Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 77 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CASIO (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 Website: tailieumontoan.com TUYỂN TẬP NHIỀU ĐỀ THI HSG CASIO (Có đáp án hay đáp số) ĐỀ CASIO TỈNH TUYÊN QUANG 2011-2012 Bài (5 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A = + − + − + − + 10 10 − 11 11 + 12 12 b) + x + x + x + + x 20 B= − y + y − y6 + + y 20 Với x=2; y=3 Bài (5 điểm) a) Cho góc nhọn , biết cot Tính giá trị biểu thức: 2011 sin cos sin cos2 C tan cot 2sin cos tan cot b) Cho a=296541; b=13299552; c=560138733 Tìm ƯCLN(a, b, c) Bài (5 điểm) x x a) Tìm dạng phân số x biết: + = 1 1+ 4+ 1 2+ 3+ 1 3+ 2+ b) Tính số đo góc tạo đồ thị hai hàm số: y= 2010x+2009 y x 2012 ? 2011 Bài 4(5 điểm) Cho đa thức g(x) = 8x3 – 18x2 + x + a) Tìm nghiệm đa thức g(x) b) Tìm đa thức bậc ba f(x) = x3 + ax2 + bx + c, biết chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) đa thức dư r(x) = 8x2 + 4x + Bài (5 điểm) a) Một người gửi tiết kiệm 500 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào ngân hàng theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất 14,5% năm Hỏi sau năm tháng người nhận tiền vốn lẫn lãi ngân hàng (kết làm tròn đến đơn vị đồng) Biết người khơng rút lãi tất định kỳ trước rút tiền trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất loại không kỳ hạn 0,016% ngày (1 tháng tính 30 ngày) b) Cho số A = 39999 Tìm hai chữ số cuối A Bài (5 điểm) Theo di chúc, bốn người hưởng số tiền 902 490 255 đồng chia theo tỉ lệ sau: - Người thứ người thứ hai 2:3 - Người thứ hai người thứ ba 4:5 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com - Người thứ ba người thứ tư 6:7 Hỏi người nhận số tiền bao nhiêu? Bài (5 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh 12 cm Vẽ đoạn AE với E điểm cạnh CD cho DE = cm Đường trung trực đoạn AE cắt AE, AD BC theo thứ tự M, P Q Tính tỉ số độ dài PM MQ Bài (5 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B (O O’ nằm khác phía AB) Một đường thẳng qua điểm A cắt (O) (O’) hai điểm M N Tính độ dài lớn đoạn thẳng MN cho biết AB = 16 cm, bán kính đường trịn tâm O O’ 15 cm 10 cm Bài (5 điểm) Một miếng bìa hình tam giác ABC, cạnh a=30,1234cm Em tìm cách cắt hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa (với M, N thuộc cạnh BC, P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) cho SMNPQ lớn Hãy tính diện tích hình chữ nhật MNPQ đó? Bài 10(5 điểm) a) Một hình chữ nhật có kích thước đo số ngun Nếu số chu vi số diện tích kích thước hình chữ nhật phải nào? b) Một hình H tạo lục giác xếp liên tiếp hình vẽ Biết cạnh hình lục giác 15,01 cm chu vi hình H (chu vi H tổng độ dài cạnh bao quanh không kể cạnh chung hai lục giác liền kề) 1208,305 m Hỏi có tất hình lục giác tạo nên hình H ? -Hết - Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ CASIO TỈNH TUYÊN QUANG 2011-2012 Đáp số-Cách giải Câu a b A≃1,6216 2097151 B= 3138105961 Điểm 2,5 2,5 ≈ 0, 009 a C= 2,5 2011 2022061 b