(Luận án tiến sĩ) rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn học Mã ngành: 9460101 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ BÌNH MINH TS PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2019 luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy TS Hà Bình Minh TS Phan Xuân Thành Tất kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình Hà Nội, ngày 01 tháng 10 n˘am 2019 Thay mặt Tập thể hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh Tác giả Chu Bình Minh i luan an LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh, TS Trần Xuân Tiếp TS Phan Xuân Thành, người thầy mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Các thầy bảo tơi suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy đam mê thú vị Các thầy tạo cho thử thách, giúp tự học hỏi, tìm tịi, sáng tạo Đó tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến GS.TSKH Đinh Nho Hào - chủ trì seminar Phương trình vi phân, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh - chủ trì seminar Tốn học tính tốn, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy - chủ trì seminar Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội thành viên seminar tạo điều kiện cho báo cáo nhận nhiều góp ý q báu Đặc biệt, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình viết luận án Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả ii luan an MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi DANH SÁCH BẢNG viii DANH SÁCH HÌNH VẼ ix MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số phép phân tích ma trận 1.2 Một số không gian hàm 10 1.3 Hệ động lực tuyến tính liên tục 11 1.3.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục 11 1.3.2 Hàm truyền hệ tuyến tính liên tục 12 1.3.3 Tính điều khiển tính quan sát hệ tuyến tính liên tục 14 Phương trình ma trận Lyapunov 17 1.4 Hệ tuyến tính rời rạc 18 1.5 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính 19 1.5.1 Bài toán rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính liên tục 19 1.5.2 Bài toán rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc 21 1.3.4 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI XỨNG 22 2.1 Phương pháp chặt cân 22 2.1.1 Biểu diễn cân hệ tuyến tính liên tục ổn định 22 2.1.2 Rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định theo phương pháp chặt cân 2.1.3 24 Rút gọn hệ tuyến tính rời rạc ổn định theo phương pháp chặt cân iii luan an 25 2.2 2.3 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt modal 28 2.2.1 Biểu diễn modal hệ tuyến tính liên tục ổn định 28 2.2.2 Rút gọn hệ tuyến tính liên tục theo phương pháp chặt modal 29 2.2.3 Hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng SISO 29 2.2.4 So sánh phương pháp chặt cân phương pháp chặt modal 34 2.2.5 Ví dụ minh họa So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân phần 37 2.3.1 Phương pháp chặt cân phần 37 2.3.2 So sánh phương pháp chặt cân phương pháp chặt cân phần 2.4 35 41 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 44 2.4.1 Ánh xạ phân tuyến tính 44 2.4.2 Phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 46 2.4.3 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 48 2.4.4 Phương pháp GSP 49 2.4.5 Các ví dụ minh họa 52 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH KHƠNG ỔN ĐỊNH 60 3.1 Hệ tuyến tính khơng ổn định 60 3.