Skkn một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ở trường thpt nông cống 3

MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1 Về phía học sinh 2.2.2 Về sách giáo khoa 2.2.3 Về phía giáo viên 2.3 Các biện pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 2.3.2 Giải pháp III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 19 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 skkn Đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3” I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Giải phương trình nội dung kiến thức quan trọng, học sinh trung học phổ thông, phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc nhất, bậc hai đơn giản hầu hết học sinh nắm cách giải Tuy nhiên gặp phương trình vơ tỷ phần lớn học sinh bị lúng túng, ngỡ ngàng, khơng tìm hướng giải Thực tế cho thấy phương trình vơ tỷ gây khó khăn nhiều cho học sinh nói chung học sinh trường THPT Nơng Cống nói riêng Trong chương trình học sách giáo khoa lại không đề cập đến dạng phương trình có dừng lại mức độ đơn giản, không đáp ứng yêu cầu kì thi Vậy làm để giúp em học sinh lớp 10 tiếp cận với phương trình dần đến giải phương trình nêu Cùng với xu hướng nhà trường cho học sinh chọn ban chọn khối từ năm lớp 10 kết hợp với khả học sinh trường THPT Nông Cống 3, muốn cung cấp, bổ sung thêm cho em cách giải phương trình vơ tỷ cách dùng ẩn phụ Đây cách giải địi hỏi phải có tư chặt chẽ, lơgic có hiệu cao Ở tơi khơng tham vọng em giải hết phương trình nhiên phần học sinh biết cách định hướng, nhận biết, để đặt ẩn phụ giải số dạng tương đối đơn giản thường gặp Với mong muốn đó, tơi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành đề tài: “Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải skkn phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ trường THPT Nơng Cống 3’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài khơng ngồi mục đích giúp học sinh phát mối quan hệ biểu thức phương trình, từ biết cách đặt ẩn phụ thích hợp để đưa giải phương trình hệ phương trình quen thuộc Để đạt điều này, sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày : a Những kiến thức cớ phương trình hệ phương trình b Hai dạng tốn : Dạng 1: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ Dạng 2: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt nhiều ẩn phụ (hai, ba … ẩn) đưa giải hệ phương trình 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong trình giảng dạy lớp 10 trường THPT Nơng Cống 3, tơi nhận thấy có nhiều em ham thích, tìm tịi cách giải phương trình Tuy nhiên đối mặt với phương trình vơ tỷ em gặp khó khăn, khơng định hướng cách giải, số tìm cách giải lời giải cồng kềnh, phức tạp Nếu biết đặt ẩn phụ cách thích hợp đưa phương trình hệ phương trình quen thuộc tốn trở nên đơn giản nhiều cách giải rõ ràng, chặt chẽ Sáng kiến áp dụng cho học sinh lớp 10A2 trường THPT Nông Cống 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đề tài hoàn thiện phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát, phân tích nguyên nhân phương pháp thực nghiệm sư phạm II NỘI DUNG skkn 2.1 Cơ sở lý luận: Phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 chủ yếu phương trình chứa bậc hai, bậc ba Với phương trình chứa bản, đơn giản học sinh nắm cách giải Bên cạnh đó, em cịn gặp nhiều phương trình vơ tỷ mà khơng có phương pháp giải cụ thể, mẫu mực, phương trình thường giải cách đặt ẩn phụ Ẩn phụ hiểu ẩn khác với ẩn cho toán, ẩn phụ hiểu theo từ ẩn phụ (không ẩn chính) Quy trình để giải tốn phương pháp đặt ẩn phụ tiến hành sau: Bước 1: Xuất phát từ toán cho đặt ẩn phụ thích hợp chuyển tốn cho thành tốn ẩn phụ Bước 2: Tìm ẩn phụ quay tìm ẩn ban đầu Tuy nhiên khó tốn đơi mối liên hệ đại lượng tham gia phương trình khơng phải dễ thấy, có chúng lại “ẩn nấp” kín đáo làm