§Ò thi häc sinh giái To¸n 6 Trêng THCS Yªn trêng ®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn M«n To¸n Líp 6 Thêi gian lµm bµi 120 phót §Ò bµi I §Ò bµi Bµi 1 (1,5®) Dïng 3 ch÷ sè 3; 0; 8 ®Ó ghÐp thµnh nh÷ng sè cã 3[.]
®Ị thi häc sinh giái cÊp hun Trêng THCS Yªn trờng Môn: Toán Thời gian làm bài: Lớp 120 phút Đề I Đề bài: Bài (1,5đ): Dùng chữ số 3; 0; để ghép thành sè cã ch÷ sè: a Chia hÕt cho b Chia hÕt cho c Kh«ng chia hÕt cho Bài (2đ): a Tìm kết phép nhân A = 33 x 99 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè b Cho B = + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết 2B + = 3n Bài (1,5 đ): Tính a C= b D= Bài (1,5đ): Tìm hai chữ số tận 2100 Bài (1,5đ): Cho ba đờng a1, a2, a3 ®i tõ A ®Õn B, hai ®êng b1, b2 ®i tõ B ®Õn C vµ ba ®êng c1, c2, c3, ®i tõ C ®Õn D (h×nh vÏ) A a1 a2 a3 B b1 b2 C c1 c2 D c3 Viết tập hợp M đờng từ A dến D lần lợt qua B C Bài (2đ): Cho 100 điểm ba điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đờng thẳng có tất đờng thẳng Đáp án toán Bài (1,5đ): a 308; 380; 830 (0,5®) b 380 830 (0,5®) c 803 Bài (2đ): a) (1đ) A = 33 x (0,25đ) (0,25đ) (1 00 - 1) 50 chữ sè 50 ch÷ sè = 33 00 - 33 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ số Đặt phép trừ 33 33 00 00 33 33 33 32 66 67 (0,25®) 49 ch÷ sè 49 ch÷ sè VËy A = 33 32 66 67 (0,25đ) 49 chữ số 49 chữ số b) B = + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 LÊy (2) trõ (1) ta đợc: 2B = 3101 - Do đó: 2B + = 3101 Theo đề 3B + = 3n Vậy n = 101 Bài (1,5đ): a) (0,75®) (2) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) C= Ta cã: 101 + (100 + 99 + + + + 1) =101 + 101.100 : = 101 + 5050 = 5151 (0,25®) 101 - 100 + 99 - 98 + + - + = (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + 50 cỈp = 50 + = 51 VËy C = (0,25®) (0,25®) b) (0,75®) B= Ta cã: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 43.101.37 = (0,5đ) Vậy B = ( = + + + 100 0) (0,25đ) Bài ( 1,5®): Ta cã: 210 = 1024 (0,25®) 2100 = = 102410 = (0,75®) =( 76)5 = 76 (0,5®) 100 Vậy hai chữ số tận 76 Bài (1,5đ): Nếu từ A đến D ®êng a1: a1 b c1 ; a b c2 ; a b c3 ; a b c1 ; a b c2 ; a b c3 ; (0,5đ) Đi tõ A ®Õn D b»ng ®êng a2: a2 b c1 ; a b c2 ; a b c3 ; a b c1 ; a b c2 ; a b c3 ; (0,5đ) Đi từ A đến D ®êng a3: a3 b c1 ; a b c2 ; a b c3 ; a b c1 ; a b c2 ; a b c3 ; (0,5®) VËy tËp hỵp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a b c1 ; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a b c2 ; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài ( 2đ): Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm lại, ta vẽ đợc 99 đờng thằng (0,5đ) Làm nh với 100 điểm ta đợc 99.100 đờng thẳng (0,5đ) Nhng đờng thẳng đợc tính lần, tất có 99.100 : = 4950 đờng thẳng (1đ) Trờng THCS Yên trờng Môn: toán Líp ®Ị thi häc sinh giái cÊp hun Thêi gian làm bài: 120 phút Đề Bài (1,5đ): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = b) B = + 22 + 24 + + 2100 Bµi (1,5đ): a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410 b) So sánh: + + Bài (2đ): Ba máy xay xay đợc 359 thóc Số ngày làm việc máy tỉ lệ với 3:4:5, số làm việc máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3 Hỏi máy xay đợc thọc Bài (1đ): Tìm x, y biết: a) |3x- 4| b) Bài ( 3đ): Cho ABC có goc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: a) b) Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta có: Tính f(2) Đáp án toán Bài 1: a) A = (0,25đ) A= A= (0,25đ) + =0 (0,25®) b) 4B = 22 + 24 + + 2102 3B = 2102 - B= (0,25®) (0,25đ) Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 10 30 11 3.24 = (0,25đ) mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) = > > (0,25đ) + > + (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc máy (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc máy (2) (0,25đ) Gọi z1, z2, z3 lần lợt công st cđa m¸y 5z1 = 4z2 = 3z3 Mµ (3) x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) Tõ (1) (2) (3) (0,25®) (0,25®) (0,5®) x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5đ) (1) (0,25đ) Ta có (gốc tam giác) b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5đ) FBM ®Ịu (0,25®) DFBAMB (c.g.c) (0,25®) (0,5®) (0,25đ) (0,25đ) E A D F Bài 6: Ta có M (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) B C Trờng THCS Yên trờng Môn: toán Lớp đề thi học sinh giỏi cấp huyện Thời gian làm bài: 120phút Đề Bài (1,5đ): HÃy khôi phục đẳng thức đà bị mực làm nhòe đ số chỗ: a) + + = b) H·y nªu mét đề tơng tự Bài (1đ): Điền sai a) (x - 5)2 = 25 - 10x + x2 