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định 61 3.1.2 Hệ tuyến tính liên tục β -ổn định 62 Một số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính khơng ổn định 64 3.2.1 Phương pháp phân rã 64 3.2.2 Phương pháp rút gọn Zhou 65 3.2.3 Phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính rời rạc không 3.2 ổn định 3.2.4 3.3 67 Phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính liên tục không ổn định 70 Phương pháp BGSP cho hệ tuyến tính khơng ổn định 72 3.3.1 73 Phương pháp α-BGSP cho hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định iv luan an 3.3.2 Phương pháp β -BGSP cho hệ tuyến tính liên tục không ổn định 74 3.3.3 Phép biến đổi phân tuyến tính hệ α-ổn định hệ β -ổn định 76 Sai số phương pháp BGSP 81 Ví dụ minh họa 83 3.3.4 3.4 Chương BÀI TOÁN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TẠI LÂN CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ 89 4.1 Bài toán rút gọn mơ hình lân cận tần số 89 4.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số 90 4.2.1 Giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số 91 4.2.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số 91 4.2.3 Đánh giá sai số 93 4.2.4 Ví dụ minh họa 94 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 96 4.3.1 Thuật tốn lặp rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 96 4.3.2 Ví dụ minh họa 97 4.3 KẾT LUẬN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 106 v luan an DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT j Đơn vị ảo, j = −1 Z+ Tập số nguyên không âm R Tập số thực C Tập số phức C+ Tập số phức có phần thực dương α,d , z, D, h∞ Sử dụng cho trường hợp rời rạc β,c , s, C, H∞ Sử dụng cho trường hợp liên tục A, B, C, Các ma trận hệ số I Ma trận đơn vị AT Ma trận chuyển vị A A∗ Ma trận chuyển vị liên hợp phức A A>0 A ma trận đối xứng xác định dương At e At Ma trận mũ xác định e = ∞ X (At)k k=0 k! λ(A) Tập hợp giá trị riêng ma trận A σ(A) Tập hợp giá trị kỳ dị ma trận A σmax (A) Giá trị kỳ dị lớn ma trận A T race(A) Vết ma trận A diag(a1 , , an ) Ma trận đường chéo cỡ n với a1 , , an phần tử đường chéo kAk = kAk2 Chuẩn Euclidean ma trận A kAkF Chuẩn Frobenius ma trận A x, y, b, c, Các vectơ x≺w y Vectơ x yếu vectơ y x≺y Vectơ x yếu hẳn vectơ y vi luan an L2 [0, ∞) Khơng gian Lebesgue bình phương khả tích [0, ∞) H2 Khơng gian hàm giải tích C+ bình phương khả tích trục ảo L∞ (j R) Không gian hàm phức bị chặn trục ảo H∞ Các hàm L∞ (j R) giải tích miền Re(s) > Dα Tập hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định D Tập hệ tuyến tính rời rạc ổn định Cβ Tập hệ tuyến tính liên tục β -ổn định C Tập hệ tuyến tính liên tục ổn định Gd (z) ∼ (Ad , Bd , Cd , Dd ) Biểu diễn (Ad , Bd , Cd , Dd ) hệ rời rạc Gd (z) Gc (s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc ) Biểu diễn (Ac , Bc , Cc , Dc ) hệ liên tục Gc (s) G(s) ∼ (Ab , Bb , Cb , Db ) Biểu diễn cân hệ G(s) Gα (z) Hàm truyền hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định Gβ (s) Hàm truyền hệ tuyến tính liên tục β -ổn định kGd kh∞ Chuẩn h∞ Gd (z) ∈ D kGd kh∞,α Chuẩn h∞,α Gd (z) ∈ Dα kGc kH∞ Chuẩn H∞ Gc (s) ∈ C kGc kH∞,β  Chuẩn H∞,β Gc (s) ∈ Cβ  A B  C D  Ký hiệu cho biểu thức C(sI − A)−1 B + D SISO Hệ tuyến tính đầu vào, đầu MIMO Hệ tuyến tính nhiều đầu vào, nhiều đầu GSP Nhiễu kỳ dị suy rộng BGSP Nhiễu kỳ dị suy rộng cân vii luan an DANH SÁCH BẢNG Bảng Bảng so sánh tín hiệu đầu hệ rút gọn bậc thu phương pháp chặt trực tiếp với tín hiệu đầu hệ gốc bậc Bảng Bảng so sánh tín hiệu đầu hệ rút gọn bậc thu phương pháp chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu hệ gốc bậc Bảng 2.1 bi , σi hệ đối xứng bậc 10 Bảng giá trị R Bảng 2.2 Bảng so sánh sai số Thuật toán Thuật toán cho hệ Truyền nhiệt Bảng 2.3 36 56 57 Bảng ma trận hệ số hệ tuyến tính bậc 50 với Ac = diag(λ1 , , λ50 ), Bc Cc Bảng 3.2 Bảng so sánh sai số Thuật toán Thuật toán cho hệ Orr- Sommerfeld Bảng 3.1 84 Bảng chuẩn H∞,β hệ sai số phương pháp Thuật toán 9, Thuật toán 10, Thuật toán 12 Thuật toán 14 viii luan an 86 Bảng 3.2: Bảng chuẩn H∞,β hệ sai số phương pháp Thuật toán 9, Thuật toán 10, Thuật toán 12 Thuật toán 14 r PP - 13.1586 1.5282 1.5537 25 0.1813 6.1866 0.0259 0.0276 - 7.3139 1.5273 1.5557 26 0.1909 6.2142 0.0165 0.0234 - 7.3444 0.9733 0.9651 27 0.1785 6.1980 0.0196 0.023 - 7.1340 1.0335 1.5088 28 0.091 6.1963 0.0046 0.0061 - 7.1911 0.5962 0.6441 29 0.0744 6.1967 0.0021 0.0026 10 - 6.6761 0.717 0.7167 30 0.0745 6.2033 0.0036 0.0036 11 - 6.3839 0.5806 0.7179 31 0.0728 6.2059 0.0016 0.0013 12 - 6.4068 0.6073 0.6184 32 0.0484 0.0484 0.0011 0.0009 13 - 6.4682 0.4822 0.6033 33 0.0484 0.0484 0.0002 0.0003 14 - 11.4109 0.5954 0.5973 34 0.016 0.0160 0.0002 0.0002 15 - 11.2804 0.302 0.3332 35 0.0103 0.0103 7E-05 6E-05 PP PP PP r PP PP PP PP 16 1.1094 14.3222 0.29 0.4257 36 0.0008 0.0008 2E-05 1E-05 17 0.5675 14.3373 0.1986 0.1848 37 0.0006 0.0006 4E-06 4E-06 18 0.5741 8.0944 0.2023 0.1929 38 0.0006 0.0006 5E-07 4E-07 19 0.5646 8.0972 0.1011 0.1048 39 0.0006 0.0006 9E-07 9E-07 20 0.5803 6.1375 0.1184 0.1184 40 8E-05 8E-05 4E-07 4E-07 21 0.5706 6.1509 0.0653 0.0703 41 8E-05 8E-05 7E-08 8E-08 22 0.2151 6.1622 0.0568 0.065 42 1E-05 1E-05 7E-09 5E-09 23 0.179 6.1623 0.0388 0.0315 43 4E-07 4E-07 7E-09 6E-09 24 0.1813 6.2018 0.0667 0.0667 44 9E-07 8E-07 1E-09 1E-09 Hình 3.4 Hình 3.5 ta thấy phương pháp Zhou tốt phương pháp chặt cân Thuật toán 12 phương pháp β -BGSP Thuật toán 14 Tuy nhiên, đồ thị không phản ánh kết Bảng 3.2 cho chuẩn H∞,β hệ sai số Chúng ta cần vẽ đồ thị Bode hệ gốc chuyển miền ổn định ( tức vẽ đồ thị hệ Gβ (s) = (Ac − βI, Bc , Cc , Dc )) với hệ rút gọn chuyển hệ ổn định tương ứng (tức sau chuyển sang miển ổn định β ) Hình 3.6 đồ thị Bode hệ gốc chuyển sang miền ổn định β vẽ với đồ thị Bode hệ rút gọn chuyển sang miền ổn định β Hình 3.7 minh họa đồ thị Bode hệ sai số chuyển sang miền rút gọn β phương pháp Từ Hình 3.6 Hình 3.7 ta thấy hệ rút gọn theo phương pháp chặt 86 luan an Hình 3.4: Đồ thị Bode hệ gốc (mầu Hình 3.5: Đồ thị Bode hệ sai số đỏ), hệ rút gọn bậc 20 phương pháp phương pháp Zhou (màu xanh lam), hệ sai số Zhou (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc 20 phương pháp β -chặt cân (mầu xanh phương pháp β -chặt cân (mầu xanh lá cây) hệ sai số phương pháp β -BGSP cây) hệ rút gọn bậc 20 phương pháp (mầu xanh lơ - cyan) β -BGSP (mầu xanh lơ - cyan) Hình 3.6: Đồ thị Bode hệ gốc đưa Hình 3.7: Đồ thị Bode hệ gốc đưa ổn định, hệ rút gọn đưa ổn định ổn định, hệ sai số đưa ổn định với với r = 20 r = 20 cân Thuật toán 12 phương pháp β -BGSP Thuật toán 14 xấp xỉ hệ gốc tốt hệ rút gọn theo phương pháp Zhou Thuật toán 10 miền ổn định 87 luan an Kết luận Chương Dựa vào tính chất phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính khơng ổn định [5, 42] tính chất phép biến đổi phân tuyến tính, chương chúng tơi đạt kết sau: Đưa phương pháp α-BGSP rút gọn cho hệ tuyến tính rời rạc khơng ổn định Thuật tốn 13 Đưa phương pháp β -BGSP rút gọn cho hệ tuyến tính liên tục khơng ổn định Thuật tốn 14 Chứng minh tính chất phép biến đổi αβ phép biến đổi αβ ngược (Bổ đề 3.3.5 Bổ đề 3.3.6) Xây dựng, chứng minh công thức đánh giá cận sai số theo chuẩn H∞,β phương pháp BGSP áp dụng cho hệ tuyến tính khơng ổn định (Định lý 3.3.7) 88 luan an CHƯƠNG BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TẠI LÂN CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ Các phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định cho [17, 22, 24, 30] giới thiệu Chương phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính khơng ổn định [2, 3, 5, 6, 42] giới thiệu Chương Điểm chung phương pháp ta tìm cách xấp xỉ hệ gốc tồn dải tần số Tuy nhiên, thực tế ta quan tâm đến hệ gốc lân cận vài tần số định cần tìm cách xấp xỉ hệ gốc hệ có bậc thấp lân cận tần số Đây gọi tốn rút gọn mơ hình lân cận vài tần số Bài toán quan tâm cơng trình [1, 8, 9, 10] Trong chương này, đề xuất số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính liên tục lân cận vài tần số Các thuật toán so sánh với phương pháp phổ biến [1, 17] thơng qua ví dụ minh họa Nội dung chương viết dựa báo [48] Tài liệu tham khảo Luận án 4.1 Bài tốn rút gọn mơ hình lân cận tần số Ta xét hệ tuyến tính liên tục ổn định cho ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = 0, y(t) = Cx(t) + Du(t), (4.1) (4.2) với t ∈ [0, ∞) A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m Hàm truyền hệ hàm ma trận phức xác định G(s) = D + C(sI − A)−1 B, với s ∈ C Bài tốn rút gọn mơ hình dải tần số hữu hạn [8, 12] đặt b sau: Cho trước hệ ổn định G(s) dải tần số [ω1 , ω2 ], ta tìm hệ rút gọn G(s) cho b kG(jω) − G(jω)k nhỏ, ω ∈ [ω1 , ω2 ] 89 luan an Bài toán rút gọn mơ hình lân cận tần số tốn rút gọn mơ hình dải tần số điều chỉnh chút [10] đặt sau: Cho trước b cho hệ ổn định G(s) tần số ω0 , ta tìm hệ rút gọn G(s) b kG(jω) − G(jω)k nhỏ, ω lân cận ω0 4.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số Phương pháp chặt cân áp dụng để giải tốn rút gọn mơ hình dải tần số hữu hạn gọi phương pháp chặt cân dải tần số hữu hạn (xem [1, 8, 12, 11]) Các phương pháp chặt cân dải tần số hữu hạn dựa vào việc cân hai ma trận Gramian ma trận Gramian điều khiển Gramian quan sát Các ma trận Gramian nhận cách giải phương trình ma trận Lyapunov có tính chất sau: Các ma trận B, C A phụ thuộc vào khoảng tần số Điều gây vấn đề tốn giải phương trình ma trận Lyapunov cho nghiệm khơng đảm bảo tính xác định dương Dựa vào điều này, đưa ý tưởng rút gọn cách định nghĩa lại ma trận Gramian điều khiển ma trận Gramian quan sát cho ma trận A phụ thuộc vào khoảng tần số ma trận B, C không phụ thuộc vào tần số Để làm việc này, ta dịch chuyển ma trận A phía bên phải tới miền tần số ta cần xấp xỉ Tuy nhiên, việc dịch chuyển ma trận A làm hệ trở nên khơng ổn định Khi đó, ta sử dụng phương pháp Zhou Thuật tốn 10 để rút gọn cho hệ khơng ổn định Ý tưởng dịch chuyển ma trận A sử dụng [10] để giải toán rút gọn mơ hình lân cận tần số, nhiên phương pháp có khác biệt Trong [10], ma trận A chuyển dọc theo trục ảo, tức A → (A + jω0 I − εI), hệ rút gọn thu có ma trận hệ số A ma trận phức Trong phương pháp đề xuất, ma trận A chuyển theo trục thực, tức A → (A + ω0 I) nên hệ rút gọn thu có ma trận hệ số ma trận thực Ý tưởng dịch chuyển ma trận A sử dụng Chương để rút gọn cho hệ không ổn định cách dịch chuyển ma trận A từ miền không ổn định sang miền ổn định Ở làm ngược lại, chuyển ma trận A từ miền ổn định sang miền không ổn định Việc giúp ta thu hệ rút gọn xấp xỉ tốt với hệ gốc lân cận tần số cần xấp xỉ 90 luan an 4.2.1 Giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số Cho ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω0 + j R} = ∅ Cho A0 := A + ω0 I Z ∞ Pω0 := Qω0 2π := 2π (jωI − A0 )−1 BBT (−jωI − AT0 )−1 dω, Z−∞ ∞ (−jωI − AT0 )−1 CT C(jωI − A0 )−1 dω −∞ Theo [3], ma trận Pω0 Qω0 xác định λ(A0 ) ∩ j R = ∅ gọi ma trận Gramian điều khiển ma trận Gramian quan sát lân cận tần số ω0 Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 