Điều này tương đương với phân giác ABC [ và \ ADC cắt nhau trên AC.... HI là đường đối trung của 4 HBC..[r]
(1)Nguyễn Hồng Phi - Khóa 34 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ Ngày 16 tháng năm 2018
1 Định nghĩa số tính chất 1.1 Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếpABCD gọi tứ giác điều hòa tồn điểmM thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác cho M(ACBD) =−1, tức là(ACBD) =−1
1.2 Một số tính chất tứ giác điều hòa Cho tứ giác điều hịa ABCD nội tiếp(O) Khi ta có tính chất sau:
a, Với điểm M nằm (O)thì ta ln có M(ABCD) =−1
b, AB
AD = CB
CD ⇔AB.CD=CB.AD
c,Tiếp tuyến A C (O)và BD đồng quy đơi song song
d,Gọi {I}=AC∩BD Khi ta có: IA IC = BA BC = DA DC
e,Tiếp tuyến A, C BD đồng quy tạiP Khi (P IBD) = −1
f,Phân giác ABC[ ADC\cắt AC
(2)2 Một số ví dụ tứ giác điều hòa
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AB∩CD = {P}; AD∩BC = {Q}; AC ∩BD = {M} Chứng minh O trực tâm 4M P Q
(Định lý Brocard) Ví dụ
Qua Q kẻ hai tiếp tuyếnQE, QF với (O).EF cắt AD BC I, K
Khi ta có tứ giác AEDF BECF tứ giác điều hòa ⇔(QIAD) = (QKBC) = −1
⇒DC, AB, IK AC, BD, IK đồng quy Mà OQ⊥EF ⇔P M ⊥OQ Chứng minh tương tự ta có:QM ⊥OP Suy M trực tâm 4P OQ
Bài tập đề xuất(Sử dụng định lý Brocard): Cho tam giác ABC nội tiếp(O)có phân giác AD
(ACD)∩AB={A, E};(ABD)∩AC ={A, F} Chứng minh: DO ⊥EF
(3)Cho tứ giác ABCD tứ giác điều hòa Gọi M trung điểm BD Đường thẳng qua C song song với AD cắt AM P Chứng minh 4P CD cân
Ví dụ
Lời giải
Cách 1(Nguyễn Hoàng Phi): Gọi N giao tiếp tuyến A, C BD Ta có: AC đường đối trung 4BAD ⇒CP A[ =DAM\ =BAC[ =N DC.(1)\
Mặt khác ta có: \ACN =\ADC =\DCP ⇒ 4ACP ∼ 4N CD(g.g)⇒ 4DCP ∼ 4N CA(c.g.c)
(4)Cách 2(Nguyễn Đăng Khoa):
Ta có: CP A[ =M DC\(1) ⇒M CP D nội tiếp
Suy ra: \CP D =BM C\ =ADC\=\DCP ⇒DC =DP Từ ta có đpcm
Cho 4ABC có đường caoAH.E trung điểmAH Đường trịn(I) tiếp xúc vớiBC D DE∩(I) = {D, F} Chứng minh F D phân giác \BF C
(Tài liệu chun tốn hình 10) Ví dụ
Gọi M, N tiếp điểm (I) AB AC AD∩(I) = {D, P} Kẻ đường kính DQ (I)
Vì DQ k AH; AE = EH ⇒ D(HAEQ) = −1 ⇔D(DP F Q) = −1⇒ tứ giác DF P Q tứ giác điều hòa (1)
Mặt khác ta có tứ giácDM P N tứ giác điều hòa (2)
Từ (1) (2) ta có: QF, M N tiếp tuyến P, D đồng quy tạiL Áp dụng Menelaus ta có: LB
LC = M B
N C = BD
(5)Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (w1); (w2) cắt A B Một tiếp tuyến chung
ngồi hai đường trịn tiếp xúc với (w1) P (w2) Q Các tiếp tuyến (AP T)
ở P, T cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua P T Chứng minh: A, H, S thẳng hàng
(Vietnam TST 2001) Ví dụ
