Chuyên đề: Tứ giác điều hòa

Điều này tương đương với phân giác ABC [ và \ ADC cắt nhau trên AC.... HI là đường đối trung của 4 HBC..[r]

Nguyễn Hồng Phi - Khóa 34 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ Ngày 16 tháng năm 2018

1 Định nghĩa số tính chất 1.1 Định nghĩa:

Tứ giác nội tiếpABCD gọi tứ giác điều hòa tồn điểmM thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác cho M(ACBD) =−1, tức là(ACBD) =−1

1.2 Một số tính chất tứ giác điều hòa Cho tứ giác điều hịa ABCD nội tiếp(O) Khi ta có tính chất sau:

a, Với điểm M nằm (O)thì ta ln có M(ABCD) =−1

b, AB

AD = CB

CD ⇔AB.CD=CB.AD

c,Tiếp tuyến A C (O)và BD đồng quy đơi song song

d,Gọi {I}=AC∩BD Khi ta có: IA IC = BA BC = DA DC

e,Tiếp tuyến A, C BD đồng quy tạiP Khi (P IBD) = −1

f,Phân giác ABC[ ADC\cắt AC

2 Một số ví dụ tứ giác điều hòa

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AB∩CD = {P}; AD∩BC = {Q}; AC ∩BD = {M} Chứng minh O trực tâm 4M P Q

(Định lý Brocard) Ví dụ

Qua Q kẻ hai tiếp tuyếnQE, QF với (O).EF cắt AD BC I, K

Khi ta có tứ giác AEDF BECF tứ giác điều hòa ⇔(QIAD) = (QKBC) = −1

⇒DC, AB, IK AC, BD, IK đồng quy Mà OQ⊥EF ⇔P M ⊥OQ Chứng minh tương tự ta có:QM ⊥OP Suy M trực tâm 4P OQ

Bài tập đề xuất(Sử dụng định lý Brocard): Cho tam giác ABC nội tiếp(O)có phân giác AD

(ACD)∩AB={A, E};(ABD)∩AC ={A, F} Chứng minh: DO ⊥EF

Cho tứ giác ABCD tứ giác điều hòa Gọi M trung điểm BD Đường thẳng qua C song song với AD cắt AM P Chứng minh 4P CD cân

Ví dụ

Lời giải

Cách 1(Nguyễn Hoàng Phi): Gọi N giao tiếp tuyến A, C BD Ta có: AC đường đối trung 4BAD ⇒CP A[ =DAM\ =BAC[ =N DC.(1)\

Mặt khác ta có: \ACN =\ADC =\DCP ⇒ 4ACP ∼ 4N CD(g.g)⇒ 4DCP ∼ 4N CA(c.g.c)

Cách 2(Nguyễn Đăng Khoa):

Ta có: CP A[ =M DC\(1) ⇒M CP D nội tiếp

Suy ra: \CP D =BM C\ =ADC\=\DCP ⇒DC =DP Từ ta có đpcm

Cho 4ABC có đường caoAH.E trung điểmAH Đường trịn(I) tiếp xúc vớiBC D DE∩(I) = {D, F} Chứng minh F D phân giác \BF C

(Tài liệu chun tốn hình 10) Ví dụ

Gọi M, N tiếp điểm (I) AB AC AD∩(I) = {D, P} Kẻ đường kính DQ (I)

Vì DQ k AH; AE = EH ⇒ D(HAEQ) = −1 ⇔D(DP F Q) = −1⇒ tứ giác DF P Q tứ giác điều hòa (1)

Mặt khác ta có tứ giácDM P N tứ giác điều hòa (2)

Từ (1) (2) ta có: QF, M N tiếp tuyến P, D đồng quy tạiL Áp dụng Menelaus ta có: LB

LC = M B

N C = BD

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (w1); (w2) cắt A B Một tiếp tuyến chung

ngồi hai đường trịn tiếp xúc với (w1) P (w2) Q Các tiếp tuyến (AP T)

ở P, T cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua P T Chứng minh: A, H, S thẳng hàng

(Vietnam TST 2001) Ví dụ

Gọi C =AB∩P T Ta có:BP T[ =BAP[;BT P[ =BAT[ ⇒P AT[ = 180◦−P BT[ = 180◦−\P HT

⇒H ∈(AP T) Mặt khác ta có: 4CBP ∼ 4CP A 4CBT ∼ 4CT A Suy ra: P C2 =CB.CA=CT2 ⇒CP =CT P B

AP = BC P C =

BC CT =

BT AT ⇔

AP P H =

Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R chân đường vng góc kẻ từDxuốngBC, CA, AB Chứng minh rằngP Q=QR phân giácABC[ =\ADC cắt AC

(IMO 2003) Ví dụ

Ta có: P, Q, R thẳng hàng (đường thẳng Simson)

Ta có hai cặp tam giác: 4DQP ∼ 4DAB 4DQR∼ 4DCB Suy ra: QR=QP ⇔ QR

QD = QP QD ⇔

BC CD =

AB

Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có đường cao AD, BE, CF đồng quy tạiH HI đường đối trung 4HBC KẻAK ⊥ HI Tia AH cắt (O) L, tiaM H cắt (O) P Chứng minh:

a, Tứ giác P BLC tứ giác điều hòa

b, (M IK)tiếp xúc (O)

(Đề thi đội tuyển tỉnh Bắc Ninh) Ví dụ

a, Ta dễ có: P, F, H, E, K, A đồng viên L đối xứng với H qua BC Từ ta có: 4HM B ∼ 4BM P 4M HC ∼ 4M CP(g.g)

Làm tương tự ví dụ ta có tứ giác P BLC tứ giác điều hòa

b, Tiếp tuyến P, L (O)và BC đồng quy T Ta có: HP.HM =HA.HD =HI.HK ⇒P ∈(M IK)

Ta lại có: T H2 =T L2 =T B.T C ⇒\T HB =HCB Mà\ BHI[ =M HC\ ⇒T HI[ =T M H\

Suy T P2 =T H2 =T I.T M ⇒T P là tiếp tuyến của(M IP K) Suy ra (M IK) và (O) tiếp xúc

Cho đường trịn(O)có đường kínhAB.C ∈(O)thỏa mãn90◦ <AOC <[ 180◦ LấyK ∈OC Từ A kẻ hai tiếp tuyếnAD, AE tới (K, KC) Chứng minh rằng: DE, AC, BK đồng quy

(Đề thi chọn đội tuyển VMO Hà nội 2015-2016) Ví dụ

Gọi L, T giao điểm củaAC với DE (O) Gọi J =IK∩T C

Từ ta có tứ giác T DCE tứ giác điều hòa Suy tiếp tuyến T, C (K, KC) DE đồng quy tạiI

Ta có: IL⊥AK;AL⊥IK ⇒KL vng góc với AI Q

Khi ta có:IQ.IA =IJ.IK =IC2 MàIC tiếp tuyến của(O)nênQ∈(O)⇒BQ⊥AI Suy điều phải chứng minh

Cho đường tròn (O;R) dây cung BC 6= 2R Lấy A thuộc cung lớn BC D, K, J trung điểm BC, CA, AB E, M, N chân đường cao hạ từ A, B, C xuống BC, DJ, DK Chứng minh tiếp tuyến M, N (EM N)cắt điểm T cố định

Kẻ đường cao BU lấy H trực tâm 4ABC T D, T E cắt (O)tại điểm thứ X, S

Ta có: H, M, N, D, E đồng viên nên tứ giác M DN X tứ giác điều hòa

⇒ H(M N XD) = −1⇒ H(BCXD) = −1⇒ HX k BC (do BD =CD) Suy T thuộc trung trực BC

Mặt khác ta có: D(M EN S) = −1mà DN kAB⇒A, S, D thẳng hàng Ta dễ có: S∈(AP HU)⇒DS.DA=DU2 =DC2 AH.AE =AS.AD Theo định lý Thales ta có: T D

AE = DS AS =

DS AH.AE

AD

⇒T D = DS.AD

AH = DC2

2OD(không đổi) Vậy T cố định hay ta có đpcm

Cho 4ABC cân A, đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC cắt BC hai điểm phân biệt K, L AK cắt (O) M Gọi P, Q điểm đối xứng K qua B, C Chứng minh M, O tâm (M P Q) thẳng hàng

