(Đề tài NCKH) bài toán cauchy và hàm chậm trong thang không gian banach với điều kiện độ đo phi compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ÐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ÐIỂM BÀI TỐN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO PHI - COMPACT Mà SỐ: T2015 - 116 SKC005624 Tp Hồ Chí Minh, tháng 11/2015 TRìNG I HC Sì PH M Kò THU T TH NH PHă H CH MINH KHOA KHOA HC Cè B N B OC OT˚NGK T T I KH&CN C P TR×˝NG B ITO NCAUCHYV H MCH M TRONG THANG KH˘NG GIAN BANACH V˛I I U KI N ¸ O PHI-COMPACT M s: T2015-116 Ch nhiằm TP.HCM, thĂng 11 nôm 2015 • t i: Ths Ph⁄m V«n Hi”n Danh s¡ch th nh vi¶n tham gia nghi¶n cøu v ìn phŁi hổp ch nh Th nh viản: Ths Phm Vôn Hin i hồc Sữ phm K thut TP.Hỗ Ch Minh i Thỉng tin k‚t qu£ nghi¶n cøu Thỉng tin chung: Tản ã t i: B I TO N CAUCHY V H M CH M TRONG THANG KH˘NG GIAN BANACH VI I U KI N O PHI-COMPACT M s: T2015-116 Chı nhi»m: Ths Ph⁄m V«n Hi”n Cì quan chı tr…: ⁄i håc S÷ Ph⁄m Kÿ Thu“t Th nh phŁ Hỗ Ch Minh Thới gian thỹc hiằn: 12 thĂng Mửc tiảu: Mửc tiảu ca ã t i khoa hồc n y l xem xt sỹ tỗn ti nghiằm b i to¡n: ( u (t) = f(t; u(t); u(h(t))) u(0) = u0 Trong â to¡n tß f ho⁄t ºng trản thang khổng gian Banach Xs Tức l vợi mỉi t [0; T ]; u; v Xs0; s < s th… f(t; u; v) Xs • t i s sò dửng iãu kiằn: s(f(t; 1; 2)) Trong â h(t) t 1=p s0 C h s s0( 1) + ( s0( 2)) pi ; < p < v s(B) kỵ hiằu o Kuratowski Xs Tnh mợi v sĂng to: Tm ữổc nh lỵ tt hỡn cĂc nh lỵ  cõ vã b i toĂn trản vợi iãu kiằn  nảu Kt quÊ nghiản cứu: M rng mt nh lỵ ữổc n¶u t i li»u cıa Akhmerov ii B¡o c¡o nghiản cứu khoa hồc M s ã t i T2015-116 S£n ph'm B i b¡o khoa håc tr¶n web khoa Trững ỡn v (Kỵ tản v õng dĐu) Ch nhiằm ã t i: Ths Phm Vôn Hin B i to¡n Cauchy v h m ch“m iii Möc löc Danh s¡ch th nh vi¶n tham gia nghi¶n cøu v ìn phŁi hỉp ch‰nh Thỉng tin k‚t qu£ nghi¶n cøu 0.1 TŒng quan t…nh h…nh nghi v 0.1.1 0.1.2 Tnh cĐp thit ca ã t i Mửc tiảu ã t i i tữổng, phm vi nghiản cứu 0.4.1 0.4.2 CĂch tip c“n, ph÷ìng ph¡p ngh 0.5.1 0.5.2 0.5.3 0.2 0.3 0.4 0.5 B I TO N CAUCHY TRONG THANG KH˘NG GIAN BANACH 1.1 1.2 Thang khæng gian Banach B i to¡n Cauchy thang k ¸ O PHI - COMPACT GI TRÀ N´N 2.1 2.2 2.3 2.4 º o Kuratowski K- º o phi compact nh x⁄ cæ °c i”m b§t ºng ¡nh x⁄ cỉ °c iv B¡o c¡o nghi¶n cứu khoa hồc M s ã t i T2015-116 K TQU NGHI NCÙU 3.1 K‚t qu£ cıa Akhmerov, [1] 3.2 K‚t qu£ • t i K‚t lu“n T i li»u tham kh£o B i to¡n Cauchy v h m ch“m v M— U 0.1 0.1.1 TŒng quan t…nh h…nh nghi¶n cøu thuc lắnh vỹc ca ã t i v ngo i nữợc Ngo i nữợc [1] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg, J Differential Geom Volume 