1 Mục lục Phần Nội dung Trang I Mở đầu 1 Lí do chọn đề tài 2 2 Mục đích nghiên cứu 3 3 Đối tượng nghiên cứu 3 4 Phương pháp nghiên cứu 3 II Nội dung 1 Cơ sở lí luận 3 2 Thực trạng của vấn đề 5 3 Giải[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN Mục lục Phần NộiKINH dung NGHIỆM SÁNG KIẾN Trang Lí chọn đề tài RÈN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHIA 3HẾT Mục đích nghiên cứu NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG CHO HỌC SINH I.Mở đầu Ở TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN, NGA SƠN LỚP 3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Người thực hiện: Trịnh Xuân Kỳ Chức vụ: Giáo viên 1.Cơ sở lí luận Đơn vị cơng tác: Trường THCS Chu Văn An SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn 2.Thực trạng vấn đề II.Nội dung 6-15 Giải pháp tổ chức thực 16 4.Hiệu sáng kiến 16 1.Kết luận III Kết luận, Kiến nghị 17 2.Kiến nghị THANH HOÁ NĂM 2022 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Dạy học dạng hoạt động đặc trưng loài người nhằm truyền lại cho hệ sau kinh nghiệm mà lồi người tích lũy biến chúng thành vốn kinh nghiệm lực cá nhân người học Hoạt động dạy học bao gồm hai hoạt động liên quan mật thiết với nhau: Hoạt động dạy giáo viên hoạt động học học sinh Hai hoạt động có chung mục đích cuối làm cho người học lĩnh hội nội dung học, đồng thời phát triển nhân cách lực người học Cũng môn văn hố khác Tốn học có vị trí đặc biệt quan trọng việc nâng cao phát triển dân trí Tốn học khơng cung cấp cho người học kỹ tính tốn cần thiết mà cịn mơn học,là công cụ để học tập môn học khác, kỹ năng, phương pháp làm việc nhiều ngành khoa học khác Chính việc truyền thụ kiến thức mơn tốn cần thực hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo người học Khi cần dạy nội dung tốn cho học sinh, giáo viên phải biết phân tích nội dung liên quan đến hoạt động ứng dụng Qua năm trực tiếp giảng dạy khối lớp nhận thấy giải toán chia hết dạng toán số học thường xuất đề thi HSG cấp huyện, dạng toán thường khai thác để phát triển tư sáng tạo học sinh đồng thời toán số học liên quan đến tính chia hết thường lơi học sinh tham gia chinh phục nội dung phong phú, đa dạng nội dung quan trọng chương trình tốn số học khơng với lớp mà cấp THCS, kỳ thi HSG mơn Tốn cấp tỉnh Dạy dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết mảng kiến thức vơ quan trọng giúp học sinh có kỹ nhận biết số có chia hết cho 2, 3; 4; 5; 6; 8; 9;11 hay không, hay giải toán chia hết Đây vấn đề quan trọng giúp học sinh học tốt mơn tốn Xuất phát từ lý định chọn đề tài “Rèn số kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn” với mong muốn phần nâng cao chất lượng để dạy dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết cho học sinh nêu lên số kinh nghiệm thân cách hướng dẫn học sinh giải toán chia hết chương trình Tốn lớp skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài: “Rèn số kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn” là: - Cung cấp cho học sinh lớp số phương pháp thường dùng, quan trọng để giải giải toán phép chia hết - Qua dạng toán học sinh vận dụng cơng thức để sáng tạo tìm nhiều hướng giải khác Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý nhất, phù hợp em Từ học sinh phát cách giải tương tự để giải nhiều toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Rèn số kĩ giải toán chia hết cho học sinh lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài áp dụng số phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu - Phương pháp phân tích, tư logic - Thực nghiệm giảng dạy cho em học sinh - Đánh giá kết học tập học sinh trước sau giảng dạy chuyên đề theo nội dung đề tài - Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua buổi sinh hoạt chuyên môn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa phép chia hết: Cho hai số nguyên a b (b≠0), có số nguyên x cho bx = a ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a: b = x 2.1.2 Các dấu hiệu chia hết: + Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn Cho số tự nhiên: M = anan−1 a1a0 M a0 0;2;4;6;8 + Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hét cho tổng chữ số số chia hết cho Cho số tự nhiên M = anan−1 a1a0 M ( an + an-1 + + a1 + a0 ) + Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) Một số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) skkn Cho số tự nhiên M = anan−1 a1a0 M a1a0 M 25 a1a0 25 + Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận số Cho số tự nhiên M = anan−1 a1a0 M a0 0;5 + Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) Một số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) Cho số tự nhiên M = anan−1 a1a0 M a3a1a0 M 125 a3a1a0 125 + Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho Cho số tự nhiên M = anan−1 a1a0 M ( an + an-1 + + a1+ a0 ) + Dấu hiêu chia hết cho 11 Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số "đứng vị trí lẻ" tổng chữ số "đứng vị trí chẵn” kể từ phải sang trái chia hết cho 11 Để cho phép trừ thực được, trường họp cần thiết ta cộng thêm vào tổng thứ (tổng chữ số hàng lẻ) bội 11 Chú ý Một số chia cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lai 2.1.3 Các tính chất quan hệ chia hết: - Số chia hết cho số tự nhiên khác - a chia hết cho a với a số tự nhiên khác - Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b a = -b - Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c - Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà ƯCLN(b,c) = a chia hết cho bc - Nếu a chia hết cho m ka chia hết cho m với k số tự nhiên - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a ± b) chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b khơng chia hết cho m (a±b) không chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n ab chia hết cho mn skkn - Nếu ab chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m - Nếu ab chia hết cho m mà (a,m) =1 b chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m an chia hết cho m với n số tự nhiên - Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn với n số tự nhiên - Nếu an chia hết cho p achia hết cho p với p số nguyên tố 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thực trạng chung a) Đối với học sinh Thực trạng phân cơng dạy tốn lớp 7, tơi thống kê lực tiếp thu học sinh, dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh đưa số ví dụ học sinh lúng túng khơng biết chứng minh Trước thực trạng điều tra học sinh qua nhiều biện pháp Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, số học sinh làm số học sinh giỏi Số lại chủ yếu học sinh Khá TB khơng biết giải thích tốn b) Đối với giáo viên Thực trạng đổ lỗi cho tất học sinh giáo viên người chủ động, chủ đạo kiến thức, tn theo