So sánh, đánh giá một số thuật toán giảm bậc cho hệ thống điện bậc cao

Bài viết So sánh, đánh giá một số thuật toán giảm bậc cho hệ thống điện bậc cao giới thiệu, so sánh và đánh giá 4 thuật toán giảm bậc mô hình đó là Cắt ngắn cân bằng (BT), Cắt ngắn cân bằng H-infinity (HINFBT), Xấp xỉ chuẩn Hankel (HNA) và lặp Krylov hữu tỉ (IRKA) cho mô hình hệ thống điện bậc cao không ổn định.

Điện tử – Vật lý – Đo lường So sánh, đánh giá số thuật toán giảm bậc cho hệ thống điện bậc cao Nguyễn Thanh Tùng1*, Đào Huy Du2, Vũ Ngọc Kiên2 Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông, Đại học Thái Nguyên; Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên *Email: nttung@ictu.edu.vn Nhận bài: 30/8/2022; Hoàn thiện: 16/11/2022; Chấp nhận đăng: 28/11/2022; Xuất bản: 23/12/2022 DOI: https://doi.org/10.54939/1859-1043.j.mst.FEE.2022.104-111 TÓM TẮT Bài báo giới thiệu, so sánh đánh giá thuật tốn giảm bậc mơ hình Cắt ngắn cân (BT), Cắt ngắn cân H-infinity (HINFBT), Xấp xỉ chuẩn Hankel (HNA) lặp Krylov hữu tỉ (IRKA) cho mơ hình hệ thống điện bậc cao khơng ổn định Nhóm tác giả áp dụng thuật tốn để giảm hệ có bậc 66 xuống hệ bậc 10 bậc 25 Từ kết mô sai lệch hệ giảm bậc với hệ gốc thấy thuật toán BT cho đáp ứng miền thời gian, miền tần số bám sát hệ gốc với sai số nhỏ IRKA sai khác nhiều thuật tốn Thuật tốn HINFBT giảm bậc trực tiếp cho đối tượng không ổn định mà không cần phân rã hệ, phương pháp HNA giữ lại giá trị suy biến Hankel mang lượng lớn hệ ban đầu nên bảo tồn tính ổn định hệ gốc Từ khố: Giảm bậc mơ hình; Hệ thống điện bậc cao; Chặt cân bằng; Cắt ngắn cân H-infinity; Krylov hữu tỉ; Xấp xỉ chuẩn Hankel MỞ ĐẦU Xét hệ động lực học ( ) bất biến theo thời gian tuyến tính LTI (Linear Time-Invariant) bậc mô tả phương trình tương đương gồm: Hệ phương trình vi phân, Ma trận không gian trạng thái Hàm truyền:  x  t   Ax  t   Bu  t  A B  G  s  :    G  s  : C ( sI  A) B  D C D   y  t   Cx  t   Du  t  1 G(s) :  Trong đó: A  n n ,B nm ,C  pn , D (1) pm Trong nhiều trường hợp, mô mạch điện, mơ hình hố đối tượng, nhận dạng hệ thống toán điều khiển phụ thuộc thời gian, số chiều bậc hệ lớn Khi cài đặt, hệ thống bậc cao khiến cho việc tính tốn khơng khả thi giới hạn phần cứng, nhớ, thời gian, độ tin cậy, Một phương pháp khắc phục điều giảm bậc mô hình MOR (Model Order Reduction) Mục tiêu MOR tạo hệ có chiều khơng gian thấp mang đặc tính đáp ứng tương tự hệ gốc yêu cầu lưu trữ, thời gian đánh giá, khả tính tốn, chi phí triển khai, v.v đơn giản Mơ hình giảm bậc sử dụng để thay hệ bậc cao đáp ứng ứng dụng thời gian thực Hệ giảm bậc ( ) ( ) xác định là: x t   A x t   B u t  A  G  s  :   y t   C x t   D u t  C Gr  s  :  r r r r r r r Trong đó: Ar  r r r r , Br  r r m , Cr  r pr , Dr  pm , Br  Dr   Gr  s  : Cr ( sI  Ar ) Br  Dr 1 (2) thoả mãn yêu cầu bản: - Sai số xấp xỉ ∥ ∥ nhỏ tồn sai số toàn cục - Một số thuộc tính hệ thống, tính ổn định, tính thụ động, v.v bảo toàn - Mang lại hiệu mặt tính tốn Một nhiều phương pháp MOR cắt ngắn (chặt) cân BT (Balanced truncation) 104 Ng T Tùng, Đ H Du, V N Kiên, “So sánh, đánh giá số … cho hệ thống điện bậc cao.” Nghiên cứu khoa học công nghệ đề xuất Moore [1] Phương pháp thực cách áp dụng điều kiện tương đương lên trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển Gramian quan sát động