Giao lu to¸n tuæi th lÇn thø III Giao lu to¸n tuæi th¬ lÇn thø III M«n to¸n Thêi gian 90 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) I §Ò bµi Bµi sè 1 a T×m a, b, c, d biÕt ab,cd – a,bcd = 18,063 b Sè A = 1 x[.]
Giao lu toán tuổi thơ lần thứ III Môn: toán Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I- Đề Bài số a Tìm a, b, c, d biÕt: ab,cd – a,bcd = 18,063 b Sè A = x x x x …… x 2010 x 2011 + 4013 chia cho 2007 d bao nhiêu? Bài số Đến dự giao lu toán tuổi thơ lần thứ ba, Compa vui tính có toán: Tính tổng chữ số số tự nhiên liên tiếp từ đến 2007 Mời bạn thí sinh tham gia giải nhé! Bài số Một nhóm học sinh thuê thuyền chơi sông Thuyền ngợc dòng với vận tốc 3km/giờ xuôi dòng với vận tốc 6km/giờ Hỏi thuyền xa bến km phải quay trở bến để trả thuyền (Giả sử lúc khởi hành thuyền ngợc dòng) Bài số Cho hình vẽ bên, ABCD hình chữ nhật, AB đợc kéo dài để có AB = BE Đoạn thẳng ED cắt BC M HÃy: a So sánh diện tích hai tam giác BEM CDM b So sánh MB MC E c So sánh BH CK H B M C K A D II- Đáp án Bài số (2,5điểm) a Tìm a, b, c, d biÕt ab,cd – a,bcd = 18,063 Ta cã: ab,cd : a,bcd = 10 => Sè ab,cd gấp 10 lần số a,bcd (0,25đ) Mà hiệu hai số 18,063 Ta có sơ đồ: ab,cd (0,25đ) a,bcd 18,063 ? Sè a,bcd lµ: 18,063 : (10 – 1) = 2,007 (0,25®) VËy a = 2; b = 0; c = 0; d = Thư l¹i: 20,07 – 2,007 = 18,063 (đúng) Đáp số : a = 2; b = 0; c = 0; d = (0,25®) b XÐt sè h¹ng thø nhÊt: x x x x … x 2010 x 2011 * NhËn xÐt 2–1=1 3–2=1 4–3=1 ………… 2011 – 2010 = (0,25đ) Vậy số hạng thứ tích số tự nhiên liên tiếp từ đến 2011 Mà < 2007< 2011 => Sè 2007 lµ mét thõa sè cđa sè h¹ng thø nhÊt suy tÝch x x x x … x 2010 x 2011 chia hết cho 2007 (0,5đ) Mặt khác 4013 : 2007 = (d 2006) Suy ra: x x x x … x 2010 x 2011 + 4013 chia cho 2007 d 2006 VËy sè A chia cho 2007 d 2006 (0,5đ) Đáp số: 2006 (0,25đ) Bài số 2: (2,5điểm) Ta bổ sung số vào dÃy số tự nhiên liên tiếp đà cho Suy ta cã d·y sè: 0, 1, 2, 3, …, 2005, 2006, 2007 (0,25đ) * Ta hÃy tính tổng chữ số số tự nhiên liên tiếp từ ®Õn 1999 NhËn xÐt: - Hai sè vµ 1999 có tổng chữ số là: + + + + = 28 - Hai sè 1998 có tổng chữ số + + + + = 28 - Hai số 1990 có tổng chữ số + + + + = 28 - Hai sè 10 vµ 1989 có tổng chữ số + + + + + = 28 ……………………………… - Hai số 99 1900 có tổng chữ sè lµ + + + + + = 28 - Hai sè 100 vµ 1899 có tổng chữ số + + + + + + = 28 ……………………………… - Hai sè 999 vµ 1000 cã tổng chữ số + + + + + + = 28 (0,75đ) * Nh dÃy số tự nhiên