Chuyên đề: tứ giác điều hòa

CHUN ĐỀ: TỨ GIÁC ĐIỀU HỊA NGUYỄN VIỆT HÀ-TỔ TỐN TIN-THPT CHUYÊN LÀO CAI Trong toán thi học sinh giỏi, có nhiều tốn hình học dùng lý thuyết tứ giác điều hòa để giải cho lời giải ngắn gọn, đẹp Do đó, viết này, tơi xin trình bày tứ giác điều hịa áp dụng thơng qua tập cụ thể I Lý thuyết Cho bốn điểm cố định, phân biệt A, B, C, D thuộc đường tròn Còn S điểm thay đổi đường trịn Khi (𝑆𝐴, 𝑆𝐶, 𝑆𝐵, 𝑆𝐷) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Trong trường hợp (𝑆𝐴, 𝑆𝐶, 𝑆𝐵, 𝑆𝐷) = −1 Ta nói tứ giác ABCD điều hịa Ta chứng minh mệnh đề sau tương đương: Tứ giác ABCD điều hòa AB.CD=AD.BC AC đường đối trung tan giác ABD (tương tự cho BD) Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp hai đỉnh đối diện B, D cắt điểm nằm đường chéo AC e) Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp hai đỉnh đối diện A, C cắt điểm nằm đường chéo BD ̂ 𝐷𝐶𝐵 ̂ cắt điểm đường f) Các phân giác góc 𝐵𝐴𝐷 chéo BD ̂ 𝐶𝐷𝐴 ̂ cắt điểm đường g) Các phân giác góc 𝐴𝐵𝐶 chéo AC a) b) c) d) Ta nhắc lại hai định lý hay dùng sau: Định lí 1: Cho ( A, B, C, D)  1 điểm O nằm hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt ba tia OC,OB, OD E,I F Khi I trung điểm EF d song song với OA O F I E A C D B Định lí 2:Cho ( A, B, C, D)  1 ; COD  900 OC phân giác OD phân giác AOB O A C B D Sau đây, ta xem xét vài ứng dụng tứ giác điều hịa vào giải tốn hình học phẳng: II Bài tập áp dụng Bài tốn 1:Cho đường trịn (O;R) Gọi P điểm nằm ngồi đường trịn Kẻ qua P hai tiếp tuyển tới (O) với hai tiếp điểm A, B Vẽ đường kính BC (O), gọi H hình chiếu A lên BC, nối PC cắt AH I Chứng minh I trung điểm AH Giải: Gọi J giao điểm thứ hai PC với (O) ta có tứ giác JACB điều hịa Do gọi Ct tiếp tuyến C (O) (𝐶𝑡, 𝐶𝐽, 𝐶𝐴, 𝐶𝐵) = −1 mà 𝐴𝐻 ∥ 𝐶𝑡 nên I trung điểm AH Ta giải tốn mà khơng dùng tứ giác điều hịa nhau: Gọi K giao điểm CA BP Do tam giác ABK tam giác vuông A,mà 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 nên P trung điểm KB Lại 𝐴𝐻 ∥ 𝐾𝐵 nên 𝐼𝐻 𝐵𝑃 = 𝐶𝐼 𝐶𝑃 = 𝐴𝐼 𝐾𝑃 Từ suy IA=IH Bài toán 2: Cho điểm P nằm ngồi đường trịn (O) Từ O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB cát tuyến PCD tới (O) Đường thẳng qua B song song với PA cắt AC, AD G, H Chứng minh B trung điểm GH Giải: Ta có tứ giác ACBD điều hịa Do chùm (𝐴𝑃, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷) điều