Sổ tay toán học lớp 12

SỔ TAY TOÁN HỌC 12 Họ tên: Lớp: | Trang Đường trịn lượng giác Cơng thức lượng giác Công thức sin2 x + cos2 x = tan x = tan x cot x = sin x cos x = + tan2 x cos2 ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam cot x = sin2 x cos x sin x = + cot2 x | Trang Hai cung đối nhau: (− x) x cos(− x) = cos x sin(− x) = − sin x tan(− x) = − tan x cot(− x) = − cot x Hai cung bù nhau: (π − x) x sin (π − x) = sin x cos (π − x) = − cos x tan (π − x) = − tan x cot (π − x) = − cot x Hai cung phụ nhau: ³π ´ ³π ´ − x x − x = cos x ´ ³π tan − x = cot x sin ³π ´ − x = sin x ´ ³π cot − x = tan x 2 cos Hai cung hơn, π: (π + x) x sin (π + x) = − sin x cos (π + x) = − cos x tan (π + x) = tan x cot (π + x) = cot x Hai cung hơm, ³π ´ π ³π : ´ + x x + x = cos x ³π ´ tan + x = − cot x sin ³π ´ + x = − sin x ³π ´ cot + x = − tan x 2 cos Công thức cộng sin ( x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos ( x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y tan x ± tan y tan ( x ± y) = ∓ tan x tan y ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang Công thức nhân đôi cos x = cos2 x − sin2 x = cos2 −1 = − sin2 x tan x sin x = sin x cos x tan x = − tan2 x Công thức hạ bậc cos2 x = + cos x 2 sin2 x = − cos x − cos x + cos x tan2 x = Công thức tổng thành tích x+ y x− y cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 x+ y x− y cos x + cos y = cos cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2 sin sin 2 sin ( x + y) sin ( x − y) tan x + tan y = tan x − tan y = cos x cos y cos x cos y sin x + sin y = sin Cơng thức tích thành tổng [cos( x + y) + cos( x − y)] 2 sin x sin y = − [cos( x + y) − cos( x − y)] sin x cos y = [sin( x + y) + sin( x − y)] cos x cos y = Cấp cố cộng Dãy số ( u n ) gọi cấp số cộng u n+1 = u n + d , với n ∈ N∗ , d số ⋆ d = u n+1 − u n gọi công sai Số hạng tổng quát: u n = u + ( n − 1) d , ( n ≥ 2)) hay d = ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam n n − u1 n−1 | Trang Tính chất: u k+1 + u k−1 = u k , ( k ≥ 2) hay u k = Tổng n số hạng đầu: S n = u k−1 + u k+1 n( u + u n ) n [2 u + ( n − 1) d ] , (n ∈ N ) ; S n = 2 Cấp nhân Dãy số ( u n ) gọi cấp số cộng u n+1 = u n q , với n ∈ N∗ , q số u n+1 ⋆ q= gọi công bội un un Số hạng tổng quát: u n = u q n−1 , ( n ≥ 2)), hay q n−1 = u1 p Tính chất: u2k + u k−1 u k+1 hay | u k | = u k−1 u k+1 , ( k ≥ 2) Tổng n số hạng đầu: S n = u ( q n − 1) , ( q ̸= 0) q−1 Tổ hợp-xác suất Hoán vị Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: P n = n! = 1.2 · n Chỉnh hợp Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k củan phần tử cho ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Akn = n! ( n − k)! Tổ hợp Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập hợp gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử: Ckn = n! , (0 ≤ k ≤ n) k!