SGK mà dạy tốn địi hỏi học sinh phải tư tốt phải thâu tóm kiến thức học để tận dụng vào làm tập Đôi giáo viên áp đặt gị bó em phải này, phải mà khơng đưa thực tế để em nhìn nhận vấn đề Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà giáo viên phải tìm phương pháp phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng tập phép chia hết nên cảm thấy mơ hồ phân vân lại phải làm Nếu khơng biến đổi có tìm kết khơng Từ băn khoăn học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào dấu hiệu, tính chất để tìm yêu cầu toán Qua kiểm tra khảo sát chất lượng tỉ lệ học sinh mắc sai lầm giải dạng toán phép chia hết tương đối cao Kết khảo sát học sinh lớp 7D, trường THCS Chu Văn An năm học 2021- 2022 chưa áp dụng đề tài sau: skkn Sĩ số 42 Loại giỏi SL % 14.3 Loại SL % 14 33.3 Trung bình SL % 16 38.1 Loại yếu SL % 14.3 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Các giải pháp Cách 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta biến đổi số a dạng tích thừa số có thừa số b (hoặc chia hết cho b) Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 chia hết cho 27 Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích 3100 thành tích thừa số có thừa số chia hết cho 27 Hướng dẫn: Ta có: 3100 = 33.397 = 27.397 Vì 27 chia hết cho 27 nên 27.397 chia hết cho 27 Vậy 3100 chia hết cho 27 Cách 2: Dựa vào tính chất quan hệ chia hết + Dùng tính chất chia hết tổng, hiệu: - Để chứng minh a chia chết cho b ( b ) ta biểu diễn số a dạng tổng nhiều số hạng chứng minh tất số hạng chia hết cho b - Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng số hạng chứng minh có số hạng khơng chia hết cho b Ví dụ 2: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho (BT 5/47 Sách dạng Toán điển hình lớp 7) Hướng dẫn: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: x; x+1; x+2 Tổng ba số tự nhiên liên tiếp: x + x+1 + x+2 = 3x+3 Vì 3x 3 nên tổng ln chia hết cho (Tính chất chia hết tổng) + Từ toán giáo viên đưa học sinh vào tình có vấn đề: Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n hay không? Để trả lời câu hỏi em làm tập sau Ví dụ 3: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay không? Hướng dẫn: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: x; x + 1; x + 2; x +3 Tổng số tự nhiên liên tiếp: x + x+ l+ x + + x + = 4x+6 Vì chia hết 4x chia hết cho mà không chia hết 4x + không chia hết cho Suy tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho skkn + Giáo viên chốt lại: Tổng n số tự nhiên liên tiếp chưa chia hết cho n * Dùng tính chất chia hết tích: Để chứng minh a chia hết cho b ( b ) ta chứng minh hai cách sau: + Biểu diễn b = m.n với ƯCLN(m,n) = sau chứng minh a chia hết cho m; a chia hết cho n + Biểu diễn a = a1a2; b= b1b2 chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2 Ví dụ 4: Chứng minh (1980.a + 1995.b) chia hết cho 15 với a, b số tự nhiên ( Trích đề thi học sinh giỏi lớp Q6 TP Hồ Chí Minh năm 2012) Hướng dẫn: Vì 1980 chia hết 1980.a chia hết cho với a Vì 1995 chia hết 1995.b chia hết cho với b Do đó: (1980.a + 1995.b) chia hết cho (1) Vì 1980 chia hết 1980.a chia hết cho với a Vì 1995 chia hết 1995.b chia hết cho với b Do đó: (1980.a + 1995.b) chia hết cho (2) Mà: ƯCLN(3,5) = Từ (1) (2) suy (1980.a + 1995.b) chia hết cho 15 Cách 3: Dùng định lý phép chia có dư Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét trường hợp số dư chia n cho p Ví dụ 5: Chứng minh rằng: a) Tích số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho b) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Hướng dẫn: a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n; n+1; n+2 Tích ba số tự nhiên liên tiếp là: Q = n(n+l)(n+2) Một số tự nhiên chia hết cho nhận số dư: 0; 1; Xét n chia cho có số dư r + Nếu r = n chia hết cho => Q chia hết cho (có thừa số chia hết cho tích chia hết cho 3) + Nếu r = n = 3k+l (k N) Khi đó: n +2 = 3k + +2 =(3k+3) chia hết cho Suy ra: Q chia hết cho + Nếu r = n = 3k + (k N) Khi n+1 = 3k+2+l = (3k+3) chia hết cho Suy ra: Q = n(n+l)(n+2) chia hết cho Tóm lại: n(n+l)(n+2) chia hết cho với n thuộc số tự nhiên skkn b) Chứng minh tương tự ta có: n(n+l)(n+2)(n+3) chia hết cho với n số tự nhiên Sau giải tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập dạng tổng quát GV khắc sâu cho học sinh: Tích n số tự nhiên liên tiêp ln chia hết cho n Cách Toán chia hết liên quan đến số nguyên tố, ƯCLN, BCNN Ngoài tính chất nêu với kiến thức số nguyên tố, số nguyên tố nhau, ƯCLN, BCNN ta có thêm số tính chất chia hết: a) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết cho p Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p b) Nếu tích ab chia hết cho m b m hai số nguyên tố a chia hết cho m Thật phân tích m thừa số nguyên tố: m = a1k1a2k ankn (1) Vì ab chia hết cho m nên ab chứa tất thừa số nguyên tố a1, a2, …an với số mũ lớn số mũ thừa số nguyên tố (1) Nhưng b m nguyên tố nên b không chứa thừa số nguyên tố thừa số a1, a2, …an Do a chứa tất thừa số tố a1, a2, …an với số mũ lớn số mũ thừa số nguyên tố (1) tức a chia hết cho m c) Nếu a chia hết cho m n a chia hết cho BCNN m n Thật a chia hết cho m n nên a bội chung m n, a chia hết cho BCNN(m,n) Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố m n a chia hết cho tich m.n Các tính chất cung cấp thêm công cụ để chứng minh quan hệ chia hết số Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên n cho 18n + chia hết cho Hướng dẫn: Cách 1: 18n + 14n + 4n + 4n + 4n + - 7 4n - 4(n – 1) Ta lại có (4,7) =1 nên n - skkn Vậy n= 7k + (k N) Cách 2: 18n + 18n + - 21 18n - 18 18 (n – 1) Ta lại có (18,7) =1 nên n - Vậy n= 7k + (k N) Nhận xét: Việc thêm bớt bội hai cách giải nhằm đến biểu thức chia hết cho mà hệ số n Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên có ba chữ số nhau, biết số viết dạng tổng số tự nhiên liên tiếp Hướng dẫn: Gọi số phải tìm aaa , số viết dạng + + + + n (n N) Ta có: n(n + 1) = 111a, đó: n(n + 1) = 37 a Vì n (n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn hai thừa số n; n + chia hết cho 37 Chú ý n n + nhỏ 74 ( n(n + 1) số có ba chữ số) nên ta xét hai trường hợp: n(n + 1) = 37 38/2 = 703 loại n(n + 1) 36.37 b) n + = 37 = = 666 thỏa mãn toán 2 a) n = 37 Vậy số phải tìm 666, viết dạng + + + + 36 2.3.2 Sau học sinh nắm vững cách thường dùng để chứng minh phép chia hết, giáo viên số tốn phép chia hết nhằm giúp cho học sinh nắm cách hệ thống kiến thức phép chia hết Bài 1: Em gạch số mà em chọn: a)Nếu a b tổng (a+b) chia hết cho 3; 6; b) Nếu a b tổng (a+b) chia hết cho 2;4; c) Nếu a b tổng (a+b) chia hết cho 3;6; Đáp án: a) ; b) ; c) Bài 2: Không làm phép tính cộng, trừ Hãy giải thích tổng, hiệu sau chia hết cho 11 a) 33 + 22 ; b) 88 – 55 ; c) 44 + 66 + 77 skkn Hướng dẫn: a/ (33 + 22) 11 33 ll 22 11 (theo tính chất chia hết tổng) b/ ( 88 - 55 ) 11 88 11 55 11 (theo tinh chất chia hết hiệu) c/ (44 + 66 + 77) 11 44 11; 66 11; 77 11 (theo tính chất chia hết tổng) Bài 3: Phải thay x chữ số để: a) 12 + 2x3 chia hết cho b) x793 x chia hết cho c) 173925 x chia hết cho 8; cho 125 d) 113 +x chia hết cho e) 113 +x chia cho dư Hướng dẫn: a) Vì (12 + 2x3 ) chia hết cho Mà 12 ' Nên 2x3 phải chia hết cho Khi (5+x) mặt khác x chữ số suy ra: x =1; x=4; x =7 Vậy x =1; x=4; x =7 12 + 2x3 chia hết cho b) Vì x793 x nên (2x+l) , Mặt khác x chữ số suy ra: x = 1; x = 4; x=7 Vậy x =1; x=4; x =7 x793 x chia hết cho c) Ta có 173925 x 25 x x = Vậy x = 173925 x Ta có 173925 x 125 25 x 25 x = Vậy x = 173925 x 25 d) Ta có: 113 + x = 112 + (1+x) 112 nên 112 + (1+x) Khi (x+1 ) Mà x chữ số nên x = Vậy x = 113 +x chia hết cho e) Ta có: 113 + x= 112 + (1+x) chia cho dư Ta có: 112 nên (1+x) chia cho dư hay x chia cho dư 4, mặt khác x chữ số Suy ra: x = Vậy x = 113 +x chia cho dư Bài 4: Tìm chữ số x; y để số: a) 56 x3 y chia hết cho 36 b) 71x1y chia hết cho 45 Hướng dẫn: a) Vì 36 = 4.9 mà ƯCLN(4,9) = nên 56 x3 y chia hết cho 36 10 skkn Khi: 56 x3 y Ta có: 56 x3 y 56 x3 y => y 4 y {2; 6} Và 56 x3 y (5+6+x+3+y) (5+6+x+3+y) Mà x; y chữ số nên (x+y) {4; 13} y = x =2 x = 11 ( loại x > ) y = x = hòặc x = -2 ( loại x < ) Vậy số phải tìm là: 56232; 56736 b) Vì: 45 = 9.5 mà ƯCLN (9;5) = nên 71x1y Khi 71x1y Ta có 71x1y 71x1y 5 y { ; } (x + y) Vì x; y chữ số nên (x+y) {9; 18} Nếu y = x = h o ặ c x = ( v ì x > loại) Nếu y = x = x= 13 (vì x>9 1oại) Vậy số phải tim: 71910; 71415 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n + ) chia hết cho (n+2) 71x1 y Hướng dẫn: Ta có 3n + 10 = 3n + + 3n +10 = 3(n+2) + Mà 3(n+2) (n+2) Do đó: (3n+10) (n+2) (n+2) ước (n+2) {1;2;4} n {0;2} Vậy với n (0, 2} (3n + 10) (n+2) Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (n + 15) : (n + 3) số tự nhiên Hướng dẫn: Để (n + 15) : (n + 3) số tự nhiên (n+15) (n+3) Suy [(n+15) - (n+3)] chia hết cho (n+3) Khi 12 chia hết cho (n+3) Hay (n+3) ước 12 Tức là: (n+3) {1 ;2;3;4;6; 12] n (0; 1; 3; 9} Vậy với n {0; 1; 3; 9} (n + 15) : (n + 3) số tự nhiên Bài 7: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp lụơn chia hết cho (Bài tập 79/25 Sách Toán nâng cao chuyên đề Toán 6) 11 skkn Hướng dẫn: ’ Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n+2(n N) Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2n (2n+2) = 4n(n+l) Vì: n; n +1 khơng tính chẵn lẻ nên: n(n+l) chia hết cho Mà chia hết 4n(n+l) chia hết cho 4.2 4n(n+l) chia hết cho Vậy 2n (2n+2) chia hết cho Bài 8: Biết số có bốn chữ số abcd 11 ( b + d) – ( a + c) 11 (a+c) – (b + d) 11 Có số có bốn chữ số có tính chất sau: số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 (Bài tập 65/40 Sách Toán nâng cao chun đề Tốn 6) Hướng dẫn: Gọi số có bốn chữ số phải tìm A = abcd a,b,c,d chữ số a Theo đề ta có: ( b + d) – ( a + c) 11 (1) (b + d) + ( a + c) 11 (2) Từ (1) (2) suy b + d : 11 a + c : 11 Do b + d 18 nên b + d = b + d = 11 Nếu b + d = b = d = Kết hợp với a + c : 11 mà a + c 18 nên a + c = 11 Như có số phải tìm là: 2090; 3080; 4070; 5060; 6050;7040; 8030 9020 Nếu b + d = 11 a + c = 11 Ta tìm được cặp số a, c cặp số b, d cho a + c = b + d = 11 Do có 8.8 = 64 số thỏa mẵn đề Tóm lại có + 64 = 72 số