T×m hiÓu s©u thªm to¸n häc phæ th«ng

T×m hiÓu s©u thªm to¸n häc phæ th«ng NguyÔn Huy Kh«i Thpt ®« l– ¬ng 2 Mét sè tÝnh chÊt t¬ng tù gi÷a tam gi¸c vµ tø diÖn C¸c b¹n trÎ yªu to¸n th©n mÕn! C¸c b¹n ® lµm quen víi mét sè tÝnh chÊt rÊt thó v[.]

Nguyễn Huy Khôi Thpt đô lơng Một số tính chất tơng tự tam giác tứ diện - Các bạn trẻ yêu toán thân mến! Các bạn ®· lµm quen víi mét sè tÝnh chÊt rÊt thó vị tơng tự tam giác vuông tứ diện vuông (khối tứ diện có mặt vuông) Chẳng hạn: - Trong tam giác vuông OAB (AOB = 900) ta có hệ thức: AB2 = OA2 +OB2 (Định lý Pithagore) - Trong tø diƯn vu«ng OABC (OA, OB, OC vuông góc với đôi một) ta có hệ thøc t¬ng tù: S2ABC = S2OAB+ S2OAC+ S2OBC,…, - Trong báo xin đợc gới thiệu số tính chất thú vị tơng tự tam giác tứ diện đây, giới thiệu tính chất tơng tự nói thông qua toán sau đây: Bài toán 1: Cho tam giác ABC (BC = a1, CA = a2, AB = a3) M điểm nằm tam giác Gọi R a, Rb, Rc lần lợt khoảng cách từ M đến dỉnh A, B, C; d a, db, dc lần lợt khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh bất đẳng thức kép sau đây: (S S ) R R R dadbdc  a i  a b c i 1 i (Trong ®ã S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB) Lêi gi¶i: Dùng AH BC, ta có bất đẳng thức sau: Ra + da  (ha = AH)  a1Ra  a1ha - a1da  a1Ra2S – 2S1 (1) Chøng minh cách toàn tơngatự a d dc (2Shoàn 2S 2)  a ta còng cã: a2Rb  2S – 2S2 (2) a3Rc  2S – 2S3 (3) Tõ (1), (2), (3) ta suy ra: a1Ra a2Rb a3Rc  (2S – 2S1)(2S – 2S2)  (2S – 2S3) (4) Chóng ta l¹i cã: (2S – 2S1)  a2db+a3dc  a a d b d c (2S – 2S3)  a 1a d a d b VËy (2S – 2S1)(2S – 2S2) (2S – 2S3)  8a1a2a3dadbdc (5) Tõ (4), (5) ta suy bất đẳng thức kép cần chứng minh: (S  S ) R R R dadbdc  a i  a b c i 1 i Bài toán (1) ta mở rộng toán không gian Bài toán 2: Cho tứ diện A1A2A3A4 M điểm nằm tứ diện Gọi Ra, Rb, Rc,Rd lần lợt khoảng cách từ M đến đỉnh A1, A2, A3, A4; da, db, dc,dd lần lợt khoảng cách từ M đến mặt đối diện với đỉnh Ai ( i = 1,4 ); V; Vi ( i = 1,4 ); Si ( i = 1,4 ) lần lợt thể tích khối tứ diện A1A2A3A4; MA2A3A4; MA1A3A4; MA1A2A ; MA1A2A3; diƯn tÝch c¸c mặt khối tứ diện A1A2A3A4 Chứng minh bất ®¼ng thøc kÐp sau: (V  Vi ) Ra Rb RcRd dadbdcdd   (6) S i1 i 81 Với cách giải hoàn toàn tơng tự nh toán phẳng 1, bạn chứng minh đợc bất đẳng thức kép dạng (6) Mời bạn chứng minh Bài toán 3: Cho tam giác ABC (BC=a, CA =b, BA = c) Gọi la độ dài đờng phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A Chøng minh r»ng: A cos a) + = 2; b c la a b) la< b + c ; Lời giải: a) Lời giải câu a) đơn giản xin đợc nhờng lời chứng minh cho bạn b) Từ câu a) ta suy 1 + a c  + a c L¹i cã bc  = la cos A > la (7) b + c (8) Tõ (7), (8) ta suy la < b + c (Đpcm) Từ toán ta đến toán mở rộng sau: Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB tứ diện cắt cạnh CD E Đặt diện tích ABC, ABE, ABD tơng ứng S1, S2, S3 1 2cosφ a Chøng minh hÖ thøc S  S  S (Trong số đo nhị diện cạnh AB tø diÖn ABCD) S1  S b Chøng thøc: S2 < Lời minh giải: hệ Dựng mặt phẳng (); qua E vuông góc với AB2 M = mf()AB Qua C D kẻ đờng thẳng song song với AB chúng cắt () lần lợt C D’, ®ã ta cã: dtABC’ = S1; dtABD’ = S3, AB(), D’M  AB, C’M  AB, EM AB mf(ABE) mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB nên: CME = DME =  ( 0