hòa Mà GH song song với AP nên B trung điểm GH Bài dùng chùm điềm hịa để giải mà khơng cần tới tứ giác điều hịa Trên hai tốn sử dụng chiều thuận định lý Giờ ta xét toán sử dụng chiều đảo định lý 1: Bài tập 3(Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (𝑂) có 𝐴 cố định 𝐵, 𝐶 thay đổi (𝑂) cho 𝐵𝐶 song song với đường thẳng cố định cho trước Các tiếp tuyến (𝑂) 𝐵 𝐶 cắt 𝐾 Gọi 𝑀 trung điểm 𝐵𝐶, 𝑁 giao điểm 𝐴𝑀 với (𝑂) Chứng minh đường thẳng 𝐾𝑁 qua điểm cố định Giải: Gọi giao điểm thứ hai KN với (𝑂) 𝐼 Tứ giác 𝐼𝐵𝑁𝐶 tứ giác điều hịa nên ta có 𝐴(𝐴𝐼, 𝐴𝐵, 𝐴𝑁, 𝐴𝐶) = −1 Mà 𝑀 trung điểm 𝐵𝐶 nên 𝐴𝐼 ∥ 𝐵𝐶, suy 𝐼 cố định Vậy đường thẳng 𝐾𝑁 qua điểm 𝐼 cố định Bài tập 4(Đề thi chọn đội tuyển Nam Định): Cho tam giác ABC, D trung điểm cạnh BC E, Z hình chiếu D AB, AC Gọi T giao điểm tiếp tuyến E, Z đường trịn đường kính AD Chứng minh rằng: TB=TC Giải: Gọi F giao điểm DT với đường trịn đường kính AD Ta có tứ giác EDZF điều hịa, suy A(BCFD)=A(EDZF)=-1 (Vì A nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EDZF) Mặt khác, D trung điểm BC nên AF//BC, suy DT vng góc với BC Suy tam giác TBC cân T hay TB=TC (đpcm) Tương tự vậy, ta xét hai tốn sau, dùng khái niệm tứ giác điều hịa việc giải ngắn gọn hơn: Bài toán 5: Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), gọi M giao điểm hai tiếp tuyến B, D (O) Gọi H giao điểm OM BD Khi HB phân giác góc AHC Ta xét toán tương tự: Bài toán 6: Từ điểm A nằm (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Lấy T thuộc cung nhỏ BC Kẻ TH vng góc với BC (tại H) Chứng minh TH phân giác góc MHN (M, N giao điểm tiếp tuyến T (O) với AB, AC) Giải MN BC cắt S Kẻ tiếp tuyến ST’ (O) (T khác T’), P giao điểm SC TT’ Tứ giác BTCT’ điều hòa  A, T, T’ thẳng hàng Ta có: H(STMN)=A(STMN)=A(SPBC)=-1 Mà HT  SC  HT phân giác góc MHN Ta xét toán tương tự phân giác: Bài toán 7(Diễn đàn Toán học MathScope): Cho tam giác ABC, đường cao AH, E trung điểm AH Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC D DE cắt lại (I) F Chứng minh FD phân giác góc BFC Lời giải: Gọi M, N theo thứ tự tiếp điểm (I) với AB, AC; AD giao với (I) điểm thứ hai P; Kẻ đường kính DK (I)  DK / / AH  D( HAEK )  1  D( DPFK )  1  EA  EH Ta có:   Tứ giác DFPK tứ giác điều hòa  FK tiếp tuyến P, D (I) đồng quy (1) Mặt khác: Tứ giác MPND điều hòa  MN, tiếp tuyến P, D (I) đồng quy.