học hệ Hai ma trận xác định cách giải phương trình Lyapunov Việc tương đương hóa hai ma trận đường chéo cho phép chuyển mơ hình gốc biểu diễn hệ sở thành hệ tương đương không gian cân nội Từ đây, mơ hình bậc thấp xác định cách loại bỏ giá trị riêng, trạng thái mang lượng nhỏ Thuật toán BT áp dụng cho hệ ổn định với hệ khơng ổn định cần phân tách thành phân hệ: phân hệ chứa điểm cực có phần thực dương phân hệ gồm điểm cực có phần thực âm, sau tiến hành giảm bậc cho phần ổn định Hai thuật toán liên quan chặt chẽ khác đến BT Cắt ngắn cân H-infinity HINFBT (H-Infinity Balanced Truncation) Xấp xỉ chuẩn Hankel HNA (Hankel-Norm Approximation) HINFBT [2] giảm bậc trực tiếp cho hệ không ổn định, phương pháp thực tương tự BT Gramian điều khiển Gramian quan sát xác định từ hai phương trình Riccati HNA biến đổi hai ma trận Gramian điều khiển Gramian quan sát hệ dạng đường chéo, có phần tử giá trị suy biến Hankel xếp nhỏ dần từ xuống dưới, mơ hình giảm bậc thu cách loại bỏ giá trị mang lượng (cắt bỏ giá trị suy biến Hankel nhỏ) [3] Một phương pháp tiếp cận giảm bậc mơ hình khác Thuật toán lặp Krylov hữu tỉ IRKA (Iterative Rational Krylov Algorithm) giới thiệu Gugercin, Antoulas Beattie [4] Dữ liệu nội suy ban đầu chọn ngẫu nhiên mơ hình giảm bậc tính tốn đơn giản IRKA khơng đảm bảo tính ổn định mơ hình giảm bậc trung gian, kể bậc mà hệ cần giảm đến, điều xảy liệu nội suy ban đầu khác xa với liệu tối ưu Trong cơng trình gần đây, phương pháp giảm bậc BT, HINFBT, HNA IRKA tiếp tục phát triển nghiên cứu Có thể thấy số tài liệu như: Cơng trình [5] thiết kế điều khiển đa biến mạnh mẽ sử dụng khung H-infinity Loop cho chuyển đổi DCDC tích hợp bậc TIFOI (Two-Input Fourth-Order Integrated), giúp củng cố đặc tính hệ thống chuyển đổi cách cắt ngắn cân H-infinity, đảm bảo phân chia tải điều chỉnh bus điện áp TIFOI Bài báo [6] đề xuất áp dụng HNA để tối ưu hệ thống mô tả thời gian liên tục, [7] áp dụng HNA để giảm bậc cho đối tượng khơng ổn định bậc cao Nhóm tác giả [8] sử dụng phần mở rộng định lý Adamyan-Arov-Kerin để phát triển thuật toán thiết kế lọc số tối ưu tính tốn HNA để giảm bậc lọc tham chiếu Tài liệu [9] đề xuất cắt ngắn cân hỗn hợp H2/H∞ cho hệ tuyến tính thời gian rời rạc, đó, phương trình Lyapunov Riccati có ma trận đường chéo xác định dương, từ cắt ngắn cân bằng, tạo mơ hình giảm bậc có giới hạn sai số [10] đưa kỹ thuật hạ bậc mô hình dựa BT kết hợp với mạng neural Bài báo [11] đề xuất áp dụng BT để giảm kích thước mạch tích hợp, bảo tồn tính ổn định thụ động [12] thực giảm tần số giới hạn mạch RLCK thông qua BT cho hệ vi phân bậc hai, kết hợp với giải Lyapunov bậc thấp hiệu quả, dẫn đến bậc mơ hình nhỏ, đảm bảo độ xác tốt so với BT thường Kỹ thuật giảm bậc mơ hình cân áp dụng cho biến tần hoà lưới Microgrid trình bày [13] Bài báo [14] đề xuất chiến lược để điều chỉnh tần số lưới điện tối ưu hệ thống điện kết nối với gồm điện xoay chiều điện gió ngồi khơi Bộ điều khiển phát triển để phối hợp hoạt động máy phát điện đồng chuyển đổi, đảm bảo công suất tối ưu lưới điện xoay chiều giảm thiểu độ lệch tần số Sau đó, điều khiển hạ bậc xuống sử dụng BT để loại bỏ biến trạng thái khó quan sát khó kiểm sốt bảo tồn đặc tính phản hồi ưu chúng [15] đề xuất khuôn khổ nâng cao cho IRKA, để giảm chi phí tính tốn đảm bảo tính