Gọi D, E điểm tiếp xúc (O) với AB, AC Kéo dài M D cắt BC P0

Ta có: D(DEM K) = −1mà DE kBC ⇒BP0 =BK ⇒P ≡P0 Suy M, D, P thẳng hàng Tương tự ta có: M, E, Qthẳng hàng

Xét VMK : D→P;E →Q⇒(M DE)→(M P Q) Từ ta có đpcm

Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Lấy M, N thuộc E, F cho BN kAD k CN DM, DN cắt (I) điểm thứ P Q Chứng minh rằng: BP, CQ, AD đồng quy

Gọi S =EF ∩BC.AD cắt EF, P Q T, R AD∩(I) ={D, G} Ta dễ có: DGlà tiếp tuyến (I) doDF GE tứ giác điều hịa

Ta có: (SDBC) =−1⇒(ST N M) = −1⇒D(ST N M) =−1⇒D(DGQP) = −1

⇒DQGP tứ giác điều hòa nên P Qđi qua S

Suy ra: (SRQP) = (SDBC) = −1⇒QC, BP, RD đồng quy

Cho (O1) (O2) cắt A, B Tiếp tuyến A, B (O1) cắt K Lấy

M ∈(O1).M A∩(O2) ={P, A};M K∩(O1) = {C, M};CA∩(O2) ={A, Q} GọiH trung

điểm P Q Chứng minh rằng:

a, M, H, C thẳng hàng

b, Giao điểm tiếp tuyến P, Qcủa (O2)thuộc đường thẳng cố định M di động

a, Ta có: 4BCQ∼ 4BM P(g.g)⇒ BC

M B = CQ M P Mặt khác tứ giác ACBM tứ giác điều hòa nên CQ

M P = AC

AM Áp dụng định lýMenelaus ta có điều phải chứng minh

b, Kéo dài AK cắt (O2)tại N

Ta có: 4BQN ∼ 4BCA 4BN P ∼ 4BAM →P N QB tứ giác điều hòa Suy giao điểm hai tiếp tuyến P, Qcủa (O2)thuộc đường thẳng BN cố định

Cho 4ABC điểm P nằm tam giác Lấy D, E điểm đối xứng với P qua AC, AB I, K hình chiếu P AC AB (ADE) cắt đường tròn đường kính AP X Chứng minh tứ giác P IXK tứ giác điều hòa

Cách 1(Nguyễn Đăng Khoa):Kẻ tia Xx tia đối tiaXS

Ta có: AP = AS = AT ⇒ AXx[ = AT S[ = AST[ = \AXT Mà AX ⊥ XP ⇒ XP phân giác

[

SXT

Mặt khác: SXT[ =SAT[ = 2BAC[ ⇒KXI[ =P XT\=BAC[

⇒ 4XKP ∼ 4XIT(g.g)⇒ XK

KP = XI

IT = XI

IP ⇒XIP K tứ giác điều hòa

KP cắt AC Q, IP cắt AB R AP ∩QR=T

Ta có: AQS[ =AT S[ = 90◦−BAC[ ⇒Q∈(AST) Chứng minh tương tự ta có: R ∈(AST) Theo định lý trục đẳng phương ta có: AX, IK, QR đồng quy tạiL

Mặt khác ta có: (LT RQ) =−1⇒A(LT RQ) =−1⇒A(XP KI) = −1

⇒XKP I tứ giác điều hòa

3 Bài tập rèn luyện

Bài Cho tam giácABC ngoại tiếp(I) Đường tròn(I)tiếp xúc vớiBC tạiD QuaDkẻ đường vng góc với AD cắt BI, CI E, F Chứng minh: DE =DF

(Nguyễn Minh Hà)

Bài Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC Các điểmN, P thuộc đoạn BC choN đối xứng vớiP qua M Các đường thẳng AM, AN, AP theo thứ tự cắt (O)tại X, Y, Z Chứng minh rằng: BC, Y Z tiếp tuyến X (O) đồng quy

Bài Đường tròn nội tiếp(I)của tam giácABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CAtại D, E.AD cắt lại (I)tại P Giả sử BP C\= 90◦ Chứng minh rằng: EA+AP =P D

Bài Cho tam giácABC, Dlà trung điểm cạnhBC vàE, Z hình chiếu Dtrên AB, AC Gọi T giao điểm tiếp tuyến E, Z đường trịn đường kính AD

Chứng minh rằng: T B =T C