( n − k)! Xác suất Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Xác suất biến cố A là: P ( A ) = n( A ) n(Ω) Tính chất xác suất ⋆ P (∅) = 0; P (Ω) = ⋆ ≤ P ( A ) ≤ 1, với biến cố A ⋆ P ( A ) = − P ( A ), với biến cố A Bảng đạo hàm Nhóm đa thức ( x n )′ = n.x n−1 ¡p ¢′ x = p x ả 1 = x x ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam ( u n )′ = n.u′ u n1 Ăp  u u = p u ¶′ u′ =− u u | Trang Nhóm lượng giác (sin x)′ = cos x (sin u)′ = u′ cos u (cos x)′ = − sin x (cos u)′ = − u′ sin u cos2 x (cot x)′ = − sin2 x (tan x)′ = u′ cos2 u u′ (cot u)′ = − sin2 u (tan u)′ = Nhóm mũ (a x )′ = a x ln a (a u )′ = u′ a u ln a (e x )′ = e x (eu )′ = u′ eu Nhóm logarit ; ( x > 0) x ln a (ln | x|)′ = x ¡ ¢′ loga x = u′ ; ( u > 0) u ln a u′ (ln | u|)′ = u ¢′ ¡ loga u = Quy tắc tính đạo hàm ( u ± v )′ = u ′ ± v ′ ( k.u)′ = k.u′ ( u.v)′ = u′ v + u.v′ ³ u ´′ v = u′ v − u.v′ v2 Tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm K • Nếu f ′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ K f ′ ( x) = hữu hạn điểm x ∈ K hàm số y = f ( x) đồng biến K • Nếu f ′ ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ K f ′ ( x) = hữu hạn điểm x ∈ K hàm số ƠKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang y = f ( x) nghịch biến K Các bước xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm f ′ ( x) tìm nghiệm f ′ ( x) = 0, ( x1 x2 ∈ D ) Bước 3: Lập bảng biến thiên x y ′ y −∞ +∞ x1 − + +∞ +∞ y( x1 ) Bước 4: Từ bảng biến thiên ta kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đồng biến R   a > a > ⇔ ⇔ y′ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ∆ ′ ≤  b2 − 3a.c ≤ y Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , nghịch biến R   a < a < ⇔ y′ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤  b2 − 3a.c ≤ y Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm biến ax + b , đồng biến tâp xác định: ad − bc > cx + d ax + b Hàm số y = , nghịch biến tâp xác định: ad − bc < cx + d ax + b Hàm số y = , đồng biến khoảng (α; +∞) cx + d    y′ > ad − bc >   ⇔ ⇔ d d    − ∉ (α; +∞) − ≤ α c c ax + b Hàm số y = , nghịch biến khoảng (−∞; α) cx + d   ′   y < ad − bc < ⇔ ⇔ d d    − ∉ (−∞; α) − ≥ α c c Hàm số y = ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam | Trang Cực trị hàm số Hàm số y = f ( x) có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f ′ ( x0 ) = Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định Tính đạo hàm f ′ ( x) Bước 2: Tìm điểm x i ( i = 1; 2; ) mà đạo hàm x ′ y y −∞ +∞ x1 − + +∞ +∞ yCT hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ′ ( x) Nếu f ′ ( x) đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định Tính f ′ ( x) Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ) phương trình f ′ ( x) = Bước 3: Tính f ′′ ( x) tính f ′′ ( x i ) + Nếu f ′′ ( x i ) < hàm số f ( x) đạt cực đại x i + Nếu f ′′ ( x i ) > hàm số f ( x) đạt cực tiểu x i Đồ thị Điểm CĐ đồ thị hàm số y GT CĐ hàm số yCĐ Điểm CĐ hàm số Điểm CT hàm số xCT xCĐ O x yCT GT CT hàm số ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam Điểm CT đồ thị hàm số | Trang Điều kiện cực trị hàm bậc Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trị: ∆ y′ > ⇔ b2 − 3ac > Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d khơng có cực trị: ∆ y′ ≤ ⇔ b2 − 3ac ≤   y ′ ( x0 ) = Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực đại x0 : ⇔  y′′ ( x ) < 0   y′ ( x0 ) = Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực tiểu x0 : ⇔  y′′ ( x ) > 0 Điều kiện cực trị hàm trùng phương Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⇔ a.b <   a = a ̸= Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực trị  b ̸= a.b ≥  a > Hàm số y = ax + bx + c có cực đại, cực tiểu ⇔ b <  a < Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực đại, cực tiểu ⇔ b >   a = a < Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực đại b < b ≤   a = a > 00 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực tiểu b > b ≥ ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 26 | Trang Dạng SA SB SC SD ,b = ,c= ,d = ′ ′ ′ SA SB SC SD ′ ′ ′ ′ ′ VS.A B C D a+b+c+d = VS.ABCD 4abcd a= Dạng AM BN CP ,b = ,c= A A′ BB′ CC ′ VABC.MNP a+b+c = VABC.A ′ B′ C ′ a= Dạng AM BN CP DQ a + c = b + d ,b = ,c= ,d = A A′ BB′ CC ′ DD ′ VABCD.MNPQ a+b+c+d = VABCD.A ′ B′ C ′ D ′ a= Thể tích khối trịn xoay Định nghĩa-nón Khi quay đường gấp khúc S AB quanh trục SO tạo thành mặt nón SO = h chiều cao nón O A = r bán kính đường tròn đáy S A = l đường sinh ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 26 27 | Trang Thể tích, diện tích-nón π.r h Diện tích xung quanh: S xq = π.l.r Thể tích Vnón = Diện tích toàn phần: S = π.r ( l + r ) +) O A = r: Bán kính đường trịn đáy +) S A = l : Đường sinh +) SO = h: Chiều cao nón Tính chất: l = r + h2 Thiết diện qua trục-nón Thiết diện qua trục tam giác S AB vuông cân S Chiều cao: SO = h = r Đường kính: AB = r p l Đường sinh: l = r 2; r = p Diện tích: S △S AB = r Định nghĩa-trụ Khi quay hình chữ nhật OO ′ BA quanh trục OO ′ tạo thành mặt trụ OO ′ = h = l chiều cao trụ O A = O ′ B = r bán kính đường trịn đáy AB = l đường sinh Thể tích, diện tích-trụ Thể tích: Vtrụ = π.r h Diện tích xung quanh: S xq = 2.π.l.r Diện tích tồn phần: S = 2.π.r ( l + r ) Tính chất: h = l ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 27 28 | Trang Thiết diện qua trục-trụ Thiết diện qua trục hình vng MNPQ Cạnh hình vng: r Chiều cao: OO = h = l = r Diện tích: S ⋄ MNPQ = r Thể tích, diện tích-cầu Diện tích mặt cầu: S = 4πR Thể tích khối cầu: V = πR 3 ⋆ Diện tích hình trịn: S = π.R ⋆ Chu vi đường trịn: 2π.R Chỏm cầu Diện tích chỏm cầu ¡ ¢ S xq = 2πRh = π r + h2 Thể tích chỏm cầu: ¶ µ ¢ πh ¡ h = V = π h2 R − r + h2 Công thức tính nhanh thể tích Cơng thức Hình chóp S.ABC có S A = c, AB = a, AC = b đơi vng góc: VS.ABC = abc ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 28 29 | Trang Cơng thức Hình chóp S.ABC có đáy △ ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b: p p a3 a2 b − a2 a= b −−−→ VS.ABC = VS.ABC = 12 12 Cơng thức Hình chóp tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc α: VS.ABC = a3 tan α 12 Cơng thức Hình chóp tam giác có cạnh bên b, cạnh bên tạo với đáy góc α: VS.ABC = p 3 b sin α cos2 α Công