tối ưu hội tụ Bài báo [16] đưa phương pháp tiếp cận IRKA dựa heuristic phát triển để giảm bậc mơ hình đa đầu vào đa đầu (MIMO) hệ thống điện Cơng trình [17] tiến hành giảm bậc mơ hình cho hệ thống lưới điện MIMO, áp dụng hai mô hình điện gió quy mơ lớn, giúp trì độ xác cao đồng thời hỗ trợ lập kế hoạch vận hành hệ thống điện hiệu Tài liệu [18] đưa phương Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 12 - 2022 105 Điện tử – Vật lý – Đo lường pháp giúp tăng tốc nghịch đảo liệu điện từ nguồn điều khiển miền tần số thuật tốn khơng gian Rational Krylov Kết cho thấy, thuật tốn hiệu mặt tính tốn, giúp đẩy nhanh tốc độ xử lý Như vậy, hướng MOR sử dụng BT, HINFBT, HNA IRKA nhà nghiên cứu quan tâm, cơng trình tập trung vào cải tiến, hiệu chỉnh thuật toán ứng dụng trực tiếp phương pháp cho toán, đối tượng, hệ thống cần giảm bậc cụ thể Nhằm kiểm chứng đánh giá phương pháp BT, HINFBT, HNA IRKA, nhóm tác giả áp dụng chúng vào hệ thống điện không ổn định [19] có bậc 66, để giảm thiểu xuống bậc 10 bậc 25 Tiến hành mô đáp ứng miền thời gian, miền tần số tính tốn sai lệch hệ gốc bậc với hệ giảm bậc, để đưa nhận xét khả giảm bậc thuật tốn Bài báo có bố cục sau: Mục lời dẫn mở đầu, bước triển khai thuật toán BT, HINFBT, HNA IRKA trình bày Mục 2, 3, Kết mơ đáp ứng tính tốn sai số tuyệt đối hệ gốc với hệ giảm bậc sử dụng thuật tốn này, sau đưa nhận xét, đánh giá đưa Mục Cuối mục Kết luận báo THUẬT TOÁN CẮT NGẮN (CHẶT) CÂN BẰNG Thuật toán Cắt ngắn (chặt) cân BT (Balanced truncation) [1] mô tả sau: Đầu vào: Hệ ổn định tiệm cận tối thiểu (A, B, C, D) có bậc n mơ tả (1): - Bước 1: Giải hai phương trình Lyapunov (3), (4) để xác định Gramian điều khiển (tiếp cận) P Gramian quan sát Q: (P > 0; Q > 0) (3) AP  PA   BB A Q  QA  C C (4) - Bước 2: Phân tích Cholesky cho P Q thành: P  RR (5) Q  LL (6) - Bước 3: Phân tích giá trị suy biến SVD: L R  UΣV (7) - Bước 4: Tính ma trận chuyển đổi:  T : RVΣ ; T 1  (8)  Σ 2U L - Bước 5: Chuyển đổi cân bằng:  A T AT , T B, CT , D     A 1 1 A12  B ,  A  B 11 21 22   , C    C2  , D  (9) - Bước 6: Tính bậc r cần giảm (r < n) Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận  A , B , C , D   ( A , B , C , D) r r r r 11 1 THUẬT TOÁN CẮT NGẮN CÂN BẰNG H-INFINITY Thuật toán Cắt cân H-infinity HINFBT (H-Infinity Balanced Truncation) [2] trình bày sau: Đầu vào: Hệ tối thiểu (A, B, C, D) có bậc n mơ tả (1): - Bước 1: Giải hai phương trình Riccati để xác định Gramian điều khiển (tiếp cận) P Gramian quan sát Q: (P > 0; Q > 0) AP  PAT  BBT  1   2  PC T  BDT  I  DDT  106 1  PC T  BDT  T (10) Ng T Tùng, Đ H Du, V N Kiên, “So sánh, đánh giá số … cho hệ thống điện bậc cao.” Nghiên cứu khoa học công nghệ AT Q  QA  C T C  1   2  BT Q  DT C   I  DT D  T 1 B Q T  DT C  (11) Trong đó,  là: Chi phí tối ưu tính tốn q trình xây dựng điều khiển HInfinity (    ) - Bước ÷ Bước 6: Tương tự Thuật toán Cắt ngắn cân Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận  A , B , C , D   ( A , B , C , D) r r r r 11 1 THUẬT TOÁN XẤP XỈ CHUẨN HANKEL Thuật toán Xấp xỉ chuẩn Hankel HNA (Hankel-Norm Approximation) [3] triển khai theo trình tự sau: Đầu vào: Hệ ổn định tiệm cận tối thiểu (A, B, C, D) có bậc n mơ tả (1): - Bước 1: Giải hai phương trình Lyapunov để xác định Gramian điều khiển (tiếp cận) P Gramian quan sát Q: (P > 0; Q > 0) (12) AP  PA   BB (13) A Q  QA  C C - Bước 2: Lựa chọn bậc r cần giảm - Bước 3: Biến đổi Gramian điều khiển (tiếp cận) P Gramian quan sát Q dạng Σ  P  Q    I  Trong đó,  giá trị suy biến Hankel phần tử đường chéo Σ lớn  r 1 r 1 r 1 - Bước 4: Phân vùng (A, B, C, D) dạng:  A  A  A, B, C , D    A12  B ,  A  B 11 21   , C  22   C2  , D  (14) - Bước 5: Tính tốn ma trận trực giao U ma trận F cho:   U :  C2 T 1 (15) B2 F :    r 1 I 2 - Bước 6: Tính tốn ma trận Ar  F 1  r 1 Br  F A11  A11 1   r 1C1 UB1 T 1 T  B   r 1C1 U T T   (16) (17) Cr  C1    r 1UB1 (18) Dr  D   r 1U (19) T - Bước 6: Tính bậc r cần giảm (r < n) Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận  A , B , C , D  r r r r THUẬT TOÁN LẶP KRYLOV HỮU TỈ Thuật toán lặp Krylov hữu tỉ IRKA (Iterative Rational Krylov Algorithm) [4] mô tả sau: Đầu vào: Hệ ổn định tiệm cận tối thiểu (A, B, C, D) có bậc n mơ tả (1), đó, điều kiện để hệ hội tụ sau nội suy A  A ; B  C - Bước 1: Khởi tạo liệu nội suy ban đầu:  (i  1, , r ) i Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 12 - 2022 107 Điện tử – Vật lý – Đo lường Lặp lại Bước sau hội tụ, tức giá trị riêng (các cực) hệ bước nội suy sau xấp xỉ giá trị riêng hệ bước nội suy trước (không thay đổi nữa) Mỗi lần lặp, IRKA thực phép nội suy Hermite hàm truyền hệ gốc IRKA lấy xấp xỉ lặp lại điểm nội suy tối ưu (chính giá trị riêng hay cực hệ giảm bậc trung gian) Nó bắt đầu với r điểm nội suy tùy ý, sau đó, lần lặp áp đặt điều kiện tối ưu cần thiết theo chuẩn H2: - Bước 2: Xây dựng  A, B, C , D : W AV , W B, CV , D  với W , V  T T Im V  Im   1 I n  A B 1 Im W  Im   1 I n  A C T    I    I r r n r ; W HV  I r tính:  A B  (20)  A  C  (21) 1 n T n - Bước 3: Tính tốn liệu nội suy mới:  (i  1, , r ) Tính tốn ma trận khả nghịch i X r r cho X AX  diag  1 , , r  đặt: B : X B, C : CX , D : D 1 1 Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận  A , B , C , D   ( A, B, C, D) r r r r GIẢM BẬC CHO HỆ THỐNG ĐIỆN BẬC CAO Xét hệ thống điện bậc cao mô tả tài liệu [19] Đây mơ hình Hệ thống điện thực tế New England (CEPEL, Brazil) Điểm chuẩn mô tả tệp liệu ww_36_pmec_36.mat, hệ SISO có bậc 66, gồm ma trận A , B , C , D Hệ thống không ổn định có điểm cực có phần thực dương Nhận xét 1: Xuất phát từ hai ràng buộc: sai lệch hệ gốc với hệ giảm bậc nhỏ với mong muốn bậc giảm thấp tốt, nhận thấy giá trị Hankel mang lượng tương ứng với bậc 10 25 tối ưu cho hệ Từ đây, nhóm tác giả áp dụng phương pháp chặt cân BT để giảm độ phức tạp hệ thống điện bậc 66 bậc 10 25 Áp dụng phương pháp BT, HINFBT, HNA IRKA để giảm độ phức tạp hệ thống điện bậc 66 hệ thống tương đương bậc thấp Các bậc giảm xuống bậc 10 25 Tiến hành cài đặt thuật tốn, mơ thu đáp ứng xung đồ thị bode kết hình 1, hình 2, hình hình 66 66 Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc (bậc 10) sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA 661 1 66 11 Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc (bậc 25) sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA Nhận xét 2: Từ đáp ứng xung hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc 10 sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA hình 1, khoảng thời gian mơ trên, ta có: - Đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng phương pháp IRKA có sai lệch lớn