định nghĩa sau Định nghĩa 4.2.1 Cho hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) Các giá p trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 G(s) λ(Pω0 Qω0 ) Do ma trận Pω0 Qω0 hệ ổn định G(s) thực ma trận Gramian quan sát Gramian điều khiển phương pháp Zhou Thuật tốn 10 áp dụng cho hệ khơng ổn định (A0 , B, C, D) nên tương tự Thuật toán 10, Thuật toán 15 trang sau giúp ta tính giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 G(s) Tiếp theo, đưa số ý giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 Nhận xét 4.2.2 (a) Trong trường hợp đặc biệt, ω0 = 0, A0 = A + ω0 I = A phần ổn định G(s) G(s) khơng có phần khơng ổn định Điều có nghĩa giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 = giá trị kỳ dị Hankel theo nghĩa thông thường (b) Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 hiểu đóng góp trạng thái vào giá trị G(s) lân cận tần số ω0 (c) Phân tích Schur sử dụng để thu phần không ổn định G+ (s) phần ổn định G− (s) Thuật toán 15 Xem chi tiết [2] (d) Bên cạch việc tính Pω0 , Qω0 cơng thức ta sử dụng phương trình Ricati đại số để tính ma trận Gramian điều khiển Pω0 ma trận Gramian quan sát Qω0 lân cận tần số ω0 Xem chi tiết [3, 46] 4.2.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số b xấp xỉ G(s) Thuật toán 16 trang sau dùng để tìm hệ rút gọn ổn định G(s) điểm ω0 Ý tưởng chung phương pháp chặt cân giữ lại trạng thái 91 luan an Thuật tốn 15 Tính giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 ∈ R+ Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) tần số ω0 ∈ R+ cho λ(A) ∩ {ω0 + j R} = ∅ Đầu ra: Σω0 ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 1: A0 ← A + ω0 I 2: Phân hoạch A0 thành phần không ổn định phần ổn định ma trận chuyển không suy biến S cho:  S−1 A0 S =   A+ A− , với λ(A+ ) ⊂ C+ λ(A− ) ⊂ C− 3: Phân hoạch S−1 B CS tương ứng với S−1 A0 S  S−1 B =   B+ B−  , CS = h i C+ C− 4: Đặt G+ (s) ∼ (−A+ , B+ , C+ , 0) hệ ổn định Áp dụng Thuật tốn cho G+ (s) để tìm Σ+ , ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel G+ (s) 5: Đặt G− (s) ∼ (A− , B− , C− , D) hệ ổn định Áp dụng Thuật toán cho G− (s) để tìm Σ− , ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel G− (s) 6: Ta thu ma trận đường chéo chứa tất giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 : Σω0 = diag(Σ+ , Σ− ) ứng với giá trị kỳ dị Hankel lớn Thuật tốn 15 cho phép ta tìm giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 nên ta áp dụng thuật toán để xây dựng phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính liên tục ổn định Thuật tốn 16 tóm tắt sau: (i) chuyển ma trận A thành ma trận khơng ổn định A + ω0 I; (ii) tính hệ rút gọn tương ứng với hệ ổn định không ổn định, (iii) hệ rút gọn ổn định thu cách chuyển ma trận A sang miền ổn định Bước Ta ý cách chọn tần số ω0 ∈ [ω1 , ω2 ] thích hợp, hệ rút gọn nhận từ Thuật tốn 16 xấp xỉ tốt hệ gốc G(s) dải tần [ω1 , ω2 ] Điều có nghĩa Thuật tốn 16 giải tốn rút gọn mơ hình dải tần hữu hạn Ta minh họa ý Ví dụ 4.2.6 92 luan an Thuật toán 16 Thuật toán chặt cân lân cận tần số ω0 Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) ω0 ∈ R+ cho λ(A) ∩ {ω0 + j R} = ∅, bậc hệ rút gọn r b B, b C, b D) b xấp xỉ G(s) lân cận tần số ω0 b ∼ (A, Đầu ra: Hệ rút gọn ổn định G(s) 1: Áp dụng Thuật toán 15 thu G+ (s) ∼ (−A+ , B+ , C+ , 0), G− (s) ∼ (A− , B− , C− , D), Σω0 = diag(Σ+ , Σ− ) 2: Lấy r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σω0 Gọi r1 r2 giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ+ Σ− r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σω0 cho r1 + r2 = r 3: Áp dụng phương pháp chặt cân cho G+ (s) cách giữ lại r1 giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ+ Làm tương tự cho G− (s) cách giữ lại r2 giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ− Ta thu hai hệ rút gọn ổn định sau: b b+ , B b b+ , C b b+ , 0) với bậc r1 , b+ (s) ∼ (−A G b b− , B b b− , C b b− , D b b ) với bậc r2 b− (s) ∼ (A G b b+ ma trận ổn định.