ƯCLN(a, b, c)=567 a 12556 ≈ −8, 6059 1459 α 89054 ' 2,5 2,5 b x= − a b x1 = − ; x2 == 2; x3 Theo ta có: g(x) = (2x + 1)(x − 2)(4x − 3) Theo giả thiết ta có: f(x) = q.g(x) + 8x2 + 4x + (q thương) Do ta có: 1 1 1 1 f − =r − =5 a − b + c = + 41 2a − 4b + 8c = ⇔ 4a + 2b + c = 45 − ⇔ 4a + 2b + c = 37 f (2) = r(2) = 45 36a + 48b + 64c = 25 27 773 25 f = a b c + + = − r= 64 16 Vào EQN chọn giải hệ phương trình ẩn ta được: 23 33 23 a= , b= , c= 23 33 23 f ( x) = x3 + x + x + b 14,5.6 % = 7, 25% Lãi suất kỳ hạn tháng là: 12 năm tháng 98 tháng 16 kỳ hạn cộng với 60 ngày Số tiền người nhận sau năm là: 16 7, 25 = A 500000000 1 + = 1532 240 079 (đồng) 100 Số tiền tính lãi suất không kỳ hạn 60 ngày nên số tiền lãi 60 ngày bằng: 0, 016 B = 532 240 079 .60 14 709505 (đồng) 100 Vậy, số tiền người nhận sau năm tháng là: C=A + B = 546 949 584 (đồng) ( ) 39999 = 399 320 495 ( ) ( ) = 320 319 320 495 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 ≡ ( 01) 67 ( 01) 0,5 1,0 1,0 a 2,5 2,5 495 ≡ 67 (mod 100) 1,0 1,0 0,5 2,5 Website: tailieumontoan.com Vậy, hai chữ số cuối 67 Gọi số tiền người thứ nhất, thứ hai , thứ ba thứ tư x, y, z, t (đồng) (với x, y, z, t∈ℕ*) Theo đề ta có: 9999 2,5 x y z t 9902490255 x x y z t 9902490255 y 3x 2y y 5y 4z z 7z 6t z t x 1508950896 y 2263426344 (TMĐK) z 2829282930 t 3300830 085 Vậy : - người thứ hưởng: 508 950 896 đồng - người thứ hai hưởng: 263 426 344 đồng - người thứ ba hưởng: 829 282 930 đồng - người thứ tư hưởng: 300 830 085 đồng Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD Ta có: MP MR = MQ MS D 2,5 E 3,0 C Vì RM đường trung bình tam giác DE Mà: MS = RS − MR DE MP MR Vậy: = = MQ MS RS − DE ADE nên MR = P R Q A cm, RS 12 cm , ta có kết quả: Áp dụng số= với DE 5= MP = ≈ 0, 2632 MQ 19 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 S B 2,0 Website: tailieumontoan.com Gọi I = OO'∩AB Ta có: 16 IA = = ; AB⊥OO' = OI (15 2) − 82 ≈ 19, 6469 B Gọi H, K trung điểm MA, AN Ta có: OH⊥MA; OK⊥AN ⇒ OHKO' hình thang vng ⇒ HK ≤ OO' ⇒ HK lớn ⇔ HK = OO' ⇔ MN = 2OO’ Do : MN = 62,6176 cm Gọi H hình chiếu A xuống cạnh BC, K giao điểm AH với PQ, đặt AK= x; PQ=y; AH=h Ta có: SABC=SAQP+SPQBC 2,5 x Q B h x ax 2,0 A ah xy y a h x ax y 2 h M K H P N C a a x h x x xh h h h 2 a h h ah a SMNPQ x h 2 4 h Dấu “=” xảy x 2 h a Vậy, maxSMNPQ x hay P, Q trung điểm AC, AB Do SMNPQ= y.h x 2,5 O' I O = IO ' (10 2) − 82 ≈ 11, 6619 ⇒ OO' = OI + IO' K A H M N Áp dụng với a=30,1234cm, ta có: 2,0 1,0 30,12342 maxSMNPQ 196,4620cm 10 Gọi x, y hai kích thước Giả sử x≥y x, y hai số nguyên dương Ta có phương trình : 2(x+y)=xy⇔(x-2)(y-2)=4 Giải phương trình ta : x=4 ; y=4 x=6 ; y=3 b Gọi số lục giác cần dùng n (n∈ℕ*), chu vi H p (p>0) Ta có phương trình: = p n.4a + 2a 2,5 a p − 2a 4a Thay số ta có: 120830,5 − 2.15, 01 = n = 2012 4.15, 01 1,5 ⇒ n= Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1,0 Website: tailieumontoan.com ĐỀ TỈNH QUẢNG NAM 2009 - 2010 Chú ý : + Thí sinh phép sử dụng loại máy tính Casio hành +Nếu khơng nói thêm,kết