Chuyen de on thi vao 10

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 1/206 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC  A neu A ≥ A =  − A neu A < A= AB = A = B A2 B = A (Với A ≥ 0; B ≥ ) A B A B (Với A ≥ 0; B > ) (Với B ≥ ) B (Với A ≥ 0; B ≥ ) A B= A B = − A2 B A2 B A = B B A A B = B B (Với A < 0; B ≥ ) (Với A ≥ 0; B > ) AB (Với B > ) ( C A±B C = A − B2 A±B 10 C C = A± B 11 A) ( = 3 ( ) A± B (Với A ≥ 0; A ≠ B2 ) ) A− B (Với A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) = A3 A XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A ĐKXĐ: A≥0 Liên hệ tài liệu word tốn: 039.373.2038 VÍ DỤ Ví dụ: x − 2018 ĐKXĐ: x ≥ 2018 Website: tailieutoanhoc.com 2/206 A B Website: tailieumontoan.com ĐKXĐ: B ≠ Ví dụ: x+2 x −3 ĐKXĐ: x≠3 A B ĐKXĐ: B > Ví dụ: x+2 x −3 ĐKXĐ: x>3 A B ĐKXĐ: A ≥ 0; B > Ví dụ: x x −3 ĐKXĐ: x ≥ ⇔ x>3  x > A B  A ≤  B < ĐKXĐ:   A ≥    B > ĐKXĐ:  x + ≤    x + < ⇔  x < −2 x ≥  x + ≥     x + > Cho a > ta có: Ví dụ: x +1 x+2 x > a Ví dụ: x > ⇔   x < − a x > a x2 > a ⇔   x < − a Cho a > ta có: x g ( x) f ( x) > g ( x) ⇔   f ( x) < − g ( x)  f ( x) > k Đặc biệt với số k > f ( x) > k ⇔   f ( x) < −k Dạng tổng quát 3: • Trường hợp f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) • Trường hợp f ( x) < g ( x) ⇔ f ( x) < g ( x) 2 Chú ý 3:Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b khơng âm ta có: a + b ≥ ab b Dấu “ = ” xảy ⇔ a = Ví dụ: cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x + x Hướng dẫn Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có A = x + Dấu “ = ” xảy ⇔ x = 1 ≥ x = x x ⇔x=1 x Vậy Amin = ⇔ x = Ví dụ: cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= x + x Hướng dẫn Cách giải sai: Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có B = x + Dấu “ = ” xảy ⇔ x = 1 ≥ x = x x ⇔ x = (khơng thỏa mãn x ≥ ) x Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 4/206 Website: tailieumontoan.com Vậy Bmin = ⇔ x = Gợi ý cách giải đúng: Dự đoán Bmin đạt mức x = ta có B = nx + Do ta có B =  nx = + x − nx Dấu “ = ” xảy ⇔  x x  x = 3x  x  +  +  Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có 4 x x 1 + ≥ = = x x x Dấu “ = ” xảy ⇔ Vậy Bmin = x = ⇔ x = (vì x ≥ ) x ⇔x= 2 Ví dụ: cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức C= x + x Hướng dẫn Tương tự: Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có C = x + x  x  10 = + +  ≥ x 9 x Dấu “ = ” xảy ⇔ x = Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = x + 12 với x ≥ x +2 Hướng dẫn Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có D = x+2 + 16 −4≥ x +2 Dấu “ = ” xảy ⇔ x = CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 5/206 Website: tailieumontoan.com Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn  x +2 x −   x +1  Ví dụ: Rút gọn biểu = thức A   x + x + − x −   x − x + 1   Hướng dẫn x > Điều kiện:  x ≠  x +2 x −   x +1  A  = − − x + 1   x −1   x   x + x +1   x +2 x −2   x +1+ x − x A = −  x x −1 x +1   x +  A = A= A= (  (   ( ( )( ) ( x + )( x − 1) ( − x + 1) ( x − 1) ( 2 x )( x +1 ) x −1 ) )( x + 1)   x − 1)( x + 1)   x −2 x +1 x x +1 x x −1 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 6/206 Website: tailieumontoan.com B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các tốn rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức a) = A 6−2 b) = B − 12 c)= C 19 − d) = D 5−2 Hướng dẫn a) A = ( 6−2 = ) −1 = −1 = ( b) B = − 12 = − = ( ) ( 3− c) C =19 − = − d) D = − = −1 ) −1 = −1 =4 − =− ) = 3− = 3− Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức a) = A 4+2 b) = B c) = C 9−4 d) D = + 13 − − 13 − 15 Hướng dẫn ( a) A = + = ) +1 ( b) B = − 15 = = +1 ) 15 − ( c) C = − = − ) D = + 13 − − 13 = d) =   2 ( ) 13 + − ( = 15 − = 5−2 ( 14 + 13 − 2 13= −1   ) 14 − 13 ) Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 7/206 Website: tailieumontoan.com 6+2 5−2 b) B = + + + 5− 6+ 6+ 5 +1 3− 1 1 c) C = + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 = a) A d) = D +7 − −7 Hướng dẫn a) A = 6+2 5−2 +1 3− 2 + = + = +1 3− +1 3− B b)= 3 + + = 5− 6+ 6+ ( 5+ ) + 4( 6− )+ ( 6− ) = 5+ 2+ 6− 2+ 6− 5=2 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 C= c) = d) ( ) ( −1 + D = ) ( 3− + ) − + + ( ) 100 − 99 = +7−5 +7 + − −= (5 +7 ) )( ( ) ( + +7 −7 + = 2 −7 ) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức b) B = + − − a) A = − 2 − − ( c) C = 14 + ) − 21 d) D = + − − 10 6+2 Hướng dẫn a) A= − 2 − − 2= − − + 2= 2 − b) B = + − − = + − + = 2 c) C = ( 14 + ) − 21 = ( ) + 10 − 21 = Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 ( )( 7+ ) 7− =4 Website: tailieutoanhoc.com 8/206 + − − 10 = 6+2 = d) D + 1)( − ) ( − )( (= ( + 1) Website: tailieumontoan.com ) −1 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức a) A = − + + c)= C b) B= d) D = + + − 5 − − 29 − 12 5 +7 − −7 Hướng dẫn a) A= − + + 3= B b) = c) − + + 1= − − 29 − 12 5= = C − − 5= − += 1 14 + − −= (5 +7 ) ( ) ( )( + +7 −7 + = 2 −7 ) d) D = + + − = (2 + ) − ( + )( − ) + ( − ) =1 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức b) a) A = − − + B = − 13 + + + 13 + d) D = + + − c) C = 20 + 14 + 20 − 14 Hướng dẫn a) A = − − + =2 − − − =−2 b) B = − 13 + + + 13 + = − −1 + + +1 − −1 + + +1 = = c) C = 20 + 14 + 20 − 14 40 = ( 20 + 14 ) − ( 20 + 14 )( 20 − 14 ) + ( 20 − 14 ) Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 =4 Website: tailieutoanhoc.com 9/206 Website: tailieumontoan.com 18 d) D = + + − = (9 + ) ( )( ) (9 − ) − 9+4 9−4 + =3 Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức a) A = 11 + + 11 − b) B = 41 − 12 − 41 + 12 c) C = − 2 − − d) D = 5− ( − 29 − 12 ) Hướng dẫn a) A = 11 + + 11 − = + + − = b) B = 41 − 12 − 41 + 12 =6 − − − =−2 c) C= = d) D − 2 − − 2= 5− ( − − + 2= 2 − ) − 29 − 12 5= − − += − += 1 Các toán rút gọn chứa ẩn tốn phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x = x0 Phương pháp: Rút gọn giá trị biến (nếu cần) sau thay vào biểu thức cho thay vào biểu thức cho tính kết Ví dụ: Cho biểu thức A = x + x − a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = Hướng dẫn 2 x + x − x ≥ 3 x − x ≥ a) Ta có A = x + x − =  =  2 x − x + x <  x + x < b) Khi x = ta có: A = + = Ví dụ: Cho biểu thức A = x −1 x 2−5 x − + 4− x x +2 x −2 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 192/ Website: tailieumontoan.com c) ≥ ; 9a + 9b + 9c + 2 + + d) a +1 b +1 c +1 + + ≥ 3; 2 + 9b + 9c + 9a Ví dụ: Cho số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = Chứng minh: a+b+c ≥ a +1 b +1 c +1 + + b +1 c +1 a +1 Hướng dẫn Ta có a + − a + (a + 1)b = b +1 b +1 Ta đưa toán chứng minh (a + 1)b (b + 1)c (b + 1)a + + ≥ b +1 c +1 a +1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số hạng VT với abc = Ta điều cần chứng minh Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c =1 Ví dụ: Cho số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = Chứng minh: a+b+c ≥ a+2 b+2 c+2 + + b+2 c+2 a+2 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 193/ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC Website: tailieumontoan.com Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số