} b b+ ma trận không ổn định nên −A { Chú ý A b , B, b C, b D) b khối ma trận dạng 4: Ta thu (A     i h b b b b ← Db b ←  A+ b ←  B+  , C b ← Cb Cb , D , B A − + b b− A Bb− b ma trận không ổn định nên A b b+ ma trận ổn định.} { Chú ý A b ←A b − ω0 I ta thu hệ ổn định G(s) b B, b C, b D) b b ∼ (A, 5: Chuyển ngược lại A 4.2.3 Đánh giá sai số b Trong Thuật toán 16, ta dùng chuẩn H∞ để đánh giá sai số G(s) − G(s) Tuy nhiên, dùng chuẩn H∞ để đánh giá sai số khơng ý nghĩa ta cần xấp xỉ lân cận ω0 khơng phải cần xấp xỉ tồn tần số Do đó, chúng tơi xây dựng chuẩn để đánh giá cho hệ mà tập trung vào lân cận tần số ω0 Định nghĩa 4.2.3 (Chuẩn L∞,ω0 ) Cho G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ tuyến tính liên tục ổn định ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω0 + j R} = ∅ Đặt A0 := (A + ω0 I) G0 (s) ∼ (A0 , B, C, D) Chuẩn L∞,ω0 G(s) định nghĩa sau: kGkL∞,ω0 := kG0 kL∞ 93 luan an Với chuẩn xác định dựa vào công thức [3], công thức đánh giá sai số cho phương pháp Thuật toán 16 cho định lý sau Định lý 4.2.4 Giả sử G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ tuyến tính liên tục ổn định b B, b C, b D) b hệ rút b ∼ (A, ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω0 + j R} = ∅ Gọi G(s) gọn ổn định thu từ Thuật toán 16 Khi ta có đánh giá sau b L∞,ω ≤ 2(σr+ +1 + · · · + σn+ ) + 2(σr− +1 + · · · + σn− ), kG − Gk 2 với σr+1 +1 , , σn+1 σr−2 +1 , , σn−2 tương ứng giá trị kỳ dị Hankel nhỏ Σ+ Σ− thu từ Thuật toán 15 Chứng minh Đánh giá Định lý [3] áp dụng vào Thuật tốn 16 4.2.4 Ví dụ minh họa Để kiểm tra, ta áp dụng Thuật toán 16 cho hai trường hợp, áp dụng lân cận tần số ω0 thấp áp dụng lân cận tần số ω0 cao Ví dụ 4.2.5 tương ứng với tần số ω0 thấp Ví dụ 4.2.6 tương ứng với tần số ω0 cao Ví dụ 4.2.5 (Hệ FOM-2 [47]) Xét hệ FOM-2 [47] có hàm truyền: 2s6 + 11.5s5 + 57.75s4 + 178.625s3 + 345.5s2 + 323.625s + 94.5 G(s) = s7 + 10s6 + 46s5 + 130s4 + 239s3 + 280s2 + 194s + 60 Từ Hình 4.1 ta thấy có cực có phần thực −1, biên độ đỉnh hệ đạt lân cận tần số ω = Nếu ta muốn ước lượng hệ gốc lân cận tần số ω0 = 0.7, ta chuyển A → (A + 0.7I) áp dụng Thuật toán 16 Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 = 0.7 (đường màu đỏ) giá trị kỳ dị Hankel phương pháp Gawronski-Juang [1] khoảng tần số [10−1 , 2] (đường màu xanh lam) minh họa Hình 4.2 Hình 4.3 minh họa đồ thị Bode hệ gốc (xanh lam), hệ rút gọn bậc r = thu Thuật toán 16 (xanh cây), phương pháp chặt cân Thuật toán (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang [1] dải tần [10−1 , 2] (màu xanh lơ - cyan) Quan sát đồ thị Bode hệ sai số Hình 4.4 cho thấy, phương pháp chúng tơi đề xuất tốt lân cận tần số ω0 = 0.7 Ví dụ 4.2.6 Thuật tốn 16 sử dụng để giải tốn rút gọn mơ hình dải tần số cách chọn tần số ω0 thích hợp Chúng ta kiểm tra cách áp dụng 94 luan an Hình 4.1: cực hệ FOM-2 Hình 4.2: Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 = 0.7 (đỏ) giá trị Hankel phương pháp Gawronski-Juang [1] (xanh) áp dụng cho hệ FOM-2 Hình 4.3: Đồ thị Bode đoạn [10−1 , 2] Hình 4.4: Đồ thị Bode đoạn [10−1 , 2] hệ gốc (xanh lam) hệ rút gọn bậc thu hệ sai số thu bằng Thuật toán Thuật toán 16 lân