1 | Biên soạn Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC CHƯƠNG 1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 5 1 Các hàm số lượng giác 5 A Một số dạng toán 5 B Bài tập tự luận 10 C Bài tập trắc ng[.]
1 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC CHƯƠNG Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Các hàm số lượng giác A Một số dạng toán B Bài tập tự luận 10 C Bài tập trắc nghiệm 11 Phương trình lượng giác 17 A Tóm tắt lí thuyết 17 B Một số dạng tốn 18 C Bài tập ôn luyện 20 D Bài tập trắc nghiệm 20 Phương trình bậc hai, bậc ba hàm số lượng giác 26 A Bài tập tự luận 26 B Bài tập trắc nghiệm 26 Phương trình bậc sin x cos x 30 A Phương pháp giải 30 B Bài tập tự luận 31 C Bài tập trắc nghiệm 32 D Phương trình dạng a sin x + b cos x = c sin u + d cos u, với a2 + b2 = c2 + d2 35 Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x cos x MỤC LỤC 36 A Phương pháp giải toán 36 B Bài tập tự luận 36 C Bài tập trắc nghiệm 37 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 10 11 Sử dụng cơng thức biến đổi để giải phương trình lượng giác 39 A Cơng thức biến đổi tổng thành tích 39 B Cơng thức biến đổi tích thành tổng 39 C Công thức hạ bậc, nâng cung 40 D Bài tập trắc nghiệm 40 Phương trình đưa dạng tích 41 A Bài tập tự luận 41 B Bài tập trắc nghiệm 42 Một số phép đặt ẩn phụ thông dụng 44 A Phép đặt ẩn phụ u = sin x + cos x, với điều kiện |u| ≤ B Phép đặt ẩn phụ u = sin x cos x = C Phép đặt ẩn phụ t = tan x + cot x D Phép đặt ẩn phụ t = tan E Bài tập trắc nghiệm √ 44 1 sin 2x (khi |u| ≤ ) 2 45 46 x 46 47 Phương trình chứa ẩn mẫu phương pháp kết hợp nghiệm 48 A Bài tập tự luận 48 B Bài tập trắc nghiệm 50 Một số toán sử dụng phương pháp đánh giá 52 A Bài tập tự luận 52 B Bài tập trắc nghiệm 52 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 52 A Dấu hiệu để lượng giác hóa tốn 52 B Bài tập tự luận 53 C Bài tập trắc nghiệm 53 MỤC LỤC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 12 Bất phương trình lượng giác 54 Ôn tập chương 55 MỤC LỤC A Bộ đề số 55 B Bộ đề 58 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm tập xác định hàm số Phương pháp Tập xác định hàm số y = f ( x ) tập hợp giá trị x cho f ( x ) có nghĩa Điều kiện √ A có nghĩa B 6= 0, điều kiện A có nghĩa A ≥ B Các hàm số y = sin x y = cos x có tập xác định D = R nπ o Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ + kπ |k ∈ Z π Hay nói cách khác, hàm số y = tan x xác định x 6= + kπ, với k ∈ Z Hàm số y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ |k ∈ Z } Hay nói cách khác, hàm số y = cot x xác định x 6= kπ, với k ∈ Z Chú ý π + k2π; π sin u = −1 ⇔ u = − + k2π; (1) sin u = ⇔ u = (3) (5) sin u = ⇔ u = kπ; (2) cos u = ⇔ u = k2π; (4) cos u = −1 ⇔ u = π + k2π; (6) cos u = ⇔ u = π + kπ Bài Tìm tập xác định hàm số: y= − sin x ; cos x y = cos 4x + y= … y= y= 2008 ; sin x cos x − cos x ; + sin x y= Bài Tìm tập xác định hàm số: π y = tan 4x + ; √ m − sin x; y= − cos 3x; tan 5x − cos 10x sin 5x y = cot Bài Tìm m để hàm số sau có tập xác định R: y= √ √ 2m + cos 2x; ; sin x π − 10x + 2008x − sin 3x m cos x + y= √ CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác y = f ( x) Phương pháp Bước Tìm tập xác định D hàm số y = f ( x ) Bước Với x ∈ D: ß −x ∈ D Nếu y = f ( x ) hàm số chẵn f (− x ) = f ( x ) ß −x ∈ D Nếu y = f ( x ) hàm số lẻ f (− x ) = − f ( x ) Chú ý Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng, đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (trục Oy) làm trục đối xứng Chú ý Ta có (1) cos(− x ) = cos x, ∀ x ∈ R; (3) tan(− x ) = − tan x, ∀ x 6= π + kπ; (2) sin(− x ) = − sin x, ∀ x ∈ R; (4) cot(− x ) = − cot x, ∀ x 6= kπ Vậy hàm số y = cos x hàm số chẵn, hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ Bài Xét tính chẵn-lẻ hàm số sau: y = −19 cos x; y = sin x − sin3 x; y = sin3 x cos8 x − cot x; y = sin x − cos x; y= tan x − cot 2x ; sin x y = sin x + cos x − Bài Xét tính chẵn-lẻ hàm số sau: tan x + cot x y= ; sin x y = |sin x − cos x | − |sin x + cos x |; cos x ; |sin x | − √ √ y = + sin x − − sin x y= Bài Xác định giá trị m cho hàm số y = f ( x ) = 2m sin 2008x + cos 3x hàm số chẵn Dạng Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Phương pháp Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Dựa vào chiều biến thiên hàm số lượng giác bản: π π Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; + k2π nghịch biến 2 π 3π khoảng + k2π; + k2π (với k ∈ Z) 2 Hàm số y = cos x đồng biến khoảng ((2k − 1)π; k2π ) nghịch biến khoảng (k2π; (2k + 1)π ) (với k ∈ Z) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 π π Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − + kπ; + kπ 2 Hàm số y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ ) (k ∈ Z) Lưu ý Sử dụng đường tròn lượng giác, ta dễ dàng suy chiều biến thiên hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Bài Lập bảng biến thiên của: a) Hàm số y = sin x đoạn [0; π ] b) Hàm số y = cos x − đoạn [0; π ] 4π 2π π đoạn − ; c) Hàm số y = sin x + 3 π 2π π d) Hàm số y = −2 sin 2x + đoạn − ; 3 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp Dựa vào bảng biến thiên hàm số lượng giác, dựa vào đường tròn lượng giác Chú ý rằng: −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀ x ∈ R; −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ x ∈ R √ Dựa vào bất đẳng thức Cô-si: a + b ≥ ab ( a, b ≥ 0); dấu "=" xảy a = b Dựa vào tính chất hàm số bậc hai: hàm số f ( x ) = ax2 + bx + c ( a 6= 0) có đồ thị Parabol với: b b b −∆ hay I − ; f (− ) ◦ Đỉnh I − ; 2a 4a 2a 2a b 2a ◦ Bề lõm hướng lên a > 0, hướng xuống a < ◦ Trục đối xứng đường thẳng ∆ : x = − ◦ Hàm số f ( x ) = ax2 + bx + c ( a 6= 0) có bảng biến thiên sau: Nhận xét Khi kiểm ta xem giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đạt ta thường sử dụng ý Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: h π πi a) Hàm số y = cos x đoạn − ; 2 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 h π i b) Hàm số y = sin x đoạn − ; h π πi c) Hàm số y = sin x đoạn − ; − h π πi d) Hàm số y = tan 2x đoạn − ; Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: p √ π + 2; y = sin x − y = − cos(3x2 ) − 2; y = 2008 cos x − Bài 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin x + cos x; y = sin4 x + cos4 x; y = sin6 x + cos6 x Bài 11 Cho trước hai số thực a, b khơng đồng thời Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = a sin x + b cos x Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin2 x + sin x cos x + cos2 x Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: √ y = |sin x | − cos x Bài 14 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 12 sin4 x + sin2 2x + cos 4x + cos2 x Bài 15 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số: g( x ) = sin x + cos x − sin 2x + Dạng Phương pháp lượng giác hoá Phương pháp π π đặt u = a cos α, với Nếu gặp − a ≤ u ≤ a đặt u = a sin α, với − ≤ α ≤ 2 ≤ α ≤ π π π Nếu gặp a2 + u2 ta đặt u = a tan α, với − < α < đặt u = a cot α, với 2 < α < π Nếu gặp u2 + v2 = ta đặt u = cos α v = sin α, với ≤ α ≤ 2π Bài 16 Cho x2 + y2 = 1, u2 + v2 = 1, xu + yv = Chứng minh x2 + u2 = 1, y2 + v2 = 1, xy + uv = CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 17 Cho | x | ≥ |y| Chứng minh + kπ k ∈ Z A R B R \ nπ o n 2π o π C R \ D R \ k k ∈ Z + k k ∈ Z 2 Câu Tìm tập giá trị T hàm số y = cos x A T = [−2; 2] B T = [−1; 1] C T = R D T = (−1; 1) Câu 10 Tập xác định hàm số y = 1o− sin x n n o π π A D = x ∈ R | x 6= + k2π, k ∈ Z B D = x ∈ R | x 6= + kπ, k ∈ Z 2 o n π D D = { x ∈ R | x 6= k2π, k ∈ Z } C D = x ∈ R | x 6= + k2π, k ∈ Z Câu 11 (Học kỳ lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019) Xét hàm số y = cos x với x ∈ [−π; π ] Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến (−π; 0) đồng biến (0; π ) B Hàm số nghịch biến khoảng (−π; 0) (0; π ) C Hàm số đồng biến (−π; 0) nghịch biến (0; π ) D Hàm số đồng biến khoảng (−π; 0) (0; π ) Câu 12 (Học kỳ 1, lớp 11, Sở GD ĐT - Vĩnh Phúc, 2019) Khẳng định sau đúng? π π A Hàm số y = tan x nghịch biến khoảng − ; 4 B Hàm số y = sin x đồng biến khoảng (0; π ) π C Hàm số y = cot x nghịch biến khoảng 0; D Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (0; π ) Câu 13 (Thi HK1, THPT Lương Thế Vinh Hà Nội, 2019) Cho hàm số f ( x ) = sin 3x Mệnh đề sai? A Hàm số có tập xác định R B Hàm số hàm lẻ C Hàm số có tập giá trị [−3; 3] D Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ Câu 14 (Học kỳ lớp 11, THPT Tổ - Bắc Ninh, 2018-2019) Lý Thái π Tập giá trị hàm số y = sin 2x + A (−1; 1) B [−1; 1] C R D R \ {±1} √ Câu 15 Tìm hàm số y o = − cos x n tập xác định π B D = R A D = x ∈ R | x 6= + k2π, k ∈ Z C D = { x ∈ R | x 6= k2π, k ∈ Z } D D = { x ∈ R | x 6= π + k2π, k ∈ Z } Câu 16 Tìm ß tập xác định hàm số y™= tan x + cot x ß ™ kπ kπ A D = x ∈ R | x 6= π + ,k∈Z B D = x ∈ R | x 6= ,k∈Z CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 13 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 C D = ß ™ kπ x ∈ R | x 6= ,k∈Z D D = { x ∈ R | x 6= kπ, k ∈ Z } tan 3x − Câu 17 Tìm tập xác định hàm số y = cos 6x sin 3x ß ™ ß ™ kπ kπ A D = x ∈ R | x 6= ,k∈Z B D = x ∈ R | x 6= π + ,k∈Z 16 ™ ß ™ ß π kπ kπ C D = x ∈ R | x 6= + ,k∈Z D D = x ∈ R | x 6= ,k∈Z 12 Câu 18 (Đề Thi HK1 T11, SGD Quảng Nam 2017) 3π ; 2π Trong khẳng định sau khẳng định đúng? Cho x thuộc khoảng A sin x < 0, cos x > B sin x > 0, cos x > C sin x < 0, cos x < D sin x < 0, cos x < Câu 19 (Học kỳ lớp 11, THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, 2018-2019) Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = x sin x B y = x + tan x C y = sin3 x D y = x + cos x Câu 20 (Đề HKI-Chuyên Hưng Yên-2019) Hàm số hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng? B y = cos x C y = tan x D y = cot2 x A y = sin2 x Câu 21 (Học kỳ lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019) Hàm số sau hàm số chẵn? A y = −2 sin x B y = sin(− x ) C y = −2 cos x D y = sin x − cos x Câu 22 Hàm số lượng giác hàm số chẵn? A y = sin 2x B y = cos 2x C y = sin x + D y = sin x + cos x Câu 23 Hàm số lượng giác hàm số lẻ? A y = sin2 x B y = sin x C y = cos 3x D y = x sin x Câu 24 Xét tập xác định hàm số khẳng định sau đúng? A Hàm số y = sin 3x hàm số chẵn B Hàm số y = cos(−3x ) hàm số chẵn C Hàm số y = tan 3x hàm số chẵn D Hàm số y = cot 3x hàm số chẵn Câu 25 (Thi HK1, THPT Lương Thế Vinh Hà Nội, 2019) Trong mệnh đề sau có mệnh đề đúng? Hàm số y = x + sin x tuần hồn với chu kì T = 2π Hàm số y = x cos x hàm số lẻ Hàm số y = tan x đồng biến khoảng xác định A B C D 1 + xác định sin 2x cos 2x kπ kπ , k ∈ Z B x 6= kπ, k ∈ Z C x 6= , k ∈ Z D x 6= k2π, k ∈ Z A x 6= Câu 27 Xét tập xác định hàm số khẳng định sau sai? A Hàm số y = sin 2x hàm số lẻ B Hàm số y = tan 2x hàm số lẻ C Hàm số y = cot 2x hàm số lẻ D Hàm số y = cos 2x hàm số lẻ Câu 26 Hàm số y = Câu 28 (Học kỳ lớp 11, THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, 2018-2019) Cho mệnh đề Hàm số y = sin x − có tập giá trị [−2; 2] CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 14 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ tâm đối xứng Hàm số y = cos 2x có chu kì 4π Hàm số y = cos x hàm số chẵn R Số mệnh đề A B C D Câu 29 Bảng biến thiên sau hàm số bốn hàm số bên dưới? x π 3π π 2π 1 f (x) 0 −1 A y = sin x B y = cos x C y = tan x D y = cot x Câu 30 Xét hàm số f ( x ) = cos 2x tập D = [0; 2π ] có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau khẳng định sai? y O A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số 5π 3π π 7π π 2π x 7π f ( x ) đồng biến khoảng ; 2π π f ( x ) nghịch biến khoảng 0; π 3π f ( x ) nghịch biến khoảng ; 4 4 5π f ( x ) nghịch biến khoảng π; Câu 31 Hình đồ thị hàm số y = sin x? y A y x O y x O B y O x O C x D Câu 32 Xét hàm số f ( x ) = sin x tập hợp D = [0; 2π ] Hình hình sau đồ thị hàm số f ( x )? y y 2π A O x B O 2π x CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 15 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 y −π y O 2π πx C D x O Câu 33 Hàm số hàm số sau có đồ thị hình vẽ đây? y − A y = tan x 3π −π − π B y = − cot x π O π C y = cot x 3π x D y = − tan x Câu 34 Cho hàm số y = sin 2x có đồ thị đường cong hình bên Tìm tọa độ điểm M y M x O −1 A M π ;1 B M(π; 1) C M π ;1 D M Câu 35 Đồ thị sau đồ thị hàm số hàm số đây? π ;2 y x O π 2π 3π 4π −1 x A y = sin x B y = cos C y = sin x x D y = − sin Câu 36 Xét hàm số y = | sin x | khoảng (0; 2π ) Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số π 3π A (π; 2π ) B ; π ; 2π 2 π 3π D (0; π ) ; C 2 Câu 37 Hàm số y = sin x y = sin 3x đồng biến khoảng đây? π π π π 11π π 2π A B C ; ; ; 2π D ; 3 Câu 38 Hàm số sau vừa hàm số chẵn, vừa hàm số tuần hoàn? A y = x sin 3x B y = cos 3x C y = tan 3x D y = cot 3x CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 16 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Câu 39 (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019) tan x Tập xác định hàm số y = √ nπ o − cos x nπ o A D = + kπ | k ∈ Z B D = R \ + kπ | k ∈ Z 2 nπ o C D = R \ {kπ | k ∈ Z } D D = R \ + k2π | k ∈ Z Câu 40 (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019) Hàm số sau hàm số chẵn? A y = sin 2x + B y = sin x · cos 2x C y = sin x · sin 3x D y = sin 2x + sin x Câu 41 (HK1, THPT Chuyên ĐHSP - HaNoi, 2019) Tập xác định hàm số y = sin 2x A R \ ß {kπ; k ∈ Z }™ B R \ {k2π; k ∈ Z } nπ o kπ ;k ∈ Z D R \ + kπ; k ∈ Z C R \ 2 Câu 42 Trong mệnh đề sau có mệnh đề đúng? a) Hàm số y = x + sin x tuần hồn với chu kì T = 2π b) Hàm số y = x cos x hàm số lẻ c) Hàm số y = tan 3x đồng biến khoảng xác định A B C Câu 43 (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019) x Hàm số y = cos tuần hoàn với chu kỳ π A T = π B T = C T = 4π Câu 44 Tìm chu kì tuần hồn T hàm số y = sin 2x + cos x A T = π B T = 2π C T = 4π Câu 45 Tìm chu kì tuần hồn T hàm số y = sin 2x − cos 8x A T = π B T = 2π C T = 4π x x Câu 46 Tìm chu kì tuần hồn T hàm số y = sin + cos A T = 2π B T = 4π C T = 6π x 3π Câu 47 Tìm chu kì T hàm số y = cot + A T = π B T = 2π C T = 3π D D T = 7π D T = −2π D T = π D T = 12π D T = 6π Câu 48 Tìm chu kì T hàm số y = cos2 2x π π A T = B T = 2π C T = π D T = Câu 49 Hàm số hàm số tuần hoàn? sin x x B y = A y = + cos x + x sin2 x + cos2 x + tan x C y = x tan x + sin x D y = sin x + cot2 x + Câu 50 (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019) Giá trị nhỏ √ hàm số y = 2√cos x + sin 2x √ A 2 B − C + D CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 17 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Câu 51 (Đề HKI-THPT Chuyên Hưng Yên-2019) Gọi M giá trị lớn nhất, m giá trị nhỏ hàm số y = cos 2x + cos x − Tìm M − n 21 25 B C D A 8 Câu 52 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= Tính M + √ n A − 1 π π + , với − ≤ x ≤ + sin x + cos x 4 √ B + 2 √ C − 2 Câu 53 (HK1, Lí Thái Tổ - BN, 2018) Cho hàm số y = » √ D + 2 2018 sin x − 2019 , sin2 x + (2m − 3) cos x + (3m − 2) có giá trị tham số m nguyên thuộc (−2019; 2019) để hàm số xác định với giá trị x? A 2018 B 2017 C 2019 D 4036 Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM A B 13 C 19 A 25 D 31 D 37 C 43 C A D 14 B 20 C 26 C 32 D 38 B 44 B A A 15 B 21 C 27 D 33 D 39 B 45 A B 10 A 16 C 22 B 28 B 34 C 40 C 46 D A 11 C 17 D 23 B 29 B 35 D 41 C 47 C B 12 C 18 A 24 B 30 C 36 B 42 C 48 A 49 D 50 B 51 A 52 C 53 B LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Cơng thức nghiệm phương trình lượng giác (1) cos u = cos v ⇔ u = v + k2π ; u = −v + k2π u = v + k2π ; u = π − v + k2π (2) sin u = sin v ⇔ (3) (4) tan u = tan v ⇔ u = v + kπ; cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z ) Trường hợp đặc biệt CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 18 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 sin u = ⇔ u = π + k2π; sin u = −1 ⇔ u = − cos u = ⇔ u = k2π; π + k2π; cos u = −1 ⇔ u = π + k2π; sin u = ⇔ u = kπ; cos u = ⇔ u = π + kπ Điều kiện có nghiệm Phương trình sin u = m có nghiệm khi: −1 ≤ m ≤ Phương trình cos u = m có nghiệm khi: −1 ≤ m ≤ Chú ý Với −1 ≤ m ≤ ta có: sin u = m ⇔ cos u = m ⇔ u = arcsin m + k2π u = π − arcsin m + k2π u = arccos m + k2π u = − arccos m + k2π (k ∈ Z ) (k ∈ Z ) Với m ∈ R ta có: tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ (k ∈ Z ) cot u = m ⇔ u = arccotm + kπ (k ∈ Z ) Chuyển đổi sin côsin, tang côtang π π sin x = cos cos x = sin −x ; −x ; 2 π π tan x = cot cot x = tan −x ; −x 2 Đổi dấu hàm số lượng giác − sin x = sin(− x ); − cos x = cos (π − x ); − tan x = tan(− x ); − cot x = cot(− x ) Các bước giải phương trình lượng giác Bước Đặt điều kiện để phương trình xác định Bước Giải phương trình Bước Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm B MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Phương trình lượng giác Phương pháp Xem lại phần tóm tắt lí thuyết Bài Giải phương trình sau: CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 19 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 sin x = √ ; 2 cos 2x = ; √ π tan 3x − =− ; 4 cot 5x = 1 sin 2x = −1; 2 cos (1 − 3x ) = 3; tan 3x = 0; cot 2x = Bài Giải phương trình sau: Bài Giải phương trình sau 2π sin x − = cos 2x; 3 cos 2x − sin2 x = 0; tan 2x + 450 tan 1800 x − = 1; tan x − cot x = Bài (ĐH -2013B) Giải phương trình sin 5x + cos2 x = Bài Giải phương trình sin 2x + sin x − cos x = √ √ cos 2x = 0; √ sin x + cos x − = sin x − cos x = 0; 2; √ sin 2x = cos 2x − Bài Giải phương trình tan 3x = tan x Bài Giải phương trình: (1) Dạng Giải phương trình lượng giác thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Chú ý với u ∈ R ta có: −1 ≤ sin u ≤ 1; −1 ≤ cos u ≤ công thức nghiệm phương trình lượng giác k số nguyên Bài Giải phương trình sau với điều kiện ra: √ π π sin 2x = với < x < 2π; tan 3x = − với −