gần lấy với 10 chữ số Bài : a) Tính gần giá tri biểu thức (với chữ số thập phân) giá trị biểu thức: P= Sin 42 + tg 80 Sin 10 + Cos 22 b) Giải hệ : − Cotg 17 Sin 310 2 x + y + x − y = 2x + 3y = x − y Bài : Tính xác giá trị biểu thức : A = (5 + )14 + (5 − )14 Bài : Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51; a)Tính hệ số a, b, c, d, e b)Tính xác P(2010) Bài 4: Tìm tất cặp số nguyên dương (x ; y) thoả mãn phương trình: x4 – x2y + y2 = 81001 Bài : Tìm chữ số thập phân thứ 252010 sau dấu phẩy phép chia 17 cho 19 Bài : Cho Sn = – + – + …+ (–1)n+1n Tính tổng S = S2005 + S2006 + …+ S2010 Bài : Cho phương trình x2 –ax + = (a∈Z) có nghiệm x1, x2 Tìm a nhỏ cho x15 + x25 chia hết cho 250 Bài : Tìm số dư chia S = 25 + 210 + 215+ …+ 245 + 250 cho 30 Bài : Cho dãy (un) định bởi: 1 1 1 ; ; + + + u3 = u2 = u1 = 1.3.5 3.5.7 5.7.9 1.3.5 3.5.7 1.3.5 1 (n = 1,2,3 ) + + + un = (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) 1.3.5 3.5.7 a)Lập quy trình ấn phím để tính số hạng tổng quát un b)Tính giá trị u50 , u60 c)Tính u1002 Bài 10: Cho tam giác ABC, cạnh AB, AC, BC lấy điểm M, L, K cho tứ giác KLMB hình bình hành Biết SAML= 42,7283 cm2, SKLC = 51,4231 cm2 Hãy tính diện tích tam giác ABC (gần với chữ số thập phân) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ TỈNH QUẢNG NAM 2009 - 2010 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài Lời giải gợi ý a) b) Hai nghiệm, nghiệm 0,5 Đáp số Điểm TP P ≈ 3,759 (x =11/19; y =16/57); (x = 33/38; y= 8/19) A = 86749292044898 (14 chữ số) Đặt Q(x)= 2x2 +1; h(x)= P(x) – (2x2+1) Từ giả a= –15; b = 85; c = –223 ; thiết ta súy h(1) = h(2) = h(3) = h(4) =h(5) = 0; d= 274; e = –119 Do hệ số x5 nên h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x(sai kq -0.25) 4)(x-5) Suy p(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (2x2+1) P(x)= x5 –15x4 +85x3 – 223x2 +274x – 119 P(2010)=2009.2008.2007.2006.2005+2(2010)2+1 P(2010) = 32563893330643321 2 Xét pt y – x y + x – 81001 =0; (x =3; y= 289); (x=17; y= 280); (x=17; ∆ = 324004 – 3x ; ∆ ≥0 0< x ≤ 18 ( x y=9) nguyên dương) Thực quy trình ấn phím ta suy nghiệm 17/19=0,(894736842105263157) (18 chữ số sau dấu phẩy) 252010 ≡ (mod 18) S =0 1 Điểm toàn 2 Mỗi 1.5 nghiệm 0.5 2 Sử dụng định lý Viet ta suy ra: x15 + x25 = a5 – 5a3 +5a Thực quy trình ấn phím ta suy kết Ta có 21 + 22 + +28 = 510 ≡ (mod 30) Vì a5 ≡ a (mod 5); a2 ≡ a(mod 2); a3 ≡ a (mod 3) Nên a5 ≡ a (mod 2.3.5)≡ a (mod 30) Suy : 25 + 210 + …+240 ≡ ( mod 30) Đặt T = 245 +250 = 33.245 Dễ dàng suy 245 ≡ (mod 30) Suy T ≡ 2.3 =6 (mod 30) a.Quy trình : a = 50 (x15 + x25 = 311875250) r=6 b) U50 = 2600/31209; U60 = 1240/14883; U1002= 10 2.5 0.25 0.25 335336 4024035 A h1 L M h h2 B H K C Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com + ∆AML ~ ∆ABC => + ∆LKC ~ ∆ABC => s1 s s2 s = = h1 h 0.25 h2 h 0.25 +Suy ra: S = S1 + S => S = S1 + S + S1 S Tính S S ≈187,9005 cm 0.5 ĐỀ TỈNH PHÚ YÊN 2008 - 2009 Bài 1: Phân tích thừa số nguyên tố số P = 2450250 Cho biết x, y hai đại lượng