Sở Giáo Dục Và Đào Tạo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Tổ Toán KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018 2019 Môn thi TOÁN Lớp 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm 05 câ[.]

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC Tổ - Tốn KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2018 - 2019 Số báo danh Mơn thi: TỐN - Lớp 11 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu …………………… Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số ( với Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị Tìm tham số) hàm số để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn Câu II (5,0 điểm) Giải phương trình: Cho với Tính giá trị biểu thức: Giải phương trình: Câu III (4,0 điểm) Giải bất phương trình : Giải hệ phương trình: Câu IV (4,0 điểm) Cho tam giác có góc ( nửa chu vi tam giác ) Tính góc cịn lại tam giác Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Câu V (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trung điểm đoạn , phương trình đường cao Xác định tọa độ đỉnh tam giác Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB 2BC , B 7;3 Gọi M trung điểm AB ; E điểm đối xứng với D qua A Biết N 2;  2 trung điểm DM , điểm E thuộc đường thẳng  : 2x  y  0 Tìm tọa độ đỉnh D Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu NỘI DUNG Điểm I 3,0 điểm Cho hàm số ( với Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị Với 2.0 tham số) hàm số ta 0.50 ta có đỉnh Ta có bảng biến thiên: x -∞ +∞ +∞ +∞ 0.50 y -4 đồ thị parabol có bề lõm hướng lên có trục đối xứng đường thẳng cắt trục hồnh điểm cắt trục tung điểm Ta có đồ thị hàm số: 0.50 y -1 O x 0.50 -4 Tìm độ để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh thỏa mãn: Đk: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (*) 1.0 0.25 để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Theo định lí viet ta có: ta có 0.25 0.25 ( thỏa mãn đk) giá trị II 5,0 điểm Giải phương trình: Điều kiện: Trường hợp Nếu Trường hợp Nếu cần tìm 2.0 (*) thì sai nên chia hai vế cho thì: 0.25 không nghiệm 0.50 0.50 (1) Đặt 0.50 Suy ra: 0.50 Kết hợp với điều kiện ta phương trình có nghiệm Cho Do với nên Tính giá trị biểu thức: 1.5 Ta có: 0.50 , 0.50 Khi đó: 0.25 0.25 1.5 Giải phương trình: Điều kiện: 0.50 0.50 Với 0.25 Với 0.25 So với điều kiện nghiệm phương trình: III 4,0 điểm Giải bất phương trình : 2.0 đk: 0.50 bpt (*) Nếu ta có VT (*) , VF(*) Nếu , hai vế (*) khơng âm nên ta có 0.50 nên (*) vô nghiệm 0.50 Bpt (*) Kết hợp với đk ta cho nên tập nghiệm bất phương trình Giải hệ phương trình: Điều kiện : Nhận xét với 0.50 2.0 Khi 0.50 khơng thỏa hệ nên pt đầu 0.50 Từ điều kiện nhận xét ta có : Do 1 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: (*) ta có : 0.50 Đặt suy ra: pt(2) trở thành Với suy ra: Với suy ra: có phương trình vơ nghiệm nên Kết hợp với điều kiện 0.50 hệ phương trình cho có nghiệm IV 4,0 điểm Cho tam giác tam giác Ta có có góc và ( nửa chu vi tam giác 2.0 ) Tính góc cịn lại 0.50 0.50 0.50 vng mà Vậy Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng , Chứng minh rằng: 0.50 2.0 ta 0.50 Áp dụng tương tự ta bất đẳng thức Ta cần phải chứng minh Thật vậy, ta có Suy , mà theo bất đẳng thức Cauchy ta 0.50 Chứng minh tương tự ta 0.50 Mặt khác theo đánh giá quen thuộc ta có Do ta V 4,0 điểm 0.50 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trung điểm đoạn Phương trình đường cao Xác định tọa độ đỉnh tam giác Đường thẳng AC qua M vng góc với BK nên có phương trình Tọa độ điểm A nghiệm hệ 2.0 0.50 phương trình Từ trung điểm AC suy 0.50 Đường thẳng BC qua C vng góc với AH nên có phương trình 0.50 Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình 0.50 Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB 2BC , B 7;3 Gọi M trung điểm AB E điểm đối xứng với D qua A Biết 2.0 N 2;  2 trung điểm DM , điểm E thuộc đường thẳng  : 2x  y  0 Tìm tọa độ đỉnh D Ta chứng minh BN  NE E Ta có AM  AD  AB nên tam giác ADM vuông cân AN  DM Xét tam giac ANE A , suy MNB AN  MN  DM , AE  MB  AD    NAE 90   NAM  NMB có M A B 0.50 N D C  Do ANE MNB   AEN  MBN  ABN , suy tứ giác ANBE nội tiếp,    BNE  BAE 90 hay BN  NE Đường thẳng NE qua N vng góc với nên có phương trình 0.50 0.50 Tọa độ điểm nghiệm hệ Ta có Gọi Vì , nên nên tọa độ điểm nghiệm hệ: Đối chiếu điều kiện khác phía với nên .Hết 0.50 ... với 0.50 2.0 Khi 0.50 không thỏa hệ nên pt đầu 0.50 Từ điều kiện nhận xét ta có : Do 1 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: (*) ta có : 0.50 Đặt suy ra: pt(2) trở thành Với suy... với điều kiện 0.50 hệ phương trình cho có nghiệm IV 4,0 điểm Cho tam giác tam giác Ta có có góc và ( nửa chu vi tam giác 2.0 ) Tính góc cịn lại 0.50 0.50 0.50 vng mà Vậy Cho a, b, c số thực dương