Điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính

Trong nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra phương pháp tiếp cận dựa trên LMI để thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính.tính.Cụ thể:Trong chương 1, tác giả đã điểm lại một số định nghĩa và các kết quảtrong Đại số tuyến tính và Lý thuyết phương trình vi phân liên quan đếnđề tài cũng như các khái niệm cơ bản của hệ điều khiển và điều khiển phảnhồi. Hơn nữa, cuối chương này tác giả cũng chỉ ra mối liên hệ giữa bất đẳngthức ma trận tuyến tính (LMI) và sự ổn định của hệ điều khiển.Trong chương 2, tác giả đã trình bày chi tiết nội dung chính của khoáluận, đó là việc thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiểntuyến tính. Cùng với đó, tác giả đã chứng minh rằng đối với cơ chế kích hoạtsự kiện (ETM) đã đưa ra thì Zenobehavior không xảy ra.Trong chương 3, tác giả đã thử nghiệm số bằng phần mềm Matlab chohai ví dụ. Từ đó cho thấy việc thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện chohệ điều khiển tuyến tính là hoàn toàn khả thi.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Nguyễn Hữu Nam ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI THEO SỰ KIỆN CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành: Tốn học Chương trình đào tạo: Chuẩn Hà Nội - 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Nguyễn Hữu Nam ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI THEO SỰ KIỆN CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành: Tốn học Chương trình đào tạo: Chuẩn CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS Lê Huy Hoàng Hà Nội - 2022 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Hoàng giúp đỡ, bảo tận tình, lời động viên thầy không đề tài nghiên cứu mà điều ý nghĩa sống Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tâm quý thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình học tập Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln ủng hộ, khuyến khích đồng hành em chặng đường dài Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2022 Sinh viên thực Nguyễn Hữu Nam Mục lục LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kết Đại số tuyến tính 1.2 Lý thuyết phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán giá trị ban đầu 1.2.2 Lý thuyết ổn định 1.2.3 Hàm Lyapunov 1.2.4 Bổ đề so sánh 11 Hệ điều khiển tuyến tính 13 1.3.1 Điều khiển điều khiển phản hồi 13 1.3.2 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) 15 1.3 Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính 18 2.1 Điều khiển phản hồi theo kiện 18 2.2 Các kết 19 Các ví dụ mơ 25 3.1 Ví dụ 25 3.2 Ví dụ 28 MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 32 BẢNG KÍ HIỆU ∥x∥ ∥A∥ Rm×n P >0 P ≥0 P P ⊤ AP > (ii) Nếu P khả nghịch P ⊤ AP > A > Chứng minh (i) Giả sử A > Xét x⊤ P ⊤ AP x = (P x)⊤ A(P x) (x ∈ Rn ) = y ⊤ Ay (y = P x ∈ Rn ) Vì A > nên y ⊤ Ay > 0, ∀y ∈ Rn , y ̸= Do x⊤ P ⊤ AP x > 0, ∀x ∈ Rn , x ̸= ⇒ P ⊤ AP > (ii) Giả sử P khả nghịch với nghịch đảo P −1 P ⊤ AP > Theo (i) ta có