(2) Từ (1) (2) suy FK, MN, BC đông quy (tại S) Vì AD, CM, BN đồng quy điểm (*) (dễ dàng chứng minh nhờ định lí Cêva)  (SDBC)=-1  F(SDBC)=-1  FD phân giác góc BFC (Vì FD  SK ).(đpcm) Bài tốn 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB  CD  S, AD  BC  F, AC  BD  E Tiếp tuyến SM, SN với đường tròn Chứng minh E, F, M, N thẳng hàng Bài tốn ta giải dựa vào hàng điều hịa mà khơng cần dùng chùm điều hịa Bài tốn 9: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC D Đường DO cắt AB, AC E, F Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh EN, FM, AO đồng quy Giải: Gọi giao điểm MN với AO, DO H, G Gọi tiếp điểm tiếp tuyến thứ hai từ D tới (O) K Khi tứ giác ABKC điều hịa, ta có (𝐴𝐷, 𝐴𝐾, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶) = −1 Nhưng 𝑂𝑀, 𝑂𝑁, 𝑂𝐴, 𝑂𝐷 vng góc tương ứng với 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐴𝐾 nên(𝑂𝑀, 𝑂𝑁, 𝑂𝐻, 𝑂𝐺) = −1 Từ ta suy (𝐴𝐸, 𝐴𝐹, 𝐴𝑂, 𝐴𝐺) = −1 Từ suy 𝐴𝑂, 𝐸𝑁, 𝐹𝑀 đồng quy Bài tốn giải hồn tồn Ta xem xét toán kiểu toán phức tạp hơn: Bài toán 10:Cho tam giác ABC nội tiếp đường òn (O) P điểm cạnh BC, M trung điểm BC AP cắt (O) điểm thứ hai P’ Đường tròn ngoại tiếp tam giác PP’M cắt (O) điểm thứ hai N AN cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác PP’M Q Đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB, AC V, K Chứng minh Q trung điểm KV Giải: Gọi giao điểm NP’ với đường BC G Dùng phương tích ta thu ̅̅̅̅̅ 𝐺𝑃 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐺𝐵 ̅̅̅̅.𝐺𝐶 ̅̅̅̅ 𝐺𝑀 𝐺𝑃′.𝐺𝑁 Do ta có (𝐵𝐶𝐺𝑃) = −1 Hay 𝑃′ (𝐵𝐶𝐺𝑃) = −1, suy tứ giác ABNC điều hòa Ta chứng minh 𝑃𝑄 song song với tiếp tuyến 𝐴𝑥 (O) Thật vậy, ta có: ̂ = 1800 ̂ + 𝑃𝑃′𝑁 𝑃𝑄𝑁 ̂ = 1800 ̂ + 𝑃𝑃′𝑁 𝐴𝐶𝑁 ̂ = 𝑥𝐴𝑁 ̂ 𝐴𝐶𝑁 ̂ = 𝑥𝐴𝑁 ̂ Do 𝑃𝑄 song song với tiếp tuyến 𝐴𝑥 (O) Do 𝑃𝑄𝑁 Mà tứ giác ABNC điều hòa nên chùm (𝐴𝑥, 𝐴𝑁, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶) điều hòa Mà 𝑃𝑄 ∥ 𝐴𝑥 nên 𝑄 trung điểm KV Bài tốn giải hồn tồn Bài tốn 11: Đường trịn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC D AB F, cắt lại đường thẳng AD H đường thẳng CF K Chứng minh Giải: 𝐹𝐷.𝐻𝐾 𝐹𝐻.