Skkn phân loại và phương pháp giải một số bài toán về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Người thực hiện: Phan Anh Thắng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Mơn Tốn THANH HỐ, NĂM 2022 skkn MỤC LỤC NỘI DUNG I Mở đầu …………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………… II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 2.1 Cơ sở lý luận……………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề…………………………………… 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề …………… 2.3.1 Kiến thức trang bị.………………………………… 2.3.2 Các dạng tập ví dụ điển hình …………… 2.3.3 Những sai lần thường gặp hướng khắc phục 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục ………………………………………………………… III Kết luận, kiến nghị ………………………………………… 3.1 Kết luận ………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………… skkn TRANG 1 1 1 2 11 12 13 13 13 skkn I MỞ ĐẦU: 1.1 Lí chọn đề tài: Số Phức vấn đề lớn tốn học đại trình bày chương trình sách giáo khoa lớp 12 Tuy nhiên thời lượng phân phối nên học sinh tiếp cận với nội dung mà chưa mở rộng khai thác cách chuyên sâu, đặc biệt lại phần kỳ thi lớn em học sinh chuẩn bị thi để bước vào trường đại học Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung đáp ứng cách thức thi trắc nghiệm áp dụng kì thi THPTQG, để học sinh dễ dàng tự tin gặp số toán liên quan đến số phức Đề tài cung cấp cho học sinh tài liệu chuyên sâu, bổ ích thiết thực Đề tài viết dựa tư tưởng hoàn toàn mẻ, khoa học phù hợp với thay đổi Giáo dục Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ giải dạng toán số phức nâng cao, đặc biệt cách sử dụng MTCT để giải toán trắc nghiệm, khai thác cách giải vận dụng dạng toán liên quan đến số phức cho học sinh chọn đề tài “Phân loại phương pháp giải số toán số phức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đưa phương pháp giúp học sinh định hướng dạng toán liên quan đến số phức, đồng thời rèn luyện kỹ giải toán, nâng cao khả tư duy, giúp học sinh có hướng nhìn dạng tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu số dạng toán liên quan đến số phức cách sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu đề tài xây dựng sở lí thuyết, vận dụng vào tập thông qua hệ thống ví dụ II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi đứng trước tốn, học sinh cần định hướng tốn thuộc dạng nào? Có thể áp dụng phương pháp để giải tốn đó? Bài tốn số phức có nhiều phương pháp giải ,yêu cầu cần phải từ giả thiết kiến thức học chuyển toán quen thuộc học, sử dụng công cụ đạo hàm ,khảo sát hàm số,lượng giác ,hình học phẳng… vậy, nội dung phương pháp dạy học phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ thể thầy trò, việc tổ chức dạy học Thông qua tập xây dựng chọn lọc từ đề thi thử THPTQG, với hướng dẫn cách trình bày chi tiết giúp giáo viên học sinh có hướng tiếp cận với dạng toán đề thi, có hướng giải tốt giải toán loại skkn 2.2 Thực trạng vấn đề: Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy phần tập liên quan đến toán số phức vấn đề hoàn toàn khó học sinh bậc trung học phổ thơng Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức Sách giáo khoa cịn nhiều hạn chế Chính học sinh tương đối gặp khó khăn cách tư duy, định hướng cách giải, lúng túng gặp phải tình Vì vậy, dạng tập trở thành vấn đề khó vượt qua học sinh Để giải vướng mắc học sinh toán số phức, với cách phát biểu tính chất để giúp giáo viên học sinh có tư hướng suy nghĩ để làm tập vận dụng vào tốn, khắc phục số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu vận dụng cách dễ dàng, nhanh chóng việc làm tập 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: 2.3.1 Kiến thức trang bị * Định nghĩa: Số phức số có dạng , i đơn vị ảo, tức a gọi phần thực z, kí hiệu b gọi phần ảo z, kí hiệu Tập hợp số phức kí hiệu C * Các phép tốn số phức: +) Cho +) +) +) +) * Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức Khi : +) Đại lượng gọi mơđun z Kí hiệu +) Số phức gọi số phức liên hợp z +) Định nghĩa: Cho số phức Căn bậc hai số phức z số phức thỏa mãn * Kiến thức mở rộng nâng cao - Các tính chất skkn - Dạng lượng giác số phức + Xét số phức dạng đại số: Ta có Nhận xét Đặt Khi (*) Gọi dạng lượng giác số phức z, gọi acgumen z Nhận xét: Nếu acgumen z acgumen z + Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho Khi Đặc biệt với (**) (**) gọi công thức moavơrơ 2.3.2 Các dạng tập ví dụ điển hình Dạng 1: Các phép tốn trường số phức Ví dụ 1: (BT3 sgk trang 138) thực phép tính: Lời giải: Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay ( 570 ES plus II) + Mode skkn + Nhập biểu thức: Ví dụ Cho = kết quả: -28+4i Tính Lời giải: Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode + Nhập biểu thức:shift +hyp = kết quả: 10 Ví dụ (Bài 4.3 BT giải tích 12 nâng cao) tìm nghiệm phức phương trình sau: Lời giải: Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode + Nhập biểu thức: = kết quả: Ví dụ Tìm số phức z biết Lời giải: Giả sử (1) (1) Nhận xét: Các tập tìm z mà giả thiết có Ta giả sử Rồi xây dựng hệ ẩn a,b giải Lúc máy tính hỗ trợ phép tính khơng chứa ẩn Ví dụ Tìm phần ảo z biết: Lời giải: Giả sử Vậy phần ảo z -10 Ví dụ (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: môđun số phức skkn Tìm Lời giải: Giả sử Do Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode + Nhập biểu thức tìm z: kết quả: kết quả: + Nhập biểu thức tìm modun w: shift +abs Ví dụ (A-2011) Tìm tất số phức z, biết Lời giải: Giả sử Vậy Ví dụ Tìm số nguyên x, y cho số phức thỏa mãn Lời giải: Ta có Giải phương trình cách đặt y = tx ta Bài tập vận dụng: Bài Thức phép tính: a Vậy z=3+i b c d Bài Tìm phần thực ; phần ảo;mơ đun số phức liên hợp số phức sau: skkn a b Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: Bài Cho số phức z thỏa mãn: Xác định phần thực phần ảo z Bài Tính mơ đun số phưc sau: Bài Cho số phức z thỏa mãn: Tìm mơđun Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn: Bài (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn Tính mơđun số phức Dạng 2: Giải phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình Cách giải Tính Gọi bậc hai , nghiệm phương trình là: Đặc biệt b=2b’, ta tính Gọi bậc hai , nghiệm phương trình là: Chú ý: Cách tìm bậc hai số phức (Dành cho chương trình SGK nâng cao 12) Ví dụ 9: (ví dụ SGK giải tích 12 trang 140) Giải phương trình sau tập số phức : Lời giải: bậc hai Vậy nghiệm phương trình là: Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode ( Chọn chức giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=1,c=1 kết quả: Ví dụ 10 Cho phương trình trường số phức: Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình tìm: w=2z1 + z2 skkn Lời giải: phương trình là: bậc hai Vậy w là: Nghiệm Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode ( Chọn chức giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: + Tìm w Mode Nhập biểu thức: kết quả: Ví dụ 11 (Chương trình nâng cao) Tìm bậc hai số phức Lời giải: Giả sử a+bi (a; b R) bậc hai z Ta có: Thay (2) vào (1) ta có: Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 12: (Chương trình nâng cao) Tìm bậc hai số phức Lời giải: Giả sử m + ni (m; n R) bậc hai z Ta có: Thay (2) vào (1) ta có: Vậy z có hai bậc hai Ví dụ 13 (chương trình nâng cao) Giải phương trình: Lời giải: Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai Ta có: skkn Thay (2) vào (1) ta có: Vậy có hai bậc hai 2+i -2-i Do nghiệm phương trình Ví dụ 14 giải phương trình: Lời giải: Dễ thấy z = -i nghiệm (1) nên Giải (2): Vậy có hai bậc hai là: 2+i -2-i Do nghiệm (2) Vậy (1) có nghiệm –i, -3, -1+i Ví dụ 15 Gọi hai nghiệm phức phương trình: Tính Lời giải: Ta có phức Vậy phương trình có hai nghiệm Do Bài tập vận dụng: Bài Giải phương trình sau: Bài 10 Gọi bốn nghiệm phương trình tập số phức tính tổng: Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức C: Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z skkn (1) Cách giải: Giả sử ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức a b Từ suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ 16 ( Bài 16b sgk giải tích 12 trang 148) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức Lời giải: Giả sử , Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình trịn tâm (0;1), bán kính Ví dụ 17 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho ảo Lời giải: Giả sử số , Tử số u số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm , bán kính , khuyết điểm (0;1) (-2;-3) Ví dụ 18 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: Lời giải: Giả sử Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y1=0 Bài tập vận dụng: Bài 12 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a b c d e f Bài 13 Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: skkn biết số phức Dạng 4.( Chương trình nâng cao) Dạng lượng giác số phức ứng dụng Ví dụ 19 Viết số phức sau dạng lương giác: Lời giải: Ví dụ 20 Tìm acgumen số phức: Lời giải acgumen z Ví dụ 21 Cho Tìm dạng đại số Lời giải: Áp dụng công thức moavơrơ ta có: Ví dụ 22 (B-2012) Gọi , Viết dạng lượng giác Lời giải: , ; nghiệm phức phương trình: ; , Bài tập vận dụng: Bài 14 Tìm acgumen Bài 15.Biết Tìm dạng đại số Bài 16 Cho ; Tìm dạng đại số Bài 17.Tìm acgumen Bài 18.Tìm acgumen Bài 19 Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i 10 skkn 2.3.3 Những sai lầm thường gặp hướng khắc phục * Học sinh không học kiến thức mà phụ thuộc vào máy tính cầm tay Nên tốn số phức có lũy thừa lơn bậc phép toán khai bậc máy tính khơng làm dẫn đến việc lúng túng định hướng giải Ví dụ1: Cho phương trình trường số phức: 12 Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình tìm: w=2z1 + ( z2 ) Lời giải Hướng dẫn HS: Làm máy tính cầm tay( 570 ES plus II) + Mode ( Chọn chức giải phương trình bậc hai ) + Nhập a=1, b=4,c=7 kết quả: + Tìm w Mode Nhập biểu thức: máy tính khơng cho kết Khắc phục: Nhập biểu thức: * Học sinh nhầm kí hiệu modul thành trị tuyệt đối nên không định hướng giải Ví dụ2: Trên trường số phức tìm x để: | x+2i| = |5| Lời giải: Vậy x=-5-2i, x=5-2i Khắc phục: Lời giải tưởng sai học sinh nhầm kí hiệu Lời giải đúng: Vậy * Học sinh nhầm lẫn khái niệm đường tròn hình trịn kết luận tốn tập hợp điểm biểu diễn số phức Phân tích Ví dụ 17.( Bài 16b sgk giải tích 12 trang 148) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẳng thức Lời giải: Giả sử , Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm (0;1), bán kính 1( kết luận sai) Kết luận đúng: Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình trịn tâm (0;1), bán kính 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục: 11 skkn Để kiểm tra tính hiệu đề tài, tiến hành kiểm tra hai đối tượng hai lớp có lực học tương đương: lớp 12A4 thử nghiệm dạy lớp đối chứng 12A5 trường THPT Đông Sơn 2, huyện Đông Sơn, Thanh Hóa Qua q trình thiết kế soạn, thực nghiệm giảng dạy kiểm tra đánh giá kết quả, thấy rằng: - Học sinh lớp 12A4 hứng thú học tập tiếp thu nhanh kiến thức đưa Các em có khả vận dụng kiến thức để giải làm tốn có liên quan đến số phức Từ tư toán học em nâng lên, chất lượng mơn Tốn nâng lên đáng kể Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 nhà trường, đề thi hay, phù hợp bám sát với thi THPT Quốc Gia, có tốn liên quan đến số phức, 80% học sinh 12A4 làm tốn Kết thu sau : Điểm 4-4.8 5-5.8 6-6.8 7-7.8 8-8.8 9-9.8 10 Lớp Tổng số 12.A6 10 42 12.A7 12 15 45 Qua đây, học sinh có hứng thú học tập tốn mà tìm nhiều phương pháp giải Các em khơng cịn thấy “xa lạ” với tốn trắc nghiệm Giáo viên tích cực giảng dạy, khai thác sâu toán liên quan đến số phức Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp vào giải tốn, các em có tư tích cực, độc lập tạo cho em mạnh dạn, tự tin hơn, u thích, ham mê với mơn tốn III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Đề tài phân dạng xây dựng số phương pháp giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh.Chính phần tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên giảng dạy tiết tập q trình ơn thi THPTQG.… Nhưng với khn khổ đề tài có hạn tơi nêu phần ví dụ số tốn điển hình, chủ yếu phân số dạng tập sai lầm thường mắc phải, phù hợp với trình độ nhận thức lực tư phận học sinh trung bình Thơng qua rèn luyện kỹ trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, logic Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh 12 skkn Kết áp dụng đề tài vào giảng dạy thể qua phần 2.4 Trong thời gian tới, thân tiếp tục đưa đề tài vào giảng dạy học sinh trung bình trở lên với mong muốn em đạt kết tốt học tập, đặc biệt kì thi 3.2 Đề xuất: Việc dạy phần số phức cần phải kiên trì, uốn nắn kiểm tra thường xun liên tục Mỗi tốn thường có nhiều cách giải, yêu cầu học sinh phải thành thạo quy trình giải dạng Do tập yêu cầu học sinh cần bước quy trình giải Học sinh làm thành thạo cách cho tiến hành sử dụng cách khác cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Quá trình tìm hiểu khó khăn học sinh giải tốn số phức Bản thân tơi suy nghĩ nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , Do tơi xây dựng đề tài cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Tuy vậy, trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận góp ý Hội đồng khoa học nhà trường đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phan Anh Thắng 13 skkn 14 skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hà Việt Phương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Đông Sơn T T Tên đề tài SKKN Ứng dụng hệ thức lượng tam giác giải số toán thực tế Hướng dẫn học sinh khai thác tìm cách giải số tốn quan hệ vng góc ba điểm đường thẳng hình học phẳng Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Nghành C 2016 -2017 Nghành C 2018 -2019 15 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồnh Phị , Phân dạng phương pháp giải toán số phức,nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Đức Nghị , phân loại tốn Giải tích 12 theo chủ đề , NXB Gi¸o dôc Việt Nam Trần Bá Hà, phân dạng phương pháp giải tốn Giải tích 12 theo chủ đề , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Đề minh họa, đề thử nghiệm mơn Tốn THPT Quốc Gia Bộ giáo dục; đề thi thử Sở giáo dục, trường THPT toàn quốc Các tài liệu tham khảo Internet 16 skkn ... Bài tập vận dụng: Bài Giải phương trình sau: Bài 10 Gọi bốn nghiệm phương trình tập số phức tính tổng: Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức C: Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z skkn. .. phưc sau: Bài Cho số phức z thỏa mãn: Tìm mơđun Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn: Bài (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn Tính mơđun số phức Dạng 2: Giải phương trình bậc hai tập số phức Xét phương. .. Các phép toán số phức: +) Cho +) +) +) +) * Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức Khi : +) Đại lượng gọi mơđun z Kí hiệu +) Số phức gọi số phức liên hợp z +) Định nghĩa: Cho số phức Căn