P ⊤ AP > (P −1 )⊤ P ⊤ AP P −1 > hay A > Bổ đề 1.2 Cho P ∈ Rn×n ma trận đối xứng Khi P > giá trị riêng P dương Chứng minh "⇒" Giả sử P > Đầu tiên ta chứng minh giá trị riêng P số thực Chương Kiến thức chuẩn bị Giả sử λ giá trị riêng P , ta chứng minh λ = λ Thật vậy, λ giá trị riêng P nên tồn x ∈ Cn , x ̸= cho P x = λx Do (1.1) P x = λx Mặt khác P x = λx ⇒ x⊤ P = x⊤ λ Khi x⊤ P x = x⊤ λx (1.2) Kết hợp (1.1) (1.2) ta có x⊤ λx = λx⊤ x hay λx⊤ x = λx⊤ x n |xi |2 > nên λ = λ Vì x⊤ x = i=1 Tiếp theo ta chứng minh λ > phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử λ ≤ với x ∈ Rn véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ P x = λx ⇒ x⊤ P x = x⊤ λx = λx⊤ x Điều vơ lý  ⊤  x P x > λx⊤ x   ≤0 (do P > 0), n (do λ ≤ x⊤ x (xi )2 > 0) = i=1 Do điều giả sử sai Vậy λ > "⇐" Giả sử giá trị riêng P dương Do P đối xứng nên tồn ma trận trực giao C ∈ Rn×n ([4]) cho D = C ⊤ P C, Chương Kiến thức chuẩn bị với D = diag(λ1 , , λk ), λi (i = 1, , k) giá trị riêng P Hiển nhiên D > nên theo Bổ đề 1.1 ta có P > Bổ đề 1.3 Cho P ∈ Rn×n , P > Khi (I − P −1 )2 ≥ Chứng minh Giả sử P có giá trị riêng λ1 , , λk 1 Khi P −1 có giá trị riêng , , λ1 λk 1 > Vì P > nên λ1 , , λk > Do , , λ1 λk ⇒ P −1 > Tương tự, P −1 > P > Do P > ⇔ P −1 > Vậy định lý phát biểu lại tương đương "Nếu P > (I −P )2 ≥ 0" Do P > nên tồn ma trận trực giao C ∈ Rn×n ([4]) cho D = C ⊤ P C, với D = diag(λ1 , , λk ), λi (i = 1, , k) giá trị riêng P Do C ma trận trực giao nên C ⊤ = C −1 Xét (I − P )2 = [I − (C ⊤ )−1 DC −1 ]2 = (I − CDC ⊤ )2 = (CC ⊤ − CDC ⊤ )2 = [C(I − D)C ⊤ ]2 = C(I − D)C ⊤ C(I − D)C ⊤ = C(I − D)2 C ⊤  (1 − λ1 )2 =C   C ⊤ (1 − λk )2 A Hiển nhiên A ≥ nên theo Bổ đề 1.1 ta có CAC ⊤ ≥ Do (I − P )2 ≥ Chương Kiến thức chuẩn bị Bổ đề 1.4 ([17]) (Bổ đề Schur) Giả sử X ma trận thực, đối xứng cho A B B⊤ C X= A ∈ Rp×p , B ∈ Rp×q , C ∈ Rq×q ma trận đối xứng Khi đó: (i) Nếu A khả nghịch X xác định dương A A xác định dương (A = C − B ⊤ A−1 B phần bù Schur A) (ii) Nếu A xác định dương X nửa xác định dương A nửa xác định dương (iii) Nếu C khả nghịch X xác định dương C C xác định dương (C = A − BC −1 B ⊤ phần bù Schur C) (iv) Nếu C xác định dương X nửa xác định dương C nửa xác định dương Chứng minh Giả sử C khả nghịch Ta có phân tích X X= = A B B⊤ C I BC −1 I A − BC −1 B ⊤ 0 C I C −1 B I Nhận xét I BC −1 I ⊤ I I = C −1 B ⊤ = I −BC −1 I I BC −1 I −1 , Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính phản hồi trạng thái sử dụng điều kiện kích hoạt theo kiện đảm bảo tính ổn định (2) Chứng minh điều kiện kích hoạt kiện nghiên cứu Zeno behavior khơng xảy 2.2 Các kết Xét hệ điều khiển tuyến tính x(t) ˙ = Ax + Bu, t ≥ 0, x(0) = x0 ∈ Rn Trong x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển đầu vào, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m Trong chương này, ta cập nhập trạng thái x(t) thời điểm xk , k ∈ N, t0 = Đó phiên điều khiển kích hoạt theo kiện Ta thiết kế điều khiển phản hồi u = Kx(tk ), t ∈ [tk , tk+1 ), ma trận K thiết kế cho hệ đóng sau ổn định tiệm cận Lyapunov: x(t) ˙ = (A + BK)x(t) + BKe(t), x(0) = x0 ∈ Rn , với e(t) = x(tk ) − x(t), t ∈ [tk , tk+1 ) Cơ chế kích hoạt kiện mô tả sau: t0 = 0, tk+1 = inf{t > tk |e⊤ (t)e(t) ≥ αx⊤ (t)x(t)}, (2.1) α số thực dương thiết kế Lưu ý theo chế ta ln có bất đẳng thức e⊤ (t)e(t) ≤ αx⊤ (t)x(t), ∀t > Định lý sau cho thấy ETM (2.1), Zeno behavior không xảy 19 (2.2) Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính Định lý 2.1 Khoảng thời gian hai kiện liên tiếp tk+1 − tk bị chặn số dương: √ a+a α √ , τ= ln a−b a+b α tức với k ∈ N, tk−1 − tk ≥ τ , a = ∥A + BK∥, b = ∥BK∥ Chứng minh Ta có x(t) ˙ = (A + BK)x + BKe ⇒ ∥x(t)∥ ˙ = ∥(A + BK)x + BKe∥ ≤ ∥A + BK∥∥x∥ + ∥BK∥∥e∥ = a∥x∥ + b∥e∥ Xét d (e⊤ e) d ∥e∥ = dt ∥x∥ dt (x⊤ x) 12 −1 −1 e⊤ e(x ˙ ⊤ x) − (x⊤ x) x⊤ x(e ˙ ⊤ e) = x⊤ x −1 −1 ⊤ ⊤ ⊤ ˙ x) − (x⊤ x) x⊤ x(e ˙ ⊤ e) (e e) e (−x)(x = x⊤ x ( e(t) = x(tk ) − x(t) nên e(t) ˙ = −x(t)) ˙ ⊤ ⊤ e x˙ x x∥e∥ ˙ =− − ∥e∥∥x∥ ∥x∥3 x⊤ ∥e∥ ∥x∥ ˙ e⊤ = − − ∥e∥ ∥x∥ ∥x∥ (e⊤ e) ≤ = ≤ ∥e⊤ ∥ ∥x⊤ ∥∥e∥ ∥x∥ ˙ − ∥e∥ ∥x∥2 ∥x∥ ∥e∥ ∥x∥ ˙ 1+ ∥x∥ ∥x∥ ∥e∥ a∥x∥ + b∥e∥ 1+ ∥x∥ ∥x∥ = a + (a + b) ∥e∥ +b ∥x∥ ∥e∥ ∥x∥ ∥e∥ y˙ ≤ √ a + (a + b)y + by , ⇒ y ≤ α (theo (2.2)) ∥x∥ ∥e∥ √ Khi = α x(t) cập nhập trạng thái từ x(tk ) sang x(tk+1 ) ∥x∥ Đặt y = 20 Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính Ta có y ≤ ϕ(t, ϕ0 ) với ϕ(t, ϕ0 ) nghiệm phương trình vi phân ϕ˙ = a + (a + b)ϕ + bϕ2 thỏa mãn ϕ(0, ϕ0 ) = ϕ0 Theo Bổ đề 1.18 ta có tk+1 − tk ≥ τ với τ thỏa mãn ϕ(τ, 0) = ϕ˙ = a + (a + b)ϕ + bϕ2 dϕ ⇐⇒ = a + (a + b)ϕ + bϕ2 dt dϕ ⇐⇒ = dt a + (a + b)ϕ + bϕ2 ln(ϕ + 1) − ln(a + bϕ) ⇐⇒ = t + C a−b Vì ϕ(0, ϕ0 ) = ϕ0 nên ln(ϕ0 + 1) − ln(a + bϕ0 ) = C a−b Suy ln ϕ+1 a + bϕ a−b ln =t+ ϕ0 + a + bϕ0 a−b Mặt khác √ ϕ(τ, 0) = α √ α+1 √ ln ln a a+b α ⇐⇒ =τ+ a−b a−b √ a+a α √ ⇐⇒ τ = ln a−b a+b α Do ta thiết kế K để ∥A + BK∥ = ̸ ∥BK∥ nên a ̸= b Suy τ > Vậy ta có điều phải chứng minh 21 √ α Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính Bây ta đưa định lý cho việc đảm bảo tính ổn định hệ đóng: x(t) ˙ = (A + BK)x(t) + BKe(t), x(0) = x0 ∈ Rm , e(t) = x(tk ) − x(t), t ∈ [tk , tk+1 ), (2.3) sử dụng ETM: t0 = 0, tk+1 = inf{t > tk |e⊤ (t)e(t) ≥ αx⊤ (t)x(t)}, α ∈ R+ Định lý 2.2 Cho σ đại lượng vô hướng dương, hệ đóng (2.3) ổn định tiệm cận tồn cục tồn ma trận P > 0, ma trận Y với kích thước thích hợp thỏa mãn LMI  Ω11  −1 P BY β =  P −1 BY β  − I  < 0, σ −1 σ(1 − 2P ) (2.4) α Ω11 = AP −1 + P −1 A⊤ + BY + Y ⊤ B ⊤ Hơn nữa, ta có điều khiển u(t) sau u(t) = Y P x(tk ), t ∈ [tk , tk+1 ) Chứng minh Ta chọn hàm Lyapunov V (t) = x⊤ (t)P x(t), P > Khi đạo hàm V (t) V˙ (t) = (x) ˙ ⊤ P x + x⊤ P x˙ = [(A + BK)x + BKe]⊤ P x + x⊤ P [(A + BK)x + BKe] = x⊤ (P A + P BK + A⊤ P + K ⊤ B ⊤ P )x + 2x⊤ P BKe Ta có 2x⊤ P BKe = √ x⊤ P BK σ √ ( σe) ≤ σ −1 x⊤ P BKK ⊤ B ⊤ P x + σe⊤ e (theo bất đẳng thức Cauchy) ≤ σ −1 x⊤ P BKK ⊤ B ⊤ P x + σαx⊤ x (do e⊤ e ≤ αx⊤ x, ∀t > 0) 22 Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính Suy V˙ (t) ≤ x⊤ (t)Ωx(t), t ≥ 0, Ω = P A + P BK + A⊤ P + K ⊤ B ⊤ P + σ −1 P BKK ⊤ B ⊤ P + σαI Mặt khác, theo Bổ đề 