có chữ số thỏa mãn đề Bài 9: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Hướng dẫn: Gọi số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư a Ta có: a = 7m + a = 13n + với m, n N Cộng thêm vào số a ta được: a + = 7m + 14 = ( m + 2) a + = 13n + 13 = 13 ( n + 1) 13 a + a + 13 mà (7;13) = nên a + 13 Hay a + 91 Vậy a = 91k – = 91k – 91 + 82; a = 91 ( k – 1) + 82 a chia cho 91 dư 82 Bài 10: Tìm số tự nhiên n cho 3n chia hết cho – 2n Hướng dẫn: Căn vào tính chất chia hết tổng, hiệu tích, ta rút phương pháp chung để giải loại toán dựa vào nhận xét sau đây: Nếu A B ( mA + nB) B ( m, n N*) Ta có: 3n ( – 2n) [ 2.3n + (5-2n)] ( 5- 2n) 15 ( 5-2n) 12 skkn Với – 2n = n = Với – 2n = n = Với – 2n = n = Với – 2n = 15 khơng có số tự nhiên thỏa mãn Vậy với n lấy giá trị 0;1;2 3n chia hết cho – 2n Bài 11: Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a, b N) Chứng minh 10a + b chia hết cho 13 Hướng dẫn: Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y Ta biết x 13, cần chứng minh y 13 Cách 1: Xét biểu thức 10x – y = 10(a + 4b) – (10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b = 13 b Như 10x – y 13 Mà x 13 nên 10x 13 suy y 13 Cách 2: Xét biểu thức 4y – x = 4(10a + b) – (a + 4b) = 40a + 4b – a – 4b = 39a Như 4y - x 13 Do x 13 nên 4y 13 Ta lại có (4, 13) = nên y 13 Cách 3: Xét biểu thức 3x + y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 3a + 12b + 10a + b = 13a + 13b = 13(a + b) Như 3x + y 13 Do x 13 nên 3x 13 suy y 13 Cách 4: Xét biểu thức x + 9y = (a + 4b) + 9(10a + b) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b Như vậy: x + 9y 13 Do x 13 nên 9y 13 Ta lại có (9, 13) = nên y 13 Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đưa biểu thức mấu rút gọn có số hạng bội 13, số hạng thứ hai (nếu có) bội 13 Hệ số a x 1, hệ số a y 10 nên xét biểu thức 10x – y nhằm khử a (tức làm cho hệ số a 0), xét biểu thức 3x + y nhằm tạo hệ số a 13 Hệ số b x 4, hệ số b y nên xét biểu thức 4y - x nhằm khử b (tức làm cho hệ số b 0), xét biểu thức x + 9y nhằm tạo hệ số b 13 Bài 12: Cho số tự nhiên chia hết cho gồm sáu chữ số Chứng minh chuyển số tận lên số đầu tiên, ta số cho hết cho Hướng dẫn: Gọi số chia hết cho cho X = abc deg ta cần chứng minh Y = gabcde Chia hết cho Đặt abcde = n X = 10n + g, Y = 100000g + n 13 skkn Cách 1: Với dụng ý làm xuất 21n 7, ta xét 2X + Y = 20n + 2g + 100000g + n = 21n + 100002g biểu thức chia hết cho 21 = 7.3 100002 = 14268 bội 7, mà 2X chia hết cho Y chia hết cho Cách 2: Với dụng ý khử n, ta xét 10Y – X = 10(100000g + n) – (10n + g) = 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g, bội (vì 999999 = 142857) Ta lại có X chia hết 10 y chia hết cho 7, mà (10, 7) = nên y chia hết cho Các cách khác: gợi ý xét 3Y – X để xuất 7n, xét X + 4Y để xuất 14n, Bài 13: Tìm số tự nhiên, biết tích với số tự nhiên liền sau có tận 00 Hướng dẫn: Gọi n số phải tìm, ta có n(n + 1) chia hết cho 100 Xét hai trường hợp a) Có thừa số n, n + chia hết cho 100 Khi n số có tận 00 99 b) Khơng có thừa số chia hết cho 100, ý rắng (n, n + 1) = nên n n + có số chia hết chia hết cho 25 số chia hết cho Có hai khả năng: Nếu n chia hết cho 25, n + chia hết cho xét n có tận 25, 50, 75 chọn n có tận 75 để n + chia hết cho 4; Nếu n + chia hết cho 25, n chia hết cho chọn n + có tận 25 để n chia hết cho Vậy số tự nhiên phải tìm số có tận 