học web khoa Trưởng đơn vị (Ký tên đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài: Ths Phạm Văn Hiển Bài toán Cauchy hàm chậm iii Luan van Mục lục Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đơn vị phối hợp Thơng tin kết nghiên cứu 0.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực ngồi nước 0.1.1 Ngoài nước 0.1.2 Trong nước 0.2 Tính cấp thiết đề tài 0.3 Mục tiêu đề tài 0.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 0.4.1 Đối tượng nghiên cứu 0.4.2 Phạm vi nghiên cứu 0.5 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu 0.5.1 Cách tiếp cận 0.5.2 Phương pháp nghiên cứu 0.5.3 Tóm tắt nội dung báo cáo i ii đề tài vi vi vii vii vii vii vii vii viii viii viii viii BÀI TỐN CAUCHY TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH 1.1 Thang không gian Banach 1.2 Bài tốn Cauchy thang khơng gian Banach 2 ĐỘ 2.1 2.2 2.3 2.4 ĐO PHI - COMPACT GIÁ TRỊ Độ đo Kuratowski K-độ đo phi compact Ánh xạ cô đặc Điểm bất động ánh xạ cô đặc iv Luan van NÓN 5 Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Kết Akhmerov, [1] 3.2 Kết đề tài 11 11 13 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 Bài toán Cauchy hàm chậm v Luan van MỞ ĐẦU 0.1 0.1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Ngoài nước [1] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg, J Differential Geom Volume 12, Number (1977), 629-633 Bài báo nghiên cứu tốn Cauchy thang khơng gian Banach, tác gỉa đưa điều kiện có tính chất “ lề ": dạng: kF u − F vks ≤ s0 C ku − vks0 −s [2] R R Akhmerov, M I Kamenskii, A S Potapov, B N Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators, Bivkauser Veriang, Berlin, 1992 Cuốn sách tài liệu đầy đủ độ đo phi-compact tốn tử đặc Trong cơng trình, tác giả giải toán với hệ số chậm: ( u0 (t) = f (t, u(h(t))) u(0) = u0 Trong ≤ h(t) ≤ t1/p , < p < [3] M Kawagishi,A generalized Cauchy - Kovalevskaja - Nagumo theorem with shrinkings, Sci Math Japonicae 54 (1) (2001) 39– 50 Tác giả nghiên cứu toán với hệ số chậm sau: ( u0t (t, x) = f (t, x, u, ∂xk u, ∂xp u(α(t)t, x), ∂xq u(t, β(t)x)) u(0, x) = u0 (x) Trong u(t,x) mang giá trị thực, max{|α(t)|; |β(t)|} < có số kết lớp hàm Gevrey vi Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học 0.1.2 Mã số đề tài T2015-116 Trong nước [1] Nguyễn Bích Huy (1993), On a Cauchy problem in scale of Banach spaces, Proceedings of the HoChiMinh City Mathematics Consortium, tr.38-42 Bài báo tổng hợp kết phương pháp chứng minh toán Côsi thang không gian nhiều trường hợp khác Qua nêu đặc trưng việc ứng dụng thang khơng gian vào tốn phương trình vi tích phân 0.2 Tính cấp thiết đề tài Bài tốn Cơ si thang khơng gian Banach ứng dụng rộng rãi việc giải toán Vật lý, Kỹ thuật Việc nghiên cứu toán cần thiết nhằm ứng dụng vào nhiều toán cụ thể 0.3 Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài khoa học xem xét tồn nghiệm toán: ( u0 (t) = f (t, u(t), u(h(t))) u(0) = u0 Trong tốn tử f hoạt động thang khơng gian Banach Xs Tức với t ∈ [0, T ], u, v ∈ Xs0 , s < s0 f (t, u, v) ∈ Xs Đề tài sử dụng điều kiện: i h C αs (f (t, Ω1 , Ω2 )) ≤ s0 − s αs0 (Ω1 ) + (αs0 (Ω2 ))p Trong ≤ h(t) ≤ t1/p , < p < αs (B) ký hiệu độ đo Kuratowski Xs 0.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 0.4.1 Đối tượng nghiên cứu Bài tốn Cơ si thang khơng gian Banach 0.4.2 Phạm vi nghiên cứu • Định lý tồn nghiệm tốn Cơ si với hàm chậm (*) thang khơng gian Banach Bài tốn Cauchy hàm chậm vii Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 • Độ đo Kuratowski 0.5 0.5.1 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu Cách tiếp cận Tìm đọc tài liệu báo khoa học 0.5.2 Phương pháp nghiên cứu Tìm kiếm, chứng minh áp dụng 0.5.3 Tóm tắt nội dung báo cáo Chương trình bày kiến thức tốn Cauchy thang khơng gian Banach Cuối chương có trình bày kết Akhmerov, kết toán chậm không gian Banach mà đề tài mở rộng lên thang khơng gian Chương trình bày khái niệm độ đo phi compact tốn tử đặc Đây kiến thức mà tác giả sử dụng để mở rộng kết Akhmerov Chương trình bày định lý điểm bất động tốn tử đặc R.R.Akhmerov Nguyễn Bích Huy Hai định lý áp dụng hai kết tồn toán Cauchy với hàm chậm trình bày chương Chương trình bày kết đề tài khoa học Đó định lý tồn nghiệm toán Cauchy với hàm chậm thang không gian Banach Tuy nhiên, trước trình bày kết này, chương nhắc lại kết Akhmerov, kết tốn chậm khơng gian Banach mà đề tài mở rộng lên thang không gian Phần kết luận có trình bày số hướng nghiên cứu đề nghị từ đề tài Bài toán Cauchy hàm chậm viii Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Chúng ta cần chứng minh (2.1) Thật vậy, từ tính chất ((co)Ω)(t) ⊂ (co)(Ω(t)) cho nên: αs (((co)Ω)(t)) ≤ αs ((co)(Ω(t))) = αs (Ω(t)) với s, t Chiều ngược lại bao hàm thức dễ thấy Vậy (2.1) Tính chất 2.2.3 K-độ đo (2.2) có tính chất: Φ(Ω) = θ Ω compact tương đối (2.3) Φ({u}) = 0, ∀u ∈ C([0, T ], X) Φ(Ω1 ∪ Ω2 ) = max{Φ(Ω1 ); Φ(Ω2 )} Ω1 ⊂ Ω2 ⇒ Φ(Ω1 ) ≤ Φ(Ω2 ) Φ({un }n≥1 ) = Φ({un }n≥2 ) (2.4) Chứng minh: Cho trước t, độ đo Kuratowski có tính chất: αs0 (Ω(t)) = Ω(t) compact tương đối Xs với s ≤ s0 Sau dùng tính đồng liên tục Ω định lý Azela - Ascoli chứng minh Ω compact tương đối Ω(t) compact tương t ∈ [0, T ] Do ta có (2.3) Suy từ Cố định t s, ta có αs (Ω1 (t) ∪ Ω2 (t)) = max{αs (Ω1 (t)); αs (Ω2 (t))} Theo (2.2) ta có điều cần chứng minh Suy từ 3) Suy từ 2) 3) 2.3 Ánh xạ cô đặc Xét hai không gian Banach X1 , X2 trang bị độ đo phi compact tổng quát Φ1 , Φ2 Định nghĩa 2.3.1 Ánh xạ f : D ⊂ X1 → X2 gọi (Φ1 , Φ2 ) cô đặc với Ω ⊂ D Φ2 (f (Ω)) ≥ Φ1 (Ω) suy Ω tập compact tương đối Bài toán Cauchy hàm chậm Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Nếu X = X1 = X2 Φ1 = Φ2 = Φ (như định nghĩa 2.2) sau gọi tắt f cô đặc Nhận xét: Đối với K - độ đo định nghĩa 2.2 lớp ánh xạ cô đặc bao hàm lớp ánh xạ compact ánh xạ co Thật Ω tập bị chặn tính compact f suy f (Ω) compact tương đối, nghĩa Φ2 (f (Ω)) = Giả sử