1.3 ta có (I − P −1 )2 ≥ ⇐⇒ I − 2P −1 + P −2 ≥ ⇐⇒ I − 2P −1 ≥ −P −2 Do  Ω11  −1 P BY  Ω11  −1 ⇐⇒  P BY  P −1 BY β  − I  0, Re(λ2 ) > nên hệ không ổn định Sau đây, ta thiết kế điều khiển kích hoạt theo kiện u(t) để ổn định hóa 25 Chương Các ví dụ mơ hệ điều khiển Sử dụng Định lý 2.2 cho σ = 0.5, α = 0.5, LMI(2.4) thỏa mãn với P = 1.7614 −0.2394 −0.2394 1.4796 , Y = [ −0.0543 −0.6407 ] , ETM sử dụng t0 = 0, tk+1 = inf{t > tk |e⊤ (t)e(t) > 0.5x⊤ (t)x(t)} (3.1) điều khiển phản hồi u(t) = Y P x(tk ) = [ 0.0577 −0.935 ] x(tk ), với t ∈ [tk , tk+1 ) Chọn x(0) = [ −2 ]⊤ Khi ta có mơ sau 2.5 1.5 0.5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 3.1: Mơ mốc thời gian tk , sử dụng ETM(3.1) 26 Chương Các ví dụ mơ 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 3.2: Mơ khoảng thời gian kiện kích hoạt liên tiếp tk+1 −tk Các khoảng dương, chứng tỏ Zeno-behavior không xảy -1 -2 10 12 14 16 18 20 Time(s) Hình 3.3: Dáng điệu x(t) = x1 (t) x2 (t) Hình 3.3 ta thấy hệ ổn định tiệm cận 27 ⊤ sử dụng ETM (3.1) Từ Chương Các ví dụ mơ 3.2 Ví dụ Xét hệ điều khiển phản hồi x˙ = Ax + Bu, x(0) = x0 Trong đó: A= 0.1 0.1 −2 −1 0.2 0.3 ,B = Nhận xét u(t) = hệ trở thành x˙ = Ax, x(0) = x0 A có giá trị riêng λ1 = 0.1983 + 0.9912i λ2 = 0.1983 − 0.9912i λ3 = −1.9966 Re(λ1 ) > 0, Re(λ2 ) > nên hệ không ổn định Sau đây, ta thiết kế điều khiển kích hoạt theo kiện u(t) để ổn định hóa hệ điều khiển Sử dụng Định lý 2.2 cho σ = 0.5, α = 0.5, LMI(2.4) thỏa mãn với 1.5236 −0.0529 0.0097 −0.0529 0.1975 0.0835 , P = 0.0097 0.0835 1.2003 Y = [ −0.0544 −0.0074 −0.1682 ] , ETM sử dụng t0 = 0, tk+1 = inf{t > tk |e⊤ (t)e(t) > 0.5x⊤ (t)x(t)} điều khiển phản hồi u(t) = Y P x(tk ) = [ −0.0841 −0.0126 −0.203 ] x(tk ), với t ∈ [tk , tk+1 ) 28 (3.2) Chương Các ví dụ mô Chọn x(0) = [ −1 ]⊤ Khi ta có mơ sau 3.5 2.5 1.5 0.5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 3.4: Mơ mốc thời gian tk , sử dụng ETM (3.2) 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 3.5: Mơ khoảng thời gian kiện kích hoạt liên tiếp tk+1 −tk Các khoảng dương, chứng tỏ Zeno-behavior không xảy 29 Chương Các ví dụ mơ -1 -2 -3 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Time(s) Hình 3.6: Dáng điệu x(t) = x1 (t) x2 (t) x3 (t) Từ Hình 3.6 ta thấy hệ ổn định tiệm cận 30 ⊤ sử dụng ETM (3.2) Kết luận Trong khoá luận này, tác giả đưa phương pháp tiếp cận dựa LMI để thiết kế điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính x˙ = Ax + Bu, x(0) = x0 Cụ thể: Trong chương 1, tác giả điểm lại số định nghĩa kết Đại số tuyến tính Lý thuyết phương trình vi phân liên quan đến đề tài khái niệm hệ điều khiển điều khiển phản hồi Hơn nữa, cuối chương tác giả mối liên hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) ổn định hệ điều khiển Trong chương 2, tác giả trình bày chi tiết nội dung khố luận, việc thiết kế điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính Cùng với đó, tác giả chứng minh chế kích hoạt kiện (ETM) đưa Zeno-behavior khơng xảy Trong chương 3, tác giả thử nghiệm số phần