Gọi C =AB∩P T Ta có:BP T[ =BAP[;BT P[ =BAT[ ⇒P AT[ = 180◦−P BT[ = 180◦−\P HT
⇒H ∈(AP T) Mặt khác ta có: 4CBP ∼ 4CP A 4CBT ∼ 4CT A Suy ra: P C2 =CB.CA=CT2 ⇒CP =CT P B
AP = BC P C =
BC CT =
BT AT ⇔
AP P H =
(6)Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R chân đường vng góc kẻ từDxuốngBC, CA, AB Chứng minh rằngP Q=QR phân giácABC[ =\ADC cắt AC
(IMO 2003) Ví dụ
Ta có: P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson)
Ta có hai cặp tam giác: 4DQP ∼ 4DAB 4DQR∼ 4DCB Suy ra: QR=QP ⇔ QR
QD = QP QD ⇔
BC CD =
AB
(7)Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có đường cao AD, BE, CF đồng quy tạiH HI đường đối trung 4HBC KẻAK ⊥ HI Tia AH cắt (O) L, tiaM H cắt (O) P Chứng minh:
a, Tứ giác P BLC tứ giác điều hòa
b, (M IK)tiếp xúc (O)
(Đề thi đội tuyển tỉnh Bắc Ninh) Ví dụ
a, Ta dễ có: P, F, H, E, K, A đồng viên L đối xứng với H qua BC Từ ta có: 4HM B ∼ 4BM P 4M HC ∼ 4M CP(g.g)
Làm tương tự ví dụ ta có tứ giác P BLC tứ giác điều hòa
b, Tiếp tuyến P, L (O)và BC đồng quy T Ta có: HP.HM =HA.HD =HI.HK ⇒P ∈(M IK)
Ta lại có: T H2 =T L2 =T B.T C ⇒\T HB =HCB Mà\ BHI[ =M HC\ ⇒T HI[ =T M H\
Suy T P2 =T H2 =T I.T M ⇒T P là tiếp tuyến của(M IP K) Suy ra (M IK) và (O) tiếp xúc
(8)Cho đường trịn(O)có đường kínhAB.C ∈(O)thỏa mãn90◦ <AOC <[ 180◦ LấyK ∈OC Từ A kẻ hai tiếp tuyếnAD, AE tới (K, KC) Chứng minh rằng: DE, AC, BK đồng quy
(Đề thi chọn đội tuyển VMO Hà nội 2015-2016) Ví dụ
Gọi L, T giao điểm củaAC với DE (O) Gọi J =IK∩T C
Từ ta có tứ giác T DCE tứ giác điều hòa Suy tiếp tuyến T, C (K, KC) DE đồng quy tạiI
Ta có: IL⊥AK;AL⊥IK ⇒KL vng góc với AI Q
Khi ta có:IQ.IA =IJ.IK =IC2 MàIC tiếp tuyến của(O)nênQ∈(O)⇒BQ⊥AI Suy điều phải chứng minh
Cho đường tròn (O;R) dây cung BC 6= 2R Lấy A thuộc cung lớn BC D, K, J trung điểm BC, CA, AB E, M, N chân đường cao hạ từ A, B, C xuống BC, DJ, DK Chứng minh tiếp tuyến M, N (EM N)cắt điểm T cố định
(9)Kẻ đường cao BU lấy H trực tâm 4ABC T D, T E cắt (O)tại điểm thứ X, S
Ta có: H, M, N, D, E đồng viên nên tứ giác M DN X tứ giác điều hòa
⇒ H(M N XD) = −1⇒ H(BCXD) = −1⇒ HX k BC (do BD =CD) Suy T thuộc trung trực BC
Mặt khác ta có: D(M EN S) = −1mà DN kAB⇒A, S, D thẳng hàng Ta dễ có: S∈(AP HU)⇒DS.DA=DU2 =DC2 AH.AE =AS.AD Theo định lý Thales ta có: T D
AE = DS AS =
DS AH.AE
AD
⇒T D = DS.AD
AH = DC2
2OD(không đổi) Vậy T cố định hay ta có đpcm
Cho 4ABC cân A, đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC cắt BC hai điểm phân biệt K, L AK cắt (O) M Gọi P, Q điểm đối xứng K qua B, C Chứng minh M, O tâm (M P Q) thẳng hàng
(10)Gọi D, E điểm tiếp xúc (O) với AB, AC Kéo dài M D cắt BC P0