12, Number (1977), 629-633 B i b¡o nghi¶n cøu b i to¡n Cauchy thang khæng gian Banach, t¡c g¿a ữa iãu kiằn cõ tnh chĐt bÊn lã ": ð d⁄ng: kF u F vks s0 C sku vks0 [2] R R Akhmerov, M I Kamenskii, A S Potapov, B N Sadovskii, Mea- sure of Noncompactness and Condensing operators, Bivkauser Veriang, Berlin, 1992 CuŁn s¡ch l t i li»u côn bÊn v y vã o phi-compact v toĂn tò cổ c Trong cổng trnh, tĂc giÊ Â gi£i quy‚t b i to¡n vỵi h» sŁ ch“m: ( u (t) u(0) Trong â â h(t) t1=p; < p < [3] M Kawagishi,A generalized Cauchy - Kovalevskaja - Nagumo theorem with shrinkings, Sci Math Japonicae 54 (1) (2001) 39 50 T¡c gi£ nghi¶n cøu b i to¡n vỵi h» sŁ ch“m sau: ( k p q u t(t; x) = f(t; x; u; @x u; @x u( (t)t; x); @x u(t; (t)x)) u(0; x) = u0(x) Trong â u(t,x) mang gi¡ trà thüc, maxfj (t)j; j (t)jg < v cơng ¢ câ mºt sŁ k‚t qu£ lỵp h m Gevrey vi BĂo cĂo nghiản cứu khoa hồc 0.1.2 M s ã t i T2015-116 Trong nữợc [1] Nguyn Bch Huy (1993), On a Cauchy problem in scale of Banach spaces, Proceedings of the HoChiMinh City Mathematics Consortium, tr.38-42 B i b¡o tŒng hỉp c¡c k‚t qu£ v ph÷ìng ph¡p chøng minh v• b i to¡n Cỉsi thang khỉng gian Łi vợi nhiãu trữớng hổp khĂc Qua õ nảu ữổc °c tr÷ng vi»c øng dưng thang khỉng gian v o cĂc b i toĂn phữỡng trnh vi tch phƠn 0.2 Tnh cĐp thit ca ãti B i toĂn Cổ si thang khổng gian Banach ữổc ứng dửng rng rÂi viằc giÊi cĂc b i toĂn Vt lỵ, K thu“t Vi»c nghi¶n cøu v b i to¡n n y l r§t cƒn thi‚t nh‹m øng dưng nâ v o nhiãu b i toĂn cử th hỡn 0.3 Mửc tiảu Mửc tiảu ca ãti ã t i khoa hồc n y l xem xt sỹ tỗn ti nghiằm b i to¡n: ( u (t) = f(t; u(t); u(h(t))) u(0) = u0 Trong õ toĂn tò f hot ng trản thang khỉng gian Banach Xs Tøc l vỵi mØi t [0; T ]; u; v Xs0; s < s th… f(t; u; v) Xs • t i s sò dửng iãu kiằn: s(f(t; 1; 2)) Trong â h(t) t 1=p s0 C h s s0( 1) + ( s0( 2)) pi ; < p < v s(B) kỵ hiằu o Kuratowski Xs 0.4 i tữổng, phm vi nghiản cứu 0.4.1 i tữổng nghiản cứu B i toĂn Cổ si thang khổng gian Banach 0.4.2 Phm vi nghiản cứu nh lỵ tỗn ti nhĐt nghiằm b i toĂn Cổ si vỵi h m ch“m (*) thang khỉng gian Banach B i to¡n Cauchy v h m ch“m vii BĂo cĂo nghiản cứu khoa hồc M s ã t i T2015-116 º o Kuratowski 0.5 0.5.1 C¡ch ti‚p c“n, phữỡng phĂp nghiản cứu CĂch tip cn Tm ồc t i li»u v c¡c b i b¡o khoa håc 0.5.2 Phữỡng phĂp nghiản cứu Tm kim, chứng minh v Ăp dưng 0.5.3 Tâm t›t nºi dung b¡o c¡o Ch÷ìng trnh b y nhng kin thức côn bÊn vã b i to¡n Cauchy thang khỉng gian Banach CuŁi ch÷ìng câ tr…nh b y k‚t qu£ cıa Akhmerov, ¥y l mºt k‚t qu£ v• b i to¡n ch“m khỉng gian Banach m • t i s‡ mð rºng lản thang khổng gian Chữỡng trnh b y nhng khĂi