𝐷𝐾 =3 Gọi E tiếp điểm (I) với AC E Ta thây tứ giác FHED FEKD điều hịa Sử dụng tính chất tứ giác điều hịa định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ta có: 2𝐸𝐾 𝐹𝐷 = 2𝐹𝐸 𝐷𝐾 = 𝐸𝐷 𝐹𝐾; 2𝐻𝐹 𝐷𝐸 = 2𝐻𝐸 𝐷𝐹 = 𝐻𝐷 𝐹𝐸 Nhân đẳng thức theo vế ta được: 4(𝐻𝐹 𝐷𝐸) (𝐹𝐸 𝐷𝐾) = (𝐻𝐷 𝐹𝐸) (𝐷𝐸 𝐹𝐾) Hay 𝐻𝐷 𝐹𝐾 = 4𝐹𝐻 𝐷𝐾 Sử dụng định lý Ptoleme cho tứ giác FHDK ta suy 𝐹𝐷 𝐻𝐾 = 3𝐹𝐻 𝐷𝐾 Bài toán giải hồn tồn Bài tốn 12: Cho đường tròn (I) tiếp xúc cạnh BC, CA, AB tam giác ABC không cân 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 Gọi M, N trung điểm 𝐵1 𝐶1 , 𝐶1 𝐴1 Đường thẳng 𝑀𝑁 cắt BC P.Chứng minh 𝐶1 𝑃 song song với 𝐴𝐴1 Giải: ̂ Gọi giao điểm thứ hai 𝐴𝐴1 (𝐼) R, Q trung điểm 𝑅𝐴1 Ta có 𝑁𝐴 1𝑃 = 𝐶̂ 𝑅𝑄 ̂1 = 𝐵̂ ̂ Nhưng 𝑃𝑁 ∥ 𝐴1 𝐵1 nên 𝑁𝑃𝐴 𝐴1 𝐶 = 𝐴1 𝐶1 𝐵1 Do tứ giác 𝐴1 𝐶1 𝑅𝐵1 điều hòa ̂ nên 𝐶1 𝐵1 đường đối trung tam giác 𝐶1 𝐴1 𝑅, 𝐴1̂ 𝐶1 𝐵1 = 𝑅𝐶 𝑄 Do ̂ ̂ Δ𝑃𝐴1 𝑁~Δ𝐶1 𝑅𝑄, Δ𝐶1 𝑃𝐴1 ~Δ𝐴1 𝐶1 𝑅 Suy 𝑃𝐶 𝐴1 = 𝐶1 𝐴1 𝑅 Suy điều phải chứng minh Bài toán 13: Cho tam giác ABC (𝐴𝐵 < 𝐴𝐶) Gọi AM trung tuyến N ̂ = 𝑀𝐴𝐶 ̂ Đường AN cắt đường tròn ngoại tiếp tam điểm cạnh BC cho 𝑁𝐴𝐵 ̂ = 𝐶𝑃𝑀 ̂ giác ABC P Chứng minh 𝐵𝑃𝐴 Giải: ̂ = 𝑀𝐴𝐶 ̂ nên tứ giác ABPC điều hòa Do vậy: 𝐴𝐵 𝑃𝐶 = 𝐴𝐶 𝐵𝑃 Do giả thiết 𝑁𝐴𝐵 Áp dụng định lý Ptoleme ta có 𝐴𝐵 𝑃𝐶 = 𝐴𝑃 𝐵𝐶 hay 𝐴𝐵 𝑃𝐶 = 𝐴𝑃 𝐶𝑀 Hay 𝐴𝐵 𝐴𝑃 = 𝐶𝑀 𝐶𝑃 ̂ = 𝐶𝑃𝑀 ̂ Do Δ𝐴𝐵𝑃~Δ𝐶𝑀𝑃 Do 𝐵𝑃𝐴 Bài tốn 14: Cho điểm C nằm tiếp tuyến A đường trịn đường kính AB (C khác A), kẻ cát tuyến CMN, CPQ tới đường trịn đường kính AB Các tia AM, AN, AP, AQ cắt tiếp tuyến B đường trịn đường kính AB D1, D2, E1, E2 Chứng minh rằng: D1E1 = D2E2 C A M P E N Q D1 E1 I E2 B D2 Giải: Kẻ tiếp tuyến CE tới đường trịn đường kính AB với E tiếp điểm, E khác A Tia AE cắt tiếp tuyến B đường trịn đường kính AB I  tứ giác AMEN tứ giác điều hòa  tia AC, AE, AM, AN tạo thành chùm điều hòa Mà tiếp tuyến B đường trịn đường kính AB song song với AC cắt AE, AM, AN thứ tự I, D1, D2 suy I trung điểm D1D2 Tương tự I trung điểm E1E2  D1E1 = D2E2 Bài toán 15: Cho tam giác ABC, 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC tiếp xúc BC E Điểm D giao điểm thứ hai (I) với AE Lấy điểm F (khác E) đoạn AE cho 𝐶𝐸 = 𝐶𝐹 Tia 𝐶𝐹 cắt 𝐵𝐷 𝐺 Chứng minh 𝐶𝐹 = 𝐹𝐺 Giải: Khơng tính tổng qt giả sử 𝐵̂ ≤ 𝐶̂ ( trường hợp 𝐹 nằm đoạn AE, khẳng định) Kí hiệu 𝑌, 𝑍 tiếp điểm (𝐼) 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 Kí hiệu T giao điểm YZ BC Dễ thấy tứ giác DZEY điều hịa, đường thẳng TD tiếp tuyến vơi (I) ̂ = 𝑇𝐷𝐸 ̂ Nhưng 𝑇𝐸𝐷 ̂ = 𝑇𝐹𝐸 ̂ D, 𝑇𝐸𝐷 Do TD CF song song Lại có (𝐵𝐸𝐶𝑇) = −1 (𝐷𝐵, 𝐷𝐸, 𝐷𝐶, 𝐷𝑇) = −1 (1) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài tập rèn