C«ng ty Cæ phÇn §Ò khẢO SÁT Häc sinh giái N¨m häc 2015 2016 M«n thi To¸n 9 Thêi gian lµm bµi 150 phót Bµi I ( 2 ®iÓm ) 1) Cho phương trình ( với ) Chứng minh rằng là một nghiệm của phương trình đã cho[.]
Đề khO ST Học sinh giỏi Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài I ( điểm ): 1) Cho phng trình ( với ) Chứng minh nghiệm phương trình cho 2) Cho a, b R tháa m·n: TÝnh a+ b Bµi II( 1,5 ®iĨm ): 1) Giải phương trình: 2) Cho hƯ ph¬ng trình: (1) a) Giải hệ phơng trình (1) với m = b) T×m m cho hƯ (1) cã nghiệm Bài III ( điểm ): (với x, y ẩn số) 1) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC Giả sử phơng trình: (x- a)(x- b) + (x- b)x- c) + (x- c)(x- a) = cã nghiÖm kÐp TÝnh sè đo góc tam giác ABC 2) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số cho Bài IV ( điểm ): 1) Chng minh rng: 2) Cho biểu thức: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P x Bài V ( 2,5 điểm ): Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R E điểm nằm đờng tròn (E khác A B) Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai K a) Chứng minh đồng dạng b) Gọi I giao điểm đờng trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đờng tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) E tiếp xúc với đờng thẳng AB F c) Chøng minh MN // AB , ®ã M N lần lợt giao điểm thứ hai AE , BE với đờng tròn (I) d) Tính giá trị nhỏ chu vi theo R E di chuyển đờng tròn (O), với P giao điểm NE AK, Q giao điểm cđa MF vµ BK HÕt Họ tên thí sinh: .Sè b¸o danh: Bà i I HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Phương trình cho : (1) Với ( với Điểm )ó ó 0,25 0,25 => Thế x vào vế phải (1) ta có: = Vậy cho ( đpcm) 0,25 ( vế phải vế trái) nghiệm ca phng trỡnh 0,25 0,5 0,25 Đặt ị ; §K v, t ≥ Û Û NÕu t= th× NÕu t = v th× 0,25 0,25 Þ hc t=2 Þ x = (TM) Þ x = 3,5 +) xÐt x = kh«ng tháa m·n hệ phơng trình +) xét x khác Ta có: II 0,25 0,25 a) Khi m = 7, ta cã: 0,5 III KL b) HƯ pt ®· cho cã nghiƯm vµ chØ pt (2) cã nghiƯm x khác Đặt x2 = t Ta có pt: 8t2 – mt – = Pt nµy cã ac = -8 < nên có hai nghiệm trái dấu Do pt có nghiệm t > Suy pt (2) lu«n cã nghiƯm x khác Vậy với giá trị m hƯ PT (1) lu«n cã nghiƯm 0,25 Ta cã: 0,25 PT có 0,25 PT có nghiệm kép nên Do tam giác đà cho tam giác Vậy góc tam giác có số đo 600 Ta có: 0,25 0,25 0,25 0,5 nên Mặt khác n=26 Vậy số cần tìm 675 Do 5-4n=-99 Suy 0,25 Bđt 0,5 Û Luôn với k nguyên dương Áp dụng kết câu a ta có: 0,25 IV (đpcm) 0,25 Ta cã : 0,25 Với ,ta có áp dụng BĐT Cô si ta có: 0,25 Mặt khác: 0,25 Từ (1) (2) suy mà P >0 nên 0,25 KL V 1) Xột hai Góc chung (1) có: 0,75 ( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) (2) suy ra: (g.g) 2) Do EK đường phân giác góc nên K điểm cung AB suy Mà OK = OE nên cân O (3) Mặt khác: I giao điểm đường trung trực EF OE nên IF = IE cân (4) Từ (3) (4) suy Vậy IF // OK ( Do ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) 0,25 0,25 0,25 AE cắt (I) M, BE cắt (I) N Mà suy MN đường kính đường trịn ( I ) nên MN qua I 0,5 Hơn EF phân giác góc Theo chứng minh tương tự câu a ta suy Vậy MN // AB Theo đề ta có NF cắt AK P, MF cắt BK Q Suy ( hai góc đối đỉnh) Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Vậy tứ giác PKQF tứ giác nội tiếp đường tròn Suy Mà ( chắn cung KQ ) ( đối đỉnh) Mặt khác Hơn Suy ( chắn cung ME MN // AB ) ( chắn cung AE ) Vậy Mặt khác: Suy AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuông cân K Vậy chu vi tam giác KPQ là: Vậy (chắn cung FQ) suy PKQF hình chữ nhật vng cân P ( PQ = KF) trùng với O hay E điểm cung AB 0,5