niằm vã o phi compact v toĂn tò cỉ °c ¥y l nhœng ki‚n thøc m t¡c gi£ sò dửng m rng kt quÊ ca Akhmerov Chữỡng n y cụng trnh b y cĂc nh lỵ vã im bĐt ng toĂn tò cổ c ca R.R.Akhmerov v Nguyn Bch Huy Hai nh lỵ n y ữổc Ăp dửng hai kt quÊ vã sỹ tỗn ti ca b i toĂn Cauchy vợi h m chm ữổc trnh b y ch÷ìng Ch÷ìng tr…nh b y k‚t qu£ cıa • t i khoa håc n y õ l nh lỵ vã sỹ tỗn ti nghiằm b i to¡n Cauchy vỵi h m ch“m thang khỉng gian Banach Tuy nhiản, trữợc trnh b y kt qu£ n y, ch÷ìng nh›c l⁄i k‚t qu£ cıa Akhmerov, Ơy l mt kt quÊ vã b i toĂn ch“m khỉng gian Banach m • t i s‡ mð rºng l¶n thang khỉng gian Phƒn k‚t lu“n câ trnh b y mt s hữợng nghiản cứu ữổc ã nghà tł • t i n y B i to¡n Cauchy v h m ch“m viii B i to¡n Cauchy v h m ch“m 14 B¡o c¡o nghi¶n cứu khoa hồc M s ã t i T2015-116 Khi â A(g) K l vỵi lüa chån s j (b s) A(g)(t; s) (b s) (1 p) + p p Cjjgjj t p Cjjgjj T Chóng ta s‡ dịng quy n⁄p chøng minh vỵi måi n>1 v th… p (sn s) (sn sn) :::(s1 T nh nghắa toĂn tò A, d thĐy vợi (s < s1 < b) th… : Suy vỵi s < s2 < s1 < b, th… : Ngh¾a l (3.3) úng vợi n=2, giÊ sò (3.3) úng Suy vỵi s < sn+1 < ::: < s1 < b, th…: j (n+1) A (g)(t; s) Tøc l (3.3) óng vỵi måi n Chóng ta ti‚p tưc ¡nh gi¡ v‚ ph£i (3.3) b‹ng c¡ch chån si cho: (s B i to¡n Cauchy v h m ch“m 15 B¡o cĂo nghiản cứu khoa hồc M s ã t i T2015-116 C (3:3) (b s) (1+:::p n C (b s) ( (b s) Gi£ sß T=1 v Suy < + p Khi â vỵi M ı lỵn th… : n Khi n ı lỵn ” ()p vỉ h⁄n N‚u T s nản ta cõ (F (B)) A( (B)) p dửng nh lỵ (2.4.2) ta suy sỹ tỗn ti im bĐt ng cıa F công l nghi»m b i to¡n (3.1): u(t) Xb; 8t [0; T ] B i to¡n Cauchy v h m ch“m 16 B¡o c¡o nghi¶n cứu khoa hồc M s ã t i T2015-116 Vợi mt giĂ tr s0 [a; b) cho trữợc, ta thay b chứng minh trản bng s0 nh lỵ  chứng minh xong Trong nh lỵ tip theo, ta x†t b i to¡n: ( u (t) = f(t; u(t); u(h(t))) u(0) = u0 (3.5) Trong â to¡n tß f ho⁄t ºng tr¶n thang khỉng gian Banach Xs Tøc l vỵi mØi t [0; T ]; u; v Xs0; s < s th… f(t; u; v) Xs ành l‰ 3.2.2 C¡c gi£ thi‚t f : [0; T ]xXs0xXs0 Vỵi mØi s < s’, ’s(f(t; Khi â vỵi s0 mØi s0 thäa [a; b) th… b i to¡n (3.5) câ nghi»m u(t) Xs vỵi måi (t,s) s t Ts = 2C:e Chøng minh: Chóng ta t…m nghi»m b i to¡n d⁄ng i”m b§t ºng ¡nh x⁄ sau ¥y: Z t F (u)(t) = u0 + f(y; u(y); u(h(y)))dy °t = f(t; s)ja s < b; t< b s g 2C:e Y = fg : ! R; jjgjj = sup jg(t; s)j < 1g (t;s)2 V K l nân c¡c h m khæng ¥m Y Ta °t E=C(I; Xb) v vỵi t“p bà ch°n B E, °t B(t) = fv(t)jv Bg Xb Xs8s < b Chóng ta x¥y düng K º o phi compact trản B nhữ sau : (B)(t; s) = ’s(B(t)) 8(t; s) ’b(B(t)) ành ngh¾a l tŁt v… (B)(t; s) Ti‚p theo, chóng ta x¥y düng to¡n tß A : K ! K l : s