tỷ lệ nghịch Hãy điền số thích hợp vào trống: x y 13 0,25 11 13 15 16 Bài 2: Tính biểu thức : 22 22 22 1 − + − 1+ + + 7 : 3 A = × 1 2 2 1− + − 2+ + + 7 3 200820082008 : 200920092009 Tìm số hữu tỷ x biết : 5 10 10 10 5+ + − 10 + + − 12345679 434343 17 89 113 : 23 243 611 = × x − 333333333 11 + 11 + 11 − 11 + + − 515151 17 89 113 23 243 611 Bài 3: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 407 x +y +z +t = 276 23 x - 12 y - 46 z + 12 t = 21 11 23 63 11 Giải hệ phương trình: 23 277 x − y − 23 z − t = 33 14 105 11 560 22 24 22 24 14 x+ y+ z+ t = 23 21 55 45 207 sin 400 cos 200 − 3 sin 900 + cot 300 + cos 450 cot 55 + ;B= Cho: A = tan 1080 tan 600 + sin 300 cos3 600 Tính C = A + B ? Bài 4: Phân tích đa thức sau thừa số : f(x) = x3 − 16x + 9x+9 x3 − 3, 256x +7,321 Tìm số dư R phép chia : x-1,617 Bài 5: Tìm số x, y cho chia xxxxx cho yyyy có thương 16 dư r, cịn chia xxxx cho yyy có thương 16 có số dư r-2000 Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = 5x+3 (d’) : y = -5x + Vẽ đường thẳng (d) (d’) hệ trục toạ độ Tìm giao điểm A hai đường thẳng (d) (d’), giao điểm B, C (d) (d’) với trục Ox 2.Tính góc BAC 1 , , 16 25 Bài 7: Cho tập hợp số vô hạn sau:P = , , Viết công thức số hạng tổng quát Tính số hạng thứ 35 Viết quy trình bấm phím liên tục để tính tổng 30 số hạng Bài 8: Cho tam giác ABC có diện tích đơn vị Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC lấy điểm N cho AM = 3BM AN = 4CN Đoạn BN cắt CM O Tính diện tích tam giác AOB AOC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ĐỀ CASIO THAM KHẢO Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 20111982·20112012 1 1 1 1 b) B = (1 + )(1 + + )(1 + + + ) (1 + + + + ) 2 3 10 Bài 2: (2 điểm) a) Cho biết sin α = 0, 43265 (00 < α < 900 ) Tính 3cosα + 5sin α C= tan α + cosα x ( y − z ) + x ( y z + ) − 25 b) Cho biểu thức: D = x ( x + y − ) + z + 11 Kết quả: a) A = b) B ≈ = ;y = ; z Tính D (ghi kết dạng phân số tối giản) Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x biết: Kết quả: a) C ≈ b) D = với= x 15 − 26.( + 2) + 12 − 24 − ⋅x = 8+ −1 − Kết quả: +1 8− −1 a) x = b) Tìm y biết: −1 3−2 y− y− = 3− 2 +1 + 5− Bài 4: (2 điểm) a) Tính m biết: x + x3 − 25 x + 11x + 2012 + m chia hết cho x − b) Cho hàm số f ( x)= ( x + ⋅ x − 7) 2012 Tính f (a ) với a = (4 + 15)( − 3) − 15 Bài 5: (2 điểm) a) Tìm cặp số (x;y) nguyên dương cho x3 + 2012(2 x − y ) = 3108920 b) y ≈ Kết quả: a) m = b) f (a ) = Kết quả: a) ( x = ; y= ) b) Số lớn nhất: b) Tìm lớn nhỏ số tự nhiên dạng 579xyz mà Số nhỏ nhất: chia hết cho 5, Bài 6: (2 điểm) Kết quả: 1 1 1 Cho S = + + + + + + 10 15 21 300 a) S có số hạng a) S có số hạng? b) E = b) Tính E = 62778S : 23 Bài 7: (2 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 62 a) Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết chia số 4271169; 2917717; 2063083 cho a số dư b) Tìm số tự nhiên b thõa mãn: 80000 < b < 90000 chia b cho 4022, chia b cho 6033 có số dư 1234 Bài 8: (2 điểm) a) Cho 10 + 1 9+ + b+ b+ b) M ≈ y + y − x8 − y − y − x8 với y − x =2012 Bài 9: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH biết b) b= a) G= 1 b với a,b số tự nhiên Tính G= 2012a+2013b b) Tính giá trị gần M= Website: tailieumontoan.com Kết quả: = 1 a+ Kết quả: a) a = Kết quả: BH = 2012 cm CH = 2012 cm Kẻ đường trung tuyến AM, BN, CK ( M ∈ BC, N ∈ AC, K ∈ AB ) a) Tính AM b) Tính AM + BN+ CK Bài 10: (2 điểm) Hình vẽ bên, cho hình thang ABCD (AB//CD) Cạnh AB lớn gấp 2,5 lần cạnh CD Diện tích tam giác AOB tam giác COD 201,2 cm2 140,84 cm2 Tính diện tích hình thang ABCD a) AM ≈ b) AM + BN+ CK ≈ Kết quả: Diện tích hình thang ABCD: C D O A B -Hết - Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 63 Website: tailieumontoan.com ĐỀ CASIO THAM KHẢO Bài 1: (2 điểm) a) A = 404492423327784 b) B ≈ 1871,43527 Bài 2: (2 điểm) a) C ≈ 3,16184 480566 b) D = 588989 Bài 3: (2 điểm) a) x = -3 b) y ≈ -1,03162 Bài 4: (2 điểm) a) m = -3951 b) f (a ) = Bài 5: (2 điểm) a) ( x = 23 ; y = ) b) Số lớn nhất: 579915 Số nhỏ nhất: 579285 Bài 6: (2 điểm) a) S có 23 số hạng b) E = 2511,12 Bài 7: (2 điểm) a) a = 1126 b) b= 85696 Bài 8: (2 điểm) a) G=20129 b) M ≈ 9,47157 điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm Bài 9: (2 điểm) a) AM ≈ 89,71065 (cm) b) AM+BN+CK ≈ 370,11484 (cm) điểm điểm Bài 10: (2 điểm) Diện tích hình thang ABCD: 774,62 (cm2) điểm Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 64 ĐỀ CASIO THAM KHẢO Website: tailieumontoan.com ĐỀ TỈNH VĨNH PHÚC NĂM 2008 - 2009 2+ 1- - 15 - 11 Tìm nghiệm xx= 3- + - - Bài Gọi x0 nghiệm phương trình: PT −1,32 x + Bài Cho hàm số: f ( x) = tính giá trị: f (2 + 5) ≈ Bài Cho dãy= số: 3,1 − x − 7,8 + Gọi M giá trị lớn hàm số Hãy 6, − 7, M≈ u1 + u2 + u2 + u3 + + u1= 1; un= un −1 + (∀n > 1) a Tìm cơng thức tính theo n ( ∀n > ) un−1 + un , đó: b Tính giá trị v2010 = 2011 (dm2) Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy 2011 điểm tương ứng K, L, M, N cho AK : KB = 2, BL : LC = : 3, CM : MD = 1, DN : NA = 1: Tính diện tích đa giác AKLCMN theo đơn vị cm2 Bài Một hình vng hình tam giác nội tiếp hình trịn có bán kính 1cm, cho cạnh tam giác song song với cạnh hình vng Gọi S diện tích phần chung tam giác hình vng Hãy tính giá trị S (lấy chữ số sau dấy phẩy) Bài Cho ngũ giác lồi ABCDE, biết diện tích tam giác: ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cm2 Gọi s(X) diện tích hình X Tính s(ABCDE) Bài Cho dãy số vô hạn sau: , , , , số hạng dãy xếp giảm dần đánh số 16 25 thứ tự Gọi an số hạng thứ n; S n tổng n số hạng dãy Hãy tính: an theo n S2010 Bài a) Cho đa thức P( x) = x11 + a10 x10 + + a1 x + m Biết rằng: P(i ) = i, ∀i = 1, 2,3, 4, ,11; ∈ Z Nêu tóm tắt cách tính tính xác giá trị P(12) b) Xét dãy số nguyên = x1 34, = x2 334, = x3 3334, , = xn 33 34 , xn có n chữ số chữ số hàng đơn vị Gọi S(n) số chữ số có mặt số 9(xn)3 Nêu cách tính S(n) tính S(2010) f ( x) + 2x + Bài Cho f1 ( x) = ) Tính giá trị f 2009 (2010) ? − , f n +1 ( x) = f1 ( f n ( x)) (hay f n +1 ( x) = − n x+3 f n ( x) + Bài Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích 2010 Bài 10 Đặt { H n } = 2* 2* 2* (với n dấu lồng nhau, dấu * thay hai dấu cộng (+) trừ (-) cho quét hết khả biểu diễn Ví dụ: { {H 1} = { 2} , {H 2} =2 + } k , − , tương tự cho { H i }i ≥3 ), Gọi Gk = { H n } Tính giá trị n =1 G2010 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 65 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ CASIO THAM KHẢO ĐÁP ÁN ĐỀ VĨNH PHÚC NĂM 2008 – 2009 Bài 1: 5,0 điểm Mỗi ý 2,5 điểm x0= x0≈ -1,4492 Bài 2: 5,0 điểm Mỗi ý 2,5 điểm M ≈ -3,5410 f (2 + 5) ≈ -101,0981 Bài 3: 5,0 điểm a) Tóm tắt tìm cơng thức tính theo n: 3,0 điểm Từ giả thiết có: un − un −1 = ∀n > Từ có: = u3 − u2 un − un−1 u2 − u1 + + + = u2 − u1 u3 − u2 un − un−1 un − u1 (*) Mặt khác: u2 − u= 2, u3 − u2= 2, , un −1 − un − 2= 2, un − un −= , cộng vế với vế n − đẳng thức trên, 1 giản ước ta có: u= 2n − thay vào (*) được: = n 2n − − b) v2010=2009 2,0 điểm Bài 4: 5,0 điểm Tóm tắt cách giải: 3,0 điểm Kí hiệu s(X) diện tích hình X Nối A với L, C M; nối L với K; M với N Kí hiệu: s(BLK)=S1, S S 11S s(DMN)=S2 Dễ thấy: S = 12.S1 + 12.S2, suy ra: S1 + S = ⇒ s ( AKLCMN ) = S - = 12 12 12 11 2011 Đáp số: s ( AKLCMN ) = = 2010 100 (cm ) 183,6453859 (cm2) 2,0 điểm 12 2011 Bài 5: 5,0 điểm, ý 2,5 điểm S ≈ 1,205766117 (cm2) (9 chữ số sau dấu +2 −6 S= (cm2) phẩy) Bài 6: 5,0 điểm Tóm tắt lời giải tính s(ABCDE): 3,0 điểm Do s(ABC)=s(ABE) nên C E cách AB, tức CE//AB Tương tự chứng minh đường chéo lại // với cạnh tương ứng Gọi P giao BD CE Đặt s(BCP)=x Do ABPE hình bình hành, nên s(BPE)=s(ABE)=1, s(ABCDE)=s(ABE)+s(BPE)+s(CDE)+s(BCP)=3+x x −1 5+ s ( BCP) BP s ( BEP) Rõ ràng: , tức là: = ⇒x= ⇒ s ( ABCDE ) = = = 1− x x 2 s ( PCD) PD s ( PED) s ( ABCDE ) ≈ 3,618033989 (cm ) 2,0 điểm Bài 7: 5,0 điểm Mỗi ý 2,5 điểm an = (n+2)/(n+1)2 S 2010 ≈ 7,8283 Bài 8: 5,0 điểm a) Viết lại P(x)=(x-1)(x-2)…(x-11)+ax+b Thay x=1, ta tính a=1, b=0 (khi thoả mãn điều kiện giả thiết Do P(x)=(x-1)(x-2)…(x-11)+x Từ P(12)=1.2.3….11+12=39916812 3,0 điểm b) Nêu cách tính: Có 10n +1 − 10n +1 + n +1 3( n +1) 3 − 33 = ⇒= ⇒ 9( x= = − 1) + 2.102( n +1) + 4.10n +1 + (10 + 2) (10 xn = xn n) 3 3 3( n+1) Vì (10 − 1) có tất 3(n+1) chữ số 3, suy ra: 9( xn )3 = 353 37 36 hay 9( xn ) có 3n chữ n n n Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 66 Website: tailieumontoan.com số Tính được: S(2010)=6030 2,0 điểm Bài Tóm tắt lời giải: 3,0 điểm 2x + 1 Ta có: f1 ( x) =− , suy ra: f ( x) =f1 ( f1 ( x)) =−2 − =−2 − =−3 − x+3 x+2 x+2 −2 − +3 x+3 f3 ( x) =f1 ( f ( x)) =−2 − =x −3 − +3 x+2 Bằng qui nạp suy ra: f3k ( x) x= , f3k +1 ( x) f1 ( x),= f3k + ( x) f ( x) = Do = f= f (2010) 2009 x 669 + , nên f= 2009 (2010) k + (2010) 6037 2,0 điểm f 2009 (2010) = − 2012 Bài 10 Tóm tắt lời giải: 3,0 điểm Ta chứng mính Gk chứa 2k − phần tử thuộc khoảng ( 0; ) (khi G2010 = 22010 − ) (A) Thật vậy: Với k = , G1 = H1 có phần tử , nên (A) Giả sử (A) với k ta chứng minh (A) với k + Tách tập Gk +1 thành tập con: ∪ − x : x ∈ Gk ∪ + x : x ∈ Gk Theo giả thiết qui nạp, tập { } { } { } thứ hai có − phần tử thuộc khoảng ( − 2; − ) = ( 0; ) ; tập thứ có − thuộc khoảng ( + 0; + ) = ( 2; 2) , khoảng rời chứa khoảng ( 0; 2) Vậy số k k phần tử Gk +1 là: + (2k − 1) + (2k − 1) = 2k +1 − (Đpcm) G2010 = 2k +1 − 2,0 điểm ——Hết—— Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 67 ĐỀ CASIO THAM KHẢO Website: tailieumontoan.com ĐỀ TỈNH VĨNH PHÚC 2009 - 2010 0,8 : ( x1, 25) (1, 08 − ) : 25 + (1, x0,5) : Bài Tính: A = + 5 0, 64 − (6 − ) x 25 17 Bài Cho phương trình: 2,354 x − 1,542 x − 3,141 = Gọi nghiệm phương trình x1 x2 ( x1 < x2 ) Hãy tìm nghiệm PT (với chữ số thập phân): Bài Cho dãy số u1 = u2 = 1; un =+ un −1 un − (n ≥ 3) a Chứng minh rằng: Với số ngun, ln tồn cách biểu diễn a= α1u1 + α 2u2 + + α k uk với k , α1 , α , , α k (*) số ngun b Hãy tìm biểu diễn 2009= β1u1 + β1u2 + + β mum cho β i ∈ {0, 1} m có giá trị bé Bài Với số nguyên dương n, kí hiệu S(n) tổng chữ số biểu diễn thập phân n Mỗi số nguyên dương nhận từ n cách xoá số (ít chữ số) chữ số tận n gọi giản số n Gọi T(n) tổng tất giản số n a Hãy tìm cơng thức biểu diễn mối liên hệ n, S(n) T(n) Chứng minh tóm tắt cho cơng thức b Tìm tất số n để T(n)=217 Bài Trong ∆ABC cạnh AB lấy điểm U , R ; cạnh BC lấy điểm Q, T ; cạnh CA lấy điểm SP cho PQ / / AB, SR / / BC , TU / / CA Đoạn PQ cắt đoạn SR, TU tương ứng điểm X , Y ; đoạn SR cắt đoạn TU điểm Z Giả sử đoạn PQ, RS , TU chia ∆ABC thành phần có diện tích diện tích ∆XYZ m2 Kí hiệu s ( ABC ) diện tích ∆ABC Tính giá trị s ( ABC ) = Bài Cho ABDE hình chữ nhật thoả mãn tồn điểm C thuộc đoạn ED cho tam giác ABC Đường trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r = 2009 20092010 cm Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABDE Hãy tính giá trị R Bài Hình chữ nhật HOMF có HO = 11 OM = Giả sử tồn tam giác ABC nhận H làm trực tâm, O làm tâm đường tròn ngoại tiếp, M làm trung điểm BC F chân đường cao kẻ từ A Hãy tính độ dài đoạn BC Bài a) Tìm số dư phép chia 23456789012345678 cho 456789456 10 , , , (các phần tử tập hợp viết theo thứ tự tăng 11 17 b) Cho tập hợp có vơ hạn phần tử: A = , , dần đánh số thứ tự từ 1) Tính giá trị phần tử thứ 2009 A Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 68 Website: tailieumontoan.com Bài Muốn có 1.000.000 (một triệu) đồng gốc lẫn lãi sau 15 tháng phải gửi ngân hàng tháng số tiền lãi suất 0,6% tháng tiền lãi tháng trước tính vào tiền gốc để tính lãi cho tháng sau? Bài 10 Cho 2009 điểm nằm mặt phẳng cho khơng có điểm thẳng hàng Xét đoạn thẳng có đầu mút thuộc 2009 điểm cho cho với điểm A B, tồn điểm C nối với A B hai số đoạn thẳng Gọi s số bé đoạn thẳng thoả mãn yêu cầu trên, tính s ĐÁP ÁN ĐỀ CASIO THAM KHẢO ĐÁP ÁN ĐỀ VĨNH PHÚC 2009 - 2010 ——————————— Bài (3.0 điểm) A= 1273 588 Bài (3.0 điểm) A≈ 2,164965986395 x1 ≈ -0,87313108407 x2 ≈ 1,528193,632 Bài (5.0 điểm) a) Tóm tắt chứng minh: Qui nạp theo giá trị a cần xét với số không âm (số âm thay dấu ngược lại α i ) a=0 ( a = 0.1 ), a=1, 2, GS a từ đến p (p>2), xét với a=p+1: Nếu a thuộc dãy biểu