Ta có: D(DEM K) = −1mà DE kBC ⇒BP0 =BK ⇒P ≡P0 Suy M, D, P thẳng hàng Tương tự ta có: M, E, Qthẳng hàng
Xét VMK : D→P;E →Q⇒(M DE)→(M P Q) Từ ta có đpcm
Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Lấy M, N thuộc E, F cho BN kAD k CN DM, DN cắt (I) điểm thứ P Q Chứng minh rằng: BP, CQ, AD đồng quy
(11)Gọi S =EF ∩BC.AD cắt EF, P Q T, R AD∩(I) ={D, G} Ta dễ có: DGlà tiếp tuyến (I) doDF GE tứ giác điều hịa
Ta có: (SDBC) =−1⇒(ST N M) = −1⇒D(ST N M) =−1⇒D(DGQP) = −1
⇒DQGP tứ giác điều hòa nên P Qđi qua S
Suy ra: (SRQP) = (SDBC) = −1⇒QC, BP, RD đồng quy
Cho (O1) (O2) cắt A, B Tiếp tuyến A, B (O1) cắt K Lấy
M ∈(O1).M A∩(O2) ={P, A};M K∩(O1) = {C, M};CA∩(O2) ={A, Q} GọiH trung
điểm P Q Chứng minh rằng:
a, M, H, C thẳng hàng
b, Giao điểm tiếp tuyến P, Qcủa (O2)thuộc đường thẳng cố định M di động
(12)a, Ta có: 4BCQ∼ 4BM P(g.g)⇒ BC
M B = CQ M P Mặt khác tứ giác ACBM tứ giác điều hòa nên CQ
M P = AC
AM Áp dụng định lýMenelaus ta có điều phải chứng minh
b, Kéo dài AK cắt (O2)tại N
Ta có: 4BQN ∼ 4BCA 4BN P ∼ 4BAM →P N QB tứ giác điều hòa Suy giao điểm hai tiếp tuyến P, Qcủa (O2)thuộc đường thẳng BN cố định
Cho 4ABC điểm P nằm tam giác Lấy D, E điểm đối xứng với P qua AC, AB I, K hình chiếu P AC AB (ADE) cắt đường tròn đường kính AP X Chứng minh tứ giác P IXK tứ giác điều hòa
(13)Cách 1(Nguyễn Đăng Khoa):Kẻ tia Xx tia đối tiaXS
Ta có: AP = AS = AT ⇒ AXx[ = AT S[ = AST[ = \AXT Mà AX ⊥ XP ⇒ XP phân giác
[
SXT
Mặt khác: SXT[ =SAT[ = 2BAC[ ⇒KXI[ =P XT\=BAC[
⇒ 4XKP ∼ 4XIT(g.g)⇒ XK
KP = XI
IT = XI
IP ⇒XIP K tứ giác điều hòa
(14)KP cắt AC Q, IP cắt AB R AP ∩QR=T
Ta có: AQS[ =AT S[ = 90◦−BAC[ ⇒Q∈(AST) Chứng minh tương tự ta có: R ∈(AST) Theo định lý trục đẳng phương ta có: AX, IK, QR đồng quy tạiL
Mặt khác ta có: (LT RQ) =−1⇒A(LT RQ) =−1⇒A(XP KI) = −1
⇒XKP I tứ giác điều hòa
3 Bài tập rèn luyện
Bài Cho tam giácABC ngoại tiếp(I) Đường tròn(I)tiếp xúc vớiBC tạiD QuaDkẻ đường vng góc với AD cắt BI, CI E, F Chứng minh: DE =DF
(Nguyễn Minh Hà)
Bài Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC Các điểmN, P thuộc đoạn BC choN đối xứng vớiP qua M Các đường thẳng AM, AN, AP theo thứ tự cắt (O)tại X, Y, Z Chứng minh rằng: BC, Y Z tiếp tuyến X (O) đồng quy
Bài Đường tròn nội tiếp(I)của tam giácABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CAtại D, E.AD cắt lại (I)tại P Giả sử BP C\= 90◦ Chứng minh rằng: EA+AP =P D
Bài Cho tam giácABC, Dlà trung điểm cạnhBC vàE, Z hình chiếu Dtrên AB, AC Gọi T giao điểm tiếp tuyến E, Z đường trịn đường kính AD
Chứng minh rằng: T B =T C