cho người giải tốn tưởng chừng chúng khơng liên quan với Chính địi hỏi người làm tốn phải có cách nhìn tinh tế, sáng tạo, logic tìm mối liên hệ yếu tố để đặt ẩn phụ giải phương trình 2.2 Thực trạng đề tài : 2.2.1 Về phía học sinh Trong trình giảng dạy mơn tốn lớp 10, tơi nhận thấy, dạy giải phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc bậc hai đơn giản, phương trình bản, học sinh nắm cách giải Tuy nhiên, gặp phương trình vơ tỷ khác lạ phạm vi lớp 10 học sinh bị bế tắc, khơng định hướng cách giải Các phương trình dạng này, phần lớn phức tạp không giải theo cách phổ thơng mà phương trình biểu thức có mối liên hệ đặc biệt, địi hỏi học sinh phải phát đặt ẩn phụ thích hợp để đưa giải hệ phương trình quen thc skkn Thực tế có khoảng 6% - 10% học sinh biết cách giải theo cách đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình quen thuộc để giải, hầu hết em không nghĩ tốn giải theo cách khơng định hướng cách giải 2.2.2 Về sách giáo khoa Sách giáo khoa đơn đưa ví dụ giải phương trình bậc hai, phương trình chứa bậc hai, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản Ngay phương trình chứa bậc hai, chứa dấu giá trị tuyệt đối không đề cập đến cách giải tổng quát, học sinh gặp nhiều khó khăn đối mặt với phương trình vơ tỷ 2.2.3 Về phía giáo viên Với sức ép chương trình, qui chế chun mơn, thời lượng thực chương trình sát sao, làm cho giáo viên đủ thời gian chuyển tải nội dung sách giáo khoa, có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần mở rộng chủ yếu tiết phụ đạo, bồi dưỡng 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp sau: 2.3.1 Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh kiến thức cần thiết Giáo viên trang bị cho học sinh dạng bảng hệ thống kiến thức để học dễ nhớ, dễ vận dụng 2.3.1.1 Các kiến thức giải phương trình, hệ phương trình 2.3.1.2 Các kiến thức giải phương trình chứa bậc hai a b Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần đặt ẩn phụ để giải 2.3.1.3 Các hệ phương trình skkn a Hệ phương trình bậc ẩn: - Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số - Cách 2: Dùng phương pháp - Cách 3: Dùng định thức: D = a1b2 – a2b1; Dx = c1b2 – c2b1 ; Dy = a1c2 – a2c1 b Giải hệ phương trình bậc ẩn - Nguyên tắc chung khử bớt ẩn số, đưa hệ có ẩn số hơn, từ ta dễ dàng tìm nghiệm hệ - Muốn khử bớt ẩn ta dùng phương pháp phương pháp cộng đại số c Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai - Ta dùng phương pháp thế, từ phương trình bậc ta tính ẩn theo ẩn - Thế vào phương trình cịn lại, ta phương trình ẩn tính giá trị ẩn - Suy giá trị ẩn cịn lại d Hệ đối xứng loại I Dạng: (I) đó: f(x, y) = f(y,x) ; g(x, y) = g(y,x)  Cách giải: Đặt S = x + y; P = xy Đưa hệ (I) dạng: (II) Giải hệ (II) tính S, P Với cặp nghiệm (S0; P0) (II) x; y nghiệm phương trình: X2 – S0X + P0 = Điều kiện tồn x, y là: S02 – 4P0 Chú ý: Tính chất nghiệm đối xứng Nếu (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm (x0; y0) nghiệm nghiệm (y0; x0) suy ra: x0 = y0 skkn e Hệ đối xứng loại 2: cho hệ đó: Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng: Hệ cho tương đương với hệ: 2.3.2 Giải pháp 2: Phân tích cách đặt ẩn phụ hướng dẫn giải qua số toán 2.3.2.1 Dạng 1: Đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ a Bài tốn 1 : Giải phương trình : Đặt ta phương trình : t2 - 3t + = +) với t = ta được : +) với t = ta được : Vậy phương trình có tập nghiệm : S = Nhận xét : Để ý rằng : ta biểu diễn theo t (với ) b Bài tốn 2: Giải phương trình: Chú ý: ta biến đổi phương trình để tìm cách đặt ẩn phụ Đặt ta Khi ta có phương trình : skkn t2 + t – = +) Với t = suy +) với t = - suy Vậy phương trình có tập nghiệm : S = {2 ; } c Bài tốn 3 : Giải phương trình : Điều kiện: Do hai vế khơng âm, bình phương hai vế biến đổi, thu gọn ta được: (*) Do đồng biến nên 27 > Nếu bình phương lần ta thu phương trình tương đương có bậc nên việc giải bị khó khăn Để khắc phục điều đó, ta phân tích phát mối liên hệ biểu thức có mặt hai vế (*) Ta có: Và Việc phát mối liên hệ cho phép ta thu được: Mà dạng tổng qt phương trình có dạng : Khi nên , chia vế phương trình cho Đến ẩn phụ xuất hiện, là: ta được: , phương trình theo ẩn u là: skkn +) +) Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình: 2.3.2.2 Dạng 2: Đặt nhiều ẩn phụ đưa giải hệ phương trình nhiều ẩn a Bài tốn 1: Giải hệ phương trình =5 (1) Nhận xét: Tổng hai biểu thức dấu không phụ thuộc vào x (x2 + + 10 – x2 = 0) nên toán giải sau Giải Điều kiện: 10 – x2 Đặt Khi đó, (1) trở thành hệ: (2) (2) (cả hai nghiệm thoả mãn *) Trường hợp 1: => Trường hợp 2: => Chú ý: Bài tốn giải theo cách bình phương hai vế, nhiên cách giải khơng hiệu lực lời giải phức tạp, học sinh phải bình phương hai lần đưa giải phương trình bậc (may mắn phương trình trùng phương, học sinh biết cách giải) Như nhận biết mối quan hệ skkn biểu thức phương trình đặt ẩn phụ trình bày trên, tốn trở nên rõ ràng đơn giản nhiều = (x - 3)3 + b Bài toán 2: Giải phương trình (1) Chú ý: Rõ ràng tốn giải theo cách lập phương hai vế Ta đặt ẩn phụ sau: Đặt (*) Từ phương trình (1) ta có: Từ cơng thức (*) ta có: Vậy phương trình (1) trở thành hệ: (2) (Đây hệ phương trình đối xứng loại 2) (2) Do = Thay vào (*) ta x = nghiệm phương trình c Bài tốn 3: Giải phương trình Nhận xét: Lập phương biểu thức thứ cộng với bình phương biểu thức thứ hai số không đổi (không phụ thuộc vào x) Do ta đặt: Từ ta có hệ: (2) (2) skkn 10 Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: d Bài tốn 4: Giải phương trình: (1) Hướng dẫn: Bài toán tương tự toán Ta đặt: Ta thu hệ sau: (2) Bằng phương pháp ta (2) e Bài toán 5: Giải phương trình: (1) Nhận xét:Tổng hai biểu thức dấu không phụ thuộc vào x nên ta đặt ẩn phụ đưa hệ sau: Giải: Điều kiện: Đặt Từ (*) (1) Do ta có hệ : Thay vào (*) ta : skkn x= 11 f Bài tốn 6: Giải phương trình: (1) Giải: Đặt: Mối liên hệ hai ẩn cho phương trình: (*) Khi phương trình cho biến đổi dạng: Kết hợp với điều kiện ta có: ( ) Như việc giải phương trình cho chuyển giải hệ hai phương trình hữu tỉ đơn giản: Từ ta có: Vậy phương trình có nghiệm g Bài tốn 7: giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Đặt x R Suy ra: u3 + v3 = 2; skkn 12 Từ ta có hệ: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 5; x = 6; x = h Bài tốn 8: Giải phương trình (1) Nhận xét: Và với x Do ta đặt: Ta thu hệ: Trở tìm x ta có hệ: i Bài tốn 9: Giải phương trình: skkn 13 Nhận xét: Do ta đặt ẩn phụ sau: u = Với diều kiện u; v; z; t ;v= ;z= ;t= ta thu hệ : Từ phương trình hai hệ ta có: Mặt khác u; v khơng đồng thời nên: (*) Từ phương trình thứ hệ (*) ta suy ra: u = z => x = (thoả điều kiện u; v; z; t 0) Vậy phương trình có nghiệm x = k Bài tốn 10: giải phương trình: Nhận xét: Từ dẫn đến việc giải toán sau: Đặt : Điều kiện: (*) Từ phương trình cho ta thu Bằng cách quan sát ẩn phụ , ta thấy mối liên hệ chúng cho phương trình: Vậy ta có hệ: skkn 14 Do nên từ hệ ta thu được: x = -2 Nhận xét: Ở tập ta đặt ẩn phụ để đưa giải hệ phương trình, việc giải hệ khơng trở nên phức tạp ẩn có mối quan hệ đặc biệt Nếu học sinh giải theo cách bình phương hai vế tốn trở nên bế tắc phương trình nhận phương trình bậc khơng có dạng đặc biệt Ngồi phương trình (chủ yếu phương trình vơ tỷ) có dạng trên, q trình làm tốn, học sinh cịn gặp số dạng tốn giải phương trình mà ta chuyển giải hệ gồm ẩn phụ u ẩn lại ẩn x Như từ toán 11 đến toán 13 sau đây, phương trình dạng gặp nhiên khơng nhận dạng tốn phương pháp giải gặp khó khăn lớn khơng có phương pháp khác để giải Để lập hệ hai phương trình hai ẩn mà có ẩn phụ u ẩn lại x từ phương trình cho f(x) = (1) ta tiến hành sau: Biến đổi phương trình (1) dạng: f[x, g(x) ] = Sau đặt u = g(x) hệ thu có dạng: (2) Các hệ thu nói chung hệ đối xứng loại học sinh biết cách giải chương trình đại số 10 Dưới giải số ví dụ minh hoạ l Bài tốn 11: Giải phương trình: x3 - =2 skkn (1) 15 Giải Đặt: u = (*) Từ phương trình ta thu x3 = 3u + Từ (*) ta có: u3 = 3x + Vậy ta có hệ: (2) (2) Vì với Từ hệ cuối ta : Vậy nghiệm phương trình là: S = {-1; 2} m Bài tốn 12: Giải phương trình: (1) Giải Cách 1: Điều kiện: (1) Điều kiện có nghiệm: Vậy điều kiện để giải phương trình là: skkn 16 Cách 2: Điều kiện: Đặt u = => Ta có hệ: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Nhận xét: Cách giải phổ thơng rõ ràng hiệu lực thay phương trình (1) phương trình: phương trình bậc hữu tỉ thu có dạng: Trong với cách giải thứ ta thu hệ: Cách giải tương tự giải hệ nêu n Bài tốn 13:Giải phương trình: (1) Giải Bài tốn khơng thể giải theo cách thơng thường khai triển phương trình (1) phương trình bậc khơng đặc biệt (khơng phải phương skkn 17 trình trùng phương, hồi quy, phản thương) Cách giải tập dùng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ta đặt , từ (1) ta lại có: Vậy ta hệ: Từ ta có: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Một số tập đề xuất Giải phương trình sau: (khối B- 2010) (khối B- 2011) 10 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: skkn 18 Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Nơng Cống Phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói tăng lên có kết qua kiểm tra thử sau : Năm học Lớp Tổng số Điểm trở lên Số lượng Tỷ lệ Điểm từ đến Số lượng Tỷ lệ Điểm Số lượng Tỷ lệ 2021- 10A2 41 16 39,02% 22 53,66% 7,32% 2022 10A3 40 20% 27 67,5% 12,5% Như thấy phương pháp có hiệu rõ rệt Tuy nhiên việc nghiên cứu, áp dụng mức độ ban đầu nên kết hạn chế Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian trí tuệ thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức cho học sinh Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân, thông qua số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì tơi mong Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy Tôi ngày phong phú hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn skkn 19 3.2 Kiến nghị : Để thực đề tài có hiệu tơi có kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Nhà trường cần khảo sát chất lượng đầu năm để xác định đối tượng học sinh học yếu, học Có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kịp thời Nâng cao chất lượng đại trà khối lớp buổi học ngồi khóa đặc biệt tăng cường buổi phụ đạo cho học sinh yếu Tăng cường phối hợp gia đình với nhà trường, giáo viên môn với giáo viên chủ nhiệm để tạo sức mạnh tổng hợp Phát động đợt thi đua học tập cơng tác Đồn Tổ chức câu lạc giúp học tập… - Đối với sở GD ĐT: Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo Sở GD&ĐT nên mở thêm lớp tập huấn trao đổi, học tập kinh nghiệm lẫn để nâng cao trình độ chuyện mơn nghiệp vụ đội ngũ giáo viên XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 26 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác skkn 20 Mai Đức Huy IV TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước skkn 21 ...Đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3? ?? I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Giải phương trình nội dung kiến... đề tài: ? ?Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải skkn phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ trường THPT Nông Cống 3? ??’ 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài khơng ngồi mục đích giúp học sinh phát... gặp nhiều phương trình vơ tỷ mà khơng có phương pháp giải cụ thể, mẫu mực, phương trình thường giải cách đặt ẩn phụ Ẩn phụ hiểu ẩn khác với ẩn cho toán, ẩn phụ hiểu theo từ ẩn phụ (khơng ẩn chính)