cận tần số 16 lân cận tần số ω0 = 0.7 (xanh cây), ω0 = 0.7 (xanh cây), phương pháp phương pháp chặt cân (màu đỏ) chặt cân (màu đỏ) phương pháp phương pháp Gawronski-Juang (màu Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) xanh lơ - cyan) Thuật toán 16 cho hệ CD player [36], hệ SISO bậc 120 Ta chọn dải tần số cần xấp xỉ cho hệ đoạn [ω1 , ω2 ]=[5 × 103 , 105 ] bậc hệ rút gọn Để đánh giá phương pháp Thuật toán 16, ta so sánh phương pháp với phương pháp rút gọn khác sau: (a) Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = (ω1 + ω2 )/2; (b) phương pháp chặt cân Thuật toán 2; (c) phương pháp Gawronski-Juang Hình 4.5 minh họa đồ thị Bode hệ CD player (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc thu Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh cây), phương pháp chặt cân (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) 95 luan an Hình 4.5: Đồ thị Bode hệ CD player Hình 4.6: Đồ thị Bode đoạn [ω1 , ω2 ] (xanh lam) hệ rút gọn bậc thu hệ sai số thu Thuật toán 16 Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh cây), 52500 (xanh cây), phương pháp chặt phương pháp chặt cân (màu đỏ) cân (màu đỏ) phương pháp phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) áp dụng cho hệ CD player Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) Từ Hình 4.5 ta thấy phương pháp chặt cân Thuật toán phương pháp Gawronski-Juang xấp xỉ hệ gốc tốt toàn dải tần phương pháp đề xuất Thuật toán 16 xấp xỉ tốt đoạn [ω1 , ω2 ] Hệ rút gọn xấp xỉ nhanh hai biên độ đỉnh hệ CD player dải tần này, chí với bậc hệ rút gọn nhỏ r = Hình 4.6 minh họa đồ thị Bode hệ sai số ba phương pháp (a)-(c) dải tần [ω1 , ω2 ] Rõ ràng phương pháp đề xuất cho sai số nhỏ dải tần số lớn 4.3 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 4.3.1 Thuật toán lặp rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số Ta mở rộng tốn rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định lân cận tần số ω0 tốn rút gọn hệ tuyến tính dãy tần số sau: Bài tốn rút gọn mơ hình lân cận vài tần số: Cho hệ tuyến tính liên b bậc r cho tục ổn định G(s) dãy tần số {ω1 , , ωk }, tìm hệ rút gọn G(s) b kG(jω) − G(jω)k nhỏ ω lân cận dãy tần số {ω1 , , ωk } Trong mục trên, ta thấy phương pháp Thuật toán 16 xấp xỉ tốt hệ gốc lân cận tần số cần xấp xỉ ω0 nên ý tưởng đưa để giải toán lặp 96 luan an bi (s) Thuật toán 16 tần số ωi , i = 1, , k Tại bước lặp, hệ sai số G(s) − G sử dụng để tính hệ rút gọn lân cận tần số ωi Phương pháp tính tốn qua Thuật tốn 17, đó, ta chọn dãy bậc rút gọn r1 , , rk tương ứng với dãy tần số {ω1 , , ωk } Thuật toán 17 Thuật toán lặp cho phương pháp chặt cân Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D); dãy tần số {ω1 , , ωk } dãy bậc rút gọn {r1 , , rk } cho r = r1 + · · · + rk b Đầu ra: Hệ rút gọn: G(s) b ← 1: G(s) 2: for i ∈ {1, , k} 3: bi (s) bậc ri xấp xỉ G(s) Chạy Thuật toán 16 cho hệ G(s) ta thu hệ rút gọn G 4: lân cận tần số ωi b ← G(s) b +G bi (s) G(s) 5: bi (s) G(s) ← G(s) − G 6: end for b sau vòng lặp for 7: Ta thu hệ rút gọn G(s) 4.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 4.3.1 (Hệ CD player [36]) Ta áp dụng Thuật toán 17 cho hệ CD player [36], hệ SISO bậc 120, với ω1 = 0, ω2 = × 105 r1 = 8, r2 = để thu hệ rút gọn bậc 14 Lần lặp thứ nhất, ta áp dụng Thuật toán 16 cho G(s) ω1 = ta thu b1 (s) bậc hệ sai số G(s) − G b1 (s) bậc 128 Để minh họa cho hệ rút gọn G bước lặp Thuật toán 17, ta vẽ đồ thị Bode hệ gốc CD player G(s) (màu xanh b1 (s) (màu đỏ) Hình 4.7 lam) hệ sai số sau lần lặp thứ G(s) − G b1 (s) có hai biên độ đỉnh lân cận tần số 105 Ta