nhất, trùng khớp với hệ gốc khoảng thời gian từ ÷ 1,25 (s) đáp ứng xung hệ bậc 10 bám sát hệ gốc với thuật toán BT 108 Ng T Tùng, Đ H Du, V N Kiên, “So sánh, đánh giá số … cho hệ thống điện bậc cao.” Nghiên cứu khoa học công nghệ - Các đáp ứng xung hệ giảm bậc sử dụng phương pháp BT, HINFBT, HNA gần trùng khớp với hệ gốc nên sử dụng phương pháp để thay hệ gốc cần làm việc với đáp ứng miền thời gian Nhận xét 3: Từ đáp ứng xung hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc bậc 25 dùng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA hình 2, khoảng thời gian mơ phỏng, ta có: - Tất hệ giảm bậc 25 sử dụng phương pháp BT, HINFBT, IRKA HNA bám sát hệ gốc bậc 66 - Có thể sử dụng phương pháp nhằm hạ bậc hệ gốc bậc 25 để thay hệ bậc 66 cần làm việc với đáp ứng miền thời gian Hình Biểu đồ Bode hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc (bậc 10) sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA Hình Biểu đồ Bode hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc (bậc 25) sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA Nhận xét 4: Từ đồ thị Bode hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc 10 sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA hình 3, khoảng tần số mơ trên, thấy được: - Đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng phương pháp IRKA có sai lệch lớn nhất, đáp ứng hệ bậc 10 bám sát hệ gốc với thuật toán BT - Các đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng BT, HINFBT, HNA sát với hệ gốc, sai lệch nhiều khoảng tần số ÷ 8,5 (rad/s) nên sử dụng phương pháp để thay hệ gốc cần làm việc với đáp ứng miền tần số khác khoảng sai lệch Nhận xét 5: Từ đồ thị Bode hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc 25 sử dụng thuật tốn BT, HINFBT, IRKA HNA, hình 4, khoảng tần số mô trên, thấy được: - Đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng phương pháp IRKA sát với đáp ứng hệ gốc - Các đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng phương pháp BT, HINFBT, HNA trùng khớp với hệ gốc nên sử dụng phương pháp để thay hệ gốc cần làm việc với đáp ứng miền tần số Bảng Sai số tuyệt đối theo chuẩn H∞ hệ bậc 10 so với hệ gốc bậc 66 THUẬT TOÁN ||G – Gr||H∞ BT 0.0020361 HINFBT 0.0053253 IRKA 0.0097525 HNA 0.0029075 Bảng Sai số tuyệt đối theo chuẩn H∞ hệ bậc 25 so với hệ gốc bậc 66 THUẬT TOÁN ||G – Gr||H∞ BT 4,9759160.10-8 HINFBT 511,1156320.10-8 IRKA 86759,3199160.10-8 HNA 5,9808529.10-8 Sai số tuyệt đối hệ giảm bậc theo chuẩn H∞ hệ thống bậc giảm (bậc 10 bậc 25) so với hệ gốc (bậc 66) sử dụng phương pháp: BT, HINFBT, IRKA, HNA tương ứng thể Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 12 - 2022 109 Điện tử – Vật lý – Đo lường bảng bảng Nhận xét 6: - Sai số hệ giảm bậc (cả hệ giảm bậc 10 bậc 25) nhỏ sử dụng phương pháp BT, HNA lớn với IRKA - Nếu quan tâm đến sai số tuyệt đối nhỏ phương pháp giảm bậc hệ gốc hệ bậc 10 bậc 25 sử dụng thuật tốn BT HNA KẾT LUẬN Bài báo giới thiệu thuật toán giảm bậc mơ hình Cắt ngắn cân (BT), Cắt ngắn cân H-infinity (HINFBT), lặp Krylov hữu tỉ (IRKA) Xấp xỉ chuẩn Hankel (HNA) Mỗi thuật tốn có đặc điểm riêng để kiểm chứng khả giảm bậc phương pháp, nhóm tác giả áp dụng thuật tốn vào mơ hình đối tượng hệ thống điện khơng ổn định có bậc 66, để giảm thiểu xuống bậc 10 bậc 25 Từ kết mô sai lệch hệ gốc bậc hệ giảm bậc thấy thuật toán BT cho đáp ứng miền thời gian, miền tần số bám sát hệ gốc với sai số nhỏ IRKA sai khác với hệ gốc lớn thuật toán Thuật toán HNA loại giá trị suy biến Hankel mang lượng hệ gốc nên bảo tồn tính ổn định hệ cịn phương pháp HINFBT giảm bậc trực tiếp cho đối tượng không ổn định mà không cần phân rã hệ BT HNA Hướng nghiên cứu nhóm tác giả đánh giá, so sánh thuật toán giảm bậc khác với thuật tốn trình bày cải tiến, phát triển phương pháp đáp ứng tốt tiêu chí cho tốn giảm bậc mơ hình đối tượng bậc cao TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B Moore, "Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction," in IEEE Transactions on Automatic Control, vol 26, no 1, pp 17-32, February (1981) [2] Mustafa, D and Keith Glover “Controller reduction by Hinf-balanced truncation” IEEE Transactions on Automatic Control 36: 668-682, (1991) [3] Safonov, M.G., R.Y Chiang, and D.J.N Limebeer, “Optimal Hankel Model Reduction for Nonminimal Systems,” IEEE Trans on Automat Contr., vol 35, no 4, pp 496-502, April (1990) [4] Gugercin, S.; Antoulas, A.C.; Beattie, C., H2 Model Reduction for Large-Scale Linear Dynamical Systems, Journal on Matrix Analysis and Applications, vol 30, SIAM, pp 609–638, (2008) [5] B A Reddy and M Veerachary, "Robust multivariable controller design using H-infinity Loop shaping for TIFOI DC-DC converter," 2016 IEEE Uttar Pradesh Section International Conference on Electrical, Computer and Electronics Engineering (UPCON), pp 372-377, (2016) [6] X Cao, M B Saltik and S Weiland, "Optimal Hankel Norm Approximation for Continuous-Time Descriptor Systems," 2018 Annual American Control Conference (ACC), pp 6409-6414, (2018) [7] S Pandey, R S Yadav, S K Chaudhary, K G Upadhyay and S P Singh, "Hankel norm approximation of a highly unstable system," 2018 5th IEEE Uttar Pradesh Section International Conference on Electrical, Electronics and Computer Engineering (UPCON), pp 1-5, (2018) [8] M Kagalenko, "Multicomponent Optimal in the Hankel Norm Order Reduction for Design of the Digital Filter Banks," 2019 8th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO), pp 15, (2019) [9] Y Sakai, T Wada and Y Fujisaki, "Mixed H2/H∞ Balanced Truncations for Discrete Time Linear Systems," 2019 12th Asian Control Conference (ASCC), pp 301-306, (2019) [10] M Baziyad, A Jarndal and M Bettayeb, "A Model Order Reduction Technique Based on Balanced Truncation Method and Artificial Neural Networks," 2019 8th International Conference on Modeling Simulation and Applied Optimization (ICMSAO), pp 1-5, (2019) [11] D Yang, "A Model Reduction Order Selection Way about Truncation Balanced Reduction Algorithm," 2020 7th International Conference on Information Science and Control Engineering (ICISCE), pp 52-54, (2020) [12] O Axelou, D Garyfallou and G Floros, "Frequency-Limited Reduction of RLCK Circuits via 110 Ng T Tùng, Đ H Du, V N Kiên, “So sánh, đánh giá số … cho hệ thống điện bậc cao.” Nghiên cứu khoa học công nghệ Second-Order Balanced Truncation," SMACD / PRIME 2021; International Conference on SMACD and 16th Conference on PRIME, pp 1-4, (2021) [13] M Rasheduzzaman, P Fajri and B Falahati, "Balanced Model Order Reduction Techniques Applied to Grid-tied Inverters In a Microgrid," 2022 IEEE Conference on Technologies for Sustainability (SusTech), pp 195-202, (2022) [14] J -S Kim, J -Y Park, Y -J Kim and O Gomis-Bellmunt, "Decentralized Robust Frequency Regulation of Multi-terminal HVDC-linked Grids," in IEEE Transactions on Power Systems, (2022) [15] A Castagnotto, H K F Panzer and B Lohmann, "Fast H2-optimal model order reduction exploiting the local nature of Krylov-subspace methods," 2016 European Control Conference (ECC), pp 19581969, (2016) [16] A Yogarathinam, J Kaur and N R Chaudhuri, "A New H-IRKA Approach for Model Reduction with Explicit Modal Preservation: Application on Grids with Renewable Penetration," in IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol 27, no 2, pp 880-888, March (2019) [17] H R Ali and B C Pal, "Model Order Reduction of Multi-Terminal Direct-Current Grid Systems," in IEEE Transactions on Power Systems, vol 36, no 1, pp 699-711, Jan (2021) [18] J Liu, Z Ren, X Xiao, J Tang and P Lin, "Accelerating the Frequency Domain Controlled-Source Electromagnetic Data Inversion Using Rational Krylov Subspace Algorithm," in IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol 60, pp 1-12, Art no 4510412, (2022) [19] ROMMES, J., MARTINS, N., Efficient computation of transfer function dominant poles using subspace acceleration IEEE Trans on Power Systems, Vol 21, Issue 3, pp 1218-1226, Aug (2006) ABSTRACT Compare and evaluate some order reduction algorithms for high-order power systems This paper introduces, compares and evaluates model order reduction algorithms which are Balanced truncation (BT), H-infinity Balanced truncation (HINFBT), HankelNorm Approximation (HNA) and Iterative Rational Krylov (IRKA) for high-order power system models without stability The authors apply these algorithms to reduce a system of order 66th to a system of order 10th and 25th From the simulation results and the difference between the order reduction system and the original system, it can be seen that the BT algorithm gives the response in the time domain, the frequency domain closely follows the original system with the smallest error while IRKA differs the most among the algorithms The HINFBT algorithm can directly reduce the order of unstable objects without system decay, and the HNA method retains the high energy Hankel degeneracy values of the original system, thus preserving the stability of the original system Keywords: Model order reduction; Higher order power system; Balanced truncation; H-infinity balanced truncation; Iterative Rational Krylov; Hankel normal approximation Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 12 - 2022 111 ... khớp với hệ gốc khoảng thời gian từ ÷ 1,25 (s) đáp ứng xung hệ bậc 10 bám sát hệ gốc với thuật toán BT 108 Ng T Tùng, Đ H Du, V N Kiên, ? ?So sánh, đánh giá số … cho hệ thống điện bậc cao. ” Nghiên... Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc (bậc 10) sử dụng thuật toán BT, HINFBT, IRKA HNA 661 1 66 11 Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 66) hệ giảm bậc (bậc 25) sử dụng thuật toán BT, HINFBT,... mô sai lệch hệ gốc bậc hệ giảm bậc thấy thuật tốn BT cho đáp ứng miền thời gian, miền tần số bám sát hệ gốc với sai số nhỏ IRKA sai khác với hệ gốc lớn thuật toán Thuật toán HNA loại giá trị suy