Φ2 (f (Ω)) ≥ Φ1 (Ω), Φ1 (Ω) = kéo theo Ω tập compact tương đối hay f đặc Cịn f ánh xạ co với hệ số ≤ k < xuất phát từ định nghĩa độ đo Kuratowski αs , dễ thấy Φ2 (f (Ω)) ≤ kΦ1 (Ω) Do từ bất đẳng thức Φ2 (f (Ω)) ≥ Φ1 (Ω) kéo theo kΦ1 (Ω) ≥ Φ1 (Ω) Nghĩa Φ1 (Ω) = f cô đặc 2.4 Điểm bất động ánh xạ cô đặc Định lý sau tham khảo [1] Định lí 2.4.1 Cho không gian Banach X với độ đo phi compact tổng quát Φ thoả tính chất (2.4) Nếu ánh xạ f : M ⊂ X → M Φ đặc có điểm bất động M Nhắc lại: Nếu f (x) = x x gọi điểm bất động f Chứng minh: Đặt A0 = M An+1 = cof (An ) Rõ ràng A0 ⊃ A1 P Giả sử An−1 ⊃ An x ∈ An+1 Khi tồn ni=1 ki = yi ∈ An n X cho x = ki f (yi ) Mà An−1 ⊃ An yi ∈ An−1 hay f (yi ) ∈ An Do i=1 x ∈ An Tính x suy An ⊃ An+1 Theo quy nạp dãy An dãy giảm (nghĩa bao hàm), đóng khác rỗng Đặt C = ∩n∈N An Khi C lồi, đóng, C = f (C) hay Φ(C) = Φ(f (C)) Do tính Φ đặc f suy C compact (C đóng) Chọn giá trị x0 ∈ M đặt xn = f n (x0 ) Dễ thấy xn ∈ An Tính chất (2.4) cho thấy Φ({xn }n ) = Φ(f ({xn }n )), kết hợp tính Φ đặc f suy {xn }n tập compact tương đối Chúng ta suy tồn dãy {xnk }k hội tụ Giới hạn dãy thuộc C nên C khác rỗng Sử dụng định lý bất động Schauder, ánh xạ f : C → C có điểm bất động C điểm bất động cần tìm Chúng ta chứng minh xong Bài toán Cauchy hàm chậm Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Định lý sau tham khảo [3] Định lí 2.4.2 Cho không gian Banach X với K - độ đo phi compact Φ thoả tính chất (2.3) (2.4) Khơng gian Q giá trị Φ không gian tuyến tính định chuẩn Cho f : M ⊂ X → X liên tục Giả sử có toán tử A : K → K tăng thỏa mãn: • (i): Φ(f (Ω)) ≤ A(Φ(Ω)) Ω ⊂ M Ω, f (Ω) bị chặn • (ii): lim An (x) = với x thuộc K (sự hội tụ Q) n→∞ Khi có điểm bất động M Chứng minh: Sử dụng định lý (2.4.1), cần chứng minh f Φ cô đặc Xét tập bị chặn Ω ⊂ M giả sử Φ(f (Ω)) ≥ Φ(Ω) Đặt x = Φ(Ω) ∈ K Ta có: ≤ x = Φ(Ω) ≤ Φ(f (Ω)) ≤ A(Φ(Ω)) = A(x) Do đó, kết hợp tính tăng A, suy A(x) ≤ A2 (x) hay cách tổng quát ≤ x ≤ An (x) Sử dụng giả thiết định lý, n vô hạn ta x = lim An (x) = nghĩa n→∞ Ω tập compact tương đối Vậy f Φ đặc ta chứng minh xong Bài tốn Cauchy hàm chậm 10 Luan van Chương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong phần quan tâm tồn nghiệm toán toán sau khảo sát tồn nghiệm [1]: ( u0t = f (t, u(h(t))) u(0) = u0 (3.1) Trong t ∈ [0, T ] số p ∈ (0, 1) cho ≤ h(t) ≤ t1/p , ∀t ∈ [0, T ] 3.1 Kết Akhmerov, [1] Trước nêu thành đề tài khoa học này, đưa kết khẳng định tồn nghiệm (3.1) nghiên cứu [1] Theo ánh xạ f : [0, T ].X → X nghiệm toán hàm u ∈ C ([0, T ], X) thỏa (3.1) (X không gian Banach) Để thuận tiện, định nghĩa số tính chất độ đo phi compact tổng quát Định nghĩa 3.1.1 Độ đo phi compact tổng quát Φ lớp tập bị chặn không gian định chuẩn X, nhận giá trị không gian định chuẩn có thứ tự Q gọi là: • Chính quy Φ(M ) = ⇔ M compact tương đối • Nửa cộng tính Φ(M1 + M2 ) = Φ(M1 ) + Φ(M2 ) • Nửa Φ(tM ) = |t|Φ(M ) • Bất biến dịch chuyển Φ(x + M ) = Φ(M ) • Liên tục với Ω ε > cho trước tồn số δ > cho: ||Φ(Ω) − Φ(M )||Q ≤ ε với M thỏa sup ||x − y||X ≤ δ 11 Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Ký hiệu cầu B(u0 , r) = {x ∈ X : ||x − u0 || ≤ r}, hình trụ S = {(t, x) : t ∈ [0, T ]; x ∈ B(u0 , r)} Sau kết toán (3.1) chứng minh [1] Định lí 3.1.2 Cho f liên tục hình trụ R Giả sử độ đo phi-compact tổng quát Φ X, nhận giá trị số thực có tính chất quy, nửa cộng tính, nửa nhất, liên tục, bất biến với dịch chuyển Ngoài Φ thỏa điều kiện: Tồn số C để với Ω ⊂ B(u0 , r), t ∈ [0, T ] Φ[f (t, Ω)] ≤ C[Φ(Ω)]p Khi tồn t1 > để tốn (3.1) có nghiệm u ∈ C ([0, t1 ], X) Chứng minh: Chọn t1 ≤ min{1, T } cho ||f (t, x)|| ≤ tr1 , ∀(t, x) ∈ S Việc chọn t1 tốt nhờ tính liên tục f Cũng tính liên tục f , khẳng định nghiệm tốn điểm bất động ánh xạ F : C([0, t1 ], X) → C([0, t1 ], X) xác định bởi: Z t f (s, u(h(s)))ds, t ∈ [0, t1 ] F u(t) = u0 + Đặt M = {u ∈ C([0, t1 ], X) : u(0) = u0 ; ||u(t) − u0 || ≤ rt t1 , ∀t ∈ [0, t1 ]} Dễ thấy M ⊂ C([0, t1 ], X) lồi, đóng bị chặn rs Giả sử u ∈ M Khi với ≤ s ≤ t1 ||u(h(s)) − u0 || ≤ rh(s) t1 ≤ t1 ≤ r Nghĩa (s, u(h(s))) ∈ S ||f (s, u(h(s)))|| ≤ tr1 Từ công thức F chứng minh được: F M ⊂ M Tiếp theo, xây dựng độ đo phi compact tổng quát ΦC lớp tập bị chặn, đồng liên tục Ω ⊂ M nhận giá trị không gian C([0, t1 ], R) với thứ tự thông thường (u ≤ v ⇔ u(t) ≤ v(t), ∀t ∈ [0, t1 ]) sau: ΦC (Ω)(t) = Φ(Ω(t)), Ω(t) = {u(t) : u ∈ Ω} Chúng ta sử dụng định lý (2.4.1) cách chứng minh F : M → M ΦC cô đặc Để chứng minh F ΦC cô đặc, giả sử ΦC (Ω) ≤ ΦC (F (Ω)) Sử dụng tính Bài tốn Cauchy hàm chậm 12 Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 chất Φ nêu giả thiết định lý, suy (với t ∈ [0, t1 ]): m(t) := Φ(Ω(t)) ≤ Φ(F (Ω(t))) t Z f (s, u(h(s)))ds : u ∈ Ω} = Φ{u0 + Z t ≤ Φ{ f (s, Ω(h(s)))ds} t Z ≤ Φ[f (s, Ω(h(s)))]ds t Z Z p ≤ C[Φ(Ω(h(s)))] ds = t C[m(h(s))]p ds Bằng cách lặp lại lập luận nhiều lần có: Z t Z h(s1 ) m(t) ≤ C[m(h(s2 ))]p ds2 ]p ds1 C[ 0 ≤ Z t ≤ h(s1 ) Z C[ C[ Z ≤ 1/p s1 Z C[ ≤ C 1+p+p Z 1/p s2 C[ + +p h h(sn−1 ) C[m(h(sn ))]p dsn ]p dsn−1 ]p ds2 ]p ds1 1/p sn−1 Z C [ C[m(h(sn ))]p dsn ]p dsn−1 ]p ds2 ]p ds1 0 n Z C [ t h(s2 ) Z i pn sup m(t) 0≤t≤t1 tn1 n−2 := V P np (n − 1)p 2p Pn i Do ≤ p ≤ nên chuỗi i=0 pi hội tụ Ngoài t1 ≤ mẫu số (n − i)p ≥ với ≤ i ≤ n − VP hội tụ n vô hạn Vậy m(t) := Φ(Ω(t)) = 0, ∀t ∈ [0, t1 ] Sử dụng tính đồng liên tục Ω tính qua Φ, suy tính compact tương đối Ω Vậy giả thiết định lý (2.4.1) thỏa mãn, nghĩa chứng minh xong 3.2 Kết đề tài Mở rộng [1], xét tốn (3.1) thang khơng gian Banach Xs Tức ánh xạ f : [0, T ]Xs0 → Xs , ∀a ≤ s < s0 ≤ b Ngồi thay sử dụng độ đo tổng quát giá trị thực, dùng độ đo Kuratowski mà qua lớp ánh xạ đặc xây dựng (2.2) bao hàm lớp ánh xạ co lớp ánh xạ compact Ký hiệu ϕs (B) độ đo Kuratowski Xs Kết sau: Bài toán Cauchy hàm chậm 13 Luan van Báo cáo nghiên cứu khoa học Mã số đề tài T2015-116 Định lí 3.2.1 Giả sử: • f : [0, T ]Xs0 → Xs liên tục với s