mềm Matlab cho hai ví dụ Từ cho thấy việc thiết kế điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính hồn toàn khả thi Do hạn chế thời gian chưa có nhiều kinh nghiệm cơng tác nghiên cứu khoa học nên khn khổ khố luận tác giả xét đến hệ điều khiển tuyến tính Trong tương lai, tác giả mở rộng nghiên cứu thêm với hệ điều khiển phi tuyến có nhiễu 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội (2001) [2] Trần Vũ Hoàng Đảo, Lý thuyến ổn định Lyapunov số ứng dụng, Luận văn thạc sĩ Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, TP.HCM (2013) [3] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyến ổn định, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội (2014) [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, tái lần thứ ba, Hà Nội (2019) [5] Nguyễn Dỗn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học kỹ thuật, tái lần thứ tư, Hà Nội (2009) Tiếng Anh [6] K.J Astrom and B Wittenmark, Computer Controlled Systems (Prentice Hall, Upper Saddle River, 1977) [7] S Boyd, L E Ghaoui and E Feron, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (2017) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] G.F Franklin, J.D Powel and A Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamical Systems (Prentice Hall, Upper Saddle River, 2010) [9] D.C Huong, V.T Huynh and H Trinh, On static and dynamic triggered mechanisms for event-triggered control of uncertain systems Circuits Syst Signal Process 39, 5020–5038 (2020) [10] H Khalil, Nonlinear systems (Prentice Hall, 2002) [11] L Li, A Hu and H Gao, Node-to-node consensus of multi-agent networks with event-triggered control and packet losses IEEE Trans Autom Control 62, 5923–5930 (2019) [12] C Peng, F Li, A survey on recent advances in event-triggered communication and control Inf Sci 457, 113–125 (2018) [13] P Tabuada, Event-Triggered Real-Time Scheduling of Stabilizing Control Tasks IEEE Trans Autom Control 52, 1680–1685 (2007) [14] W Walter, Ordinary Differential Equations (Springer, New York, 1998) [15] L Xing, C Wen, Z Liu, H Su and J Cai, Event-triggered adaptive control for a class of uncertain nonlinear systems IEEE Trans Autom Control 62, 2071–207 (2017) [16] L Zhang, Y Shi, T Chen and B Huang, A new method for stabilization of networked control systems with random delays IEEE Trans Autom Control 50, 1177–118 (2005) [17] F Zhang, The Schur complement and its applications (Springer, Berlin, 2005) 33 ... khiển phản hồi u = Kx = Y X −1 x làm cho hệ điều khiển ổn định 17 Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính 2.1 Điều khiển phản hồi theo kiện Phương pháp lấy mẫu kích hoạt... 18 Chương Điều khiển phản hồi theo kiện cho hệ điều khiển tuyến tính phản hồi trạng thái sử dụng điều kiện kích hoạt theo kiện đảm bảo tính ổn định (2) Chứng minh điều kiện kích hoạt kiện nghiên... 11 Hệ điều khiển tuyến tính 13 1.3.1 Điều khiển điều khiển phản hồi 13 1.3.2 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) 15 1.3 Điều khiển phản hồi theo kiện cho