Microsoft Word HH8 C1 CD1 Tè GIÁC docx TỨ GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng *[.]
TỨ GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD DA; hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng * Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác * Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi a) Tứ giác lồi a) Tứ giác không lồi b) Tứ giác không lồi b) Khơng phải tứ giác * Định lý: Tổng góc tứ giác 360 * Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 360 II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN Dạng Tính số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc tứ giác Kết hợp kiến thức học tính chất dãy tỉ số nhau, tốn tổng hiệu để tính số đo góc :C :D = 4:3:2:1 Bài Cho tứ giác ABCD biết A : B a) Tính góc tứ giác ABCD cắt E Các đường phân giác góc ngồi đỉnh C D D b) Các tia phân giác C cắt F Tính CE D CF D tứ giác ABCD biết A = 120°, B = 90° C D 2D Bài Tính số đo góc C Dạng Tìm mối liên hệ cạnh, đường chéo tứ giác Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh: a) Tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đường chéo; b) Tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD điểm M thuộc miền tứ giác Chứng minh: a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD; b) MA + MB + MC + MD ≥ (AB + BC + CD + DA) Dạng 3.Tổng hợp Bài Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trường hợp tứ giác có hình cánh diêu) a) Chứng minh AC đường trung trực BD , D biết A = 100°, C = 60° b) Tính B , D cắt I CID 500 Các tia phân giác C = 1150 Tính A B Bài Tứ giác ABCD có góc A, B Bài a) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vng góc, tổng bình phương hai cạnh đối tổng bình phương hai cạnh đối b) Tứ giác ABCD có AC vng góc với BD Biết AD = 5cm, AB = cm, BC = 10 cm Tính độ dài CD BC = AD Chứng minh: Bài Cho tứ giác ABCD có A B a) ∆DAB = ∆CBA, từ suy BD = AC; b) ADC BC D; c) AB // CD F cắt Bài Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD E, BC cắt AD F Các tia phân giác E I Chứng minh ABC ADC ; a) EIF 1300 BCD 500 IE IF b) Nếu BAD HƯỚNG DẪN Bài a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số A 1440 , B 1080 , C 720 , D 360 b) Sử dụng tổng ba góc tam giác tính 1260 CED Chú ý hai phân giác ngồi góc tam giác vng góc nhau, với tổng bốn góc tứ giác, ta tính 540 CFD Bài HS tự chứng minh: 500 , C 1000 D Bài a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh cịn lại cho tam giác OAB, OBC,OCD ODA b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết a) Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh lại cho tam giác ABC, ADC, ABD CBD Bài a) HS tự chứng minh b) Tương tự 2A a) Bài a) HS tự chứng minh b) Sử dụng tổng bốn góc tứ giác ý D B D Bài Tính tổng C Bài a) Sử dụng Pytago b) Áp dụng a) Bài a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Sử dụng a), b) tổng bốn góc tứ giác Bài a) Gọi IF CD N Theo định lý góc ngồi tam giác FNE E ; NIE có FIE D E ; DNF có FNE D E F (1) Vậy FIF ADE có 1800 ( D E A1 ); 1800 ( D C ); DFC có F F 3600 (2 D ) E A1 C C D (2 D ) B D ; A1 B A1 C 1 1 D B1 D D B1 Thay vào (1) EIF 2 (ĐPCM) b) Áp dụng a) B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Dạng 1.Tính số đo góc Bài Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh lại Bài B 220 Các tia phân giác đỉnh C D cắt K Cho tứ giác ABCD có A Tính số đo góc CKD Bài C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song Tứ giác ABCD có A song với trùng Bài 130 ; D 110 Tính số đo góc A, góc B Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; C Dạng 2.So sánh độ dài Bài Có hay khơng tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? Bài Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB 3; BC 6,6; CD Tính độ dài AD