De thi HSG tinh 2011 2012 §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn SëSëSëSë gi¸o dôc vµ gi¸o dôc vµ g[.]
Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2012 2012 môn: toán - lớp cấp THCS Thời gian làm bài: 150 150 phút Sở giáo dục đào tạo lai châu đề thức (Đề thi gồm 01 trang) (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 §iĨm) a, Chøng minh r»ng A(n) = n3 - n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n b, Tìm hệ số a b cho đa thøc P(x) = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x2 - 3x + Câu 2: (4,0 điểm) a, Rót gän biĨu thøc A = 13 + 30 + + + 2007 − b, Tính giá trị biểu thức: B = 2y + 5y + y = 2001 2012 - 2y3 + 9y + 12y + Câu 3: (4,0 điểm) x + x +1 − − = x x + y + y = 2, Giải hệ phơng trình: x + + x = y y 1, Gi¶i phơng trình: Câu 4: (2,0 điểm) Cho x > Tìm x để biểu thức D = x đạt giá trị lớn nhất, xác định giá (x + 2012) trị lớn Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB dây cung CD Gọi K, L lần lợt chân đờng vuông góc vẽ từ A B đến CD Chứng minh CK = DL Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE CD Hết Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án mang tính tham khảo Câu 1: (4,0 điểm) a, Chøng minh r»ng A(n) = n3 - n chia hÕt cho với số nguyên n b, Tìm hệ số a b cho đa thức P(x) = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x2 - 3x + Gi¶i a, Ta cã: A(n) = n(n - 1) = (n - 1)n(n + 1) Vì n nguyên nên (n - 1)n(n + 1) tích sè nguyªn liªn tiÕp ⇒ (n - 1)n(n + 1) ⋮ 1.2.3 ⇒ (n - 1)n(n + 1) ⋮ VËy A(n) ⋮ víi mäi sè nguyªn n b, Tìm hệ số a b cho đa thức P(x) = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x2 - 3x + Vì P(x) chia hết cho Q(x) nên: P(x) = (x2 + mx + n)(x2 - 3x + 4) ⇒ x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b = x4 + (m - 3)x3 + (4 - 3m + n)x2 + (4m - 3n)x + 4n ¸p dụng phơng pháp hệ số bất định ta có: m − = −3 m = 4 − 3m + n = n = −1 ⇔ VËy a = 3, b = -4 4m − 3n = a a = 4n = b b = Câu 2: (4,0 điểm) a, Rót gän biĨu thøc A = 13 + 30 + + + 2007 − 2y + 5y + y = 2001 2012 - b, Tính giá trị biểu thøc: B = 2y3 + 9y + 12y + Gi¶i a, Ta cã: A = 13 + 30 + + + 2007 − = 13 + 30 + ( + 1) + 2007 − = 13 + 30 + 2 + 2007 − = 13 + 30 ( + 1) + 2007 − = 43 + 30 + 2007 − = (5 + 2) + 2007 − = 2012 VËy A = 2012 2 2y + 5y + 2y + 5y + = b, Ta cã: B = §KX§: x ≠ -2 vµ x ≠ − 2 2y + 9y + 12y + (y + 2)(2y + 5y + 2) 1 Thay y = 2001 2012 - vào B ta đợc B = ⇒B= y+2 2001 2012 C©u 3: 1, Giải phơng trình: x + x +1 − = x x + y + y = 2, Gi¶i hệ phơng trình: x + + x = y y Giải Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên a, ĐKXĐ: Xác định với x ∈ R ( 1 x + x + − − = ⇔ x + 1 = 2 ) −1 1 x +1 = −1 x = − x + = −1 ⇔ ⇔ ⇔ x +1 = 1− x = Vậy phơng trình có hai nghiệm lµ: x1 = − ; x2 = −2 x x + y + y = b, Giải hệ phơng trình: §KX§: y ≠ x x + + = y y Đặt u = x y ; v= x+ y ⇒ v2 = x + y +2 x y ⇒ x + y = v2 - 2u ⇒ x + y + x y = v2 - u v2 − u = v2 + v − = (v − 2)(v + 3) = ⇒ ⇔ ⇔ u = − v v + u = u = − v x+ =2 y v = x + = (x − 1) = TH1: ⇔ ⇒ ⇒ ⇔ x = y = (T/m) x u = x = y x =1 x = y y x + = −3 y v = −3 6y + = −3 6y + 3y + = y (*) TH2: ⇔ ⇒ ⇒ x x = 6y u = =6 x = 6y y Ta thấy phơng trình 6y2 + 3y + = cã ∆ = - 24 = -15 < phơng trình vô nghiệm Hệ (*) vô nghiệm Vậy: Hệ phơng trình có nghiệm nhất: x = y = Câu 4: (2,0 điểm) x Cho x > Tìm x để biểu thức D = đạt giá trị lớn nhất, xác định giá trị lớn (x + 2012) Giải 2 (x + 2012) x + 2.2012x + 20122 20122 XÐt biÓu thøc: M = = =x+ + 4024 x x x Vì x > nên áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã: 20122 20122 ≥ x = 4024 ⇒ M ≥ 4024 + 4024 = 8048 x x 1 20122 ⇒D= ≤ DÊu b»ng x¶y khi: x = ⇒ x = 2012 (x = -2012 lo¹i) M 8048 x VËy: Max D = x = 2012 8048 Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB dây cung CD Gọi K, L lần lợt chân đờng vuông góc vẽ từ A B đến CD Chứng minh CK = DL Giải x+ Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên K - Qua O kỴ OI//AK ⇒ OI ⊥ KL C ⇒ IC = ID (quan hệ đờng kính dây cung) I - Hình thang vuông ABLK có: D OA = OB(gt) L I trung điểm KL OI // AK (đlý đờng trung bình hình thang) IK = IL mà IC = ID (c/m trên) A O B CK = DL (đpcm) Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE CD Giải Gọi M trung ®iĨm cđa AD, F lµ trung ®iĨm cđa AC A trọng tâm E ACD giao điểm cđa CM vµ DF VÏ EN // AD víi N CD Vì OD AB D OD ⊥ EN (1) XÐt ∆CDM cã EN//DM CE CN M ⇒ = mµ CE = 2EM (gt) EM ND ⇒ CD = 2DN N trọng tâm ABC N trung tuyến AH, mà ABC cân A nªn AH ⊥BC ⇒ AH ⊥ DF E K D F (2) ⇒ NA ⊥ DF t¹i K O Từ (1) (2) O trực tâm ∆DNE ⇒ OE ⊥ DN N ⇒ OE ⊥ CD (®pcm) B H C ... + 2012) Gi¶i 2 (x + 2012) x + 2.2012x + 20122 20122 XÐt biÓu thøc: M = = =x+ + 4024 x x x V× x > nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 20122 20122 ≥ x = 4024 ⇒ M ≥ 4024 + 4024 = 8048 x x 1 20122 ... - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x2 - 3x + V× P(x) chia hÕt cho Q(x) nªn: P(x) = (x2 + mx + n)(x2 - 3x + 4) ⇒ x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b = x4 + (m - 3)x3 + (4 - 3m + n)x2 + (4m -. .. + 2007 − = 2012 VËy A = 2012 2 2y + 5y + 2y + 5y + = b, Ta cã: B = §KX§: x ≠ -2 vµ x ≠ − 2 2y + 9y + 12y + (y + 2)(2y + 5y + 2) 1 Thay y = 2001 2012 - vào B ta đợc B = B= y+2 2001 2012 Câu 3: