Skkn phân dạng bài tập giúp học sinh tiếp cận, định hướng giải nhanh phần nguyên hàm tích phân

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng chiếm vai trị quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung Ngun hàm – Tích phân ứng dụng trình bày tồn chương giải tích 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng nội dung xuất cấu trúc, ma trận đề thi Tốt nghiệp THPT Đây chủ đề có nhiều khó khăn việc dạy học Ngồi ra, việc trình bày kiến thức SGK, SBT sách tham khảo, hệ thống tập dàn trải học sinh thường thời gian giải tập phần Đã có số đề tài nghiên cứu vận dụng phương pháp dạy học tích cực xác định sai lầm thường gặp học sinh giải tốn Ngun hàm – Tích phân nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Tuy nhiên, đề tài quan tâm nghiên cứu việc phân dạng tập giúp học sinh tiếp cận nhanh xác định nhanh hướng giải Xuất phát từ lý trên, từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm tòi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn internet, tơi lựa chọn đề tài: “Phân dạng tập giúp học sinh tiếp cận, định hướng cách giải nhanh phần Nguyên hàm – Tích phân” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng; - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ bổ sung vào hành trang kiến thức cho HS để bước vào kì thi Tốt nghiệp THPT; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phân dạng tốn Ngun hàm – Tích phân để giải toán liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 lớp 12; skkn - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm skkn Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số nguyên hàm hàm số Định lí 1: Nếu xác định K Hàm số K với nguyên hàm hàm số số C, hàm số gọi K với nguyên hàm K Định lí 2: Nếu nguyên hàm nguyên hàm hàm số K có dạng K , với C số 2.1.2 Tính chất nguyên hàm TC1: TC2: TC3: 2.1.3 Bảng nguyên hàm từ định nghĩa: Bảng nguyên hàm: 2.1.4 Bảng ngun hàm bổ sung: Định lí: Nếu tục Hệ quả: Với u = ax + b (a 0) ta có: skkn hàm số có đạo hàm liên Ví dụ: a) b) c) d) Từ ta có bảng nguyên hàm bổ sung: Bảng nguyên hàm bổ sung: a Chú ý: Vi phân: Ví dụ: a) c) b) d) 2.1.5 Tích phân tính chất Định nghĩa: Cho nguyên hàm hàm số liên tục đoạn đoạn Hiệu số tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn TC1: TC2: TC3: skkn Giả sử gọi hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm tốn ngun hàm, tích phân ln xuất hiện, chiếm khoảng 10% đề thi chủ yếu câu thuộc mức độ nhận biết, thông hiểu Đối với đa số học sinh chưa nắm vững, nhận dạng toán gần học sinh nhiều thời gian việc định hướng cách làm q trình làm thường mắc sai sót Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân dạng toán Nguyên hàm – Tích phân - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong toán yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: Chia thành dạng nguyên hàm sau: 2.3.1 Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Trong sách giáo viên (Ban bản, trang 114) có nêu bảng nguyên hàm dạng hàm số hợp f(u) với u = u(x) Tuy nhiên, qua thực tế cho thấy học sinh khó nhớ vận dụng vào tập, khơng phải có dạng giống cơng thức mà cịn xuất thêm hệ số mà học sinh khơng vận dụng cơng thức Ví dụ: Từ cơng thức Nếu học sinh gặp tốn , học sinh nhận thấy (2x2+1)’=4x, học sinh học trung bình – trở lên áp skkn dụng cơng thức Nhưng gặp tốn em khơng thể vận dụng Từ lý trên, để tạo điều kiện cho học sinh làm tập có hiệu quả, nêu lên số trường hợp đổi biến thơng dụng tốn tính ngun hàm phương pháp đổi biến 2.3.1.1.Một số trường hợp đổi biến thông dụng: Dấu hiệu Cách đặt biến Hàm số có chứa mẫu u mẫu Hàm số có chứa u tồn Hàm số có chứa lũy thừa u lượng lũy thừa Nhân tử mẫu cho x Đặt u = x 2.3.1.2.Các ví dụ cụ thể cho dấu hiệu: Ở ví dụ ta cho tập từ đơn giản đến phức tạp 2.3.1.2.1 Hàm số có chứa mẫu:   Đặt u = 1–x3 Đặt u = 1+x2 du=-3x2dx x2 = u-1 x2dx= 2xdx=du du Suy xdx= du Suy  Đặt u=cosx du=-sinxdx skkn sinxdx = -du Suy Đặt u=x2+2x+3  du=2(x+1)dx (x+1)dx= du Suy 2.3.1.2.2 Hàm số có chứa căn:  u2=x+1 Đặt u =  u2 =4-x2 Đặt u = 2udu=dx Suy x2=4-u2 xdx=-udu Suy  u3=1+3x8 Đặt u= x7dx= x8 = Suy  u2=cotx Đặt u= -2udu= dx Suy 2.3.1.2.3 Hàm số có chứa lũy thừa: Đặt u = 4x2-5    Đặt u = sinx du=8xdx du =cosxdx Suy Đặt u=1+x2010 du=2010x2009dx Suy  2.3.1.2.4 Đặt u=lnx xdx= du Suy du= dx Suy : skkn x2009dx = du  Đặt u = 3sinx  Đặt u = lnx  Đặt u=  2.3.1.2.5 du=cosxdx Suy du = dx Suy u2 =cos2x 2udu=-2sin2xdx Đặt u=1+3lnx sin2xdx=-udu Suy du= dx Suy :  u2 =x2 -1 Đặt u = x2=u2+1 xdx= udu Suy  u2 =x2 +1 Đặt u = 2.3.1.2.6  : Đặt x =2sint ( ) dx =2costdt Suy  Đặt x = tant ( ) Suy 2.3.2 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: skkn dx= dt udu =xdx Suy Nguyên hàm hàm số hữu tỉ phức tạp, nghiên cứu sâu vào hàm số khơng phù hợp với u cầu sách giáo khoa, tơi nghiên cứu hàm số hữu tỉ có dạng với P(x) đa thức 2.3.2.1.Hằng đẳng thức: (*) Ví dụ: a) b) 2.3.2.2.Nguyên hàm hàm số 2.3.2.2.1.P(x)=A (hằng số): a) : Đưa dạng (k số) b) =0 : Đưa dạng c) >0 : Đưa dạng (k số) đưa dạng áp dụng đẳng thức (*) Ví dụ: Tính:  Đặt x+ = tant dx= dt Suy   = skkn 2.3.2.2.2.P(x)=Ax+B: Ta biến đổi dạng Ví dụ: Tính  Để tính A1 ta đặt u=x2+x+1 tính A2 thực phần 2.1  Để tính B1 ta đặt u=2x2-x-1 tính B2 thực phần 2.1 2.3.2.2.3 P(x) có bậc lớn 1: Ta chia P(x) cho ax2+bx+c để đưa trường hợp nêu Ví dụ: 2.3.3 Nguyên hàm hàm số lượng giác: Nói chung hàm số dấu tích phân hàm số lượng giác, ta cần biến đổi để đưa dạng nêu phần 2.3.2 Tuy nhiên dạng này, nhiều phức tạp, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều Do vậy, đưa vài dạng mà nghĩ học sinh thường hay gặp 2.3.3.1 Dạng : Phương pháp: Đặt t=tan Chú ý: Đặt t=tan , cosx= dt= biến đổi đưa tích phân hàm số hữu tỉ theo t dx= (1+tan2 )dx , tanx= Ví dụ: Tính a) 10 skkn dx= sinx= Đặt t=tan dx= Suy b) Đặt t=tanx dx= Suy 2.3.3.2 Dạng (m, n Z): Phương pháp: Xét trường hợp: Nếu m lẻ (hoặc n lẻ): Đặt u=cosx (hoặc u=sinx) Nếu m n chẵn có hai số số âm: Đặt t=tanx Nếu m n số dương chẵn: Dùng cơng thức hạ bậc Ví dụ: Tính: a) Đặt u=cosx du=-sinxdx sinxdx=-du Suy b) Đặt u=cosx -du=sinxdx Suy c) 11 skkn = d) Đặt u=tanx du= Suy 2.3.3.3.Dạng : Phương pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng Ví dụ: Tính a) b) c) 2.3.4 Phương pháp tính nguyên hàm phần: Nếu u= u(x), v=v(x) hàm số xác định có đạo hàm liên tục K Trong thực tế, việc vận dụng phương pháp tính nguyên hàm phần phải linh hoạt Đơi phải có dự đốn khác thường Do đó, tơi nêu hai dạng mà học sinh thường gặp 2.3.4.1.Dạng 1: Gọi P(x) đa thức : Đặt u=P(x), dv=amxdx : Đặt u=P(x), dv=sinaxdx : Đặt u=P(x), dv=cosaxdx 2.3.4.2 Dạng 2: : Đặt u=logax, dv=P(x)dx Qua hai dạng ta ý cho học sinh cần nhớ cách đặt dạng dạng ngược lại Ví dụ: Tính a) Đặt 12 skkn Suy b) Đặt Suy c) Đặt Suy d) Đặt Suy Lại đặt Suy Do đó, 2D=ex(sinx-cosx) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tơi tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh hứng thú học tập mơn tốn, em biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng cịn bị động, em cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học 13 skkn sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường Trong năm học 2021 – 2022 áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12C3, không áp dụng cho lớp 12C5 Sau kết thúc kỳ thi thử Tốt nghiệp THPT Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức kết làm cho thấy lớp 12C3 có 95% học sinh giải tốn liên quan đến Ngun hàm, tích phân lớp 12C5 có 47,12% Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Sau thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp; tơi hệ thống, phân dạng lại tốn Nguyên hàm, tích phân ví dụ, cụ thể:  Bảng nguyên hàm mở rộng  Một số công thức đổi biến số thường gặp  Nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ  Nguyên hàm, tích phân hàm số lượng giác  Phương pháp nguyên hàm phần cách vận dụng Từ việc phân dạng tập phải ý học sinh yếu kém, giáo viên nên coi trọng tính vững kiến thức, kĩ chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức Do việc luyện tập cần đặc biệt ý Khoảng cách tập liên tiếp không nên xa, cao Cần cho học sinh bước theo bậc thang vừa với sức mình, học sinh đỡ bị hẫng, bị hụt, bị ngã, có nhiều khả leo hết nấc thang dành cho họ để chiếm lĩnh kiến thức, kĩ mà chương trình yêu cầu Những nấc thang đầu dù có thấp, bước chuyển bậc dù có ngắn học sinh thành công tạo nên yếu tố tâm lí quan trọng: em tin vào thân, tin vào sức mình, từ có đủ nghị lực tâm vượt qua kỳ thi 14 skkn Thông qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn, định hướng cách giải giúp học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng tốn ngun hàm tích phân Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngồi sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để chúng tơi áp dụng q trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Nga 15 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải tốn tích phân, Nxb Hà Nội [3] Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm [4] Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục [5] Trần Phương, Phương pháp giải toán tích phân, Nxb ĐHQG Hà Nội [6] Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục 16 skkn ... thống, phân dạng lại toán Nguyên hàm, tích phân ví dụ, cụ thể:  Bảng nguyên hàm mở rộng  Một số công thức đổi biến số thường gặp  Nguyên hàm, tích phân hàm số hữu tỉ  Nguyên hàm, tích phân hàm. .. lí 1: Nếu xác định K Hàm số K với nguyên hàm hàm số số C, hàm số gọi K với nguyên hàm K Định lí 2: Nếu nguyên hàm nguyên hàm hàm số K có dạng K , với C số 2.1.2 Tính chất nguyên hàm TC1: TC2:... chọn lời giải ngắn gọn sở phân dạng tốn Ngun hàm – Tích phân - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong toán yêu cầu học sinh thực phân tích chất đưa hướng