b) (x2 + 2)2 = x4 + 2x2 + c) (a - b)(b - a) = (b- a)2 d) (A - B)3 = (B - A)3 ®) (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy Bài (2,5đ): Cho biểu thức M= a) Tìm TXĐ M rút gọn M b) Tìm giá trị x để M = c) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên Bài (1,5đ): giải phơng trình Bài (2,5đ): Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH AC Gọi M trung điểm AH K trung điểm CD Chứng minh rằng: BM MK Bài (1đ): Tìm giá trị nguyên x, y, z, t cho |x-y| + |y - z| + |z - t| + |t - x| =2007 Đáp án toán lớp Bài Bài 2: a) (0,5đ) b) (0,5đ) Đề tơng tự (0,5đ) a) Đ b) S Bài 3: Sau phân tích ta có c) S d) S a) M = TXĐ đ) Đ (0,5đ) x2 (0,5®) M= (0,25®) b) M = x = -2 (0,25đ) c) M = + M nguyên x - ớc Ước = ± 4; ± 2; ± (0,2®) x =-2, 0, 1, 3, 4, Bài 4: Giải phơng trình TXĐ: x -1, -2, -3, -4 (0,25đ) (0,5®) 4x2 + 10x = (0,5®) x = 0; x = (0,25đ) Bài 5: Giả thiết, kết luận, hình (0,25đ) Gọi I trung điểm BH ta có: MI trung bình AHB MI // AB; MI = B C N I AB (1) K L¹i cã: CK = AB CK // AB (2) Tõ (1) (2) ta cã CK = MI, CK // MI nên CKMI hình bình hành Mặt khác I trực tâm BMC CI BM mà MK // CI Bµi 6: Ta cã: |a| + a = MK BM H A M (0,5®) (0,25®) (0,5®) 2a nÕu a 0 nÕu a < (0,25®) Vậy |a| + a số tự nhiên chẵn Do ®ã: (|x-y| + x - y) + (|y - z| + y - z) + (|z - t| + z - t) + (|t - x| + t - x) = 2007 (0,25đ) D (0,5đ) Nhận thấy vế trái số chẵn, vế phải số lẽ nên phơng trình có nghiệm Trờng THCS Yên trờng Môn: toán ®Ị thi häc sinh giái cÊp hun Thêi gian lµm bài: Lớp 120 phút Đề Bài 1(2,5đ): Cho biểu thức A= a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài (2đ): Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài (1,5đ): Tìm tất số tự nhiên m để phơng tr×nh Èn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên Bài (3đ): Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) C¸c tam gi¸c AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài (1đ): Cho số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chøng minh: x3 + y x + y x + y Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mÃn Đáp án toán (0,25) x > vµ x (0,5) KL: A xác định < x < x > b) Rót gän A A= (0,25) (0,5) A= (0,25) Víi < x < A= (0,25) Víi x > A= (0,25) KÕt luËn Víi < x < th× A = Víi x > A = (0,25) Bài 2: a) A B có hoành độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (0,25) A(5; 2) AB 5a + b = B(3; -4) AB 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13 (0,5) Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 (0,25) b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta cã MA = MB = MAB c©n MA = MB (0,5) (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 (0,25) Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) (0,25) Bài 3: Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng (0,25) Ta lại có: m = 0; < loại (0,25) m = = = nhËn (0,25) m th× 2m(m - 2) > 2m - 4m - > - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + m4 - 2m + < < m4 (m2 - 1)2 < < (m2)2 A kh«ng phơng (0,5) Vậy m = giá trị cần tìm (0,25) Bài 4: a) (0,25) F E (0,25) B mµ (0,25) EF // BC (2 gãc so le nhau) (0,25) b) AD phân giác góc BAC nên sđ sđ( )= sđ D = sđ DADC (g.g) Tơng tự: (0,5) sđ = AFD ~ (g.g) c) Theo trên: + AED ~ DB (0,5) hay AD2 = AE.AC (1) + ADF ~ ABD (0,5) C AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF (0,5) Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + 2y3 y4 + y2 (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 x2 + y3 ®ã x3 + y3 x2 + y2 (1) (0,25) 2 + Ta cã: x(x - 1) 0: y(y + 1)(y - 1) x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x2 + y2 x + y (2) (0,25) vµ (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y -1) x -x -x+1+y -y-y +10 (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x+y2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y x + y x + y (0,5) ... 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số Đặt phép trõ 33 33 00 00 33 33 33 32 66 67 (0,25đ) 49 chữ số 49 ch÷ sè VËy A = 33 32 66 67 (0,25đ) 49 chữ số 49 chữ số b) B = + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B... (c.g.c) (0,25®) (0,5®) (0,25®) (0,25®) E A D F Bài 6: Ta có M (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) B C Trờng THCS Yên trờng Môn: toán Líp ®Ị thi häc sinh giái cÊp hun Thêi gian làm bài: 120phút Đề Bài (1,5đ):... đợc tính lần, tất có 99.100 : = 4950 đờng thẳng (1đ) Trờng THCS Yên trờng Môn: toán Lớp đề thi häc sinh giái cÊp hun Thêi gian lµm bµi: 120 phút Đề Bài (1,5đ): Thực phép tÝnh: a) A = b) B = + 22