Skkn một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán tỉ lệ trong hình học không gian lớp 11

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Sự nghiệp Giáo dục Đào tạo nước ta đào tạo bồi dưỡng cơng dân Việt Nam có đủ phẩm chất, nhân cách lực để đáp ứng được đòi hỏi nghiệp xây dựng phát triển đất nước Tốn học đóng vai trị to lớn việc rèn học sinh tư logic, rành mạch, điều giúp cho việc tiếp cận với lĩnh vực, tình thực tế trở nên dễ dàng Một phân mơn Tốn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn hình học khơng gian lớp 11, 12 Hình học khơng gian mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, mơn học giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư logic – khoa học Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy nhiều học sinh chưa có hứng thú gặp khó khăn việc tiếp thu kiến thức hình học khơng gian, kết học tập mơn học chưa cao Vì để tạo hứng thú nâng cao kết học tập cho học sinh thì việc đổi phương pháp dạy học tăng cường sử dụng phương pháp dạy học tích cực phù hợp với nội dụng học nhân tố đóng vai trị quan trọng Qua 10 năm giảng dạy mơn tốn lớp 11, tơi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức hình học khơng gian học sinh khó khăn, tơi chọn đề tài ''Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận tốn tỉ lệ hình học khơng gian lớp 11" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tìm phương pháp dạy thích hợp để nâng cao khả tiếp thu học sinh - Tăng cường hứng thú cho học sinh tiết học, đặc biệt tiết học hình học khơng gian - Nâng cao khả sử dụng kiến thức hình học khơng gian sống học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung vào tỉ lệ đoạn thẳng, diện tích hình, từ áp dụng việc tính tốn số tốn hình học không gian, nội dung kiến thức chủ yếu học kỳ chương lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu, tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài Phương pháp quan sát (công việc dạy - học giáo viên HS) Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…) Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) Trang skkn Phương pháp thực nghiệm Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Chương trình tốn học kỳ lớp 11, tập trung vào phần tỉ lệ đoạn thẳng, tỉ lệ diện tích 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Phân mơn hình học tốn phân mơn khó, đặc biệt với chun đề hình học khơng gian lại "món khó nuốt" với nhiều học sinh Các học sinh có kiến thức khơng đồng đều, điều kiện vùng nơng thơn khó khăn nên việc tự học, tự trau dồi kiến thức học sinh cịn nhiều hạn chế Trong chương trình phổ thơng, thời lượng dạy hình học khơng gian cịn ít, thời lượng lý thuyết thực hành Với nhiều học sinh, từ bước ban đầu vẽ hình, xác định điểm… cịn sai sót Với tập định tính lại khó với đa số học sinh kết thường số khơng "đẹp" Do để dạy hình học khơng gian, giáo viên cần tận tình, chậm rãi có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh để nâng cao chất lượng dạy Đề tài phần nhỏ tốn định lượng: tính tốn, so sánh đại lượng hình học Thơng qua đề tài, tác giả hướng tới mục đích “đơn giản hóa” tốn hình học khơng gian, tìm hướng tiếp cận để nâng cao chất lượng Đồng thời, qua đề tài ''Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận tốn tỉ lệ hình học khơng gian lớp 11", tác giả có mục đích phát triển số tốn từ tốn hình học phẳng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Đề tài tập trung vào số tốn có sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng, diện tích hình Bằng cách đưa toán dẫn dắt từ mức độ bản, nâng dần độ khó để học sinh tiếp cận toán dễ dàng Nội dung đề tài chủ yếu tập trung phần quan hệ song song lớp 11 Đề tài sử dụng để hỗ trợ tốn thể tích khối đa diện A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong phần này, người viết nêu số định lý sử dụng đề tài Để đề tài cô đọng, người viết xin phép lược bỏ chứng minh định lý Độc giả thấy chứng minh định lý mục tài liệu tham khảo Định lý Thales Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý Menelauyt Cho tam giác Các điểm , , chia đoạn thẳng , , theo tỉ số , , (đều khác ) Khi , , Trang skkn thẳng hàng Định lý: (về tỉ số đồng dạng) Hai tam giác tích đồng dạng với theo tỉ số diện B MỘT SỐ BÀI TỐN I Một số tốn sử dụng định lý Talet Phương pháp chung để xác định tỉ lệ xét riêng đoạn thẳng, hình … mặt phẳng, sử dụng định lý, tính chất hình học phẳng để tìm kết Tuy nhiên, việc xác định mặt phẳng cần xét tỉ lệ khơng phải lúc đơn giản, cần có cách tiếp cận tốn từ đơn giản Xét toán sau: Bài 1: Cho tứ diện Điểm trung điểm Điểm thuộc cho tỉ số Mặt phẳng chia qua , song song với Tính Lời giải Ta có điểm chung Mặt khác và nên giao tuyến đường thẳng qua với , cắt Áp dụng định lý Talet tam giác , song song , suy Lập luận tương tự, giao tuyến song với , cắt đường thẳng qua , song Áp dụng định lý Talet tam giác , ta Đây toán thường gặp nhiều tài liệu Để giải toán 1, ta nên dẫn dắt toán sau: Bài tập dẫn dắt 1: Cho tứ diện Điểm trung điểm Điểm song với thuộc cho Giao tuyến Mặt phẳng Trang skkn qua , song A đường thẳng qua song song với B đường thẳng qua song song với C đường thẳng D đường thẳng qua song song với Đáp án: Chọn B Bài tập dẫn dắt 2: Cho tứ diện Điểm thuộc cho Điểm trung điểm Mặt phẳng qua , song song với Thiết diện hình chóp cắt A tam giác B tứ giác khơng có cặp cạnh song song C hình thang D hình bình hành Đáp án: Chọn C Cũng từ tập phát triển thành tập có độ khó lớn để kiểm tra khả tính tốn học sinh Bài tập phát triển 1: Điểm Cho tứ diện trung điểm phẳng qua chóp cắt A Hướng dẫn: , có tất cạnh Điểm song song với thuộc cho Mặt Tính chu vi thiết diện hình B C D Sử dụng cách tính Bài 1, thiết diện cần tìm hình thang , Áp dụng với định lý cosin Trang skkn , ta có Tương tự Chọn D Bài tập phát triển 2: Điểm Cho tứ diện thuộc song với cho Điểm Mặt phẳng trung điểm qua Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt A Hướng dẫn: B C , song D Sử dụng cách tính Bài 1, thiết diện cần tìm hình thang , Áp dụng với định lý cosin , ta có Tương tự Tứ giác Chọn A hình thang cân Thêm tốn tính tỉ số hai đoạn thẳng Bài 2: Cho tứ diện Các điểm , , trung điểm cạnh , , điểm cạnh Xác định giao điểm Tính tỉ số Lời giải Trang skkn Trong , gọi giao điểm giác Tương tự, gọi giao điểm Do Trong , suy trọng tâm , hai đường thẳng cắt Khi Tam giác trọng tâm tam có □ Việc xác định đoạn thẳng , thuộc mặt phẳng khơng khó, vấn đề cịn lại xác định yếu tố song song để dùng định lý Talet Đối với này, tơi có dẫn dắt toán sau Bài tập dẫn dắt 1: Cho tứ diện Các điểm , , trung điểm cạnh , , Các điểm , trọng tâm tam giác A Đường thẳng C Đường thẳng Đáp án: A Xác định giao tuyến hai mặt phẳng B Đường thẳng D Đường thẳng Bài tập dẫn dắt 2: Cho tứ diện trung điểm cạnh , , , tam giác và Các điểm , , , Các điểm , trọng tâm Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng A qua B qua Trang skkn C song song với D song song với Đáp án: C Bài tập phát triển 3: Cho tứ diện trung điểm cạnh , , , tam giác chia tam giác phần lớn A Hướng dẫn: B Các điểm , , , Các điểm , trọng tâm Giao tuyến hai mặt phẳng thành hai phần Tính tỉ số diện tích phần nhỏ C D Cách giải Bài 2, với ý hai tam giác số , Chọn C và đồng dạng theo tỉ Bài tập phát triển 4: Cho tứ diện điểm cạnh , tứ diện , cho Tính tỉ số Các điểm , Các điểm Xác định giao điểm , trung , thuộc A B .C D Chọn A Tỉ số hai đoạn thẳng không thuộc mặt phẳng mà "ẩn" giả thiết đề Sau ví dụ Bài 3: Cho hình chóp có đáy hình bình hành trọng Trang skkn tâm tam giác , tam giác Tính tỉ số Lấy điểm cạnh cho Lời giải Gọi , trung điểm đoạn thẳng Theo tính chất trọng tâm, ta có Vì đồng dạng với , trọng tâm tam giác nên Do hình bình hành (vì Suy và Vì tam giác nên Bài tập dẫn dắt 3: (mức độ 2) Cho hình chóp hình bình hành trọng tâm tam giác Lấy điểm cho A Chọn B Tính tỉ số B C ) có đáy cạnh □ D Trong toán trên, tỉ số cần tìm thực tỉ số tam giác bị "ẩn" tính chất song song Việc dẫn dắt toán nhỏ dẫn đến việc tính tỉ số đoạn thẳng tam giác Bài toán thiết diện dạng toán học sinh lớp 11 Sử dụng tỉ lệ để biện luận hình dạng thiết diện bắt buộc học sinh nắm vững cách tính tỉ lệ mặt phẳng, đồng thời phải tư trường hợp xảy Trang skkn không gian Bài 4: Hình chóp Điểm trung điểm ) Mặt phẳng có đáy hình thang với đáy , thuộc đoạn thẳng (không trùng với qua , song song với để thiết diện hình chóp cắt Lời giải với tứ giác Trường hợp 2: Điểm cắt Xác định giá trị lớn tam giác Vì mặt phẳng song song với nên giao tuyến đường thẳng qua , song song với , cắt Gọi giao điểm Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Điểm nằm đoạn thẳng ( không trùng với Khi cắt qua , song song với ) Giao tuyến đường thẳng cắt Thiết diện hình chóp , trường hợp khơng thỏa mãn tốn nằm đoạn thẳng Thiết diện hình chóp ( khơng trùng với với ) Khi tam giác Vậy thiết diện hình chóp bị cắt tam giác thuộc đoạn Gọi trung điểm , suy đường trung bình tam giác Trang skkn Hai tam giác đồng dạng nên Vậy Tỉ số lớn □ Việc xác định thiết diện gây khó khăn cho nhiều học sinh Bằng việc thay đổi u cầu tốn thành u cầu tìm giao tuyến với mặt hình chóp, tốn trở nên đơn giản Bài tập dẫn dắt 1: Cho hình chóp có đáy hình thang với đáy Điểm trung điểm , giao điểm Đường thẳng cắt với Giao điểm A đường thẳng qua B đường thẳng qua C đường thẳng D đường thẳng qua Hướng dẫn Chọn B Bài tập phát triển 5: đáy với Mặt phẳng song song với song song có đáy hình thang với trung điểm Mặt phẳng Thiết diện hình chóp cắt tam giác A B Hướng dẫn Thiết diện tam giác , nằm song song với song song với Cho hình chóp Điểm qua C có hình , Trang 10 skkn qua Tỉ số diện tích D , song song Tam giác đồng dạng với theo tỉ số , tỉ số Chọn B Các toán dẫn dắt giúp học sinh nắm trường hợp xảy thiết diện Việc tính tốn cịn lại nằm mặt phẳng , tốn cịn tính tốn hình học phẳng Ngồi việc xác định hình dạng thiết diện, diện tích thiết diện dạng toán thường gặp Bài tập dẫn dắt 2: Cho hình chóp có đáy hình thang có cạnh đáy Mặt phẳng qua cạnh song song với mặt phẳng Thiết diện hình chóp cắt A tam giác B hình bình hành C hình thang D ngũ giác Chọn C Bài tập dẫn dắt 3: (mức độ 3) Cho hình chóp có đáy hình thang có cạnh đáy Mặt phẳng song song với mặt phẳng , , Đặt , qua Mặt phẳng Tính tỉ số A B C Chọn A Các toán dẫn dắt để giải Bài Bài 5: Cho hình chóp có đáy Gọi cạnh diện tích tam giác song song với mặt phẳng tích thiết diện hình chóp skkn cắt cạnh theo D hình thang có cạnh đáy Mặt phẳng Đặt nửa diện tích Lời giải Trang 11 cạnh qua Xác định để diện Vì thẳng qua nên giao tuyến , song song với , cắt Tương tự, giao tuyến và , Thiết diện hình chóp , (cùng song song với Gọi giao điểm Khi , , thẳng hàng Dễ dàng nhận thấy tam giác , ; giao tuyến cắt hình thang , ) , giao điểm , Suy Trang 12 skkn có hai đáy đồng dạng với Suy đường Ta có Suy Ta cần tìm dương để □ Đối với học sinh khối 11, hình lăng trụ khái niệm Các tốn hình lăng trụ nên tiếp cận nhẹ nhàng, nâng dần mức độ Bài tập dẫn dắt 4: Cho hình lăng trụ tâm hình bình hành , mặt phẳng A đường thẳng C đường thẳng Chọn C Gọi , , Tìm giao tuyến hai , B đường thẳng D đường thẳng Bài tập dẫn dắt 5: (mức độ 2) Cho hình lăng trụ Gọi trọng tâm tam giác Ba giao tuyến hai ba mặt phẳng A đồng quy , thuộc C đồng quy Chọn A thuộc , B đôi song song D trùng Bài tập dẫn dắt 6: (mức độ 3) Cho hình lăng trụ Gọi trọng tâm tam giác Ba giao tuyến hai ba mặt phẳng A Chọn D , , B C Bài 6: Cho hình lăng trụ giác đồng quy Tính tỉ số Gọi D đoạn Lời giải Trang 13 skkn trọng tâm tam Chứng minh mặt phẳng có điểm chung Tính Gọi hai tâm hình bình hành Ta có Do hai đường trung tuyến tam giác nên chúng cắt trọng tâm tam giác , suy điểm chung ba mặt phẳng Gọi trung điểm đoạn và nằm Mặt khác Trong mặt phẳng ta có Để giải tốn trên, tơi dùng số tập dẫn dắt Bài tập dẫn dắt 7: thẳng trung điểm , B Gọi mặt phẳng qua chia cạnh C song song với đường D Gọi mặt phẳng qua Thiết diện lăng trụ B hình bình hành Trang 14 skkn trung điểm Cho hình lăng trụ trung điểm thẳng , A tam giác Tính tỉ số A Chọn D Bài tập dẫn dắt 8: Cho hình lăng trụ trung điểm song song với đường C hình thang Chọn D D ngũ giác Yếu tố song song sử dụng tốn làm việc tính tốn trở nên đơn giản Chỉ cần thay đổi yếu tố song song, tốn trở nên khó khăn Việc tính tốn lúc khơng cịn đơn giản Một số định lý giúp việc tính tỉ lệ nhanh chóng định lý Menelauyt Định lý khơng có sách giáo khoa bản, có sách tập nhiều tài liệu tham khảo khác II Một số toán sử dụng định lý Menelauyt Với tốn dùng định lý Menelauyt, tơi thường dẫn dắt hình học phẳng Bài tập dẫn dắt 1: Cho tam giác thỏa Tính tỉ số , điểm thỏa thỏa giao điểm và Sau số ví dụ Bài 7: Cho , , trung điểm cạnh diện Điểm thuộc cạnh cho , điểm Tính tỉ số Lời giải Trang 15 skkn , , tứ Xác định giao điểm Vì trọng tâm nên Sử dụng định lý Menelauyt tam giác ba điểm , , ta ba điểm , , ta Trong mặt phẳng , gọi giao điểm Sử dụng định lý Menelauyt tam giác Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt tam giác ta Bài 8: Cho hình chóp với đáy Gọi , trọng tâm tam giác Gọi với mặt phẳng , Tính tỉ số Lời giải trung điểm Trang 16 skkn ba điểm , , hình thang, đáy Gọi giao điểm Vì , trọng tâm tam giác nên Trong mặt phẳng , gọi giao điểm Giao tuyến hai mặt phẳng Trong mặt phẳng Vì , gọi là giao điểm đường trung bình , giao điểm nên Suy Áp dụng định lý Menelauyt với tam giác ta , với ba điểm thẳng hàng III Một số kết đặc biệt Bài 9: Hình chóp cắt , , , , có đáy hình bình hành tâm , , , , Chứng minh: Ta có đường thẳng , Xét tam giác , đồng quy Trang 17 skkn Mặt phẳng Từ kẻ Suy , kẻ , Ta có , Do Tương tự (đpcm) Bài 10: Cho hình chóp , đáy điểm di động bên hình thang song song với , a) Nêu cách dựng điểm b) Chứng minh c) Tìm tập hợp điểm * Dựng điểm , Gọi , Khi Gọi cắt mặt phẳng , khơng đổi cho diện tích tam giác Lời giải theo thứ tự lớn đường thẳng qua và , mặt phẳng hình thang ( ) Gọi Qua vẽ đường thẳng song song , suy giao điểm Trang 18 skkn , nên nằm giao điểm Tương tự giao điểm giao điểm với đường thẳng qua song song * Chứng minh khơng đổi Xét tam giác ta có , suy Xét tam giác Xét hình thang , ta có , ta có: , suy Suy * Tìm tập hợp điểm Vì Ta có có giá trị lớn cho diện tích tam giác số nên lớn nằm đường trung bình hình thang lớn Vậy Tập hợp đường trung bình hình thang Bài 11: Cho hình chóp Gọi điểm bên tam giác Qua dựng đường thẳng song song với , , cắt mặt theo thứ tự , , a) Chứng minh tổng bên tam giác b) Xác định vị trí điểm có giá trị khơng đổi để tích đạt giá trị lớn Trang 19 skkn , di động Lời giải * Đầu tiên, xác định vị trí , , Gọi giao điểm Trong mặt phẳng thẳng song song với , cắt Các điểm , tự * Chứng minh có giá trị khơng đổi Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác Tương tự, ta có: Suy Dựng đường cao ta có: : Diện tích tam giác : , , đường cao Mặt khác Từ ,ta có tam giác Diện tích tam giác Suy ra: , từ kẻ đường xác định tương nên có suy ra: Trang 20 skkn tam giác , , Tương tự, ta có: , Vậy * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có trọng tâm tam giác Vậy đạt trọng tâm tam giác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải tốn hình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình, trở lên có kỹ giải tập khó khơng cịn sợ hình khơng gian Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 11 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra thử sau:năm học 2021-2022, lớp thực dạy áp dụng theo sáng kiến kinh nghiệm lớp 11B1, lớp học tương đương không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm lớp 11B6, sau làm kiểm tra thu kết sau : Năm học 2021-2022 Điểm trở Điểm từ lên đến Tổng Lớp số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng 11B6 42 4% 15 36% 11B1 42 20 45% 20 45% Điểm Số Tỷ lệ lượng 25 60% 10% 01 giải học sinh giỏi cấp tỉnh (khối 11 thi với lớp 12 năm học 2021-2022) Như vậy, thấy phương pháp có hiệu cao Theo tơi dạy phần tốn hình học khơng gian dạng tốn tỉ lệ giáo viên cần định Trang 21 skkn hướng dẫn dắt học sinh tiếp cận mạch kiến thức từ dễ đến khó rõ dạng tốn cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Hình học khơng gian phân mơn khó với đa số học sinh, khó khăn việc tính tốn đại lượng liên quan Việc nâng cao chất lượng mơn học cần giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy, có đam mê với cơng việc tận tình với học sinh Đề tài giúp học sinh biết quy lạ quen, có góc nhìn tổng quan, biết áp dụng kiến thức học để giải tình khác Đề tài nêu phương pháp để dẫn dắt toán tỉ lệ hình học khơng gian Đề tài mở hướng để giúp học sinh tiếp cận tốt tốn tính tỉ lệ thể tích – dạng toán thường xuyên gặp kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông năm gần Dù cố gắng nghiên cứu đúc kết số kết quả, nhiên thời gian nghiên cứu áp dụng hạn chế nên đề tài chắn nhiều thiếu sót Rất mong đồng nghiệp độc giả góp ý để đề tài hồn thiện Đồng thời tác giả mong muốn cấp lãnh đạo, đồng nghiệp nghiên cứu chỉnh lý, bổ sung bất cập triển khai có hiệu số ý tưởng đề tài, nhằm nâng cao chất lượng dạy học 3.2 Kiến nghị Sở giáo dục đào tạo tổ chức buổi tập huấn chuyên đề để giáo viên có hội trao đổi, học hỏi lẫn Ban giám hiệu nhà trường quan tâm, động viên, khuyến khích, tạo điều kiện để chuyên đề ứng dụng thực tế nhiều Giáo viên thường xuyên trao đổi, dự để học hỏi, tìm biện pháp dạy học phù hợp Ln quan tâm học sinh, nắm bắt khó khăn học sinh để giúp em học tập tốt Trang bị thêm thiết bị, đồ dùng dạy học hỗ trợ dạy học phân mơn hình học khơng gian Trên đề tài sáng kiến trình giảng dạy Xin cảm ơn Ban giám hiệu, tổ mơn Tốn , cơng đồn, đồn TNCS Hồ Chí Minh trường THPT Thạch Thành giúp đỡ hồn thành đề tài Rất mong góp ý cấp lãnh đạo ngành, đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 21 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trang 22 skkn Trương Thị Tuyến Trang 23 skkn ... gian, tìm hướng tiếp cận để nâng cao chất lượng Đồng thời, qua đề tài '' ''Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận tốn tỉ lệ hình học khơng gian lớp 11" , tác giả có mục đích phát triển số tốn... kiến kinh nghiệm lớp 11B1,? ?lớp học tương đương không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm lớp 11B6, sau làm kiểm tra thu kết sau : Năm học 2021-2022 Điểm trở Điểm từ lên đến Tổng Lớp số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ. .. trên, tỉ số cần tìm thực tỉ số tam giác bị "ẩn" tính chất song song Việc dẫn dắt tốn nhỏ dẫn đến việc tính tỉ số đoạn thẳng tam giác Bài toán thiết diện dạng toán học sinh lớp 11 Sử dụng tỉ lệ để