Phương pháp: • Thêm bớt hạng tử • Nâng lên lũy thừa hai vế • Phép nhân liên hợp … Từ phép biến đổi đại số ta giải phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Ví dụ: Giải phương trình a) 2 1 x + x − − x − x += ( x3 − x + x − ) ;(1) 9 b) 1 x − + x + x += ( x3 + x + x + 1) ;(2) 4 Hướng dẫn a) Điều kiện: VP ≥ ⇔ x ≥ 2 1  (1) ⇔ x + x − −  x − = ( x − 1) ( x + ) 3  2 1 ⇔ x − x − = ( x − 1) ( x + ) 1  ⇔  x −  = ( x − 1) ( x + ) 3  1 ⇔ x −= ( x − 1) ( x + ) 3 ⇔ x = 1  Vậy S =   3 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 194/ Website: tailieumontoan.com Ví dụ: Giải phương trình a) x + − − x + x − 14 x − = 0;(*) b) x + = x + 2; c) x + 2x − − + x − 2x − + = 2 Hướng dẫn a) Điều kiện: − ≤ x ≤ (*) ⇔ ( ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − =   ⇔ ( x − 5)  + + ( x + 1)  = − x +1  3x + +  1   Với − ≤ x ≤  + + ( x + 1)  > − x +1  3x + +  Vậy S = {5} Ví dụ: Giải phương trình GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số Phương pháp: • Thêm bớt hạng tử • Nâng lên lũy thừa hai vế • Phép nhân liên hợp … Từ phép biển đổi đại số ta giải phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Ví dụ: Giải phương trình a) 2 1 x + x − − x − x += ( x3 − x + x − ) 9 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 (1) Website: tailieutoanhoc.com 195/ Website: tailieumontoan.com 1 x3 + x + x + 1) x − + x + x += ( 4 b) Hướng dẫn a) Điều kiện: VP ≥ ⇔ x ≥ 2 1 (1) ⇔ x + x − −  x − = ( 3x − 1) ( x + ) 3  ⇔ x2 − 1 x − = ( x − 1) ( x + ) 1  ⇔  x −  = ( x − 1) ( x + ) 3  1 ⇔ x −= ( x − 1) ( x + ) 3 ⇔ x = 1  Vậy S =   3 Ví dụ: Giải phương trình a) x + − − x + x − 14 x − = (*) b) x + = x + c) x + 2x − − + x − 2x − + = 2 Hướng dẫn a) Điều kiện: − ≤ x ≤ ( *) ⇔ ( ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − =   ⇔ ( x − 5)  + + ( x + 1)  = − x +1  3x + +    Với − ≤ x ≤  + + ( x + 1)  > − x +1  3x + +  Vậy S = {5} Ví dụ: Giải phương trình a) x2 −1 + = x x3 − Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 196/ Website: tailieumontoan.com b) x − x + 17 − x − = (**) Hướng dẫn b) (**) ⇔ ( x − 1) + 16 − x − = Sử dụng bất đẳng thức ( x − 1) a + b ≤ a + b nên + 16 − x − ≤ x − + = − x − Do ≤ − x − ⇔ x − = ⇔ x = Vậy S = {1} Dạng 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp: Đặt ẩn, hai ba biểu thức phức tạp ẩn (gọi ẩn phụ) giải phương trình thu sau tìm nghiệm Loại 1: Sử dụng ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình a) x + x + + ( x + 1) = 3 x b) x + − x + x − x = Hướng dẫn a) Với x = khơng phải nghiệm phương trình Với x ≠ ta chia hai vế phương trình cho x ta x2 + 1 1  +1 +  x +  = 3 Đặt t = x + ≥ (Cô-si) x x x  Phương trình trở thành Với t = ⇔ x + t −= t ≤ ⇔= (3 − t ) ⇔  t (thỏa mãn) t − 9t + 14 = = ⇔ x = x Vậy S = {1} Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình a) x + x + − x − x + = x − b) x + + 10 − x = Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 197/ Website: tailieumontoan.com  x + x + = a a) Đặt  Điều kiện: a > 0, b > b 2 x − x + = Phương trình trở thành: a − b = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) =  x + x + 1= x − x + a = b ⇔ ⇔  x + x + + x − x + = a + b =  x=  ⇔  x + x + =1 − x − x + vônghiệm 1  Vậy S =   3 Loại 3: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa hệ phương trình đối xứng Ví dụ: Giải phương trình a) x3 = + x − b) x − 3 x + = Hướng dẫn a) Phương trình ⇔ x3 + x= x − + x − Đặt = t ( Ta x + x = t + 2t ⇔ ( x − t ) x + xt + t 3 ⇔ ( x − t ) ( x + xt + t + ) = 2 x − ) + 