Bài Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Bài Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, hai điểm có khoảng cách lớn 10 Chứng minh tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 Bài Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a , b , c , d số tự nhiên Biết tổng S a b c d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác Dạng Bài tốn giải phương trình tơ màu Bài 10 Có chín người ba người có hai người quen Chứng minh tồn nhóm bốn người đơi quen HƯỚNG DẪN Bài Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề (h.1.5) , D số đo hai góc trong; D , D số đo hai góc ngồi Gọi C 1 2 hai đỉnh kề C D Ta có: D 180 C 180 D 360 C D (1) C 2 1 1 360 C D (2) A B Xét tứ giác ABCD có: 1 D A B Từ (1) (2) suy ra: C 2 Trường hợp hai góc hai đỉnh đối (h.1.6) C B D Chứng minh tương tự, ta A 2 Bài (h.1.7) DCy 220 (bài 1.1) Ta có: CDx A B CDy CDx C 110 110 Do D 2 180 D C 180 110 70 Xét CKD có: CKD 2 Bài (h.1.8) D 360 360 2C AC Xét tứ giác ABCD có: B B , D D nên B D 180 C B D C 180 Vì B 2 1 1 (1) M C 180 (2) Xét BCM có B 1 M Do DN // BM Từ (1) (2) suy D 1 Bài (h.1.9) chúng cắt E D Vẽ đường phân giác góc C 180 110 130 60 Xét ECD có CED 60 AED CED ADE CDE (c.g.c) DEC 60 BCE DCE (c.g.c) BEC AEB 180 ba điểm A, E, B thẳng hàng Suy EAD Vậy BAD ECD 65 Do ABC 360 65 110 130 55 Bài (h.1.10) Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC AB BC Xét ADC có: CD AD AC Do CD AD AB BC Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 Bài (h.1.11) Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét AOB , COD vng O, ta có: AB CD OA2 OB OC OD Chứng minh tương tự, ta được: BC AD OB OC OD OA2 Do đó: AB CD BC AD Suy ra: 32 62 6, 62 AD AD 36 43,56 1, 44 AD 1, Bài (h1.12) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA OB a; OC OD c Do OA OC OB OD a c hay AC BD a c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC BD d b (2) Cộng vế (1) (2), ta được: AC BD a b c d AC BD abcd Xét ABC ADC ta có: AC a b; AC c d 2AC a b c d (3) Tương tự có: 2BD a b c d (4) Cộng vế (3) (4) được: AC BD a b c d AC BD a b c d Từ kết ta điều phải chứng minh Bài Trước hết ta chứng minh toán phụ: Cho ABC , A 90 Chứng minh BC AB AC Giải (h.1.13) Vẽ BH AC Vì A 90 nên H nằm tia đối tia AC Xét HBC HBA vng H, ta có: BC HB HC AB HA2 HA AC AB HA2 HA2 AC HA AC AB AC HA AC Vì HA AC nên BC AB AC ( dấu “=” xảy H A tức ABC vuông) Vận dụng kết để giải toán cho Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lồi (h.1.14) C D 360 Ta có: A B Suy bốn góc phải có góc lớn 90 , giả sử A 90 Xét ABD ta có BD AB AD 10 10 200 suy BD 200 , BD 14 Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lõm (h.1.15) 360 Nối CA, Ta có: ACD ACB BCD Suy ba góc phải có góc lớn 120 ACB 120 , ACB góc tù Giả sử Xét ACB có AB AC BC 102 10 200 Suy AB 200 AC 14 Vậy tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 Bài (h.1.16) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử khơng có hai cạnh tứ giác Ta giả sử a b c d Ta có: a b c BD c d Do a b c d 2d Ta đặt a b c d S S 2d (*) Ta có: S a S ma m N (1) S b S nb n N (2) S c S pc p N (3) S d S qd q N (4) Từ (4) (*) qd 2d q Vì a b c d nên từ (1), (2), (3), (4) suy m n p q Do q 3; p 4; n 5; m Từ (1), (2), (3), (4) suy a b c d ; ; ; m S n S p S q S Ta có: 1 1 1 1 abcd 1 m n p q S Từ đó: 19 , vơ lí 20 Vậy điều giả sử sai, suy tồn hai cạnh tứ giác Bài 10 Coi người điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Ta tô màu xanh hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ hai người quen Ta chứng minh tồn tứ giác có cạnh đường chéo tơ màu đỏ Trường hợp có điểm đầu mút bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (h.1.17) Xét ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ tam giác có đoạn thẳng màu đỏ Tương tự đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE có màu đỏ (vẽ nét liền) (h.1.18) Do tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tơ đỏ nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trường hợp điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh Không thể điểm đầu mút ba đoạn thẳng màu xanh số đoạn thẳng màu xanh 9.3 N Như tồn điểm đầu mút nhiều hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn điểm A, A đầu mút sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn ba điểm đỉnh tam giác có ba cạnh màu (đây tốn phương pháp tơ màu) chẳng hạn BCD (h.1.20) Trong BCD có cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh BCD màu đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tơ đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 1: a) Có tứ giác có góc nhọn khơng? b) Một tứ giác có nhiều góc nhọn, góc tù, góc vng? 550 ; B 1100 ; D 750 Tính số đo góc C Bài 2: a) Cho tứ giác ABCD có A 550 ; B 107 ;C 720 Tính số đo góc ngồi đỉnh D b) Cho tứ giác ABCD có A ˆ 100 , D ˆ :B ˆ 60 , A ˆ : Tính góc A B Bài 3: Tứ giác ABCD có C D 1800 ; C D 1200 C 200 , B Bài 4: Cho tứ giác ABCD biết B a) Tính số đo góc tứ giác tứ giác Chứng minh: AIB CD B b) Gọi I giao điểm tia phân giác A Bài 5: Cho tứ giác ABCD có O giao điểm tia phân giác góc C D 1200 , B 900 biết A a) Tính COD B theo A b) Tính COD c) Các tia phân giác góc A B cắt I cắt tia phân giác góc C D thứ tự E F Chứng minh tứ giác OEIF có góc đối bù B 500 Các tia phân giác góc C góc D cắt O Cho biết Bài 6: Cho tứ giác ABCD, A 1150 Chứng minh AB BC COD Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có B D 1800 ,CB CD Chứng minh AC tia phân giác BAD ˆ D ˆ 90 Chứng minh AC2 BD2 AB2 CD2 Bài 8: Tứ giác ABCD có C Bài 9: Cho tứ giác ABCD, M điểm tứ giác Xác định vị trí M để MA MB MC MD nhỏ C tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD M; tia phân giác Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A góc D cắt đường thẳng BC N Chứng minh rằng: BM / /CN HƯỚNG DẪN Bài 1:a) Khơng có tứ giác có góc nhọn Tổng góc tứ giác 3600 Do đó, tứ giác có nhiều ba góc nhọn, có nhiều ba góc tù, nhiều góc vng Bài 2: a) A B C D 3600 C 1200 b) Tương tự tính D 1260 Vậy góc ngồi đỉnh D có số đo 54 B 360 1000 60 A B A 120 B 80 Bài 3: 400 Từ tính A 5 2C 2D 200 180 120 B C D 250 Bài 4: a) Từ giả thiết ta có: 2B ˆ Bˆ Cˆ D ˆ 110 ˆ 360 A Vì A 250 (C D) 250 120 130 B 200 B 200 130 70 C 120 C 120 70 50 D b) Trong tam giác ABI: ˆ Bˆ ˆ Bˆ) Cˆ Dˆ 360 (A 180 A AIB 2 C D 3600 1200 900 C D 3600 Bài 5: a) Tứ giác ABCD có A B D 1500 C D (C D ) : 1500 : 750 C 1 D 750 nên COD có C 1 1800 (C D ) 1800 750 1050 COD 1 A B b) Giải tương tự câu a Đáp số: COD CD c) Chứng minh tương tự câu b, ta EIF OFI 3600 1800 1800 EIF A B C D 360 1800 Suy ra: OEI Do đó: COD 2 1800 C D 1800 C D Bài 6: Xét COD có COD 2 C ; D D ) (vì C 2 D 3600 A B , Xét tứ giác ABCD có C 1800 COD B 3600 A 180 180 B A 1150 nên A B 2300 A B Theo đề COD Vậy COD B 500 nên B 2300 500 : 90 Do AB BC Mặt khác, A Bài 7: Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI AD (cùng bù với ABC Ta có ADC IBC AD IB, DC BC Từ ta có ADC IBC BIC AC IC Suy ra: DAC BIC DAC Tam giác ACI cân C nên BAC Vậy AC phân giác BAD Bài 8: Gọi O giao điểm AD BC D 90 nên O 90 Ta có C Áp dụng định lí Py – ta – go, Ta có AC OA2 OC BD OB2 OD Nên AC BD OA OB2 OC OD AB CD Bài 9: Gọi I giao điểm AC BD Ta có bất đẳng thức: MA MC AC, MB MD BD Từ suy MA MB MC MD AC BD MA MB MC MD AC BD M trùng với I Vậy M giao điểm hai đường chéo MA MB MC MD nhỏ Bài 10: D 360o A C 360o 2C Xét tứ giác ABCD có: B B ; D D nên B D 180o C Vì B 2 1 D C 180o (1) B 1 M C 180o (2) Xét BCM có B 1 M Do BM / /CN Từ (1) (2) suy D 1 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========