Ta thấy hệ sai số G(s) − G b1 (s) thực bước lặp cách áp dụng Thuật toán 16 cho hệ sai số G(s) − G b2 (s) bậc Khi đó, hệ rút gọn lân cận tần số ω2 = × 105 , ta thu hệ rút gọn G b =G b1 (s) + G b2 (s) thu Thuật tốn 17 có bậc 14 Để đánh giá hệ rút gọn G(s) b thu được, ta so sánh hệ rút gọn với hệ rút gọn bậc 14 thu phương G(s) pháp chặt cân Thuật toán Ta vẽ đồ thị Bode hệ gốc CD player G(s) 97 luan an Hình 4.7: Đồ thị Bode hệ CD player G(s) với bậc 120 (màu xanh lam) hệ sai số b (s) bậc 128 thu Thuật toán 17 sau bước lặp thứ G(s) − G (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc 14 thu Thuật toán (màu xanh cây) hệ b =G b1 (s) + G b2 (s) thu Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω2 = × 105 } rút gọn G(s) {r1 = 8, r2 = 6} Hình 4.8 Từ Hình 4.8 ta thấy hệ rút gọn thu phương pháp lặp Thuật toán 17 xấp xỉ hệ gốc tốt so sánh với phương pháp chặt cân Thuật toán dải tần số cao đôi chút dải tần số thấp Điều minh họa Hình 4.9 Hình 4.9 minh họa đồ thị Bode hệ sai số (bậc 134) nhận phương pháp chặt cân Thuật toán (màu xanh cây) hệ sai số (bậc 134) thu phương pháp Thuật toán 17(màu đỏ) Ta thấy phương pháp đề xuất Thuật toán 17 cho sai số nhỏ dải tần số cao Kết luận Chương Dựa vào tính chất phương pháp rút gọn cho hệ không ổn định [3], chương đạt kết sau: Đưa phương pháp chặt cân lân cận tần số cho trước (Thuật tốn 16) 98 luan an Hình 4.8: Đồ thị Bode hệ CD player bậc Hình 4.9: Đồ thị Bode hệ sai số bậc 134 120 (mà xanh lam), hệ rút gọn bậc 14 thu thu phương pháp chặt cân phương pháp chặt cân (màu (màu xanh cây) hệ sai số bậc 134 thu xanh cây) hệ rút gọn bậc 14 thu được Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω2 = Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω2 = × × 105 } {r1 = 8, r2 = 6} sau lần lặp thứ 105 } {r1 = 8, r2 = 6} (màu đỏ) hai Đánh giá sai số phương pháp chặt cân lân cận tần số theo chuẩn L∞,ω0 (Định lý 4.2.4) Đưa phương pháp lặp để rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số (Thuật tốn 17) 99 luan an KẾT LUẬN Luận án đưa số phương pháp rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính ổn định khơng ổn định Những kết luận án đạt là: Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, chúng tơi đưa so sánh cho bốn phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương pháp chặt cân phần phương pháp chặt cân kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính không ổn định, đưa phương pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho phương pháp theo chuẩn H∞,β /h∞,α Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận vài tần số cho trước, đưa phương pháp mới, đồng thời đưa đánh giá sai số theo chuẩn L∞,ω0 Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: Mở rộng phương pháp Zhou [3] cho trường hợp hệ tuyến tính rời rạc Áp dụng phương pháp Chương cho hệ rời rạc Chứng minh việc bảo tồn tính điều khiển được, tính quan sát phương pháp Chương 100 luan an ... 1.5 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính 19 1.5.1 Bài toán rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính liên tục 19 1.5.2 Bài toán rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc ... xỉ hệ tuyến tính ổn định vài tần số ω1 , , ωk cho trước 1.5.2 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc Tương tự tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính liên tục, ta xét hệ tuyến tính. .. TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI XỨNG Mục đích chương đưa so sánh đánh giá sai số số phương pháp rút gọn cho lớp hệ tuyến tính ổn định có tính chất đối xứng Đây lớp hệ quan trọng