Bài giảng Phương pháp lặp đơn. Giải phương trình f(x)=0 là tài liệu học tập dành cho các em sinh viên, giúp các em nắm được nội dung về phương pháp lặp đơn và ứng dụng vào giải phương trình f(x)=0. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho quý thầy cô giáo trong quá trình biên soạn và chuẩn bị bài giảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN GIẢI PT f(x)=0 Ý tưởng phương pháp - Đưa phương trình tương đương f ( x) = x = ( x) - Lập dãy số xn = ( xn−1 ) , x0 a, b - Nếu dãy hội tụ giới hạn nghiệm phương trình Ý tưởng phương pháp • Trường hợp có xu hướng hội tụ y y ( x) x0 x ( x) x0 x Ý tưởng phương pháp • Trường hợp có xu hướng khơng hội tụ y y x0 x x0 x Nội dung phương pháp – Đưa phương trình dạng x = (x), gọi hàm lặp – Chọn x0 [a, b] làm xấp xỉ đầu – Tính dãy xn theo cơng thức: xn = (xn – 1), n = 1, 2, 3, – Nếu dãy xn → , n → phương pháp lặp hội tụ lấy nghiệm gần x* = xn Điều kiện hội tụ Định lý: Giả sử (a, b) khoảng phân ly nghiệm (chứa nghiệm ) phương trình f(x) = Xét phương pháp lặp với hàm lặp : x = (x), ' liên tục [a, b] Nếu: 1) Mọi x [a, b], (x) [a, b],… 2) Với x [a, b]: |'(x)| q với x thuộc [a,b], từ xn – = ’(c)( xn –1 – ) cho thấy dãy {xn} dần đến từ phía Ngược lại, dãy xn dần đến từ hai phía, giao động xung quanh • Phương pháp lặp hội tụ nhanh q bé • Áp dụng công thức sai số theo xấp xỉ ban đầu xác định số lần lặp cần thiết để nghiệm gần đạt độ xác cho trước Nhận xét • Ưu điểm phương pháp lặp: + Xấp xỉ đầu không thiết phải gần nghiệm (miễn điều kiện định lý đảm bảo) + Phép lặp có khả tự sửa sai: xk tính sai coi chọn lại xấp xỉ đầu + Thuật toán lặp lặp lại theo kiểu, thuận lợi dùng máy tính • Nhược điểm: Khi q gần 1, phép lặp hội tụ chậm Ví dụ Cho phương trình x3 + x – 1000 = với khoảng phân ly nghiệm (9; 10) Tính đến nghiệm gần x3 phương trình theo phương pháp lặp, chọn xấp xỉ ban đầu x0 = 10 Đánh giá sai số nghiệm gần x3 + f(x) = x3 + x – 1000 + Xác định hàm lặp Xét khả năng: 1)x = 1000 – x3 2)x = 1000/x2 – 1/x 3)x = (1000 – x)1/3 Chỉ trường hợp 3) cho phương pháp lặp hội tụ (x) = (1000 – x)1/3 ; |’(x)| = | 1/3(1000 –x)– 2/3| q =1/3(1000 – 10)– 2/3 0.0033557