thức Hình chóp tam giác có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α: VS.ABC = a3 tan α 24 ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 29 30 | Trang Công thức Hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên b: p p a b − a2 a= b a3 VS.ABCD = −−−−−→ VS.ABCD = 6 Công thức Hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy α: p a3 tan α VS.ABCD = Cơng thức Hình chóp S.ABCD có cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy α: b3 tan α VS.ABCD = q ¡ ¢3 + tan2 α Cơng thức Hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy α: VS.ABCD = a3 tan α ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 30 31 | Trang Cơng thức 10 Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD , cạnh đáy a, cạnh bên b: a r = , h = SO = s b2 − πa a2 2 Thể tích nón: Vnón = s b2 − a2 12 a= b −−−−−−−−−→ Vnón = p π a3 24 Cơng thức 11 Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD , cạnh đáy a, cạnh s p a a2 r= , h = SO = b2 − 2 s π a2 Thể tích nón: Vnón = b2 − bên a2 a= b b: −−−−−−−−−→ Vnón = p π a3 12 Cơng thức 12 Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC có cạnh a, cạnh bên b: s p a a2 r= , h = SO = b2 − p p a πa Khi a = b: h = ,V = 108 ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 31 32 | Trang Công thức 13 Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC có cạnh a, cạnh bên s p a a2 b: r = , h = SO = b2 − 3 p p πa a Khi a = b: h = ,V = 27 Cơng thức 14 Hình nón nội tiếp hình lập phương cạnh a r= π a3 a , h = a, V = 12 Cơng thức 15 Hình cầu nộp tiếp hình lập phương cạnh a r= a π a3 ,V = Cơng thức 16 Hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có cạnh a, b, c: R = p a2 + b + c 2 ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 32 33 | Trang Cơng thức 17 Hình cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh a: p p a r= , V = π a3 Cơng thức 18 Hình cầu nội tiếp tứ diện cạnh a: p p π a3 a r= ,V = 12 216 Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ không gian Trục hoành: Ox; trục tung: O y; trục cao: Oz #» Vec-tơ đơn vị: i = (1, 0, 0); #» j = #» (0 ; k¯ =¯ (0¯, 0, 1) ¯ #», ¯1, 0)¯ #» ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ #»¯ ¯ i ¯=¯ j ¯=¯k¯=1 Tọa độ vec-tơ Trong không gian với hệ trục Ox yz #» #» #» #» a = a i + a j + a k ⇔ #» u = (a ; a ; a ) ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 33 34 | Trang Tính chất #» Cho hai vec-tơ #» a = ( a ; a ; a ), b = ( b ; b ; b ) #» Tổng-hiệu: #» a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ± b ) Tích số với vec-tơ: k #» a = ( k.a ; k.a ; k.a ) q a21 + a22 + a23    a = b #»  #» Hai vec-tơ nhau: a = b ⇔ a = b    a = b 3 #» a a a #» Hai vec-tơ phương: a = k b ⇔ = = =k b1 b2 b3 #» Tích vơ hướng hai vec-tơ: #» a b = a b + a b + a b 3 Độ dài vec-tơ: | #» a|= #» Hai vec-tơ vng góc: #» a ⊥ b ⇔ a b + a b + a b Góc hai vec-tơ: ³ #»´ a b + a b + a b a, b = q cos α = cos #» q a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 Tích có hướng hai vec-tơ: h ï #»i ¯¯a #» a, b = ¯ ¯b2 ¯ ¯ a ¯¯ ¯¯a ¯;¯ b3 ¯ ¯b3 ¯ ¯ a ¯¯ ¯¯a ¯;¯ b1 ¯ ¯b1 ¯! a ¯¯ ¯ b2 ¯ = (a b − a b ; a b − a b ; a b − a b ) Tọa độ điểm # » #» #» #» +) OM = x i + y j + z k ⇒ M ( x; y; z)    x : hoành độ   +) M ( x; y; z) : y : tung độ     z : cao độ ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 34 35 | Trang Các điểm đặc biệt O (0; 0; 0) B ∈ Ox −−−−−−→ B( x; 0; 0) A ∈ O y −−−−−−→ A (0; y; 0) C ∈ Oz −−−−−−→ C (0; 0; z) M ∈ (Ox y) −−−−−−→ M ( x; y; 0) P ∈ (Oxz) −−−−−−→ M ( x; 0; z) Q ∈ (O yz) −−−−−−→ M (0; y; z) Tính chất Trong mặt phẳng Ox yz, cho điểm A ( x A ; yA ; z A ); B ( xB ; yB ; zB ); C ( xC ; yC ; zC ) # » Tọa độ vec-tơ: AB = ( xB − x A ; yB − yA ; zB − z A ) q ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2  x A + xB  xI =      yA + yB Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB: yI =       z = z A + zB I # » # »2 Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: M A = k MB: x A − k.xB yA − k.yB z A − k.zB xM = ; yM = ; zM = 1−k 1−k 1−k Tọa độ tâm G △ ABC  x + xB + xC  xG = A      yA + yB + yC G : yG =       z = z A + zB + zC G Độ dài đoạn thẳng AB = Ứng dụng tích có hướng vec-tơ Diện tích △ ABC S △ ABC = ¯¯h # » # »i¯¯ ¯ AB, AC ¯ ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 35 36 | Trang Diện tích hình hành ¯h # bình i¯ ABCD ¯ » # » ¯ S △ ABCD = ¯ AB, AC ¯ ′ ′ ′ ′ Thể ¯tích BCD: ¯ h hình hộp i ABCD.A ¯ # » # » # »′ ¯ V = ¯ AB, AC A A ¯ Thể tích tứ diện ABCD : ¯¯h # » # »i # »¯¯ V = ¯ AB, AC AD ¯ Mặt cầu Phương trình  mặt cầu tâm I (a; b; c) Mặt cầu (S ) :  bán kính R ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R 2 Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − b y − cz + d = với điều kiện: a2 + b2 + c2 − d > phương trình mặt cầu (S ) tâm I (a; b; c) p bán kính R = a2 + b2 + c2 − d Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng-Vec-tơ pháp tuyến có VTPT PTPQ (P ) : Ax + B y + Cz + D = −−−−−−−−→ #» n = ( A ; B; C ) ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 36 37 | Trang Phương trình mặt phẳng (P ) :  qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) vtpt #» n = ( A ; B; C ) A ( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Viết gọn: Ax + B y + Cz + D = #» Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơh phương a i #» #» #» #» b VTPT (P ) n = a , b Mặt phẳng ( ABC ) với A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) Phương trình mặt chắn: ( ABC ) : x y z + + =1 a b c Các mặt phẳng đặc biệt (O yz) : x = (Oxz) : y = (Ox y) : z = (O yz) ∥ x + a = (Oxz) ∥ y + b = (Ox y) ∥ z + c = Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P ) : Ax + B y + Cz + D = d ( M0 , (P )) = | A.x0 + B.y0 + C.z0 + D | p A + B2 + C 2 Khoảng cách mặt song song (P ) : Ax + B y + Cz + D = (Q ) : A x + B1 y + C z + D = ⋆ Lấy điểm M ∈ (Q ) Khoảng cách: d [(P ), (Q )] = d ( M, P ) Góc mặt phẳng VTPT (P ) : Ax + B y + Cz + D = −−−−−→ #» n (P ) = ( A ; B; C ) ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 37 38 | Trang VTPT (Q ) : A x + B1 y + C z + D = −−−−−→ #» n (Q ) = ( A ; B1 ; C ) ¯ #» ¯ ¯ n (P ) #» n (Q ) ¯ | A.A + B.B1 + C.C | cos α = ¯ #» ¯ ¯ #» ¯ = p q ¯ n (P ) ¯ ¯ n (Q ) ¯ A + B2 + C A 21 + B21 + C 12 Vị trí mặt phẳng (P ) : Ax + B y + Cz + D = 0, #» n (P ) = ( A ; B; C ) (Q ) : A x + B1 y + C z + D = 0, #» n (Q ) = ( A ; B1 ; C ) A B C ̸= ̸= (P ) (Q ) cắt nhau: A B1 C B C D A = = ̸= (P ) ∥ (Q ): A B1 C D A B C D (P ) ≡ (Q ): = = = A B1 C D (P )⊥(Q ): A.A + B.B1 + C.C = Phương trình đường thẳng Đường thẳng-Vec-tơ phương Phươngtrình tham số: ¯ ¯    x = x0 + at ¯   ¯  #» u = ( a; b ; c ) VTCP ¯ ( d ) : : y = y0 + bt , ( t ∈ R)¯ −−−−−−−−−−→  ¯   M ( x0 ; y0 ; z0 )  ¯ qua điểm  z = z + ct ¯ Phương trình tắc   #» u = ( a; b ; c ) x − x0 y − y0 z − z0 ¯¯ VTCP (d ) : = = ¯ −−−−−−−−−−→ a b c qua điểm  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 38 39 | Trang Phương trình tham số      x = x0 + at có VTCP #» u = (a; b; c) PTTS  (d ) : −−−−−→ y = y0 + bt , ( t ∈ R) đi qua M ( x ; y ; z )   0   z = z + ct Phương trình tắc (d ) :  có VTCP #» u = ( a; b ; c ) đi qua M ( x ; y ; z ) 0 PTCT −−−−−−−−−−→ x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Góc hai đường thẳng Đường thẳng ∆ có VTCP #» u = ( a; b ; c ) Đường thẳng ∆′ có VTCP #» v = ( a′ ; b ′ ; c ′ ) ¯ ¯ ¯a.a′ + b.b′ + c.c′ ¯ | #» u #» v| cos(∆; ∆ ) = #» #» = p p | u |.| v | a2 + b2 + c2 a′2 + b′2 + c′2 ′ Góc đường thẳng mặt phẳng Đường thẳng ∆ có VTCP #» u = ( a; b ; c ) #» Mặt phẳng (P ) có VTCP n = ( A ; B; C ) | #» |a.A + b.B + c.C | u #» n| sin(∆; (P )) = #» #» = p p 2 2 | u |.| n| a + b + c A + B + C2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng   x = x0 + a.t    (∆) : y = y0 + b.t (P ) : Ax + B y + Cz + D =     z = z + c.t Thế (∆) vào (P ) A ( x0 + a.t) + B( y0 + b.t) + C ( z0 + c.t) + D = ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam (1) 39 40 | Trang ⋆ Nếu (1) có nghiệm t = t suy (∆) cắt (P ) điểm M0 ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + zt ) ⋆ Nếu (1) vô nghiệm (∆) ∥ (P ) ⋆ Nếu (1) vơ số nghiệm (∆) thuộc (P ) A B C ∆⊥(P ): = = a b c (∆) ∥ (P ): A.a + B.b + C.c = Vị trí tương đối hai đường thẳng     x = x0′ + a′ t′  x = x0 + a.t      ¡ ¢ (∆) : y = y0 + b.t , ( t ∈ R) (∆′ ) : y = y0′ + b′ t′ , t′ ∈ R        z = z + c.t  z = z′ + c′ t′ 0  ′ ′  x + at = x + a t  0   ⋆ Xét hệ phương trình: y0 + bt = y0′ + b′ t     z + ct = z′ + c′ t 0 (∆) cắt (∆′ ): (1) có nghiệm t, t′ (∆) ∥ (∆′ ): (1)   (1) vô nghiệm a b c   = = ′ ′ ′ a b c ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam (∆) chéo (∆′ ):   (1) vô nghiệm b c a   ̸= ̸= a′ b ′ c ′ (∆) ≡ (∆′ ): (1) vô số nghiệm 40 ... || z1 | − | z2 || z2 | z2 | ÔKỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 20 21 | Trang Biểu diễn hình học y z = a + bi ⇒ M (a; b) M b OM = | z| p a2 + = b a O x Phương trình bậc hai Phương trình: ax2... Trang Khối bát diện {3; 4} 12 Khối 12 mặt {5; 3} 20 30 12 15 Khối 20 mặt {3; 5} 12 30 20 15 Hình học phẳng Tam giác vuông △ ABC vuông A , đó: BC = AB2 + AC (Định lý Py-ta-go) 1 = + 2 AH AB AC BC