liên tiếp từ đến 1999 cặp số tính từ đầu trở vào có tổng chữ số 28 Mà từ đến 1999 có 1999 số hạng Do từ đ ến 1999 cã 2000 sè Do ®ã cã 2000 : = 1000 (cặp số) Mà cặp có tổng chữ số 28 (0,25đ) Vậy tổng chữ số số tự nhiên liên tiếp từ đến 1999 là: 28 x 1000 = 28000 (0,25đ) * Tổng chữ số số 2000; 2001; 2002; 2003; 2004; 2005; 2006; 2007 lµ: x + x 17 + + + + + + = 44 (0,5đ) Tổng chữ số số tự nhiên liên tiếp từ đến 2007 là: 28000 + 44 = 28044 (0,5đ) Đáp số: 28044 Bài số (2 điểm) Ta thấy quÃng đờng thuyền xuôi dòng quÃng đờng thuyền ngợc dòng Nên vận tốc thuyền xuôi dòng gấp vận tốc ngợc dòng lần thời gian thuyền xuôi dòng thời gian ngợc dòng nhiêu lần (0,25đ) Vận tốc thuyền xuôi dòng so với vận tốc ngợc dòng gấp: : = (lần) (0,25đ) => Thời gian thuyền xuôi dòng thời gian thuyền ngợc dòng Ta có sơ đồ: ? Thời gian thuyền ngợc dòng (0,25đ) Thời gian thuyền xuôi dòng Thời gian thuyền ngợc dòng là: : (1 + 2) x = (giờ) (0,5đ) Thuyền đợc xa bến số km phải quay bến để trả thuyền là: 3x = (km) Đáp số: 4km (0,25đ) (0,5đ) Bài số 4: (3 điểm) E H B M K A C D Gäi S lµ diƯn tÝch a Ta cã: - song song víi AB => DC song song víi AE VËy tø gi¸c ADCE hình thang vuông (0,25đ) - Vì AB = DC mà AB = BE => BE = DC (0,25đ) Vậy: SBEC = SCDE (vì tam giác có đáy BE = DC; chiỊu cao CB b»ng chiỊu cao h¹ từ đỉnh E xuống đáy DC) (0,5đ) Hai tam giác BEC vµ CDE cã diƯn tÝch b»ng vµ cã phần diện tích tam giác EMC chung Do đó: SBEC – SEMC = SCDE – SEMC (0,5®) SBEM = SCDM b Theo câu a Hai tam giác vuông BEM CDM cã diƯn tÝch b»ng Vµ cã chiỊu cao BE = CD nên đáy MB = MC (0,5đ) c SBEM = SMEC (vì tam giác có đáy MB = MC chung chiỊu cao h¹ tõ E xng BC) (0,5đ) Mà hai tam giác EBM EMC có chung đáy EM Nên chiều cao BH = CK (0,25đ) Đáp sè: a SBEM = SCDM b MB = MC c BH = CK (0,25®) ... => Th? ??i gian thuyền xuôi dòng th? ??i gian thuyền ngợc dòng Ta có sơ đồ: ? Th? ??i gian thuyền ngợc dòng (0,25đ) Th? ??i gian thuyền xuôi dòng Th? ??i gian thuyền ngợc dòng là: : (1 + 2) x = (giê) (0,5®) Thun... Ta th? ??y quÃng đờng thuyền xuôi dòng quÃng đờng thuyền ngợc dòng Nên vận tốc thuyền xuôi dòng gấp vận tốc ngợc dòng lần th? ??i gian thuyền xuôi dòng th? ??i gian ngợc dòng nhiêu lần (0,25đ) Vận tốc thuyền... 3–2=1 4–3=1 ………… 2011 – 2010 = (0,25đ) Vậy số hạng th? ?? tích số tự nhiên liên tiếp từ đến 2011 Mà < 2007< 2011 => Sè 2007 lµ mét th? ?a sè cđa sè h¹ng th? ? nhÊt suy tÝch x x x x … x 2010 x 2011 chia