diễn a=1.a (đpcm); Nếu a không thuộc dãy gọi a1 số thuộc dãy cho có giá trị gần a+1 hiển nhiên số a+1-a1 3012 , nên tồn điểm (A1) nối với không điểm khác Nếu A1 nối với điểm giả sử (A2), khơng tồn điểm nối với A1 A2 đề bài, A1 nối với điểm khác (A2 A3), dễ thấy A2 nối với A3 Xét cặp điểm A1 Ai (i>3) Rõ ràng điểm nối với A1 Ai A2 A3 Trong trường hợp, Ai nối với A2 A3 Vì có đoạn từ điểm Ai, nên số đoạn từ điểm Ai 2(2009 − 3) Mặt khác, có 2009 − đoạn từ điểm Ai nối với A2 A3 nên tổng số đoạn thẳng 2009 − + 2009 − + = 3.2009 − = 3012 (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy s = 3012 ——Hết—— Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 70 Website: tailieumontoan.com ĐỀ CASIO THAM KHẢO 10 ĐỀ THI HSG TĨNH VĨNH PHÚC 2007 - 2008 x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 5− , đặt x = Gọi S tập hợp 4 −1 − +1 x2 x giá trị nguyên dương x thỏa mãn x ≤ 2008 để A nhận giá trị nguyên Hãy tính: A(x0) S Bài Cho biểu thức A( x) = n 1 Bài Cho số M = Gọi S n tổng n chữ số thập phân sau dấu phẩy M 16 a)Giá trị S10 = b)Tóm tắt chứng minh S 2008 = : Bài Cho An = − + 13 − 19 + 25 − 31 + , biểu thức gồm n số hạng a)Giá trị A2008 = b)Tóm tắt cách tìm cơng thức tính An theo n : Bài a)Tìm tất giá trị chữ số a biết số 17089a chia hết cho 109 b)Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 c)Tìm chữ số hàng chục số 23 2008 Bài 2+ 1− − 15 − 11 x − = a)Tính giá trị nghiệm phương trình x− − − 3− + 13,241x + 17,436 y = −25,168 b)Tính nghiệm hệ phương trình: 23,897 x − 19,372 y = 103,618 Bài Cho đa thức P( x) = x + ax + bx + cx + dx + e Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16 P(5) = 25 a) Tính giá trị: a = ; b= ; c= ;d= b) Trình bày cách tính giá trị P(2008) : ; e= Bài Cho ∆BMA có góc= BMA 1350= ; BM 2= ; MA Lấy điểm C nằm phía điểm M đường thẳng AB cho ∆CAB vuông cân A Gọi S diện tích ∆ABC Tính S Bài Cho tứ giác ABCD có= AB 3,= BC 4,= CD 12,= DA 13, góc CBA = 900 Gọi S diện tích tứ giác ABCD Hãy tính giá trị S Bài Trong giải cờ Caro có n đấu thủ nữ 2n đấu thủ nam Biết hai đấu thủ phải chơi ván với nhau, khơng có ván hòa, gọi a số ván mà đấu thủ nữ thắng, b số ván a mà đấu thủ nam thắng = Hãy tìm tất giá trị n có b Bài 10 Cho tam giác A1 A2 A3 , gọi An +3 trung điểm đoạn An An +1 với n = 1, 2, 3, Gọi α số đo góc A2008 A2009 A2007 Tính giá trị α Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 71 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ CASIO THAM KHẢO 10 ĐÁP ÁN ĐỀ VĨNH PHÚC 2007-2008 ——————————— Bài (1,0 điểm): Lời giải, đáp số a) A( x0 ) ≈ 154,08101 b) S = {3, 4, 6, 18} Bài (1.0 điểm): Lời giải, đáp số a) S10 = Điểm 0.5 0.5 Điểm 0.5 800 800 800 2400 10 1 = = < = = 0,0 01 1024 1000 10 (với 2399 số sau dấu phẩy, từ suy đpcm Bài (1.0 điểm): Lời giải, đáp số a) A2008 = (−6).1004 = −6024 1 b)Có: 16 2008 1 = 2 8032 1 s1 + ∆LKC ~ ∆ABC => s2 s = h1 h 0.25 = h2 h 0.25 s +Suy ra: S = S1 + S => S = S1 + S + S1 S Tính S Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 S ≈187,9005 cm 0.5 76