luyện Bài toán 16: Cho tam giác nhọn ABC 𝐻 trực tâm Gọi 𝐷 giao điểm 𝐵𝐻 𝐴𝐶; E giao điểm 𝐶𝐻 𝐴𝐵 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 𝐹 ≠ 𝐴 Chứng minh phân giác ̂ 𝐵𝐻𝐶 ̂ cắt điểm 𝐵𝐶 góc 𝐵𝐹𝐶 Bài tốn 17: Cho tam giác ABC; Đường tròn nội tiếp (𝑂) tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Gọi 𝑑 đường thẳng qua 𝐹 song song với BC, d cắt AD, DE M, N AN cắt BC P Chứng minh D trung điểm BP Bài toán 18: Cho tam giác ABC vuông 𝐴 nội tiếp đường trịn (O) Điểm E nằm cung BC (khơng chứa A) cho EA>EC Điểm F nằm tia EC ̂ = 𝐶𝐴𝐹 ̂ Đoạn thẳng BF cắt lại (O) D (khác B) Gọi O tâm đường cho 𝐸𝐴𝐶 tròn ngoại tiếp tam giác DFE Chứng minh A, C, O thẳng hàng Bài toán 19: Cho tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶, H trực tâm Gọi 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 chân đường cao hạ từ 𝐴, 𝐵, 𝐶 tam giác ABC Gọi K điểm nằm cung nhỏ 𝐴𝐵1 ̂ = 𝐶̂ đường trịn đường đường kính AB cho 𝐻𝐾𝐵 𝐾𝐵 Gỉa sử KB cắt 𝐶𝐶1 L, đường trịn tâm C bán kính CL cắt 𝐴𝐴1 𝑀 Đường trịn tâm B bán kính BM cắt 𝐶𝐶1 𝑃 𝑄 Chứng minh 𝐴, 𝐾, 𝑃, 𝑄 thuộc đường trịn Bài tốn 20: (Việt Nam TST 2001): Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (𝑂1 ) (𝑂2 ) cắt hai điểm 𝐴, 𝐵 Một tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (𝑂1 ) P (𝑂2 ) T Các tiếp tuyến P T đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt điểm S Gọi H điểm đối xứng với điểm B qua PT Chứng minh ba điểm A, H, S thẳng hàng Bài toán 21: (VMO-A-2003):Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định (𝑂1 ) (𝑂2 ) tiếp xúc với điểm M bán kính (𝑂2 ) lớn bán kính (𝑂1 ) Từ điểm A (𝑂2 ) cho không thẳng hàng với 𝑂1 , 𝑂2 , kẻ hai tiếp tuyến AB AC tiếp xúc với (𝑂1 ) B C Các đường thẳng MB MC cắt lại (𝑂2 ) tương ứng 𝐸, 𝐹 Gọi D giao điểm đường thẳng EF tiếp tuyến A (𝑂2 ) Chứng minh điểm D di động đường thẳng cố định A di động (𝑂2 ) không thẳng hàng với 𝑂1 𝑂2 Bài toán 22: (IMO-2003): Giả sử ABCD tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R chân đường vng góc hạ từ D đường thẳng BC, CA, AB Chứng tỏ ̂ 𝐴𝐷𝐶 ̂ cắt AC PQ=QR phân giác góc 𝐴𝐵𝐶 Tài liệu tham khảo: Website Mathlinks.ro Chuyên đề tứ giác điều hòa, Website Mathscope Đề thi đề nghị kì thi Olyimpic Duyên Hải Bắc Bộ 2012 Ninh Bình Tuyển chọn tốn hình học phẳng, Website Mathscope  ... GH Giải: Ta có tứ giác ACBD điều hịa Do chùm (