2( x − t) = t  3t  Vì x + xt + t + =  x +  + + > 2  2  x =  x = −1 + Nên x = t ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = ⇔  ⇔  x =  x + x − =0   x = −1 −   −1 + −1 −  Vậy S = 1; ;  2   Loại 4: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa phương trình bậc hai ẩn Ví dụ: Giải phương trình a) x + x + = ( x + 5) 2x2 + Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 198/ Website: tailieumontoan.com ( x + 3) b) x + x + = c) ( )( x +1 +1 x2 + ) x + + x − =x Hướng dẫn a) Phương trình x + − ( x + ) x + + x + =0 Đặt t = x + ( t > 1) Phương trình trở thành: t − ( x + ) t + x + = ∆ =  − ( x + )  − ( x + ) = ( x − 1) ≥ ∀x t = Do  t= x + Với t = 3⇔ x= ±2 Với t = x + ⇔ x = ± { } Vậy S =±2; ± Dạng 3: Đánh giá m  f ( x) ≥ m  f ( x) = Phương pháp: Phương trình f ( x) = g ( x) ln có  ⇔ m  g ( x) ≤ m  g ( x) = Ví dụ: Giải phương trình a) x + x + + x + 10 x + 14 =4 − x − x b) 2 + x = x + x +1 c) 13 x − x + x + x = 16 Hướng dẫn a) Phương trình ⇔ ( x + 1) + + ( x + 1) + =5 − ( x + 1) 2 VT ≥ Ta có:  ⇔ VT = VP = VP ≤ Dấu “ = ” xảy ⇔ x + =0 ⇔ x =−1  21 + 41  Vậy S =     ( b) Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( ax + by ) ≤ a + b 2 Dấu “ = ” xảy ⇔ )( x + y2 ) a b = x y Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 199/ Website: tailieumontoan.com  2  + x  ≤  2    x +1   ( Dấu “ = ” xảy ⇔ ) 2     x  = x+9 + x + 1  +     x + x +      2 = x +1 1 ⇔ x= x 1  Vậy S =   7  C LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1− x + 1+ x + x Hướng dẫn Điều kiện: ≤ x ≤ Với a, b ≥ ta có: ( a+ b ) = a + ab + b ≥ a + b ⇒ a + b ≥ a + b Dấu “ = ” xảy x = Vậy giá trị nhỏ P = x = Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Tìm giá trị nhỏ Cho số a, b, c thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ ab + bc + ca = giá trị lớn biểu thức P = a + b + c Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a + b ≥ a 2b = 2ab b2 + c ≥ b2c = 2bc c2 + a2 ≥ c2a2 = 2ca ⇒ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇒ P≥9 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 200/ Website: tailieumontoan.com a = b  2 b = c Vậy MinP = ⇔  ⇔ a = b = c = x = 2 c = a ab + bc + ca =  Ta có a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ nên ( a − 1)( b − 1) ≥ ab − a − b + ≥   ( b − 1)( c − 1) ≥ ⇔ bc − b − c + ≥ ⇒ ab + bc + ca − ( a + b + c ) + ≥   ca − c − a + ≥ ( c − 1)( a − 1) ≥ ab + bc + ca + ⇔ a+b+c ≤ ⇔ ( a + b + c ) ≤ 36 a + b + c ≥ ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) ≤ 36 ⇔ a + b + c ≤ 36 − ( ab + bc + ca ) ⇔ P ≤ 18 ( a − 1)( b − 1) ≥  a= b= 1, c= ( b − 1)( c − 1) ≥  ⇔ b =c =1, a =4 Vậy MaxP =18 ⇔  ( c − 1)( a − 1) ≥  c= a= 1, b=  2 18 a + b + c = Vậy MinP= ⇔ ⇔ a = b = c = ( a − 1)( b − 1) ≥  a= b= 1, c= ( b − 1)( c − 1) ≥  MaxP =18 ⇔  ⇔ b =c =1, a =4 ( c − 1)( a − 1) ≥  c= a= 1, b=  2 18 a + b + c = Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Với số thực x, y thỏa mãn x − x + = y + − y Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P= x + y Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Tìm giá trị lớn biểu thức Với số thực a, b thỏa mãn a + b = ab M= a+b+2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Với a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q= 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 201/ Website: tailieumontoan.com 6abc Chứng minh Với a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 1 + + ≥ a b2 c2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) Với x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x ≥ y Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x2 + y xy Ví dụ: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 2 thức P =  +  1+ x y x y Hướng dẫn 1 1  1  15 Ta có: P =  +  + x y ≥ + xy =  xy + + x2 y = + xy xy 16 xy  16 xy x y  ≥2 15 (Áp dụng Cô si) + ( 4xy ) ≥2 15 (Vì 4xy ≤ ( x + y ) ) + 2 ( x + y ) ≥2 15 + (Vì x + y ≤ ) = 17 Vậy MinP = 17 ⇔ x = y = Ví dụ: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + z + + + x 2y z Hướng dẫn Ta có: A = x + y + z + 3 1  + + = x+ + y+ + z + + x+ y + z x 2y z x 2y z 4  Áp dụng Cơ si ta có: Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 202/ Website: tailieumontoan.com 3 +) x + ≥ x +) y + ≥3 2y +) z + ≥ z 1 Và x + y + z = ( x + y + 3z ) ≥ 4 Suy A ≥ 13 Vậy MinA = 13 ⇔ x = 2, y = 3, z = abc Tìm giá trị lớn biểu Ví dụ: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a b c + + thức A = a + bc b + ac c + ab Hướng dẫn a b c + + a + bc b + ac c + ab 1 = + + bc ac ab a+ b+ c+ a b c 1 ≤ + + bc ac ab ≤ 1 1 1 1 4 + + + + +  b c a c a b = 1 1 2 + +  a b c Ta có: A = 2 2 a b c + + = nên ≥ + + a b c bc ac ab P ≤ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c = Vậy MaxP = ⇔ a = b = c = Mà Ví dụ: Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 A= + a b Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 203/ Website: tailieumontoan.com Ta có: A = (a + b) − 4ab = ( a − b ) ≥ ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ 2 a+b 4 ≥ ⇔ A≥ ab a+b a+b ( a − b )2 = 4 ⇔ a = b = Mà a + b ≤ 2 ⇒ Dấu “ = ” xảy ⇔  ≥ a+b 2 a + b = 2  Vậy MinP = ⇔ a = b = Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − x x + x + y − y + Hướng dẫn Điều kiện: y ≥ Ta có: A = x ( − x ( x − 1) + ) y −1 y 3y + − + = 4   x −  y −1   1 2  +  y −  + ≥  4 3 3   x = − Dấu “ = ” xảy ⇔  y =  Vậy MinA = Ví dụ: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a + b + c < ( ab + bc + ca ) Hướng dẫn ( ) Ta có: ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ ⇔ a + b + c ≥ ( ab + bc + ca ) 2 ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có: a < a ( b + c ) ⇒ a < ab + ac Tương tự b < ab + bc; c < ac + bc Suy ra: a + b + c < ( ab + bc + ca ) (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Ví dụ: Giải phương trình: 10 x3 += 3( x2 + 2) Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ (1) Đặt = a x + b= x − x + , ( a ≥ 0; b ≥ ) (2) ⇒ a + b2 = x2 + Khi phương 2 10.ab= ( a + b ) ⇔ ( a − 3b )( 3a − b )= Liên hệ tài liệu word tốn: 039.373.2038 trình cho trở thành: Website: tailieutoanhoc.com 204/ Website: tailieumontoan.com • Nếu a = 3b từ (2) ⇒ x += x − x + phương trình vơ nghiệm  x = + 33 thỏa mãn x − x + ⇔ x − 10 x − = ⇔  = − x 33  • Nếu b = 3a từ (2) ⇒ x + = (1)  x = + 33 Vậy phương trình có hai nghiệm là:   x2 = − 33  x + =2 y Ví dụ: Giải hệ phương trình:   y + =2 x Hướng dẫn Lấy phương trình trừ phương trình Ví dụ: Cho số a, b, c ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ Hướng dẫn Vì b, c ∈ [ 0;1] ⇒ b < b, c < c Do a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca (1) Mặt khác a + b + c3 − ab − bc − ca = ( a − 1)( b − 1)( c − 1) − abc + (2) Vì a, b, c ∈ [ 0;1] nên a + b + c − ab − bc − ca = ( a − 1)( b − 1)( c − 1) − abc + ≤ 0; − abc ≤ Do từ (2) ⇒ a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ (3) Từ (1) (3) ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ Ví dụ: Chứng minh rằng: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ≥ với a, b số dương ( )( ) Ví dụ: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x + x + 2011 y + y + 2011 = 2011 Tính x+ y Ví dụ: Cho x > 0, y > P = 3x + y + + x y x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x + a + b + c = Ví dụ: Cho số thực x, a, b, c thay đổi thỏa mãn hệ  Tìm giá trị 2 13 x + a + b + c = lớn giá trị nhỏ x Ví dụ: Tìm x, y thỏa mãn x − x ( + y ) + y + = Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 205/ Website: tailieumontoan.com Ví dụ: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: < a b c + + < a+b b+c c+a Ví dụ: Cho x, y hai số thực thỏa mãn: ( x + y ) + ( x + y ) + y + 10 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + x4 + 2x2 + Ví dụ: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x2 + Ví dụ: Tìm m để phương trình ẩn x − 2mx + ( m + 1) x − m = sau có ba nghiệm phân biệt: x abc Tìm giá trị lớn Ví dụ: Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = a b c + + biểu thức P = a + bc b + ac c + ab Ví dụ: Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c ≥ Tìm giá trị nhỏ a + b3 b3 + c c + a biểu thức M = + + a + b2 b2 + c2 c2 + a Hướng dẫn: Ta a ( a + b ) − ab b ( a + b ) − ba a + b3 a3 b3 ab ba = + = + = a + b − − a + b2 a + b2 a + b2 a + b2 a + b2 a + b2 a + b2 2 2 có: Áp dụng Cô si ab ba b a a+b a + b3 a + b − ≥ + − − = ⇒ ≥ a b a + b2 a + b2 2 a + b2 2(a + b + c) b3 + c b + c c + a c + a Tương tự 2 ≥ ; ≥ ⇒M ≥ = b +c c +a 2 a+b− Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c = Vậy MinM = ⇔ a = b = c = Tìm giá trị lớn biểu Ví dụ: Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = thức A = a + b + c + ab + bc + ca Hướng dẫn: a + b ≥ 2ab  Cách 1: Ta có: b + c ≥ 2bc ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca = c + a ≥ 2ca  Mặt khác a + b + c ≤ 12 + 12 + 12 a + b += c2 Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 3.= 3 Website: tailieutoanhoc.com 206/ Website: tailieumontoan.com  a= b= c  Dấu “ = ” xảy ⇔ a + b + c = ⇔ a = b = c =1 Vậy A ≤ + = 1 1 = = a b c Vậy MaxA = ⇔ a = b = c = Cách 2: Ta có: a + b + c = ⇔ ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = Đặt t = a + b + c, t ≤ ⇒ ab + bc + ca = ⇒ A =t + t2 − t2 − 1 2 = ( t + 1) − 2, t ≤ ⇔ t + ≤ ⇔ ( t + 1) ≤ ⇔ ( t + 1) − ≤ 2 2 Vậy MaxA = ⇔ a = b = c = Tìm giá trị lớn giá Ví dụ: Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = trị nhỏ biểu thức A = 3a + + 3b + + 3c + Hướng dẫn: 1 + 3a + 3a + ( 3a + 1) ≤ = 2 3b + 3c + , 3c + ≤ Tương tự 3b + ≤ 4 ( a + b + c ) + 15 Do A ≤ = Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c =1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si : 3= a +1 Vậy MaxA = ⇔ a = b = c = Không tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c nên a ≥ Do a + b + c = Ta có ( 3b + + 3c + ) = 3b + 3c + + ( 3b + 1)( 3c + 1) ≥ ( − a ) + = Khi A ≥ 3a + + 13 − 3a ⇒ A2 ≥ 14 + 13 − 3a b, c ≥ ( 3a + 1)(13 − 3a ) Ta chứng minh ( 3a + 1)(13 − 3a ) ≥ 40 với ≤ a ≤ ⇒ A2 ≥ 14 + 10 ⇒ A ≥ + 10 Dấu “ = ” xảy ⇔ a = 3, b = c = Vậy MinA = + 10 ⇔ a = 3, b = c = Liên hệ tài liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com ...1/206 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CÔNG THỨC BIẾN... 40/206 Website: tailieumontoan.com C x −1+ C Tìm x thỏa mãn (2 + C ) x − 3C = x − x − + Tìm giá trị lớn nhật biểu thức: N= D MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI... liệu word toán: 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com 3/206 Dạng tổng quát 1: Website: tailieumontoan.com f ( x) < g ( x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x) Đặc biệt với số k > f ( x) < k ⇔ −k < f