00, 24, 75, 99 Bài 14: Thêm ba chữ số vào đằng sau số 523 để đươc số chia hết cho 6, 7, 8, Hướng dẫn: Số phải tìm 523 * * * chia hết cho 6, 7, 8, nên phải chia hết cho 504, BCNN (6,7,8,9) Xét số 523999 chia cho 504 dư 343, ta có số 523999 – 343 = 523656 ; 523656 – 504 = 523152 Đó hai số phải tìm Bài 15: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p − 1 24 ( Trích đề thi HSG Tốn huyện Hậu Lộc năm học 2021-2022) Hướng dẫn: Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ p không chia hết cho Ta có: p − = p − p + p − = p( p − 1) + ( p − 1) = ( p − 1)( p + 1) Do p số lẻ nên p = 2k + 1(k N * ) p − = ( p − 1)( p + 1) = 2k (2k + 2) = 4k (k + 1)8(1) Mặt khác , p-1,p,p+1 ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p không chia hết p-1 p+1 chia hết cho Từ suy ra: p − = ( p − 1)( p + 1)3(2 ) Vì (3;8)=1 từ (1) (2) nên suy p − 1 24 Bài 16: Cho x, y số nguyên dương thỏa mãn x2 + y2 – x chia hết cho xy Chứng minh rằng: x số phương ( Trích đề thi HSG Toán huyện Hậu Lộc năm học 2021-2022) 14 skkn Hướng dẫn: 1) Đặt (x, y) =d, ta có: x = dm, y = dn, với m, n số nguyên dương nguyên tố Theo đề cho ta có: 2) x + y − x xy d m + d n − dm d mn m d (1) dm + dn − m dmn dn m ( ) Vì (m,n)=1 nên (m, n2) = nên từ (2) ta có: d m (3) Từ (1) (3) ta có: m = d Vậy x = dm = d2 số phương (đpcm) 2.4 Hiệu đạt áp dụng đề tài: Sau áp dụng đề tài “Rèn số kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn”, thân nhận thấy: Khi dạy kiến thức phần phép chia hết tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động, có hệ thống, kết học tập em nâng lên rõ rệt, khả tư có chiều sâu, lập luận chặt chẽ, học sinh có hứng thú dạng tập này, học sinh hiểu nhớ nhanh Đa số em tiếp thu kiến thức cách dễ dàng hơn, em biết khai thác sâu toán, biết xâu chuỗi toán, biết vận dụng kiến thức bản, nâng cao sử dụng tổng hợp nhiều kiến thức giải nhiều tập liên quan đến phép chia hết Qua rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ' khác hình thành học sinh thấy dạng toán thật phong phú không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học môn Qua thực tế giảng dạy phần kiến thức phép chia hết lớp 7D, năm học 2021-2022 Sau tham khảo ý kiến đồng nghiệp xây dựng đề cương chi tiết sáng kiến kinh nghiệm, vận dụng dạy lớp 7D năm học 2021-2022 chủ yếu tiết luyện tập, ôn tập, buổi học bồi dưỡng buổi chiều qua việc khảo sát thấy chất lượng học sinh nâng lên Kết khảo sát sau áp dụng đề tài sau: Sĩ số Loại giỏi Loại Trung bình SL % SL % SL % 42 14 33.3 18 42.9 10 23.8 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua đề tài nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu vận dụng thành thạo kiến thức vào giải tập giáo viên phải khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân, phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ 15 skkn toán, phát triển từ tốn dễ thành tốn khó Phân dạng xâu chuỗi toán, xây dựng phương pháp giải cho dạng tập Để học sinh hiểu giáo viên phải ln trăn trở tìm phương pháp truyền thụ kiến thức cho học sinh cách dễ hiểu nhất, hiệu gây hứng thú cho học sinh Vì đổi phương pháp dạy học đường thiết yếu để nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Mỗi giáo viên phải biến trình giáo dục thành trình lao động sáng tạo, truyền cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn học, khả tư sáng tạo, khả tự học tự giải vấn đề học tập sống Trong khuôn khổ đề tài “Rèn số kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn” áp dụng vào việc giảng dạy lớp 7D trường THCS Chu Văn An nâng cao chất lượng rõ rệt 3.2 Kiến nghị Trong trình thực đề tài, thực tế giảng dạy cho học sinh để nâng cao chất lượng giảng đại trà chất lượng mũi nhọn tơi có số đề nghị sau: - Biết cách phân loại đối tượng học sinh, từ đưa dạng tốn thích hợp - Với dạng tốn nên đưa tập từ đơn giản đến phức tạp để em dễ dàng tiếp cận từ em phát huy tính sáng tạo - Đối với người dạy phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp phù hợp với chủ đề, đối tượng - Hơn hết, người dạy phải ln có tinh thần học hỏi, tìm tịi sách vở, tài liệu học hỏi bạn đồng nghiệp chí học sinh Trên đánh giá mang tính chất chủ quan dựa vào trình tự tìm hiểu trải qua trình thực nghiệm giảng dạy thực tế Với khả trình độ có hạn, chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong đóng góp chân thành quí bạn đọc đặc biệt bạn đồng nghiệp để đề tài có cải tiến tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 29 tháng 03 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết Người thực Trịnh Xuân Kỳ 16 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Toán tập (Nhà xuất giáo dục) Nâng cao phát triển Toán tập (Vũ Hữu Bình - NXB GD) Bồi dưỡng Tốn (Nhà xuất giáo dục) Toán nâng cao chuyên đề Toán (Nhà xuất giáo dục) Tuyển tập 400 tập Toán (Nhà xuất giáo dục) Các chuyên đề chọn lọc Toán 7.( Nhà xuất giáo dục) Các dạng Toán điển hình ( Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Đức Tấn - Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh) Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán (Bùi Văn Tuyên - NXB GD) 10 Một số đề thi HSG mơn Tốn 6,7 cấp huyện năm học 2021-2022 *) DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Xuân Kỳ Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Chu Văn An Cấp Kết đánh đánh STT Tên đề tài SKKN giá xếp giá xếp loại loại Hướng dẫn học sinh giải phương Phịng A trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối GD&ĐT Xây dựng nề nếp tự quản cho học Phòng C sinh lớp GD&ĐT Một số phương pháp phụ đạo học Phòng A sinh yếu GD&ĐT Một số phương pháp phụ đạo học Sở B sinh yếu GD&ĐT Vẽ thêm yếu tố phụ để giải hình học7 Phịng B GD&ĐT Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải Phịng tập hình học có vẽ thêm yếu tố A GD&ĐT phụ trường THCS Chu Văn An Phát triển khả tư cho học sinh lớp Phịng thơng qua tốn dãy số có quy luật B GD&ĐT trường THCS Chu Văn An Vận dụng số tính chất số phương để giải phương trình nghiệm nguyên lớp trường THCS Chu Văn An Phòng GD&ĐT B Năm học đánh giá xếp loại 2005-2006 2007 - 2008 2008 - 2009 2008 - 2009 2011- 2012 2012 - 2013 2015 - 2016 2018 - 2019 17 skkn ... tài ? ?Rèn số kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn? ??, thân nhận thấy: Khi dạy kiến thức phần phép chia hết tập hợp số tự nhiên, học sinh. .. tự học tự giải vấn đề học tập sống Trong khuôn khổ đề tài ? ?Rèn số kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn? ?? áp dụng vào việc giảng dạy lớp. .. nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m - Nếu ab chia hết cho m mà (a,m) =1 b chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m an chia hết cho m với n số tự nhiên - Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn